专题05 一次函数（暑假复习讲义）新九年级数学新教材人教版

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题05一次函数 了内容号航 01复习目标一明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02知识重构一系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03题型突破一汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1正比例函数与一次函数的识别 题型2一次函数的图象和性质 题型3根据一次函数的图象和性质求解 题型4含参数的一次函数图象的共存问题 题型5 含参数的一次函数综合问题 题型6 一次函数与一元一次不等式、方程的综合问题 题型7 一次函数的实际应用问题 题型8一次函数中的折叠问题 题型9一次函数与几何图形的综合问题 04综合通关→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 01 复习目标 常考考点 命题风向 1.k、b的几何意义（增 减性、过象限) 。 1.概念与图象强化：一次函数定义(y=+b,k≠0)及图象特征是必考点， 2. 待定系数法求解析 强调k与b的几何意义(k决定增减性，b决定y轴交点)。 式。 2.待定系数法核心：通过两组对应值求解析式是计算题基础，常与实际 3. 与坐标轴围成三角形问题结合考查。 面积。 3.实际情境建模：结合行程（s-t图)、计费（出租车、网约车）、利润 4.实际应用（行程、计费、最优化等生活问题构建函数模型，是应用题热点。 最优方案)。 4.与方程不等式综合：利用图象求方程解或不等式解集，考查数形结合 5.与方程（组）、不等式思想。 综合。 5.分段函数与决策：涉及分段计费或多方案选择的最优化问题是压轴题 6.分段函数及最值问方向。 题。 考情解码：根据2026年新教材考情，《一次函数》从概念图象转向实际应用与数形结合的综合考查。 高频考点包括通过待定系数法求解析式、分析k、b的几何意义（象限分布与增减性）。重点考查实际 情境建模（如行程、最优计费方案）以及与方程组、不等式的图象综合，利用交点坐标解决问题。分 段函数、动态面积问题成为压轴题新趋势，突出数学建模与抽象思维。 02 知识重构 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 脉|络|重|构 常量与变量 定义 k正左低右高 函数服念 自变量与因变量 k负左高右低 图象性质口决 唯一对应 b正交y轴正半轴 变量与函数 b负交y轴负半轴 函数值 解题方法与口决 解析式有意义 一设二代三解四写 待定系数法口决 自变量取值范围 实际意义 审清题意找变量 建立模型是关键 应用题建模思路 解折式法 数形结合助求解 函数表示方法 列表法 图法 忽略k0 定义 增减性判断错误 正比例函数 高颊易错点 解折式 待定系数法错误 圆负与性质 图象画法不视范 定义 应用题忽略自变且范围 解折式 函数隔念辨析 一次函数 次函数 图象与性质 图魚与性质 高频考点 k决定倾斜方向与程食 待定系数法 k与b意义 b决定与y袖交点 与方程不等式联系 次函数图象画法 两点法 实际应用 图鱼特征 实际问题建模 行程问题 一次函数应用 k>0时y随x增大而增大 增减性 一次函数性质 k<O时y随x增大而减小 利润问题 常见类型 与坐标轴交点 方案选择问题 设解折式 与一元一次方程 代入点坐标 与二元一次方程组 一次函数与方程不等式 步 解方程组 与一元一次不等式 待定系数法求解析式 写出解折式 常见题型 重I点I梳I理 知识点一一次函数的定义 形如y=a+b(k,b为常数，k≠0)的函数叫做一次函数。当b=0时，y=(k≠0)叫做正比例函数。 【易错警示】 形试：y=x+b,其中0。勿忽略体0条件（如y=3是常函数，不是一次函数）。 自变量次数：x的次数必须为1，勿将y=x2+b误认为一次函数。 整式：表达式须为整式，Jy=袁+2不是一次函数。 即时即练1.下列四个函数中属于一次函数的是() 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.y=(x≠0) B.y 2*x C.y=x2+1 D.y=1 2.下列函数关系式中，y是x的正比例函数的是() A.y=2x B.y=2x+1 D.y=x2 知识点二一次函数的图象与性质 一次函数y=a+b的图象是一条直线，可通过两点法（如(0，b)和(，O)画出。当0时，y随x的增大 而增大；当<0时，y随x的增大而减小。b决定直线与y轴的交点(O,b)。 【易错警示】 -k、b的作用：k决定增减性(k>0增，k<0减)和倾斜度；b决定与y轴交点O,b)。勿混淆。 ·图像位置：、b符号决定过哪几个象限，可画草图验证，勿死记。 两直线关系：k相等b不等侧平行；k乘积为-1则睡直，勿记反。 即时即练1.关于一次函数y=-2x+3,下列结论正确的是() A.函数图象经过点(-1,1) B.y随x增大而增大 C.图象不经过第二象限 D.将y=-2x+3的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为y=-2x+6 2.关于x的一次函数y=ax+4a-1,下列说法： ①若a=2,则函数图象经过第一、二、三象限； 1 ②若函数图象经过原点，则a= 4 ③无论a为何实数，函数的图象总经过点(-4，-1. 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 知识点三一次函数的实际应用 利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立函数模型，再结合 图象或性质求解。 【易错警示】 自变量范围：根据实际意义确定取值面范围（如人数、时间0），勿盲目取全体实数。 单位统一：单位不一致（干米/米、分钟/小时）时先换算。 图像理解：注意横纵轴含义，交点、截距、拐点分别代表什么，勿只看形状。 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 即时即练1某学校每个月都有一些复印任务，学校附近有甲、乙两家复印社可供选择，其中甲复印社按每 复印100页材料收费40元计费；乙复印社则需先按月支付200元的承包费，再按每复印100页材料收费a元 计费.已知甲、乙复印社分别复印800页材料时所收总费用相同，甲、乙两复印社（针对该校）每月收费 y(元)与复印材料页数x(页)之间的函数图象如图所示， y(元) 6001 400 200 0 2004006008001000x(页) 据此回答以下问题： (1)乙复印社复印800页材料时收费_元： (2)求乙复印社每月收费y(元)与复印材料页数x(页)之间的函数关系式： (3)当甲复印社比乙复印社每月收费多50元时，该学校复印材料的页数是_页 2某商店销售一种产品，该产品成本价为8元/件，售价为10元/件，销售人员对该产品一个月(30天)销 售情况记录绘成图象.图中的折线ODE表示日销量y(件)与销售时间x(天)之间的函数关系，若线段 DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件. 个y(件) D 340 172230(天) (1)第26天的日销量是 件，这天销售利润是 元； (2)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围： (3)销售期间日销售最大利润是多少元？日销售利润不低于660元的天数共有多少天？ 知迟点四一次函数与方程、不等式的送系 1.二元一次方程组与一次函数的关系 1)一元一次方程可转化为一般式：ax+b0 2)一次函数为：y=+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。 y0时，x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解 3)每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线从“数”的角度看，解方程组相当于考虑 自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形的角度看，解方程组相当于确定两条 直线交点的坐标 4)两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立， 5)当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线 平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解 6)当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立 2.利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集 (1)一元一次不等式+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合 (2)一元一次不等式a+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的横坐标所组成的集合 (3)一元一次不等式+b1>x+b2的解集，一次函数yk+b1图象在一次函数y=x+b2图象上方的点的横 坐标所组成的集合 (4)一元一次不等式1x+b1<kx+b2的解集，一次函数yk+b1图象在一次函数y=k+b2图象下方的点的横 坐标所组成的集合 【易错警示】 -方程：求x+b=0的解，即图像与x轴交点横坐标，勿与y轴皎点混淆。 不等式：kx+b>0对应图象在x轴上方的部分，注意不等号方向与上下对应。 ~联立：两函数交点坐标即对应方程组的解，勿解错。 即时即练1.如图所示，一次函数y=x+b(k≠0)与正比例函数y=mx(m≠0)的图象相交于点M(1,2),，下列 判断错误的是() y=mx M1,2) y=kx+b A.关于x的方程mx=kx+b的解是x=1 B.关于x的不等式mx≥kx+b的解集是x≤1 C.当x<0时，函数y=c+b的值比函数y=mx的值大 y-mx=0 少-在=b的解是 x=1 D.关于x,y的方程组 y=2 2.学习一次函数时，我们从“数”和形”两个方面研究一次函数的性质.请运用积累的经验和方法对函数 y=2x+2的图象与性质进行探究，并解决相关问题。 【初步感知】 3 -2 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y=2x+2 6 m 2 6 4 3 2 1 76543210123456 -2 3 (1)表格中m的值为 ,n的值为 (2)在平面直角坐标系中画出函数y=2x+2的图象 (3)【探究性质】观察函数y=2x+2的图象，判断下面关于该函数图象性质的命题： ①该函数图象是轴对称图形： ②当x≥-1时，y的值随x值的增大而增大； ③当x=-1时，该函数存在最小值，最小值为0； ④当y=4时，x=1. 其中的正确的是· （请填写正确命题的序号) (4)在同一坐标系中画出一次函数y=x+4的图象，并根据图象直接写出方程组 y=2x+2的解 y=x+4 03 题型突破 题型1正比例函数与一次函数的识别 例1.下列函数中，y是x的正比例函数的是() A.y=x+I B.y=2x-3 C.y=x2 D.y=x 例2.下列函数中，是一次函数的是() 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.y=x2-1 B.y=-2x+1 C.y=kx+b 3 D.y= 【技巧总结】 1.看形式：y=x+b为一次函数：b=0即y=kx为正比例。 2.注意条件：0；自变量指数为1。 3.特殊值：正比例必过原点；一次函数不过原点(b0)。 4.用图像：正比例值线过原点，一次函数与y轴交于0，b)。 【变式训练1-1】若y=(m+1)x2+1是关于x的一次函数，则m的值为() A.1 B.-1 C.1 D.±2 【变式训练1-2】若函数y=(2m+1)x2+(1-2m)x(m为常数)是正比例函数，则m的值为() 4.m> 1 D.m=-2 1 B.m=2 C.m<2 题型2一次函数的图像和性质 例3.对于一次函数y=2x-8,下列结论正确的是() A.函数图象经过点(1，-4) B.函数图象与y轴的交点坐标是(0,8) C.函数的图象不经过第一象限 D.函数图象向左平移4个单位得到函数y=2x的图象 例4.关于一次函数y=3x-2的性质及其图象，下列说法正确的是() A.y的值随x值的增大而减小 B.该函数的图象经过第一、二、三象限 C.点(-1，-5)一定在函数图象上 D.(-3,)和(2,2)是图象上两点，则>y2 【技巧总结】 1.k定方向：k>0直线上升（过一三象限），k<0下降（过二四）。 2.b定交点：与y轴皎于(0，b),b>0在上半轴，b<0在下半轴 3.求交点：联立方程求与坐标轴▣或另一函数交点，用增减性比较函数值大小。 【变式训练2-1】对于直线y=-)x-3的描述，正确的是（) A.y随x的增大而增大 B.经过点(-2，-1 C.图象不经过第二象限 D.与y轴的交点是(0，-3) 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式训练2-2】下列有关一次函数y=kx+3(k≠0)的说法：①函数图象与y轴的交点为(0,3)；②当k>0时， y的值随着x增大而增大；③当k<0时，函数图象经过第二、三、四象限.其中正确的是() A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 题型3根据一次函数的图象和性质求解 例5.已知一次函数y=a2+2x-m(a、m为常数)的图象过P(x,y),Q(x2,y2),若x>x2,则y （用“>”或“<”填空)· 例6.一次函数y=c+b满足kb<0,且y随x的增大而增大，则此函数的图像一定不经过第 象限 【技巧总结】 1.求解析式：用待定系数法，已知两点坐标或一点加斜率 2. 比大小：>O时y随x增大而增大；k<0则减小，可直接代入比较。 【变式训练3-1】已知直线y=(2-ax+2a+1经过第一、三、四象限，则a的取值范围为 【变式训练3-2】已知一次函数y=(k-)x+2k-3,其中k为常数，且k≠1.当-3≤x≤2时，函数y的最 小值为-6，则k的值为 题型4含参数的一次函数图像的共存问题 例7.一次函数y=2x+b与正比例函数y=bx(b≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能为() 例8.对于正比例函数y=kx(k≠O),它的函数值y随x的减小而增大，则一次函数y=x-k的图象大致是 ) 【技巧总结】 1.分别分析：对格函数判断k、b符号与图象象限的关系。 2.假设验证：假设一条直线成立，推导出参数范围，玛验证号一条是否矛盾。 3.分类讨论：参数取值分情况画草图，找同时满足的条件。 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.除法：利用过象限特征排除错误选顶。 【变式训练4-1】一次函数y=ax+b和y2=abx(ab≠0)，在同一平面直角坐标系中的图象可能是() :产 【变式训练4-2】将一次函数y=mx+n与y=mx（m、n均不为0)的图象画在同一坐标系中，它们的图 象可能是() 题型5含参数的一次函数综合问题 例9.己知一次函数y=(m+1)x-2m+4)(m为常数) (1)当函数是正比例函数时，m的值为 (2)当函数图象不经过第一象限时，m的取值范围是 (3)当-2≤x≤4时，一次函数的最大值为4，求m的值. 例10.已知一次函数y=x+b(k,b为常数，且k<0),的图像经过点(-1,2). (1)若k+2b=1,求一次函数的表达式 (②)当-3≤x≤2时，该一次函数的最大值为8，求k的值 (3)若该一次函数的图像经过第一象限，且S=2k-3b,求S的取值范围. 【技巧总结】 1.先定性：确定k正负，判断增减性与过定点。 2.求交点：联立方程用参数表示坐标，再代入条件列等式。 3.分类讨论：参数影响象限或位置时，分情况画图求解。 4.转化条件：将面积、线段比等几何关系转化为含参数的方程或不等式。 -2x+5x≤2 【变式训练5-1】已知函数y= x-1(x>2 (1)当y=3时，求x的值； 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)点At,y),B(t+3,y2)在函数图象上， ①当y2>y时，求t取值范围； ②记y2-y=m,求m关于t的函数解析式， 【变式训练5-2】研究一次函数y=x+b时，发现k和b的取值变化，会带来函数性质的变化. (1)若k=2b,且这个一次函数的图像过点(3,7). ①求k和b的值； ②若0≤x≤8，求y的取值范围； (2)设函数y1=mx+n,2=-mx+n(m、n为常数，m≠0)， 若函数片和2同时满足以下三个条件： 条件1：随x的增大而增大： 条件2：当1≤x≤5时，t≤y≤t+8; 条件3：当-3≤x≤-1时，2的最大值为2t.求t的值. 题型6一次函数与一元一次不等式、方程的综合问题 例11.已知一次函数y=ax+3与y=bx-1的图象如下图所示，其交点B的坐标为-3，m),直线y=bx-1与 x轴的交点坐标为-1,0)，则下列说法正确的是() y=ax+3 y=bx-1 B A.方程bx-1=0的解是x=-3 ax-y+3=0 x=3 B.方程组 6r-y+1=0的解是 y=m C.关于x的不等式ax+3≥bx-1的解集是x≥-3 D.bx-1>0的解集为x>-1 例12.如图，在平面直角坐标系中，若直线y1=-x+a与直线2=bx-4相交于点P,则下列结论错误的是 () 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.方程x-4=a-bx的解是x=1 B.不等式-x+a>-3和不等式bx-4<-3的解集相同 y+x=a x=1 C.方程组 y-bx=4 的解是 y=-3 D.不等式组bx-4<-x+a<0的解集是-2<x<1 【技巧总结】 1.看交点：两函数图像交点的横坐标即方程的解。 2.分高低：图像在上方对应函数值大，下方则小，写对应x范围.。 3.找临界：不等式边界即方程的解，结合图像增减性确定不等号方向及区间。 【变式训练6-1】如图，一次函数y=kx+b(k,b为常数，且k<0)的图象与直线y=。x都经过点A(3,),当 3 +b<二x时，x的取值范围是 3 y y=kx+b y=7 【变式训练6-2】如图，直线：y=kx+1与x轴交于点A(-2,0),直线l2:y=-x+b与y轴交于点B(0,4), 与直线1交于点C. B A (1)求k,b的值： y=k+1 (2)关于x,y的方程组 y=-x+b的解为： (3)若直线4平行于x轴，且到x轴的距离为1，求直线4被4，马所截得的线段长 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型7一次函数的实际应用问题 例13.学校有1100本作文本需要打包发放，现有A、B两种型号的箱子可供选择.己知1个A型箱子和2 个B型箱子装满后可打包500本作文本，2个A型箱子和1个B型箱子装满后可打包400本作文本.学校计 划同时使用两种箱子一次打包完毕，且恰好每个箱子都装满作文本. (1)每个A型箱子和B型箱子分别能装多少本作文本？ (2)若A型箱子每个3元，B型箱子每个5元，共有几种打包方案？哪种方案费用最少？ 例14.某电脑公司经销甲种型号电脑，受市场经济影响，电脑价格不断下降.今年三月份的电脑售价比去 年同期每台降价1200元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为96000元，今年销售额只有72000元. (1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元？ (2)为了提高收入，电脑公司决定增加经销乙种型号电脑，己知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台 进价为3000元，公司预计用不多于49000元且不少于48000元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进 货方案？ (3)如果乙种电脑每台售价为3800元，为扩大乙种电脑的销量，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现 金a元，要使(2)中所有方案获利相同，a值应是多少？ 【技巧总结】 1.建模型：设变量，根据题意列一次函数解析式，明确定义域。 2.代临界：方案选择、最值问题，代入端点值或联立方程求交点比较。 3.看增减：利用V正负判断最优方案（最大或最小）。 4.统一单位：注意时间、距离等单的统一。 【变式训练7-1】李华步行去离家1200米的学校上学，出发十分钟后爸爸发现李华的数学作业落在家里了， 便骑车追赶李华，图中1，I,分别表示了两人离家的路程y(米)与李华出发时间t(分钟)之间的关系. 个y/米 600 360 B 0 C 1012 t/分钟 (1)李华步行的速度为 爸爸骑车的速度为 (②)求出l,的函数表达式并解释该表达式中一次项系数的实际含义。 (3)请计算爸爸能否在李华到达学校前追上李华？ 【变式训练7-2】某商场要印制商品宣传材料，经过市场调研，甲、乙两印刷厂正在搞活动，决定选择其中 的一家进行印制.设印刷厂的收费为y(元)，印制数量为x（份)· 甲印刷厂的收费标准是：每份材料收2.5元，不收制版费，若印制满4000元，可以享受折扣，超过的部分 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 每份材料收0.5元.此时y与x的函数关系如图所示. 乙印刷厂收费标准是：每份材料收k元印制费，另收b元制版费，此时y与x的关系如下表所示 印制数量x(份) 0 1000 2000 3000 收费y（元) 1500 2500 3500 4500 ◆y/元 8000 6000 4000 2000 2000400060008000x/份 (1)在直角坐标系中描出表中数据对应的点，画出乙印刷厂y关于x的函数图象，并判断函数类型. (2)求乙印刷厂y关于x的函数表达式 (3)对于x的取值情况进行分析，试说明在哪一印刷厂印制宣传材料比较便宜。 题型8一次函数中的折叠问题 例15.一次函数y=x+b(k≠0)的图像与x轴、y轴分别相交于点A-8,0)和点B(0,6).点C在线段A0上， 如图，将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处. A C o (1)求直线AB的表达式： (2)求AC的长， 例16.如图，A-6,0),B(0,8),点M在线段OB上，将△ABM沿直线AM折叠，点B恰好落在点B'(a,0)处 4 B (1)求a的值； 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求直线AM的解析式： (3)若直线y=-x+t与直线AM的交点在直线x=a的左侧，请直接写出t的取值范围 【技巧总结】 1.找数对称点：折叠即轴邮对称，点关于折痕对称，利用中点坐标与垂直斜率关系。 2.设未知点：设对称点坐标，根据中点在折痕上、连线与折痕垂直列方程组。 3.求解析式：联立解出对称点，再求新直线方程。 4.注意折痕：可为x轴、y轴或狂意直线。 【变式训练8-1】如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A4,0),与y轴交于点B(0,3). 4 B 2 -4-3-2-1©1234 3 A (1)求直线AB的函数表达式； (2)点P是x轴上一点，连接BP,若△ABP的面积为6，求点P的坐标： (3)在(2)的条件下，将△ABP沿AP折叠，点B的对应点为点B,请直接写出点B的坐标 【变式训练8-2】如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+b与x轴、y轴分别相交于点A(-6,0)、B(0,8) ,C是线段OB上一点，将aOAC沿着AC折叠，点O落在点D,连接BD B 备用图1 备用图2 (I)求直线AB的函数解析式： (2)若点D正好落在线段AB上，求点C的坐标； 1 (3)若S△MDc=S△MOB,求点D的坐标. 4 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型9一次函数与几何图形的综合问题 例17.如图，己知直线：y=x-4与x轴交于点A,直线2：y=2x+8与x轴，y轴分别交于点D和点B, 且两直线交于点C,C点坐标为-8，m). B 备用图 (1)求k的值. (②)在y轴上是否存在一点P,使得△BCP与ABC面积相等？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明 理由. (3)直线AB上是否存在点Q,使得∠BDQ=45°.若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由 例18.如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴正半轴上一点，且04=6，过点A的直线与直线y=-3 交 于点B(5,-3),动点P,Q都在线段OA上(P,Q不与0、A重合，P与Q不重合)，且OP=AQ,以PQ 为边在x轴下方作正方形PQCD,设OP=m,正方形PQCD的周长为L. 0 R D (I)求直线AB的函数解析式： (2)当m=5时，正方形PQCD的面积为 (3)求L与m之间的函数关系式； 【技巧总结】 1.求关键点：联立函数与几何边界（如坐标轴、线段端点）得交点坐标。 2.用几何性质：全等、相似、勾股定理、面积公式转化条件为方程。 3.分类讨论：动点位置、图形形状变化时分情况画图求解。 4.1 设参数：用动点坐标表示线段长，列方程。 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式训练9-1】如图，己知直线l:y=。x+ 2x+8与直线，：y=-2x+16相交于点C,人4分别交x轴于A、B 3 3 两点.矩形DEFG的顶点D、E分别在直线lI2上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合， 珠 B 2 P (1)方程组 x-y=一3的解是 {3 2x+y=16 (2)求ABC的面积： (3)求点E的坐标； (4)若矩形DEFG从B点出发，沿x轴的反方向平移2个单位长度，写出此时矩形DEFG与ABC重叠部分 的面积S的值 【变式训练9-2】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点A(-6,8),点C在x轴正半轴上，对角线 AC交y轴于点M,边AB交y轴于点H.动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线A-B-C向 终点C运动： H M (1)求点B的坐标. (2)求对角线AC所在直线的解析式 (3)设动点P的运动时间为t秒，连接PM、BM,aPBM的面积为S,请用含t的式子表示S; (4)当t=8时，直线AC上是否存在点N,使S△Nw=S△PM·若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说 明理由. 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 04 综合通关 1.下列y关于x的函数中，是正比例函数的是() A B.y=5x C.y=x+I D.y=x2 2.对于一次函数y=3x+1,下列结论正确的是() A.y随x的增大而减小 B.它的图象与x轴交于点(1,0 C.当x>时，y<0 3 D.它的图象经过第一、二、三象限 3.若一次函数y=(2a-5)x+a-2的图象与y轴交点在x轴的上方，且y随x的增大而减小，则a的取值 范围是() A.2sa<s B.a>5 c.2<a号 D.a为任意实数 2 4.如图，一次函数y=c+b的图象经过点A-1,-2)和点B(-2,0),正比例函数y=2x的图象经过点A,则 不等式2x<x+b的解集为() A.x<-1 B.-1<x<0 C.x>-1 D.x<-2 5.某生物小组观察一植物生长，得到的植物高度y（单位：厘米)与观察时间x(单位：天)的关系如图 所示(AC是线段，直线CD平行于x轴)，下列说法中错误的是() y(厘米) C D B 12 A 30 5060x(天) A.从开始观察时起，50天后该植物停止长高 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B.该植物最高为15cm C.线段AC的函数表达式为y=5x+60≤x≤50) D.第40天，该植物的高度为14cm 6.己知函数y=(m-1)x-2是关于x的一次函数，则m的值为· 7.如图，直线：y=x+1与直线：y=mx+n相交于点P(1,b).则关于x,y的方程组 rrn的解是 y-x=1 8.新定义：a,b]为一次函数y=ax+b(a≠0，，b为实数)的“关联数”.若“关联数”[3，m-5]所对应的 一次函数是正比例函数，则m的值是 9.如图，已知四边形ABCO是矩形，点B的坐标为10,8)，点D为边AO上一点，连接BD,现将△ABD沿 BD折叠，点A落在x轴上的点E处，直线BE交y轴于点P,则点P的坐标为 A------ B C 10.已知一次函数y=(k-1x-3,其中k为常数，且k≠1.当-3≤x≤2时，函数y的最小值为-6，则k的 值为 11.已知一次函数y=(10-mx-m, (1)若y随x的增大而增大，求m的取值范围； 1 (②若m=1,当-3<x<2时，直接写出y的取值范围。 12.己知：y+2与3x成正比例，且当x=1时，y的值为4. (1)求y与x之间的函数关系式 (2)若点(x,a、点(x2,b)是该函数图象上的两点，其中x<x2,试比较a、b的大小，并说明理由； (3)将所得的函数图象平移，使它经过点P(1,3,求平移后的函数解析式. 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 13.为深入推进“书香校园”建设，营造浓厚读书氛围，某学校决定于5月中旬举办“校园读书节”，现需采购 A,B两种图书.己知购买2本A种图书和3本B种图书共需170元，购买4本A种图书比购买5本B种图 书多10元. (1)求A,B两种图书的单价： (2)该校计划购买A,B两种图书共50本，且B种图书的数量不超过A种图书数量的一半，通过计算设计一 种购买方案，使所需费用最少，并计算最少费用. 14.直线4经过(-2,1和1，-5)与直线：y=x+5交于点P,直线x=n,与x轴，4，分别交于点A,B, c. B x-n (1)求直线Z解析式； (2)将直线4向上平移4个单位得直线马，直接写出直线马的解析式； (3)①若点B,C关于点A对称，求n值； ②若直线x=n与直线，马不能围成三角形，直接写出n值. 15.如图，己知一次函数y=kx+8(k≠0的图象分别与x轴，y轴交于点A,B. B 图1 图2 (①)如图1，当k=-4时，以AB为边在第一象限构造正方形ABCD,连接AC,BD,求直线AC和BD的表 3 达式 (2)如图2，当k>0时，以AB为边在第二象限构造正方形ABCD,连接OC,求△OBC的面积； (3)若k=2,点P在正比例函数y=-x的图象上，且∠ABP=45°，直接写出满足条件的点P的坐标. 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 05 错题留痕 专题05 一次函数 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 正比例函数与一次函数的识别 题型2 一次函数的图象和性质 题型3 根据一次函数的图象和性质求解 题型4 含参数的一次函数图象的共存问题 题型5 含参数的一次函数综合问题 题型6 一次函数与一元一次不等式、方程的综合问题 题型7 一次函数的实际应用问题 题型8 一次函数中的折叠问题 题型9 一次函数与几何图形的综合问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. k、b的几何意义（增减性、过象限）。 2. 待定系数法求解析式。 3. 与坐标轴围成三角形面积。 4. 实际应用（行程、计费、最优方案）。 5. 与方程（组）、不等式综合。 6. 分段函数及最值问题。 1. 概念与图象强化：一次函数定义（y=kx+b，k≠0）及图象特征是必考点，强调k与b的几何意义（k决定增减性，b决定y轴交点）。 2. 待定系数法核心：通过两组对应值求解析式是计算题基础，常与实际问题结合考查。 3. 实际情境建模：结合行程（s-t图）、计费（出租车、网约车）、利润最优化等生活问题构建函数模型，是应用题热点。 4. 与方程不等式综合：利用图象求方程解或不等式解集，考查数形结合思想。 5. 分段函数与决策：涉及分段计费或多方案选择的最优化问题是压轴题方向。 考情解码：根据2026年新教材考情，《一次函数》从概念图象转向实际应用与数形结合的综合考查。高频考点包括通过待定系数法求解析式、分析k、b的几何意义（象限分布与增减性）。重点考查实际情境建模（如行程、最优计费方案）以及与方程组、不等式的图象综合，利用交点坐标解决问题。分段函数、动态面积问题成为压轴题新趋势，突出数学建模与抽象思维。 知识点一 一次函数的定义 形如y = kx + b（k，b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b = 0时，y = kx（k≠0）叫做正比例函数。 【易错警示】 - 形式：y=kx+b，其中k≠0。勿忽略k≠0条件（如y=3是常函数，不是一次函数）。 - 自变量次数：x的次数必须为1，勿将y=kx2+b误认为一次函数。 - 整式：表达式须为整式，y=+2不是一次函数。 即时即练1.下列四个函数中属于一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的定义，掌握定义是解题关键．即一般地，形如，为常数，则是的一次函数，由一次函数的定义可得答案． 【详解】解：A、不是一次函数，故不符合题意； B、是一次函数，故符合题意； C、不是一次函数，故不符合题意； D、不是一次函数，故不符合题意； 故选：B． 2.下列函数关系式中，y是x的正比例函数的是（    ） A． B．     C．    D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义．根据正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．，符合的形式，其中，是正比例函数，符合题意． B．，含常数项1，属于一次函数而非正比例函数，不符合题意． C．，不符合正比例函数的形式，不符合题意． D．，次数为2，不符合正比例函数的定义，不符合题意． 故选：A． 知识点二 一次函数的图象与性质 一次函数y = kx + b的图象是一条直线，可通过两点法（如(0,b)和(- ,0)）画出。当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。b决定直线与y轴的交点(0,b)。 【易错警示】 - k、b的作用：k决定增减性（k>0增，k<0减）和倾斜度；b决定与y轴交点(0,b)。勿混淆。 - 图象位置：k、b符号决定过哪几个象限，可画草图验证，勿死记。 - 两直线关系：k相等b不等则平行；k乘积为-1则垂直，勿记反。 即时即练1.关于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．函数图象经过点 B．随增大而增大 C．图象不经过第二象限 D．将的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移变换、一次函数图象的性质等知识点，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 根据一次函数图象的性质以及平移变换逐项判断即可解答． 【详解】解：A、当时，，故图象不经过，不符合题意； B、一次函数，y随x增大而减小，不符合题意； C、一次函数，，图象经过第一、二、四象限，不符合题意； D、将一次函数的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为，正确，符合题意． 故选：D． 2.关于的一次函数，下列说法： ①若，则函数图象经过第一、二、三象限； ②若函数图象经过原点，则； ③无论为何实数，函数的图象总经过点． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数图象上点的坐标特征；熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的性质即可判断①；把代入即可判断②；把代入解析式求得，即可判断③． 【详解】解：①， 一次函数为， 函数图象经过第一、二、三象限，故正确； ②函数图象经过原点， 且， ，故正确； ③， 时，， 函数的图象总经过，故正确． ∴①②③都正确．正确个数为3， 故选D． 知识点三 一次函数的实际应用 利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立函数模型，再结合图象或性质求解。 【易错警示】 - 自变量范围：根据实际意义确定取值范围（如人数、时间≥0），勿盲目取全体实数。 - 单位统一：单位不一致（千米/米、分钟/小时）时先换算。 - 图象理解：注意横纵轴含义，交点、截距、拐点分别代表什么，勿只看形状。 即时即练1.某学校每个月都有一些复印任务，学校附近有甲、乙两家复印社可供选择，其中甲复印社按每复印100页材料收费40元计费；乙复印社则需先按月支付200元的承包费，再按每复印100页材料收费元计费．已知甲、乙复印社分别复印800页材料时所收总费用相同，甲、乙两复印社（针对该校）每月收费（元）与复印材料页数（页）之间的函数图象如图所示， 据此回答以下问题： (1)乙复印社复印800页材料时收费 元； (2)求乙复印社每月收费（元）与复印材料页数（页）之间的函数关系式； (3)当甲复印社比乙复印社每月收费多50元时，该学校复印材料的页数是 页． 【答案】(1)320 (2) (3)1000 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确求得函数关系式是解答的关键． （1）根据“甲、乙复印社分别复印800页材料时所收总费用相同”求解即可； （2）先由（1）中数据求得a值，再根据乙复印社收费标准列函数关系式即可； （3）求出甲复印社中y与x的函数关系式，根据“甲复印社比乙复印社每月收费多50元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，乙复印社复印800页材料时收费为（元）， 故答案为：320； （2）解：由（1）得，解得， 根据题意，乙复印社每月收费（元）与复印材料页数（页）之间的函数关系式为，即； （3）解：根据题意，甲复印社每月收费（元）与复印材料页数（页）之间的函数关系式为，即， 由得， 故该学校复印材料的页数是1000页． 故答案为：1000． 2.某商店销售一种产品，该产品成本价为8元/件，售价为10元/件，销售人员对该产品一个月（30天）销售情况记录绘成图象．图中的折线表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，若线段表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件． (1)第26天的日销量是______件，这天销售利润是______元； (2)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)销售期间日销售最大利润是多少元？日销售利润不低于660元的天数共有多少天？ 【答案】(1)320；640 (2) (3)720元；8天 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用． （1）根据题意“线段表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件”，已知第22天的销售量，可求第26天的销售量；再根据日利润单件利润 日销售量，求出当天总利润即可； （2）根据点的坐标，利用待定系数法可求出直线、的函数关系式，进而可以判断得解； （3）由函数的图象可得，当时，可求出最高销售量，即可求最大利润；根据日销售量日销售利润每件的利润，可求出日销售量，将其分别代入、的函数关系式中求出x值，将其相减加1即可求出日销售利润不低于660元的天数． 【详解】（1）解：由题意，∵时间每增加1天，日销量减少5件，且第22天的销售量为340件， ∴第26天的日销售是（件）， ∴这天销售利润是（元）， 故答案为：320，640； （2）解：设直线的函数关系式为，将代入， ∴， ∴， ∴直线的函数关系式为； 当，； 当，， ∴过，， 设直线的函数关系式为， ∴， ∴， ∴直线的函数关系式为， 令， 解得， ∴直线和直线的交点坐标为， 综上，y与x的函数关系式； （3）解：由函数的图象可得，当时，日销售为， 此时日销售利润最大为：（元）； 又∵每件利润为：（元）， ∴当销售利润为660元时，销售量为330件， ∴令，则有或， ∴或， ∴日销售利润不低于660元的天数在17到24之间， ∴（天）， ∴日销售利润不低于660元的天数共有8天． 知识点四 一次函数与方程、不等式的关系 1.二元一次方程组与一次函数的关系 1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。 y=0时，x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解 3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. 6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立. 2.利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集 (1)一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合. (2)一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的横坐标所组成的集合. (3)一元一次不等式k1x+b1>k2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象上方的点的横坐标所组成的集合. (4)一元一次不等式k1x+b1<k2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象下方的点的横坐标所组成的集合. 【易错警示】 - 方程：求kx+b=0的解，即图象与x轴交点横坐标，勿与y轴交点混淆。 - 不等式：kx+b>0对应图象在x轴上方的部分，注意不等号方向与上下对应。 - 联立：两函数交点坐标即对应方程组的解，勿解错。 即时即练1.如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于的方程的解是 B．关于的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于，的方程组的解是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点， ∴关于x的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意； 关于x的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； 当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； 关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意； 故选：B． 2.学习一次函数时，我们从“数”和“形”两个方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． 【初步感知】 x … 0 1 2 … … 6 m 2 n 2 4 6 … (1)表格中m的值为________，n的值为________； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． (3)【探究性质】观察函数的图象，判断下面关于该函数图象性质的命题： ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，y的值随x值的增大而增大； ③当时，该函数存在最小值，最小值为0； ④当时，． 其中的正确的是_________．（请填写正确命题的序号） (4)在同一坐标系中画出一次函数的图象，并根据图象直接写出方程组的解_________． 【答案】(1)m的值为4，n的值为0 (2)作图见解析 (3)①②③ (4)作图见解析；， 【分析】（1）分别将和代入求解即可； （2）利用描点法作图即可； （3）根据画出的函数图象分析即可； （4）方程组的解就是两个函数图象的交点坐标，求出交点坐标即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 故； 把代入， 得， 故； （2）解：作图如图： （3）解：由图可知 函数图象关于直线对称，是轴对称图形，故①正确； 由图可知 当时，，随的增大而增大，故②正确； 由图可知当时，取得最小值，故③正确； 当时，，解得或，并非只有，故④错误； 综上，正确的是①②③； （4）解：作图如图： 当时，，解得， 当时，，解得， 方程组的解就是两个函数图象的交点坐标， 因此方程组的解为： 和 ． 题型1 正比例函数与一次函数的识别 例1．下列函数中，是的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的定义，关键是根据定义进行判断；根据正比例函数的定义（形如，其中为常数且），对各选项逐一判断. 【详解】解：∵正比例函数的定义为形如（是常数，）的函数， ∴对各选项分析如下： A选项含有常数项，不符合正比例函数定义； B选项含有常数项，不符合正比例函数定义； C选项中自变量的次数为，不符合正比例函数定义； D选项可表示为，其中，符合正比例函数定义； 故答案选：D． 例2．下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如，（k为常数，）的函数叫做一次函数． 根据一次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A：，x的最高次数为2，不符合一次函数定义； B：，，，符合一次函数定义； C：，k未明确不等于0，故不一定是一次函数； D：，分母有未知数，不符合一次函数定义； 故选：B． 【技巧总结】 1. 看形式：y=kx+b为一次函数；b=0 即y=kx为正比例。 2. 注意条件：k≠0；自变量指数为1。 3. 特殊值：正比例必过原点；一次函数不过原点（b≠0）。 4. 用图像：正比例直线过原点，一次函数与y轴交于(0,b)。 【变式训练1-1】若是关于x的一次函数，则m的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义，函数表达式中的未知数的最高次数为1，且该项系数不为零，列方程求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一次函数， ∴且， 解得， 故选：A． 【变式训练1-2】若函数（m为常数）是正比例函数，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据正比例函数求参数，解题的关键是掌握正比例函数的定义． 根据正比例函数的定义（形如，且为常数的函数），需让原函数的二次项系数为0，同时一次项系数不为0，进而求解的值． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， 由，解得， ∵当时，，满足条件， ∴， 故选：D． 题型2 一次函数的图象和性质 例3．对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数图象经过点 B．函数图象与y轴的交点坐标是 C．函数的图象不经过第一象限 D．函数图象向左平移4个单位得到函数的图象 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，涉及函数上的点、与坐标轴交点、图象经过象限、函数平移等知识点，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】A、当时，，函数图象不经过点，此选项错误，不符合题意； B、当时，，函数图象与轴的交点坐标是，此选项错误，不符合题意； C、在中，，，函数图象经过第一、三、四象限，此选项错误，不符合题意； D、函数图象向左平移4个单位，根据“左加右减”的平移原则，平移后解析式为，此选项正确，符合题意； 故选：D． 例4．关于一次函数的性质及其图象，下列说法正确的是（   ） A．y的值随x值的增大而减小 B．该函数的图象经过第一、二、三象限 C．点一定在函数图象上 D．和是图象上两点，则 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图像与性质，灵活运用一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的增减性、图像经过的象限、点与函数图像的关系逐项判断即可． 【详解】解：∵一次函数为，其中，， ∴A．由，则的值随值的增大而增大，故A错误，不符合题意； B．由，，则该函数图像经过第一、三、四象限，故B错误，不符合题意； C．当时，，即点一定在函数图像上，故C正确，符合题意； D．由，随的增大而增大，且，即，故D错误，不符合题意． 故选C． 【技巧总结】 1. k定方向：k>0直线上升（过一三象限），k<0下降（过二四）。 2. b定交点：与y轴交于 (0,b)，b>0 在上半轴，b<0在下半轴。 3. 求交点：联立方程求与坐标轴或另一函数交点，用增减性比较函数值大小。 【变式训练2-1】对于直线的描述，正确的是（    ） A．y随x的增大而增大 B．经过点 C．图象不经过第二象限 D．与y轴的交点是 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数 （）中 、 对函数图象和性质的影响是解题的关键． 本题可根据一次函数 （）的图象与性质，通过判断斜率 的符号分析函数增减性，代入点的坐标验证直线是否经过该点，结合 、 的符号判断直线经过的象限，代入 求出与 轴交点，进而逐一判断各选项的正误． 【详解】∵直线解析式为，其中， ∴y随x的增大而减小，故A选项错误． ∵当时， ∴直线不经过点，故B选项错误． ∵， ∴直线经过第二、三、四象限，故C选项错误． ∵当时， ∴直线与y轴的交点是，故D选项正确． 故选：D． 【变式训练2-2】下列有关一次函数的说法：①函数图象与y轴的交点为；②当时，y的值随着x增大而增大；③当时，函数图象经过第二、三、四象限．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象与性质．根据一次函数的系数与图象、增减性的关系逐一判断说法的正误． 【详解】解：①∵当时，， ∴函数图象与轴的交点为，故①正确． ②∵一次函数中，当时，的值随值的增大而增大 ∴当时，此函数随增大而增大，故②正确． ③∵当，时，一次函数图象经过第一、二、四象限，故③错误． 综上，正确的是①②． 故选A． 题型3 根据一次函数的图象和性质求解 例5．已知一次函数（、为常数）的图象过，，若，则_______（用“>”或“<”填空）． 【答案】> 【分析】本题考查了一次函数的性质，先判断得出一次函数的系数，结合一次函数的增减性，即可求解． 【详解】解：∵为常数， 故 ∴； ∴随的增大而增大， 故函数图象上的两点，，当时，． 故答案为：>． 例6．一次函数满足，且y随x的增大而增大，则此函数的图像一定不经过第_______象限． 【答案】 二 【分析】根据一次函数的增减性判断k的符号，再结合判断b的符号，最后根据一次函数的图象性质确定函数不经过的象限． 【详解】解：∵一次函数中，随的增大而增大， ∴根据一次函数的性质，可得， ∵， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴此函数的图象一定不经过第二象限． 【技巧总结】 1. 求解析式：用待定系数法，已知两点坐标或一点加斜率。 2. 比大小：k>0时y随x增大而增大；k<0则减小，可直接代入比较。 【变式训练3-1】已知直线经过第一、三、四象限，则a的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围． 【详解】解：∵直线经过第一、三、四象限， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式训练3-2】已知一次函数，其中为常数，且．当时，函数的最小值为，则的值为_____． 【答案】或 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．根据函数的增减性，再由的取值范围得出时，或时，，分别代入函数解析式得出的值即可． 【详解】解：当时，即时，函数随的增大而增大， 当时，， ， 解得：； 当时，即时，函数随的增大而减小， 当时，， ， 解得：； 综上所述，和 故答案为：或6． 题型4 含参数的一次函数图象的共存问题 例7．一次函数与正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能为（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】分别根据一次函数和正比例函数的图象判断k和b的符号，然后进行比较求解即可． 【详解】解：一次函数中，，则一次函数图象y随x的增大而增大，故A、B选项符合，C、D选项不符合， 当时，一次函数与y轴交于正半轴，正比例函数的图象在第一、三象限，A选项符合题意； 当时，一次函数与y轴交于负半轴，正比例函数的图象在第二、四象限，B选项不符合题意． 例8．对于正比例函数，它的函数值随的减小而增大，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正比例函数的增减性，分析出k的正负情况，即可得一次函数的图象经过的象限，即可求解． 【详解】解：正比例函数的函数值随的减小而增大， ， ， 一次函数的图象经过一、二、四象限． 【技巧总结】 1. 分别分析：对各函数判断k、b符号与图象象限的关系。 2. 假设验证：假设一条直线成立，推导出参数范围，再验证另一条是否矛盾。 3. 分类讨论：参数取值分情况画草图，找同时满足的条件。 4. 排除法：利用过象限特征排除错误选项。 【变式训练4-1】一次函数和 ，在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数图象的综合应用，由一次函数图象的分布位置得出的符号，进而得出正比例函数图象的分布位置即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、∵一次函数经过一、二、三象限， ∴，， ∴， ∴正比例函数经过一、三象限，该选项图形错误，不符合题意； 、∵一次函数经过一、三、四象限， ∴，， ∴， ∴正比例函数经过二、四象限，该选项图形错误，不符合题意； 、∵一次函数经过一、三、四象限， ∴，， ∴， ∴正比例函数经过二、四象限，该选项图形正确，符合题意； 、∵一次函数经过一、二、四象限， ∴，， ∴， ∴正比例函数经过二、四象限，该选项图形错误，不符合题意； 故选：． 【变式训练4-2】将一次函数与（、均不为0）的图象画在同一坐标系中，它们的图象可能是（    ） A．  B．C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，一次函数，当时，图象经过第一、二、三象限；当时，图象经过第一、三、四象限；当时，图象经过第一、二、四象限；当时，图象经过第二、三、四象限． 分情况判断是否有图象符合要求即可． 【详解】解：当时，， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，的图象经过第一、三象限，A，B，C，D选项均不符合； 当时，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，的图象经过第二、四象限，A，B，C选项均不符合，D选项符合； 当时，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，的图象经过第二、四象限，A，B，C，D选项均不符合； 当时，， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限，的图象经过第一、三象限，A，B，C，D选项均不符合； 综上所述，它们的图象可能是D． 故选：D． 题型5 含参数的一次函数综合问题 例9．已知一次函数（为常数） (1)当函数是正比例函数时，的值为___________． (2)当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是___________． (3)当时，一次函数的最大值为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）一次函数中，，时，函数是正比例函数，据此列方程求解； （2）一次函数中，，时，函数的图象不经过第一象限，据此列不等式组求解； （3）①一次函数中，时，随的增大而增大，则当时，最大值是，②函数中，时，随的增大而减小，则当时，最大值是，据此列方程求解． 【详解】（1）解：为正比例函数， ， ． （2）解：不经过第一象限， 可得， 解得． （3）解：分两种情况讨论， 当，即，随的增大而增大， 则当，， 可得， 解得； 当，即，随的增大而减小， 则当，， 可得， 解得； 综上或． 例10．已知一次函数（k，b为常数，且），的图像经过点． (1)若，求一次函数的表达式． (2)当时，该一次函数的最大值为8，求k的值． (3)若该一次函数的图像经过第一象限，且，求S的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的图像和性质、待定系数法求解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）一次函数（k，b为常数，且）的图像经过点，得到，再结合得到二元一次方程组求解即可； （2）根据题意可得一次函数y随x的增大而减小，可得当时，，结合一次函数（k，b为常数，且）的图像经过点得到，二元一次方程组求解即可； （3）根据，即，进而得到，再根据一次函数的图像经过第一象限再结合可得，然后确定S的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵一次函数（k，b为常数，且），的图像经过点， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式为：． （2）解：∵， ∴一次函数y随x的增大而减小， ∵当时，该一次函数的最大值为8， ∴当时，， ∵一次函数（k，b为常数，且），的图像经过点， ∴， ∴，解得：． （3）解：根据题意：，即， ∴， ∵一次函数的图像经过第一象限，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【技巧总结】 1. 先定性：确定k正负，判断增减性与过定点。 2. 求交点：联立方程用参数表示坐标，再代入条件列等式。 3. 分类讨论：参数影响象限或位置时，分情况画图求解。 4. 转化条件：将面积、线段比等几何关系转化为含参数的方程或不等式。 【变式训练5-1】已知函数 (1)当时，求x的值； (2)点，在函数图象上， ①当时，求t取值范围； ②记，求m关于t的函数解析式． 【答案】(1)或4 (2)①时，；②． 【分析】（1）依据题意，分①和②时，分别进行讨论计算即可得解； （2）①依据题意，分、和时，分别进行讨论计算即可判断得解； ②依据题意，分、和时，分别进行分析讨论即可计算得解． 【详解】（1）解：当时，令，解得， 当时，令，解得， ∴当时，或4； （2）解：①当，即时，点，都在直线上， 此时y随x的增大而减小，即，不合题意．舍去． 当，即时， ∵，，解得 故满足条件的t的范围：． 当时，点，都在直线上，此时y随x的增大而增大，即，符合题意． 综上所述，当时，； ②当，即时， ∵点，都在直线上，； 当，即时，； 当时，点，都在图象上，． 综上所述，． 【变式训练5-2】研究一次函数时，发现和的取值变化，会带来函数性质的变化． (1)若，且这个一次函数的图像过点． 求和的值； 若，求的取值范围； (2)设函数，（为常数，）． 若函数和同时满足以下三个条件： 条件：随的增大而增大； 条件：当时，； 条件：当时，的最大值为．求的值． 【答案】(1)，；； (2)． 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键． （）根据，则，把代入直线，从而求解； 由得当，；当，，然后通过一次函数的性质即可求解； （）由题意得，当，；当，；可得：，所以，随的增大而减小，所以，；可得，，从而求出的值． 【详解】（1）解：若，则， 把代入直线， 可得， 所以， 所以， 由得，当，；当，； 因为，随的增大而增大， 所以； （2）解：由题意得：， 当，；当，；可得：， 所以，随的增大而减小， 所以，； 可得：，， 所以． 题型6 一次函数与一元一次不等式、方程的综合问题 例11．已知一次函数与的图象如下图所示，其交点的坐标为，直线与轴的交点坐标为，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程组的解是 C．关于x的不等式的解集是 D．的解集为 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的综合问题，两条直线的交点求方程组的解， 先根据直线与x轴的交点求出方程的解判断A，再求出两条直线的交点，并判断方程组的解，说明B；然后根据两条直线的位置求出不等式的解集解答C；最后根据直线与x轴的交点解答D． 【详解】解：∵直线与x轴交于点， ∴方程的解是，， 解得，即， 则A不正确，不符合题意； ∵一次函数与交点为， ∴， 即， ∴方程组的解是， 则B不正确，不符合题意； 关于x的不等式的解集是， 则C正确，符合题意； ∵直线与x轴交于点， ∴的解集是， 则D不正确，不符合题意． 故选：C． 例12．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．方程组的解是 D．不等式组的解集是 【答案】C 【分析】本题考查一次函数和方程，一次函数与不等式，利用数形结合的思想，进行求解，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，直线与直线的交点为； ∴方程，即方程的解为；故选项A正确； 不等式的解集为，不等式的解集为，故不等式和不等式的解集相同；故选项B正确； 方程组的解集为，故选项C错误； 把代入，得，解得， ∴， ∴当，解得， ∴不等式组的解集是；故选项D正确； 故选C． 【技巧总结】 1. 看交点：两函数图像交点的横坐标即方程的解。 2. 分高低：图像在上方对应函数值大，下方则小，写对应x范围。 3. 找临界：不等式边界即方程的解，结合图像增减性确定不等号方向及区间。 【变式训练6-1】如图，一次函数为常数，且的图象与直线都经过点，当时，的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，会根据一次函数图象写出不等式的解集． 根据图象，确定的图象在图象下方的自变量取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数为常数，且的图象与直线都经过点， ∴时，， 故答案为：． 【变式训练6-2】如图，直线与x轴交于点，直线与y轴交于点，与直线交于点C． (1)求k，b的值； (2)关于x，y的方程组的解为 ； (3)若直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，求直线被，所截得的线段长． 【答案】(1)， (2) (3)3或9 【分析】（1）依据题意，由直线与x轴交于点，则，可得k的值，又直线与y轴交于点，故，则，从而得解； （2）联立方程组，解方程组，进而可以得解； （3）根据直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，分两种情况求出结果即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点， ∴，解得：， ∵直线与y轴交于点， ∴， 解得：； （2）解：由题意，结合（1）联立方程组， 解得：， ∴方程组的解为． （3）解：由题意，∵直线平行于x轴，且到x轴的距离为1， ∴令，则；，则， 故直线被，所截得的线段长为； 令，则；，则， 故直线被，所截得的线段长为； 答：直线被，所截得的线段长为3或9． 题型7 一次函数的实际应用问题 例13．学校有1100本作文本需要打包发放，现有A、B两种型号的箱子可供选择．已知1个型箱子和2个型箱子装满后可打包500本作文本，2个型箱子和1个型箱子装满后可打包400本作文本．学校计划同时使用两种箱子一次打包完毕，且恰好每个箱子都装满作文本． (1)每个型箱子和型箱子分别能装多少本作文本？ (2)若型箱子每个3元，型箱子每个5元，共有几种打包方案？哪种方案费用最少？ 【答案】(1)每个型箱子能装100本作文本，每个型箱子能装200本作文本 (2)共有5种打包方案，型箱子1个，型箱子5个，费用最少，为28元 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）设每个A型箱子能装本作文本，每个B型箱子能装本作文本，根据题意列方程组求解即可； （2）设需要A型箱子个，B型箱子个，费用为元，根据题意可得到，进而由a、b为正整数求得a、b的值，再得到，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每个A型箱子能装本作文本，每个B型箱子能装本作文本， 根据题意，得，解得， 答：每个A型箱子能装100本作文本，每个B型箱子能装200本作文本； （2）解：设需要A型箱子个，B型箱子个，费用为元 由题意， 为正整数 ∴或或或或 随增大而减小 ∴当时，取得最小值，此时 答：共有5种打包方案，A型箱子1个，B型箱子5个，费用最少，为28元． 例14．某电脑公司经销甲种型号电脑，受市场经济影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1200元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为96000元，今年销售额只有72000元． (1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元？ (2)为了提高收入，电脑公司决定增加经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于49000元且不少于48000元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？ (3)如果乙种电脑每台售价为3800元，为扩大乙种电脑的销量，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金元，要使（2）中所有方案获利相同，值应是多少？ 【答案】(1)每台售价3600元 (2)共有3种进货方案 (3)700 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，函数关系式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意． （1）设今年三月份甲种电脑每台售价元，则去年每台元，然后由卖出相同数量的电脑，去年销售额为96000元，今年销售额只有72000元列出方程求解即可； （2）设购甲种电脑台，则乙种电脑台，然后由甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于49000元且不少于48000元的资金购进这两种电脑共15台，列出不等式求解即可得到答案； （3）设甲种电脑n台，总获利为元，然后根据题意求出关系式，再由使（2）中所有方案获利相同，求解即可． 【详解】（1）解：设今年三月份甲种电脑每台售价元，则去年每台元， 依题意，得：， 解得：． 经检验，是方程的解，且符合题意． 答：今年三月份甲种电脑每台售价3600元； （2）解：设购甲种电脑台，则乙种电脑台， 依题意，得：， 解得：． 为正整数， ，，， 共有3种进货方案． 答：共有3种进货方案； （3）解：设甲种电脑台，总获利为元． 则 ， 要使（2）中所有方案获利相同， 的结果与无关， ， ． 答：的值为700． 【技巧总结】 1. 建模型：设变量，根据题意列一次函数解析式，明确定义域。 2. 代临界：方案选择、最值问题，代入端点值或联立方程求交点比较。 3. 看增减：利用 \(k\) 正负判断最优方案（最大或最小）。 4. 统一单位：注意时间、距离等单位的统一。 【变式训练7-1】李华步行去离家1200米的学校上学，出发十分钟后爸爸发现李华的数学作业落在家里了，便骑车追赶李华，图中分别表示了两人离家的路程y（米）与李华出发时间t（分钟）之间的关系． (1)李华步行的速度为______，爸爸骑车的速度为______； (2)求出的函数表达式并解释该表达式中一次项系数的实际含义． (3)请计算爸爸能否在李华到达学校前追上李华？ 【答案】(1)60米/分，180米/分． (2)，爸爸骑车的速度为180米/分． (3)能追上 【分析】本题主要考查了函数图像、求函数解析式、一次函数的实际应用等知识点，从函数图像上获取所需信息是解题的关键． （1）根据速度等于路程除以时间并结合图像可得点A、点B表示的实际意义列式计算即可； （2）先利用待定系数法求得函数表达式，由（1）爸爸的骑车速度即可确定一次项系数的实际意义； （3）先求得的函数表达式，与函数表达式联立求得相遇时间，再求出李华的行走距离，然后与1200比较即可解答． 【详解】（1）解：李华步行的速度为米/分， 爸爸骑车的速度为米/分， 故答案为：60米/分，180米/分． （2）解：由题意设的表达式为， ∵当时，；当时，． ∴，解得：， ∴的表达式为． 由（1）可得：爸爸骑车的速度为180米/分． 所以该表达式中一次项系数的实际含义为爸爸骑车的速度为180米/分． （3）解：由题意设的表达式为， ∵当时，， ，解得：， ∴的表达式为， 当时，解得：， 把代入，得：， ， ∴能追上． 【变式训练7-2】某商场要印制商品宣传材料，经过市场调研，甲、乙两印刷厂正在搞活动，决定选择其中的一家进行印制．设印刷厂的收费为（元），印制数量为（份）． 甲印刷厂的收费标准是：每份材料收元，不收制版费，若印制满4000元，可以享受折扣，超过的部分每份材料收元．此时与的函数关系如图所示． 乙印刷厂收费标准是：每份材料收元印制费，另收元制版费，此时与的关系如下表所示． 印制数量（份） 0 1000 2000 3000 4000 收费（元） 1500 2500 3500 4500 5500 (1)在直角坐标系中描出表中数据对应的点，画出乙印刷厂关于的函数图象，并判断函数类型． (2)求乙印刷厂关于的函数表达式． (3)对于的取值情况进行分析，试说明在哪一印刷厂印制宣传材料比较便宜． 【答案】(1)一次函数，图象见解析 (2) (3)当时，在甲厂印制便宜；当时，在甲乙两厂印制费用一样；当时，在乙厂印制便宜；当时，在甲乙两厂印制费用一样；当时，在甲厂印制便宜 【分析】题目主要考查一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，理解题意，熟练掌握是解题关键． （1）根据题意画图判断即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据题意先得出甲厂的函数解析式，然后再分情况分析，结合图象即可求解． 【详解】（1）解：根据图象得：乙印刷厂关于的函数为一次函数； （2）根据图象观察乙印刷厂提出的费用方案，其函数图象过，． 设，分别将，代入得： ，解得， ∴； （3）根据题意，当在甲厂印刷时，份， ∴当时，； ∴， 解得：， ∴当时，在甲厂印制便宜；当时，在甲乙两厂印制费用一样；当时，在乙厂印制便宜； 当时，； ∴， 解得：， 结合图象得：当时，在乙厂印制便宜；当时，在甲乙两厂印制费用一样；当时，在甲厂印制便宜． 综上可得：时，在甲厂印制便宜；当时，在甲乙两厂印制费用一样；当时，在乙厂印制便宜；当时，在甲乙两厂印制费用一样；当时，在甲厂印制便宜． 题型8 一次函数中的折叠问题 例15．一次函数的图像与轴、轴分别相交于点和点．点在线段上，如图，将沿折叠后，点恰好落在边上点D处． (1)求直线的表达式； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠与勾股定理，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行列式计算，得出直线的表达式为， （2）先得出，再结合折叠性质得，，运用勾股定理列式计算，得，即可得的长． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与轴、轴分别相交于点和点． ∴， 解得， ∴直线的表达式：． （2）解：∵点和点． ∴， 则， ∵将沿折叠后，点恰好落在边上点D处． ∴，，， 则，， ∴， 故在中，， ∴， 解得， 则． 例16．如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查坐标与图形，勾股定理解三角形，翻折的性质，确定一次函数解析式及一次函数的性质，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）根据题意得出，再由勾股定理及折叠的性质求解即可； （2）设，根据折叠的性质，得，，根据勾股定理确定点M的坐标，再利用待定系数法计算解析式即可． （3）根据题意作出相应草图，结合图象得出，代入一次函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在点处， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）设， 根据折叠的性质，得，， 由（1）得， ∵， ∴， 解得， 故， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． （3）由（1）得：， ∴直线与直线的交点在直线的左侧， 如图所示： 当时，， ∴， ∵直线与直线的交点在直线的左侧， ∴直线经过点N时恰好是临界点， ∴， 解得：， ∴t的取值范围为． 【技巧总结】 1. 找对称点：折叠即轴对称，点关于折痕对称，利用中点坐标与垂直斜率关系。 2. 设未知点：设对称点坐标，根据中点在折痕上、连线与折痕垂直列方程组。 3. 求解析式：联立解出对称点，再求新直线方程。 4. 注意折痕：可为 x 轴、y 轴或任意直线。 【变式训练8-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点是轴上一点，连接，若的面积为，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，将沿折叠，点的对应点为点，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或； (3)点的坐标为 【分析】本题考查运用待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象和性质等，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解． （1）利用待定系数法求解； （2）设点的坐标为，则，根据三角形面积公式可列式求解即可； （3）根据折叠的性质可得结论． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 将，代入， 得， 解得， 所以直线的函数表达式为； （2）解：设点的坐标为， 则， 因为的面积为， 所以， 即， 解得或， 所以点的坐标为或； （3）解：当点的坐标为时，点的坐标为； 当点的坐标为时，点的坐标为 【变式训练8-2】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点、，是线段上一点，将沿着折叠，点落在点，连接． (1)求直线的函数解析式； (2)若点正好落在线段上，求点的坐标； (3)若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、勾股定理的运用、面积的计算等，分类求解是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）由，即，即可求解； （3）若，即，则，进而求解； 【详解】（1）解：将、代入直线得：， 解得， ∴； （2）解：如图， ∵、， ∴， ∴， 由折叠得：． ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接交于点， 由翻折可得：≌，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴直线的表达式为：， 延长到，使，作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理，直线的表达式为：， 联立： 解得：， ∴， ∵， ∴． 题型9 一次函数与几何图形的综合问题 例17．如图，已知直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点和点，且两直线交于点点坐标为． (1)求的值． (2)在轴上是否存在一点，使得与面积相等？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． (3)直线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定． （1）将代入，得出，再代入，即可求解； （2）由（1）可得的解析式为，进而求得，设交轴于点，得出，进而求得面积为，根据与面积相等得出，即可求解； （3）根据，将绕点逆时针旋转得到，得到等腰直角三角形，连接，过点作轴，过点作交于点，过点作交于，则为的交点，证明，求出，直线与直线的交点为；点关于点的对称点，则直线与直线的交点为另一个． 【详解】（1）解：依题意，将代入，得 ∴ 将代入得， 解得：； （2）解：由（1）可得的解析式为， 当时，，解得： ∴ 如图，设交轴于点， 当时，， ∴ ∴ ∵直线与轴交于点， 当时，，则 ∴， ∴ ∵， ∴ ∵与面积相等 ∴ 解得： ∵ ∴或 （3）存在点，使得，理由如下； 将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作轴，过点作交于点，过点作交于，则是等腰直角三角形， ∴为的交点 ，， ， ， ， ， ， ，， ， 直线与轴交于点 当时，，解得 设直线的解析式为，代入得 解得： 直线的解析式为， ， 同理可得直线的解析式为， 解得： 设关于的对称点为， 的中点为， 即 同理可得直线的解析式为 解得： ∴ 综上所述，或 例18．如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，且，过点的直线与直线交于点，动点，都在线段上（，不与、重合，与不重合），且，以为边在轴下方作正方形，设，正方形的周长为．    (1)求直线的函数解析式； (2)当时，正方形的面积为_______； (3)求与之间的函数关系式； 【答案】(1)； (2)16 (3) 【分析】本题考查一次函数的综合及正方形的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求得正方形的边长，即可求得正方形的面积； （3）分当和时，两种情况讨论，用分别表示出的长，利用正方形的周长公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴点， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得， ∴直线的函数解析式为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积为， 故答案为：16； （3）解：当时，如图，    ∵， ∴， ∴正方形的周长为； 当时，如图，    ∵， ∴， ∴， ∴正方形的面积为； 综上，． 【技巧总结】 1. 求关键点：联立函数与几何边界（如坐标轴、线段端点）得交点坐标。 2. 用几何性质：全等、相似、勾股定理、面积公式转化条件为方程。 3. 分类讨论：动点位置、图形形状变化时分情况画图求解。 4. 设参数：用动点坐标表示线段长，列方程。 【变式训练9-1】如图，已知直线与直线相交于点C，分别交x轴于A、B两点．矩形的顶点D、E分别在直线上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合． (1)方程组的解是______； (2)求的面积； (3)求点E的坐标； (4)若矩形从B点出发，沿x轴的反方向平移2个单位长度，写出此时矩形与重叠部分的面积S的值． 【答案】(1) (2)36 (3) (4)20 【分析】本题考查一次函数的交点问题，解二元一次方程组，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积公式，掌握相关知识点是解题的关键． （1）解方程组即可； （2）根据（1）中方程组的解求得交点C的坐标，分别令直线的解析式中，求出x的值，从而得出点A、B的坐标，再结合点C的坐标利用三角形的面积公式即可求出的面积； （3）把代入直线的解析式即可求得D点的坐标为，然后把代入直线的解析式即可求得点E的坐标； （4）利用，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：， 得： ， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 所以方程组的解是； 故答案为：； （2）解：由（1）可知交点C的坐标为． 令直线中，，则，解得， ∴； 令直线中，，则，解得， ∴． ∴． （3）解：∵点G与点B重合， ∴， ∵四边形是矩形， 把代入直线得， ∴， 把代入得，解得， ∴； （4）解：∵， ∴， 矩形从B点出发，沿x轴的反方向平移2个单位长度，此时矩形与重叠部分为五边形，如图， ∵， ∴， 当时，， 当时，， ∴， ∴． 【变式训练9-2】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，点C在x轴正半轴上，对角线交y轴于点M，边交y轴于点H．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线向终点C运动． (1)求点B的坐标． (2)求对角线所在直线的解析式． (3)设动点P的运动时间为t秒，连接的面积为S，请用含t的式子表示S； (4)当时，直线上是否存在点N，使．若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)y (3) (4)存在，或 【分析】（1）由点A坐标可得，，由勾股定理可得，根据菱形的性质可得边长为10，据此即可求解； （2）利用待定系数法求直线解析式即可； （3）分两种情形：如图中，时，如图中，时，分别求解即可； （4）根据题意可得，过点N作轴交于点Q，求出，结合面积得到即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设直线 的解析式为， 把代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：； （3）解：连接，如图中，当时， ∵对角线交y轴于点M， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图中，当时， ∵， ∴， 又， ∴在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴综上所述，； （4）存在点N，如图4所示： 当时，点P在上运动， ∴， ∵， ∴， 过点N作轴交于点Q， 设直线的解析式为，把代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 设， ∴， ∴ 解得：， ∴N点的坐标为或． 1．下列关于的函数中，是正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正比例函数的形式为（为不等于的常数）据此判断即可． 【详解】解：A、不属于的形式，不是正比例函数， 故该选项错误； B、属于的形式，是正比例函数， 故该选项正确； C、不属于的形式，不是正比例函数， 故该选项错误； D、不属于的形式，不是正比例函数， 故该选项错误． 2．对于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．随的增大而减小 B．它的图象与轴交于点 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】D 【分析】根据一次函数的增减性，图象与坐标轴交点求法，象限分布规律，逐个判断选项即可． 【详解】解：A. ∵一次函数中，，∴随的增大而增大，故A错误； B.令，则，解得，∴它的图象与轴交于点，故B错误； C.当时，，即，故C错误； D．∵，，∴它的图象经过第一、二、三象限，故D正确．故选：D． 3．若一次函数 的图象与y轴交点在x轴的上方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是(     ) A． B． C． D．a为任意实数 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，结合题目给出的两个条件，分别列出关于的不等式，求解后取交集即可得到的取值范围． 【详解】解：对于一次函数 ， ∵随的增大而减小， ∴ ， 解得 ． 又∵函数图象与轴交点在轴上方， 当时， ，交点在轴上方即， ∴， 解得 ． ∴ ． 4．如图，一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象经过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象的上下位置关系确定不等式的解集即可． 【详解】解：观察图象可知，当时，直线在直线的下方， 不等式的解集为． 5．某生物小组观察一植物生长，得到的植物高度（单位：厘米）与观察时间（单位：天）的关系如图所示（是线段，直线平行于轴）．下列说法中错误的是（     ） A．从开始观察时起，50天后该植物停止长高 B．该植物最高为 C．线段的函数表达式为 D．第40天，该植物的高度为 【答案】B 【分析】根据直线平行于x轴可判断A；利用待定系数法求出当时，y与x的函数表达式可判断C；求出时的函数值即可判断B；求出时的函数值即可判断D． 【详解】解：A、∵直线平行于x轴， ∴50天后该植物的高度没有发生变化， ∴从开始观察时起，50天后该植物停止长高，原说法正确，不符合题意； C、设当时，y与x的函数表达式为， 则， ∴， ∴当时，y与x的函数表达式为，原说法正确，不符合题意； B、在中，当时，， ∴该植物最高为16厘米，原说法错误，符合题意； D、在中，当时，， ∴观察第40天，该植物的高度为14厘米，原说法正确，不符合题意； 6．已知函数是关于的一次函数，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义可得的指数为1，且求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴且 ∴． 7．如图，直线与直线：相交于点．则关于x，y的方程组的解是______． 【答案】 【分析】先求出两直线的交点坐标，再由两函数图象的交点的横纵坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线与直线：相交于点 ∴将点代入得，， ∴， 而与可变形为和， ∴方程组的解是． 8．新定义：为一次函数（为实数）的“关联数”．若“关联数”所对应的一次函数是正比例函数，则的值是___________． 【答案】5 【分析】根据新定义写出对应一次函数，利用正比例函数的定义得到常数项为，列方程求解即可得到的值． 【详解】解：根据新定义可知，“关联数”对应的一次函数为 ，其中，符合一次函数定义． ∵该一次函数是正比例函数， ∴， 解得：． 9．如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和点的坐标得出和的长，利用折叠性质得到的长，在中利用勾股定理求出的长，进而求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，令即可求出点的坐标． 【详解】解：四边形是矩形，点， ，， 由折叠可得，， 在中，， ，即点坐标为， 设直线的解析式为， 代入、得，， 解得， ∴直线解析式为， 是直线与轴的交点， ∴令，得， 的坐标为． 10．已知一次函数，其中为常数，且．当时，函数的最小值为，则的值为______． 【答案】或 【分析】根据一次项系数的符号分情况讨论函数的增减性，结合的取值范围确定最小值对应的自变量取值，代入一次函数解析式求解即可． 【详解】解：当，即时，随的增大而增大， 当时，取得最小值， 代入解析式得 ， 解得，符合； 当，即时，随的增大而减小， 当时，取得最小值， 代入解析式得 ， 解得，符合； 综上所述，的值为或 故答案为：或． 11．已知一次函数． (1)若随的增大而增大，求的取值范围； (2)若，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是 【分析】（1）根据一次函数的图象及性质可得，解不等式即可； （2）由得：，当时，，当时，，根据随的增大而增大，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）解：∵， ， 当时，， 当时，， ∵随的增大而增大， ∴当时，求的取值范围为：． 12．已知：与成正比例，且当时，y的值为4． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若点、点是该函数图象上的两点，其中，试比较、的大小，并说明理由； (3)将所得的函数图象平移，使它经过点，求平移后的函数解析式． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）设，再将，代入计算即可得出结果； （2）由（1）可得，由，得出随着的增大而增大，由一次函数的性质即可得出结果； （3）设平移后的函数解析式为，将代入解析式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， ∵当时，y的值为4， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）可得， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵点、点是该函数图象上的两点，且， ∴； （3）解：设平移后的函数解析式为， 将代入解析式可得， 解得， ∴平移后的函数解析式为． 13．为深入推进“书香校园”建设，营造浓厚读书氛围，某学校决定于5月中旬举办“校园读书节”，现需采购，两种图书．已知购买2本种图书和3本种图书共需170元，购买4本种图书比购买5本种图书多10元． (1)求，两种图书的单价； (2)该校计划购买，两种图书共50本，且种图书的数量不超过种图书数量的一半，通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少，并计算最少费用． 【答案】(1)种图书单价为元，种图书单价为元 (2)购买种图书本，种图书本时所需费用最少，最少费用为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题中的等量关系，不等式关系以及函数关系，正确表示出来． （1）设，两种图书的单价分别为，元，根据题意，列出二元一次方程组，求解即可； （2）设购买种图书为本，所需费用为元，则种图书为本，根据题意列出不等式以及函数关系，求解即可． 【详解】（1）解：设，两种图书的单价分别为，元，由题意可得， ，解得， 答：种图书单价为元，种图书单价为元； （2）解：设购买种图书为本，所需费用为元，则种图书为本， 根据种图书的数量不超过种图书数量的一半可得，，解得， 由题意可得，， ∵， ∴随的增大而增大， 又∵，且为整数， ∴当时，最小，为元，此时购买种图书为本， 答：购买种图书本，种图书本时所需费用最少，最少费用为元． 14．直线经过和与直线：交于点P，直线，与x轴，，分别交于点A，B，C． (1)求直线解析式； (2)将直线向上平移4个单位得直线，直接写出直线的解析式； (3)①若点B，C关于点A对称，求n值； ②若直线与直线，不能围成三角形，直接写出n值． 【答案】(1)直线解析式为； (2)直线的解析式为； (3)①；②． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据平移的性质即可求解； （3）①求得，，根据题意得，据此计算即可求解； ②由题意知直线经过交点，联立求得点的坐标，据此求解即可． 【详解】（1）解：设直线解析式为， 将和代入得， 解得， ∴直线解析式为； （2）解：将直线：向上平移4个单位得直线， 则直线的解析式为； （3）解：①由题意得，， ∵点，关于点对称， ∴， 解得； ②∵直线与直线，不能围成三角形， ∴直线经过交点， 联立得， 解得， ∴当时，直线与直线，不能围成三角形． 15．如图，已知一次函数的图象分别与轴，轴交于点，． (1)如图1，当时，以为边在第一象限构造正方形，连接，，求直线和的表达式； (2)如图2，当时，以为边在第二象限构造正方形，连接，求的面积； (3)若，点在正比例函数的图象上，且，直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为；直线的表达式为 (2) (3)， 【分析】（1）先求出的坐标，作轴，作轴，求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的坐标，作轴，进而求出点的坐标，再利用面积公式进行计算即可； （3）分2种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：当时，， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， 作轴，作轴，则， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为； 同理：， ∴， ∴， ∴， 同法可得直线的表达式为； （2）解：∵的图象分别与轴，轴交于点，， ∴当时，， ∴， ∴， 作轴， 同（1）法可得：， ∴， ∴的面积； （3）解：连接， 当，则， 同（1）法：，， 直线的解析式为， ∵正方形， ∴，， ∴点为直线与直线的交点， 联立，解得； ∴； 延长至点，使，连接，则， ∴， ∴当点为直线与直线的交点时，也满足题意， ∵，，， ∴， 此时点恰好在上，即点与点重合； ∴， 综上：或. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $