广东东莞市第十三高级中学2025-2026学年高二下学期数学周测试卷（十三）

**基本信息** 东莞十三中高二数学周测试卷，聚焦排列组合、数列、概率统计等核心知识，通过车牌号编拟、学习软件效果分析等真实情境，考查数学抽象、数据分析与逻辑推理能力，梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|等比数列前n项和（3题）、条件概率（7题）|基础巩固，结合生活实例| |多选题|3题|三角函数图像变换（9题）、超几何分布（11题）|多选项分层，能力提升| |填空题|3题|排队概率（12题）、新定义积分点（14题）|创新应用，思维拓展| |解答题|5题|独立性检验（18题）、传染病潜伏期分析（19题）|真实数据建模，综合应用|

普通 广东东莞市第十三高级中学2025-2026学年高二下学期数学周测试卷（十三） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．可表示为（    ） A． B． C． D． 2．林老师希望从中选2个不同的字母，从中选3个不同的数字编拟车牌号鄂J×××××的后五位，要求数字互不相邻，那么满足要求的车牌号有（    ） A．576个 B．288个 C．144个 D．72个 3．在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，数列的前项和为，，则当取最小值时，的值为（    ） A．4 B．6 C．4或5 D．5或6 4．在的展开式中含常数项，则正整数的最小值是 A．2 B．3 C．4 D．5 5．若数据，，…，的平均数为2，方差为3，则下列说法错误的是（    ） A．数据，，…，的平均数为9 B． C．数据，，…，的方差为 D． 6．某电子商城统计了最近5个月某品牌电脑的实际销量，如下表所示： 时间x（月份） 1 2 3 4 5 销量y（百台） 0.3 0.4 0.6 0.7 0.9 若y与x线性相关，且经验回归方程为：，则下列说法错误的是（    ） A．变量x，y正相关 B．回归直线一定过样本中心 C． D．可以预测当时，商城内该电脑的销量为1百台 7．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球， 乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小质地均相同)．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的个数是（    ） ①事件与相互独立； ②，，是两两互斥的事件； ③； ④； ⑤ A．5 B．4 C．3 D．2 8．已知定义在R上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．在上单调递减 D．在上恰有4个极值点 10．若，则（   ） A．（） B． C．从，，…，这8个数中任取2个，这两个数的积为正数的取法有12种 D．从，，，…，这8个数中任取3个，这三个数的和等于，，，…，中某数的取法有28种 11．从含有2件次品的100件产品中，任意抽出3件，则（    ） A．抽出的产品中恰好有1件是次品的抽法有种 B．抽出的产品中至多有1件是次品的概率为 C．抽出的产品中至少有件是次品的概率为 D．抽出的产品中次品数的数学期望为 三、填空题 12．现有六人排成一排，则都排在的同一侧的概率是______. 13．已知等差数列的前项和为，满足．则_________． 14．对于函数，若存在，使，则点与点均称为函数的“积分点”.已知函数，若点为函数一个“积分点”，则___________；若函数存在5个“积分点”，则实数a的取值范围为___________ 四、解答题 15．已知数列为递增的等比数列，为方程的两个根，数列为等差数列，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 16．已知：函数，． 求函数的单调区间； 设函数有三个不同的极值点，求t的取值范围． 17．羡除是《九章算术》中记载的一种五面体.如图，五面体是一个羡除，其中四边形与四边形均为等腰梯形，且，，，为中点，平面与平面交于. (1)求证：平面； (2)已知点是线段上的动点，从条件①、条件②中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 条件①：平面平面； 条件②：. 18．为研究某种学习软件对学生成绩的提升是否有影响，对某高中部分学生进行了调研，得到如下列联表： 单位：人 成绩提升情况 学习软件 合计 经常使用 不经常使用 提升 100 70 没有提升 10 20 30 合计 110 b 200 (1)求a，b的值，并依据小概率值的独立性检验，分析经常使用这种学习软件是否对学生成绩提升有影响； (2)在学习成绩没有提升的学生中采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽出2人作进一步的调研，若抽取的2人中经常使用这种学习软件的人数为，求随机变量的分布列与期望. 附：. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 19．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期． （1）一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格， 潜伏期（单位：天） ［0，2］ （2，4］ （4，6］ （6，8］ （8，10］ （10，12］ （12，14］ 人数 85 205 310 250 130 15 5 该传染病的潜伏期受诸多因素影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关 潜伏期≤6天 潜伏期＞6天 总计 50岁以上（含50岁） 100 50岁以下 55 总计 200 （2）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？ 附：下面的临界值表仅供参考． 0.05 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 （参考公式：，其中．） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C D C D C D ABD ACD 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】利用排列数和组合数的定义计算即可. 【详解】. 故选：D. 2．C 【分析】利用先选后排及插空法，结合分步乘法计数原理即可求解. 【详解】依题意，从中选2个不同的字母有种，然后从中选3个不同的数字有种，再从选出的2个不同的字母有种排法，最后从选出3个不同的数字插空有种，根据分步乘法计数原理知，满足要求的车牌号有种. 故选：C. 3．C 【分析】由题意求出等比数列的公比，然后求出等比数列的通项公式，代入，得到数列为等差数列，求出的表达式，利用二次函数的性质判断最小值，进而求出的值即可． 【详解】∵是等比数列且，，公比， 可得：，， 解得或（舍去）， ∴， 则，， 则数列的前项和， ， ， 所以或5时，取最小值． 故选：C． 【点睛】本题考查了等比数列的基本量运算，考查了等差关系的确定、等差数列的求和公式以及等差数和的最值等知识，是中档题． 4．D 【详解】试题分析：根据二项展开式通项公式， 令的最小整数值是5，故选D． 考点：二项式定理． 5．C 【分析】根据期望、方差的性质判断A、C的正误；利用期望、方差公式分析B、D的正误. 【详解】A：由原数据期望，则新数据期望，正确； B：，正确； C：由原数据方差，则新数据期望，错误； D：由， 所以，正确. 故选：C 6．D 【分析】求出样本中心点，进而求出经验回归方程，再逐项求解判断. 【详解】对于A，由，得变量x，y正相关，A正确； 对于B，样本中心点一定在回归直线上，B正确； 对于C，，因此，C正确； 对于D，，当时，（百台），D错误. 7．C 【分析】先判断出，，是两两互斥的事件，且不满足，①错误，②正确，用条件概率求解③⑤，用全概率概率求解④，得出结论. 【详解】显然，，，是两两互斥的事件，且 ，，而，①错误，②正确； ，，所以，③正确； ④正确； ，⑤错误，综上：结论正确个数为3. 故选：C 8．D 【分析】根据构造函数，通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所以可知在时是单调递增函数，再结合已知条件又可知是偶函数，利用单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】令，则， 因为当时，，所以在上单调递增， 又为奇函数，且图象连续不断，所以为偶函数， 由，得，解得或 故选：D. 【点睛】关键点点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及函数与导数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键. 9．ABD 【分析】先根据图象变换得，再根据余弦函数性质研究对称性、单调性以及极值点，即可求解. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后得 因为，所以函数的图象关于直线对称，即A正确； 因为，所以函数的图象关于点对称，即B正确； 因为，所以函数单调递增，即C错误； 因为，所以当时函数取得极值，即函数在上恰有4个极值点，D正确； 故选：ABD 10．ACD 【分析】分析可知，，进而列举.对于A：可知的最大值为，即可判断；对于B：结合二项式性质分析判断即可；对于C：分析数的正负性结合组合数分析求解；对于D：分类讨论和项是否为0，结合组合数运算求解即可. 【详解】因为的展开式的通项为，， 则，， 可得依次为. 对于选项A：因为的最大值为，所以，，故A正确； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：若两个数的积为正数，则从任取两项或从任取两项， 所以不同的取法共有种，故C正确； 对于选项D：因为，共有4组， 若从选择一组，再从剩余的数中选择1个，不同的取法共有种； 检验可知，不同的取法共有种； 综上所述：不同的取法共有种，故D正确； 故选：ACD. 11．ACD 【分析】对于A，由题意可知抽出1件次品，2件合格品，利用分步乘法原理求解，对于BC，利用超几何分布的概率公式求解，对于D，设抽出的次品数为，由题意可知可能取值为0，1，2，求出相应的概率，从而可求出其期望. 【详解】对于A，若抽出的3件产品中恰好有1件是次品，则抽出1件次品，2件合格品， 所以共有种不同的抽法，所以A正确， 对于B，由题意可知抽出的产品中至多有1件是次品的概率为，所以B错误， 对于C，由题意得抽出的产品中至少有件是次品的概率为，所以C正确， 对于D，设抽出的次品数为，由题意可知可能取值为0，1，2，则 ，，， 所以，所以D正确. 故选：ACD 12． 【分析】求出六人排成一排的方法数，再由分步计数原理求出都排在的同一侧的方法数，再利用古典概型即可求解. 【详解】六人排成一排的方法数有种， 都排在的同一侧的方法，分类如下： （1）排在第六位，都在的左侧，方法数有种； （2）排在第五位，都在的左侧，方法数有种； （3）排在第四位，都在的左侧，方法数有种； 所以都排在的同一侧的方法数为种， 故所求概率为 故答案为： 13． 【分析】由题意可得，，构造函数，利用的奇偶性与单调性可得，进而可求得. 【详解】由得：． 由得：； 由得：， 令，则为奇函数， 又，所以在上单调递增． 所以， ， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 14． 【分析】由求得值，求出的图象关于原点的对称图象的表达式，由新图象与有两个交点可得结论． 【详解】点为函数一个“积分点”，则，即，解得． 由题可知显然是一个“积分点”，又满足是奇函数，因此的图象关于原点对称的图象的函数解析式仍为， 若函数存在5个“积分点”，由对称性知与的图象在上有两个交点． 设，则在上有两个零点． ， 时，，单调递增，不可能有两个零点； ，即时，由得（负的舍去）， 时，，时，， 在上递减，在上递增，又，时，， 因此，，解得， 综上：． 故答案为：6；． 【点睛】本题考查函数新定义，解题关键是理解新定义，把新定义问题通过对称转化为函数图象交点问题，再转化为函数的零点个数问题，从而利用导数知识，零点存在定理得解． 15．(1)， (2) 【分析】（1）由题意，根据韦达定理可得，则，进而可得；结合等差数列的性质和通项公式可得. （2）由（1）得，结合错位相减求和法即可求解. 【详解】（1）为方程的两个根，则， 又为递增数列，， 设等比数列的公比为， 故数列的通项公式为． 设等差数列的公差为d，由题知， ， 所以，符合题意， 数列的通项公式为． （2）由（1），可得， ， ， 两式相减，可得， ． 16．（1）在，递增，在递减； （2） 【分析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可； 求导函数，，函数有三个不同的极值点，所以有三个不等根，构造函数，可知在，上递增，在上递减，从而，，故可求t的取值范围． 【详解】解：令，解得：， 故在，递增，在递减； 有三个不同的极值点， 有三个不等根； 令，则， 在，上递增，在上递减， 有三个零点， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道常规题． 17．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）证明四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证明； （2）若选条件①，则需先证两两垂直，进而建立空间直角坐标系，利用向量法表示出与平面所成角的正弦值，借助二次函数即可解决；若选条件②，取的中点，连接，证明得到平面平面，进而转化为条件①的解题过程. 【详解】（1）因为，且为中点，所以 又因为，，且为中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2） 若选条件①：平面平面， 取的中点，取的中点，连接， 因为四边形与四边形均为等腰梯形，所以，， 因为平面平面，且平面平面，面， 所以平面， 因为平面，所以，所以两两垂直. 故以为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系； 因为，， 所以， 所以，， 因为点是线段上的动点，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的法向量为， 设直线与平面所成角， 则， 结合二次函数的知识可知： 当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 若选条件②：， 取的中点，连接， 因为四边形与四边形均为等腰梯形， 且，， 所以， 在中，，所以. 所以二面角为直二面角，所以平面平面， 又平面平面，面，所以平面， 因为平面，所以，所以两两垂直. 故以为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系； 因为，， 所以， 所以，， 因为点是线段上的动点，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的法向量为， 设直线与平面所成角， 则， 结合二次函数的知识可知： 当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 18．(1)认为经常使用这种学习软件对学生成续提升有影响 (2)分布列见解析， 【分析】（1）由题意写出零假设，计算卡方，对比临界值即可判断； （2）的可能取值为0，1，2，求出对应的概率即可得分布列，进一步可得期望. 【详解】（1）                         零假设为：经常使用这种学习软件对学生成绩提升无影响. 将列联表中的数据代入公式计算得，             根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为经常使用这种学习软件对学生成续提升有影响. （2）在学习成绩没有提升的学生中采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，其中经常使用这种学习软件的有2人，不经常使用这种学习软件的有4人，则的可能取值为0，1，2，                      根据题意得，             所以的分布列为 0 1 2 期望. 19．（1）没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（2）8 【分析】（1）根据题意补充完整列联表，计算，对照临界值得出结论； （2）由题意可知随机变量，计算概率，列不等式组并结合题意求出的值. 【详解】解：（1）根据题意，补充完整列联表如下： 潜伏期≤6天 潜伏期＞6天 总计 50岁以上（含50岁） 65 35 100 50岁以下 55 45 100 总计 120 80 200 所以， 所以没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关； （2）根据题意得，该地区每1 名患者潜伏期超过6天发生的概率为， 设被调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为，则， ， 由， 得，、 化简得，解得≤≤， 因为，所以， 所以这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能为8人 【点睛】此题考查二项分布的随机变量概率值最大取值问题，考查了独立性检验，考查了分析问题、解决问题的能力，属于中档题. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $