专题04 特殊平行四边形中折叠、最值、新定义型问题（暑假复习讲义）新九年级数学新教材人教版

专题04 特殊平行四边形中折叠、最值、新定义型问题 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 特殊平行四边形中折叠问题 题型2 特殊平行四边形中最值问题 题型3 特殊平行四边形中新定义型问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 折叠：求折痕长、对应点位置，利用勾股列方程。 2. 最值：将军饮马模型求线段和最小值，动点路径长。 3. 新定义：理解定义（如“等邻边四边形”），判定形状或计算，考查迁移能力。 1. 折叠问题：从简单求角度转向利用轴对称性质构造方程，重点考查矩形折叠中通过勾股定理求折痕或对应线段长度，常与中点、三等分点结合设置多解情况。 2. 最值问题：强化“将军饮马”模型在菱形、正方形中的应用，求两线段和的最小值；同时开始渗透利用“垂线段最短”求动点到某边距离的最值。 3. 新定义型问题：以“等邻边四边形”、“半角四边形”等新概念为背景，综合考查矩形对角线相等、菱形对角线垂直等性质的现场应用与逻辑迁移能力，成为区卷压轴题新趋势。 考情解码：根据2026年新教材考情，特殊平行四边形中的折叠、最值及新定义问题成为压轴题的“三驾马车”。折叠问题本质是轴对称变换，高频考查利用勾股定理或等面积法求折痕或线段长。最值问题常结合“将军饮马”模型求动点路径和最小值。新定义型问题通过定义“对边四边形”等新概念，综合考查矩形的对角线性质与菱形的判定，对学生现场学习与迁移能力要求较高。 知识点一 特殊平行四边形中折叠问题 （1） 核心折叠本质：轴对称变换 1. 折叠前后对应边相等、对应角相等、全等；折痕是对应点连线的垂直平分线。 2. 常见隐含条件： - 出现等腰三角形：折叠后重合边相等，形成等角对等边； - 直角构造：矩形折叠多出现Rt△，用勾股列方程（折叠高频考法：设未知数x，剩余边长用边长-x表示）。 （2） 分图形常考模型 1. 矩形折叠 1 沿顶点折：一角落在对边上→直角+勾股方程； 2 沿对角线折→出现等腰三角形（重合部分为等腰△）； 3 沿中线/边上动点折叠→设边长列勾股。 2. 菱形折叠：利用四边相等+对角线垂直，折叠后结合30°/60°特殊直角三角形。 3. 正方形折叠：边角都是90°，常伴半角模型（45°折叠）、全等转化。 （3） 易错点 折叠后落点分落在边上/内部/外部多解情况，容易漏解。 【易错警示】 - 对应关系：折叠前后对应边相等、对应角相等，勿错配对应顶点。 - 勾股定理：设未知数，用折叠后构造的直角三角形列方程，勿忘平方。 - 重合条件：折痕是对应点连线的中垂线，勿忽略垂直平分性质。 即时即练在四边形中，，，，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． (1)若为线段上一点． ①如图1，当点落在边上时，求的长； ②如图2，连接，若，则与有何数量关系?请说明理由； (2)当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】(1)①4；②，理由见详解； (2)5或或20或10 【分析】（1）①利用折叠性质和勾股定理求，进而得；②通过平行线和折叠性质推导与的关系； （2）分直角情况，结合勾股定理列方程求解． 【详解】（1）解：①由题意可知，， 在中，，， 则 因为， 所以； ② 由题意可知，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵（翻折性质）， ∴， ∴； （2）第一种可能： 当点在上并且时： 即为直角三角形， 设，则， 由①， ∵， ∴ 解得，即， 第二种可能： 当点在上时： 折叠性质可知， ∴, ∴为直角三角形 ∵，, ∴ 设, ∵ ∴ 解得 第三种可能： 当点在延长线上时, 使为直角三角形，则点在延长线上， ∵，， ∴在中, 则， 由折叠性质得 设则 ∵在中 ∴ 解得，即 第四种可能： 当点在延长线上并且时，为直角三角形， 此时由折叠性质得 又∵ ∴四边形为正方形 ∴ 所以的长为5或或20或10． 知识点二 特殊平行四边形中最值问题 1. 最短路径（将军饮马，高频） 原理：两点之间线段最短、垂线段最短，利用轴对称找点对称，化折线段为直线段。 - 动点在矩形/菱形边上运动，求PA+PB最小：作定点关于动点所在直线对称点，连线长即最小值。 2. 线段最值（定点+动点） （1）直角三角形斜边中线定值模型：直角顶点在定直线运动，斜边固定，则斜边中线为定值； （2）圆轨迹（隐圆）最值：动点到定点距离不变→动点在圆上，利用点到圆距离：最远=圆心距+半径，最近=圆心距−半径； 常见：正方形/矩形中，固定角、定边长，动点轨迹成圆。 （3）垂线段最短：求某线段最小值，作垂线。 3. 面积最值 特殊平行四边形内动点，底固定→高最大/最小决定面积最值；常结合二次函数（坐标系题型）。 4. 坐标系下最值：结合一次函数、坐标运算。 【易错警示】 - 模型识别：常用“将军饮马”（对称点化折为直）或垂线段最短，勿乱用。 - 动点范围：注意动点是否在边、对角线或延长线上，范围不同最值可能变化。 - 转化思想：将所求线段通过对称或平移转化为共线或垂直，勿直接猜端点。 即时即练综合与实践 问题背景 如图，在菱形中，连接，，． 初步探究 （1）菱形的面积为 ． （2）如图1，若E，F分别是，上的动点，且，过点E作，过点F作，垂足分别为点G，点H，求的值． 拓展延伸 （3）如图2，P是上的动点，连接． ①的最小值为 ； ②如图3，Q是上的动点，连接，且，求的最小值．          【答案】（1）24；（2）4；（3）①；② 【分析】（1）连接，交于点O，根据菱形的性质得出，，，根据勾股定理求出，最后求出结果即可； （2）连接，交于点O，过点E作于点K，证明，得出，即可得出，求出结果即可； （3）①过点A作于点，根据垂线段最短，得出的最小值为的长，根据菱形面积求出结果即可； ②在的延长线上截取，连接，．证明，得出，根据当点A，点P，点R在同一条直线上时，有最小值，即的最小值为的长，过点A作于点T，根据勾股定理求出． 【详解】解：（1）连接，交于点O，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）如图1，连接，交于点O，过点E作于点K． ∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴四边形是矩形 ∴ ∵， ∴， ∵， ∴，即． ∵， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值为4． （3）①如图2，过点A作于点， ∵垂线段最短， ∴的最小值为的长， 由（1）可知菱形的面积为24， ∴， 即， 解得： ， ∴的最小值为． ②如图3，在的延长线上截取，连接，． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点A，点P，点R在同一条直线上时，有最小值， 即的最小值为的长， ∴的最小值为的长 过点A作于点T， 由①易知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 知识点三 特殊平行四边形中新定义型问题 1. 核心思路：现场读懂新定义（新四边形、新运算、新特征），套特殊平行四边形原有性质 常见新定义：准菱形、等邻边四边形、垂等四边形、完美矩形等。 2. 用到的知识点分类 （1）判定类：根据新定义条件，结合矩形/菱形/正方形判定定理证明图形； （2）计算类：新定义给出边角关系→勾股、全等、特殊角计算边长周长； （3）探究存在性：是否存在动点构成新定义图形→设未知数、列方程求解。 3. 隐含考点：分类讨论（边长不等、动点位置不同多解） 【易错警示】 - 理解定义：圈画关键条件（边、角、对角线、数量关系），勿凭感觉套用旧概念。 - 举例验证：先构造特殊图形（如正方形）理解定义，再推广到一般情形。 - 性质转化：将新条件转化为熟悉的边角关系，勿死记硬背。 即时即练定义：若四边形有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形定义为“郡外四边形”．    (1)如下：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，一定是“郡外四边形”的是：______． (2)如图点P是正方形对角线上一点，点O是线段中点，点E是射线上一点，且，连接． ①如图1，当点P在线段上时，求证：四边形为“郡外四边形”； ②如图2，当点P在线段上时，试用等式来表示的数量关系，并证明． 【答案】(1)正方形 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据“郡外四边形”定义求解即可； （2）①通过证明可得，由得出，证出即可；②从两方面分析：当点E与点C重合时，点P恰好在中点处，此时，；当点E在的延长线上时，连接，由，得，由正方形性质可得，利用勾股定理即可证明． 【详解】（1）解：平行四边形：相等邻边的夹角不是直角，故平行四边形不是“郡外四边形”； 矩形：没有一组邻边相等，故矩形不是“郡外四边形”； 菱形：相等邻边的夹角不是直角，故菱形不是“郡外四边形”； 正方形：有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，故正方形是“郡外四边形”； （2）证明：①∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由四边形内角和为， ∴， ∵， ∴， ∴且， ∴四边形为“郡外四边形”； 证明：② ； ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （i）当点E与点C重合时，点P恰好在中点处，此时，， 则由勾股定理有：； （ii）当点E在的延长线上时，如图，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接，如图，    ∵且， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴； 综上，有． 题型1 特殊平行四边形中折叠问题 例1．如图，四边形是矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，把矩形沿折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】先证明，由勾股定理可求，由面积法可求的长，即可求解． 【详解】解：设与交于点，作于点， 点的坐标为，点的坐标为， ，， 四边形是矩形， ， ， 由翻折变换的性质可知，， ， ， 在中，设，则， 由勾股定理得， 解得，即， ， 在中，，， 由得， ， 在中，由勾股定理得， ， 点的坐标为， 故答案为：． 例2．如图，在菱形中，，E是上一点．将沿折叠后得到，若，则折痕的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质及菱形的性质．过点C作交AB的延长线于点G，由，且根据折叠的性质可知，可得．再在菱形ABCD中，，可得出，可得，再求解即可． 【详解】解：如图，过点C作交的延长线于点G， ∵，且根据折叠的性质可知， ∴． ∵在菱形中，， ∴， ∴， 在中，． 故答案为：． 【技巧总结】 1. 找等量：折叠前后边、角相等，设未知数表示线段。 2. 构直角三角形：折痕为对称轴，利用勾股定理列方程。 3. 巧用性质：矩形中折叠得等腰三角形；正方形中折叠常用全等或勾股。 4. 求折痕长：作垂直或建坐标系求解。 【变式训练1-1】综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】操作一： 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． （1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，则 ① ____________°； ②线段之间的数量关系为_______________． 【深入探究】操作二： 如图2，将∠C沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接． 同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． （2）小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论，请判断该结论是否成立，并说明理由． 【拓展应用】 （3）若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，直接写出线段的长． 【答案】（1）①45；②；（2）结论成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）①由正方形的性质得出，由折叠的性质可得：，，即可求解； ②由折叠的性质即可求解； （2）根据正方形的性质和折叠的性质得到是等腰直角三角形，再根据全等三角形的判定和性质求解即可； （3）证明是等腰直角三角形，求出，再由含角的性质以及勾股定理求解，然后设，则，在中，，代入数值计算，解得，由（2）得，则． 【详解】解：（1）①∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴，即； ②由折叠的性质可得：，， ∵， ∴； （2）结论：成立，理由如下： 将沿所在直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵点落在折痕上， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 设， 则， 在中，， ∴， 则， ∴， 由（2）得， ∴． 【变式训练1-2】如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿边，向点运动，，关于直线的对称点分别为，，连接． （1）如图，当在边上且时，的度数是 ． （2）当直线恰好经过点时，的长是 ． 【答案】 3或1.5 【分析】（１）画出图形，证明是等腰直角三角形，得到，由对称性知，最后根据即可求解； （２）分类讨论①当在边上时，根据轴对称的性质知，点在上，利用三角形全等求解，②点在边上时，利用勾股定理，列方程即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴，, ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 由对称性知， ∴； （2）①如图2，当在边上时，根据轴对称的性质知，点在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图3，点在边上时， ∵，， ∴， ∴， ∵， 在中，设，则， 根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上所述，的长为3或1.5． 题型2 特殊平行四边形中最值问题 例3．如图，墙面与地面垂直，一块矩形木板的顶点分别在和上滑动，连接（图中各点均在同一平面内），已知，在木板滑动的过程中，下面说法正确的是（   ） A．的最大值为9，最小值为3 B．的最大值为，最小值为3 C．的最大值为9，最小值为2 D．的最大值为，最小值为1 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，三角形的三边关系，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 取的中点，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，再根据勾股定理求得，再利用三边关系求出的最大值，通过观察图形得到最小值． 【详解】解：如图，取的中点， ， ， ， ， ，即存在最大值为9， 根据图形，可知当在上时，存在最小值，此时． 故选：A． 例4．如图，在菱形中，，，为对角线上的一个动点，点在边上，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的性质，当的值最小时，、、三点共线，即求的长度，根据题意判断为等边三角形，且点为的中点，根据直角三角形的性质，求出的长度即可． 【详解】解：如图，连接，，当、、三点共线时，即当点位于时，的值最小，即为的长， 由菱形的性质可知，， 又， ∴为等边三角形， ∵点为的中点，， ∴，， ∴在中，． 故答案为：． 【技巧总结】 1. 将军饮马：作对称点化折线为直线，利用两点间线段最短求最小值。 2. 垂线段最短：求点到直线距离，直接作垂线。 3. 找轨迹：动点轨迹为线段或弧，利用三角形三边关系求解。 4. 勾股建方程：设变量，用二次函数顶点求最值。 【变式训练2-1】如图，正方形的边长为5，点E，F在对角线上（点E在点F的左侧），且．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作，，连接，得到四边形为平行四边形，进而得到，得到，进而得到当点在线段上时，的值最小为的长，作于点，作交的延长线于点，易得为等腰直角三角形，求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理，进行求解即可． 【详解】解：作，，连接，则：四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小为的长， 作于点，作交的延长线于点， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【变式训练2-2】如图，点是矩形的对称中心，点，点分别位于，上，且经过点，，，，点在上运动，点，在上运动，且则：    （1）周长的最小值是 ． （2）四边形周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段和的最小值计算，熟练掌握矩形的性质，将军饮马河原理是解题的关键． 作关于的对称点，连接，交于，连接，则的最小值为，证明出周长的最小值为，作于，于，利用勾股定理求出和即可． 将点向上平移个单位至，作关于的对称点连接交于，在的下方个单位出找到，则为的最小值，四边形周长的最小值为，作于点，利用勾股定理求出即可解题． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，交于，连接，   ， 的最小值为， 周长的最小值为， 作于，于， ， ， ， ， ， ， ，， ， 周长的最小值为． 故答案为：． 如图，将点向上平移个单位至，作关于的对称点连接交于，在的下方个单位出找到，   ，且， 四边形为平行四边形， ，由对称得，， 为的最小值， 四边形周长的最小值为， 作于点， ，， ， ， ， 四边形周长的最小值为：． 故答案为：． 题型3 特殊平行四边形中新定义型问题 例5．定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如图，在矩形中，，“筝形”的顶点是的中点，点分别在上，且，则对角线的长 ． 【答案】或 【分析】①根据矩形的判定与性质可知，，再根据全等三角形的判定与性质解答即可； ②根据矩形的判定与性质可知，再根据勾股定理可知即可解答． 本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，根据题意画出图形是解题的关键． 【详解】解：①如图，，， ∵点是的中点，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图，，， 过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为或． 例6．筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． (1)根据筝形的定义，写出一种学过的满足筝形的定义的四边形：______； (2)如图1，在正方形中，E是对角线延长线上一点，连接．求证：四边形是筝形： (3)小明学习筝形后对筝形非常感兴趣，购买了一只风筝，通过测量它的主体（如图2）得，，发现它是一个筝形，还得到，，，求筝形的面积． 【答案】(1)菱形，正方形 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据筝形的定义结合所学知识可得答案； （2）根据正方形的性质利用证明，得到，再由，即可证明四边形是筝形： （3）如图所示，过点A作交延长线于E，连接，先证明，推出，求出，得到，进而求出，利用三角形面积公式求出，则． 【详解】（1）解：由题意得，菱形和正方形都是筝形， 故答案为：菱形，正方形； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是筝形： （3）解：如图所示，过点A作交延长线于E，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【技巧总结】 1. 读懂定义：抓住核心特征（如“等对角线四边形”），转化为数学条件。 2. 联系模型：匹配特殊平行四边形性质（矩形对角线等、菱形垂直等）。 3. 分类讨论：按定义情形分情况画图验证。 4. 逆向推理：由结论反推需要满足的条件，结合性质列式。 【变式训练3-1】阅读下列材料：“鹞形”在数学中是一种四边形．我们把有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做鹞形．如图1，四边形中，若垂直平分，那么四边形称为鹞形． (1)写出图1所示鹞形的两个性质（定义除外）：①_______；②_______； (2)如图2，在平行四边形中，E、F分别在边和上，且四边形是鹞形（垂直平分），求证平行四边形是菱形． (3)如图3，在（2）的条件下，连接、，若，，，则的长度为________． 【答案】(1)鹞形的一条对角线平分一组对角；鹞形的一组对角相等； (2)见解析 (3) 【分析】（1）在和中，即可得出结论； （2）连接相交于点，由（1）可得，由四边形是平行四边形，可得．再证出，然后得出平行四边形是菱形即可； （3）连接与相交于点，设相交于点，由勾股定理得出，再求出，再求出，再由面积法求出，即可求解． 【详解】（1）解：垂直平分， ， 在和中， ， ， ，， 即：鹞形的一条对角线平分一组对角，鹞形的一组对角相等； 故答案为：鹞形的一条对角线平分一组对角；鹞形的一组对角相等； （2）证明：如图，连接相交于点， 由（1）可得， 四边形是平行四边形， ． ． ， 四边形是菱形； （3）解：如图，连接与相交于点，设相交于点， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式训练3-2】定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形． 了解性质：如图1：已知四边形中，．垂足为，则有：； 性质应用： （1）如图1，四边形是垂美四边形，若，则___________； 性质变式： （2）如图2，图3，是矩形所在平面内任意一点，则有以下重要结论：．请以图2为例将此重要结论证明出来． 应用变式： （3）①如图4，在矩形中，为对角线交点，为中点，则___________； ②如图5，在中，是内一点，且，则的最小值是___________． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①10；② 【分析】本题主要考查了新定义“垂美”四边形、直角三角形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，理解“垂美”四边形的性质是解题的关键． （1）将代入计算即可； （2）如图：过于，交的延长线于，由（1）性质可知：，即，再结合勾股定理可得；同理可得：，则，进而证明结论； （3）如图：以、为边作矩形，连接、，则，由题意得，再结合题中数据可得；C、D、E三点共线时，最小，最后根据矩形的对角线相等即可解答． 【详解】（1）解：如图1，四边形是垂美四边形， ， ， ， ． （2）证明：如图：过于，交的延长线于， 由（1）性质可知：， 即： ， 又 ， ，即． （3）解：①设，则， 由（2）可得， ， ； ②如图：以、为边作矩形，连接、，则， 由题意得：，即，解得：， 当、、三点共线时，最小， 的最小值的最小值． 1．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查矩形的性质、正方形的判定与性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 由第一次折叠可知，，则四边形为正方形，，，由第二次折叠可知，利用平行线的性质得，于是可得，由等边对等角得，以此即可求解． 【详解】解：四边形为矩形， ． 由第一次折叠可知，， 四边形为正方形， ， ． 由第二次折叠可知，， ， ， ， ， ． 故选：D． 2．如图，正方形中，，点E，F分别在边，上，点在对角线上，，．下列结论错误的是（    ） A．若，则m的最小值为4 B．若m的最小值为4，则 C．若，则m的最小值为5 D．若m的最小值为5，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称最短路线问题．熟练掌握正方形的性质，轴对称性质，平行线性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键． 在上取点E关于的对称点G，连接交于点P，则，得到m的最小值为， 根据，，得到， ，得到 ，当时，，判断A正确；当时，,，判断B正确；当时，，判断C正确；当时，，,或，判断D不正确． 【详解】如图，根据正方形的对称性，在上取点E关于的对称点G，连接交于点P， 则， ∴，为m的最小值， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴A正确； 当时，, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴B正确； 当时，， ∴C正确； 当时，， ∴， ∴， ∴,或， ∴D不正确． 故选：D． 3．如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，则的度数是 ． 【答案】/80度 【分析】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边对等角和平行线的性质， 首先根据平行的性质得到，由折叠得，然后求出，然后根据等边对等角和平行线的性质求解即可． 【详解】∵四边形是菱形 ∴ 由折叠可得， ∴ ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∴． 故答案为：． 4．如图，在长方形中, ，，，则CE+DF的最小值是 ． 【答案】 【分析】延长到点M，使得，连接，证明转化得到，当D，F，M三点共线时，取得最小值，勾股定理解答即可． 【详解】解：延长到点M，使得，连接， ∵矩形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接 ∵， ∴， 故当D，F，M三点共线时，取得最小值，且最小值为 故答案为：． 5．如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)在点运动的过程中，的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，EF的长度最小值为 【分析】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理的逆定理，垂线段最短， （1）根据勾股定理的逆定理得到，根据矩形的判定定理得到四边形AEDF是矩形； （2）连接，根据矩形的性质得到，当时，最短，即的长度最小，根据三角形的面积公式即可得到结论；掌握矩形的判定和性质，垂线段最短是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：存在． 理由：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵当时，最短，即的长度最小， ∵， ∴， ∴， 即的长度最小值为． 6．定义：若一个四边形满足三个条件①有一组对角互补，②一组邻边相等，③相等邻边的夹角为直角，则称这样的四边形为“直角等邻对补”四边形，简称为“直等补”四边形．根据以上定义，解答下列问题． (1)如图1，四边形是正方形，点E在边上，点F在边的延长线上，且，连接，，请根据定义判断四边形是否是“直等补”四边形，并说明理由． (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，若，，求的长． 【答案】(1)四边形是“直等补”四边形，理由见解析． (2)28． 【分析】（1）本题考查了对于“直等补”四边形定义的理解，要判断四边形是否是“直等补”四边形，关键在于根据定义，找到满足定义的三个条件即可．根据已知可证，由此可得到，，，即证明四边形是“直等补”四边形． （2）本题同样考查了“直等补”四边形定义的理解，作辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．根据“直等补”四边形定义，可得到，然后利用勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）解： 四边形是正方形， ，， ， 在与中， （）， ，， ， ， ， 四边形满足三个条件：①一组对角和互补，②一组邻边，③相等邻边夹角． 故四边形是“直等补”四边形； （2）连接，如下图所示 四边形是“直等补”四边形，， ， ， ， ， ， ， ． 故的长为28． 7．【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展学习活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． (1)操作与证明： ①如图①所示，小华将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若，则_______，_______； ②如图②所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与交于点F，过点D作交BC于点G，求证：四边形是菱形； (2)迁移应用： 如图③所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与交于点F，连接，若，，求的长． 【答案】(1)①60，60；②见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的折叠问题，菱形的判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握折叠前后对应边相等，对应角相等，是解题的关键． （1）①由折叠得，由得，结合即可求解； ②由，，证明四边形是平行四边形，同①证明，推出，即可证明四边形是菱形； （2）由折叠得，，，用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理解和，最后用勾股定理解即可． 【详解】（1）解：①由折叠得， ， ， 矩形中， ， 故答案为：60，60； ②四边形是矩形， ， 又， 四边形是平行四边形； ， ， 由折叠得， ， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是矩形， ，，， 中，，， ， ， 由折叠得，，， ， 又，， ， 如图，过点E作于点G， ， ， ， ． 8．定义引入： 定义：如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个四边形为“对垂”四边形． （1）问题1：举例：写一个你学过的特殊四边形是“对垂”四边形的图形的名称：______； 猜想与验证： （2）①如图1，在四边形中，对角线于点，下列结论正确的是（    ）． A．         B．      C． ②证明①中正确的结论： 拓展思考： （3）如图2，正方形和正方形的边长分别是和，连接，且，的面积和的面积会相等吗？如果会，请证明并求的面积，如果不会，请说明理由． 【答案】（1）菱形或正方形；（2）①B；②证明见解析；（3）会，面积为： 【分析】（1）由“对垂”四边形定义，结合菱形、正方形性质即可得到答案； （2）①由“对垂”四边形定义，根据勾股定理、三角形面积公式求解即可得到答案；②由“对垂”四边形定义，即可证明； （3）连接，连接交于点，过点作于点，过点作交延长线于点，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，进而由三角形面积公式即可得到的面积和的面积相等，代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1）菱形的对角线相互垂直， 菱形是“对垂”四边形； 正方形的对角线相互垂直， 正方形是“对垂”四边形； 故答案为：菱形或正方形； （2）①A、， 在中，由勾股定理可得；在中，由勾股定理可得； ； 在中，由勾股定理可得；在中，由勾股定理可得； ； 当时，； 而题中并未明确与是否相等，该选项不一定正确，不符合题意； B、，选项正确，符合题意； C、由题中四边形的任意性，无法保证，选项错误，不符合题意； 故选：B； ②证明如下：， ； （3）的面积和的面积相等， 证明如下： ∵正方形和正方形的边长分别是和， ， 连接，连接交于点，过点作于点，过点作交延长线于点，如图所示： ， ，即， 又， ， ， 又，， 的面积和的面积相等； ， 即， 又， ， ， 又， ， ， ∴四边形AECG是“对垂”四边形， ， 又， ， ， 的面积为． 9．在八年一班数学课上，数学老师让每人准备一张菱形纸片，要求同学们在对角线上取一点，连接，将沿折叠，得到． (1)同学甲发现（图），通过探索发现点落在线段上，从而可证明．请你完整证明：； (2)同学乙取，折叠后发现（图），通过探索可得出为常数，请求出的值； (3)同学丙通过折叠发现，测得，，连接，发现的长度可求，求出此时的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，直角三角形和等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）先推出是的平分线，进而得出，推出，再根据即可证明结论； （）根据折叠的性质，结合推出四边形是菱形，结合得出，然后根据勾股定理求出与的数量关系即可； （）根据菱形的性质，结合求出及的数量关系，然后由折叠的性质求出和的数量关系，再通过勾股定理求出和的长度，最后由勾股定理求出的长度． 【详解】（1）证明: 由折叠性质可知， ∵， ∴， ∴是的平分线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 根据折叠的性质，， ∴， ∵， ∴； （2）解：根据折叠的性质，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 连接交于点，如图， 根据菱形的性质，线段和互相垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， 根据勾股定理，，， ∴； （3）解：如图，连接交于点， 根据菱形的性质可得，， ∵， ∴， ∴，， 根据折叠的性质得：， ∴为等腰直角三角形，， 设，则，， 根据勾股定理得：， ∴， ∴，，，， 在中，． 10．【问题提出】 （1）如图1，正方形的边长为6，M是对角线上的一个动点，是边的中点，连接，，则在点M的运动过程中，的最小值为______． 【问题探究】 （2）如图2，四边形是菱形，，M，N是对角线上的动点，的长度为4且始终保持不变，连接，，求的最小值．    【问题解决】 （3）某国防教育基地在操场训练军体拳，要求训练方阵为正方形，如图3．为了效果更好，站在边处的学生队伍要平分，其中，教学生军体拳的主教官站在点D处，另外两位教官分别在边上的点M处和边上的点N处指导纠正学生的动作，即M，N分别为边，上的动点．通过记录并计算，得到的最小值为，请你计算学生训练方阵正方形的边长． 【答案】（1）；（2）；（3）16 【分析】（1）连接，，先证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，再根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，利用勾股定理求解即可得； （2）过点作，且使得，连接，与交于点，先根据菱形的性质可得，再证出四边形是平行四边形，，则可得，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，利用勾股定理求解即可得； （3）在上取一点，使得，连接，与交于点，先根据正方形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为，根据垂线段最短可得当时，的值最小，最小值为，则可得，由此即可得． 【详解】解：（1）如图1，连接，，    ∵正方形的边长为6，是边的中点， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为， 故答案为：． （2）如图2和图3，过点作，且使得，连接，与交于点，    ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， 在图2和图3中，都有，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为． （3）如图4，在上取一点，使得，连接，与交于点，    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，最小值为， ∵的最小值为， ∴， ∴， 即学生训练方阵正方形的边长为16． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04特殊平行四边形中折叠、最值、新定义型问题 亡了内容导航 01复习目标一明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02知识重构一系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破→汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1特殊平行四边形中折叠问题 题型2特殊平行四边形中最值问题 题型3特殊平行四边形中新定义型问题 04综合通关→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 01 复习目标 常考考点 命题风向 1. 折叠问题：从简单求角度转向利用轴对称性质构造方程，重点考查 1.折叠：求折痕长、对应点 矩形折叠中通过勾股定理求折痕或对应线段长度，常与中点、三等分点 位置，利用勾股列方程。 结合设置多解情况。 2.最值：将军饮马模型求线 2. 最值问题：强化“将军饮马”模型在菱形、正方形中的应用，求两 段和最小值，动点路径长。 线段和的最小值；同时开始渗透利用"垂线段最短”求动点到某边距离 3.新定义：理解定义（如“等的最值。 邻边四边形”)，判定形状3.新定义型问题：以"等邻边四边形”、“半角四边形”等新概念为 或计算，考查迁移能力。 背景，综合考查矩形对角线相等、菱形对角线垂直等性质的现场应用与 逻辑迁移能力，成为区卷压轴题新趋势。 考情解码：根据2026年新教材考情，特殊平行四边形中的折叠、最值及新定义问题成为压轴题的“三 驾马车”。折叠问题本质是轴对称变换，高频考查利用勾股定理或等面积法求折痕或线段长。最值问 题常结合“将军饮马”模型求动点路径和最小值。新定义型问题通过定义“"对边四边形”等新慨念， 综合考查矩形的对角线性质与菱形的判定，对学生现场学习与迁移能力要求较高。 02 知识重构 脉|络重|构 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 对应边相等 折叠性质 对应角相等 折痕垂直平分对应点连线 确定折叠前后对应点 折叠问题 解题步景 利用勾股定理列方程 设未知数求解 沿对角线折叠 矩形析当 沿一边中点折叠 常见类型 理解新定义含义 特殊平行四边形中折叠 姜形折叠 审题关键 提取核心条件 正方形折盘 最值、新定义型问题 转化为已知模型 对称点转化 解题思路 新定义型问题 将军饮马模型 利用特殊平行四边形性质 两点之间线段显短 定义新图形 垂线段最短 点到直线距离 最值问题 定义新性质 常见类型 旋转与平移最值利用三角形三边关系 定义新运算 线段和最小值 常见类型 线段差最大值 面积最值 重1点|梳I理 知识点一特殊乎行四边形虫折叠问题 (一)核心折叠本质：轴对称变换 1.折叠前后对应边相等、对应角相等、全等；折痕是对应点连线的垂直平分线。 2.常见隐含条件： ~出现等腰三角形：折叠后重合边相等，形成等角对等边： 直角构造：矩形折叠多出现Rt△，用勾股列方程（折叠高频考法：设未知数x,剩余边长用边长表示）。 (二)分图形常考模型 1.矩形折叠 ①沿顶点折：一角落在对边上→直角+勾股方程； ②沿对角线折一出现等腰三角形（重合部分为等腰△）； ③沿中线/边上动点折叠→设边长列勾股。 2.菱形折叠：利用四边相等+对角线垂直，折叠后结合30°/60°特殊直角三角形。 3.正方形折叠：边角都是90°，常伴半角模型(45°折叠)、全等转化。 (三)易错点 折叠后落点分落在边上/内部/外部多解情况，容易漏解。 【易错警示】 ·对应关系：折叠前后对应边相等、对应角相等，勿错配对应顶点。 勾股定理：设未知数，用折叠后构造的直角三角形列方程，勿忘平方。 ~重合条件：折痕是对应点连线的中垂线，勿忽略垂直平分性质。 即时即练在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=10,BC=AD=8,P为射线BC上 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置，使点B落在点E处， D E D D 图1 图2 图3 (1)若P为线段BC上一点. ①如图1，当点E落在边CD上时，求CE的长： ②如图2，连接CE,若CE∥AP,则BP与BC有何数量关系？请说明理由； (2)当△PEC为直角三角形时，PB的长为_ 知识点二特殊平行四边形中最值问题 1.最短路径（将军饮马，高频） 原理：两点之间线段最短、垂线段最短，利用轴对称找点对称，化折线段为直线段。 -动点在矩形/菱形边上运动，求PA+PB最小：作定点关于动点所在直线对称点，连线长即最小值。 2.线段最值（定点+动点) (1)直角三角形斜边中线定值模型：直角顶点在定直线运动，斜边固定，则斜边中线为定值： (2)圆轨迹（隐圆）最值：动点到定点距离不变→动点在圆上，利用点到圆距离：最远=圆心距+半径，最 近=圆心距-半径； 常见：正方形/矩形中，固定角、定边长，动点轨迹成圆。 (3)垂线段最短：求某线段最小值，作垂线。 3.面积最值 特殊平行四边形内动点，底固定一→高最大/最小决定面积最值；常结合二次函数（坐标系题型）。 4.坐标系下最值：结合一次函数、坐标运算。 【易错警示】 模型识别：常用“将军饮马”（对称点化折为直）或锤线段最短，勿乱用。 ·动点范围：注意动点是否在边、对角线或延长线上，范围不同最值可能变化。 转化思想：将所求线段通过对称@或平移转化为共线或锤直，勿直接猜端点。 即时即练综合与实践 问题背景 如图，在菱形ABCD中，连接AC,AB=5,AC=6. 初步探究 (1)菱形ABCD的面积为- (2)如图1，若E,F分别是AB,CD上的动点，且AE=DF,过点E作EG⊥AC,过点F作FH⊥AC, 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 垂足分别为点G,点H,求EG+FH的值. 拓展延伸 (3)如图2，P是CD上的动点，连接AP. ①AP的最小值为_： ②如图3，Q是AD上的动点，连接CQ,且AQ=DP,求AP+CQ的最小值. 图1 图2 图3 知识点三特殊平行四边形中定义型▣题 1.核心思路：现场读懂新定义（新四边形、新运算、新特征），套特殊平行四边形原有性质 常见新定义：准菱形、等邻边四边形、垂等四边形、完美矩形等。 2.用到的知识点分类 (1)判定类：根据新定义条件，结合矩形/菱形/正方形判定定理证明图形： (2)计算类：新定义给出边角关系→勾股、全等、特殊角计算边长周长； (3)探究存在性：是否存在动点构成新定义图形→设未知数、列方程求解。 3.隐含考点：分类讨论（边长不等、动点位置不同多解） 【易错警示】 ·理解定义：圈画关键条件（边、角、对角线、数量关系），勿凭感觉套用旧概念。 举例验证：先构造特殊图形（如正方形）理解定义，再推广到一般情形。 性质转化：将新条件转化为熟恶的边角关系，勿死记硬背。 即时即练定义：若四边形有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形定 义为“郡外四边形” 图1 图2 (I)如下：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，一定是“郡外四边形”的是： (2)如图点P是正方形ABCD对角线AC上一点，点O是线段AC中点，点E是射线BC上一点，且PE=PB ,连接PD 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①如图1，当点P在线段AO上时，求证：四边形PECD为郡外四边形”； ②如图2，当点P在线段CO上时，试用等式来表示PB,BC,CE的数量关系，并证明. 03 题型突破 题型1特殊平行四边形中折叠问题 例1.如图，四边形0ABC是矩形，点A的坐标为(8,0)，点C的坐标为0,4)，把矩形OABC沿OB折叠， 点C落在点D处，则点D的坐标为 D 例2.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6,E是AB上一点.将△BCE沿CE折叠后得到△FCE,若 EF⊥AB,则折痕EC的长为 D 【技巧总结】 1.找等量：折叠前后边、角相等，设未知数表示线段。 2.构直角三角形：折痕为对称轴，利用勾股定理列方程。 3.巧用性质：矩形中折叠得等腰三角形；正方形中折叠常用全等或勾股。 4.求折痕长：作垂直或建坐标系求解。 【变式训练1-1】综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动. 【操作判断】操作一： 如图1，正方形纸片ABCD,将∠B沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，得到折痕AE ,点B的对应点为M,连接AM;将∠D沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，得到折痕AF，,将纸片 展平，连接EF. 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)根据以上操作，易得点E,M,F三点共线，则 ①∠EAF= ; ②线段EF,BE,DF之间的数量关系为 【深入探究】操作二： 如图2，将∠C沿EF所在直线折叠，使点C落在正方形ABCD的内部，点C的对应点为N,将纸片展平， 连接WE,NF. 同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在BC边上某一位置时（点 E不与点B,C重合)，点N恰好落在折痕AE上，此时AM交NF于点P,如图3所示. (2)小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论AP=BE+DF,请判断该结论是否成立，并说明理由 【拓展应用】 (3)若正方形纸片ABCD的边长为3，当点N落在折痕AE上时，直接写出线段AP的长. D E E E 图1 图2 图3 【变式训练1-2】如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=5,动点E从点A出发，沿边AD,DC向点C运 动，A,D关于直线BE的对称点分别为M,N,连接MN E 4 D 备用图1 备用图2 (1)如图，当E在边AD上且DE=1时，∠AEM的度数是 (2)当直线MN恰好经过点C时，DE的长是 题型2特殊平行四边形中最值问题 例3.如图，墙面MO与地面NO垂直，一块矩形木板ABCD的顶点A,B分别在OM和ON上滑动，连接 OC(图中各点均在同一平面内)，已知AB=8,BC=3,在木板滑动的过程中，下面说法正确的是() M D 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.0C的最大值为9，最小值为3 B.0C的最大值为√73，最小值为3 C.0C的最大值为9，最小值为2 D.0C的最大值为√73，最小值为1 例4.如图，在菱形ABCD中，AB=2,LABC=60°，M为对角线BD上的一个动点，点F在边BC上， CF=BF,则MA+MF的最小值为 D M 【技巧总结】 1.将军饮马：作对称点化折线为直线，利用两点间线段最短求最小值。 2. 垂线段最短：求点到直线距离，直接作垂线。 3.找勒迹：动点迹为线段或弧，利用三角形边关系求解。 4. 勾股建方程：设变量，用二次函数顶点求最值。 【变式训练2-1】如图，正方形ABCD的边长为5，点E,F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且 EF=2.则DE+BF的最小值为 B 【变式训练2-2】如图，点O是矩形ABCD的对称中心，点P,点Q分别位于AD,BC上，且P2经过点O ,AB=6,AP=3,BQ=5,点E在AB上运动，点M,N在CD上运动，且MN=3.则： A P D E M B (1)△EPQ周长的最小值是 (2)四边形POMN周长的最小值是 题型3特殊平行四边形中新定义型问题 例5.定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”.如图，在矩形ABCD中， 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB=6,BC=7,“筝形”EFGH的顶点E是AB的中点，点F,G,H分别在BC,CD,AD上，且EF=5,则 对角线EG的长 E B 例6.筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形， B D 图1 图2 (1)根据筝形的定义，写出一种学过的满足筝形的定义的四边形： (2)如图1，在正方形ABCD中，E是对角线BD延长线上一点，连接AE,CE,求证：四边形ABCE是筝形： (3)小明学习筝形后对筝形非常感兴趣，购买了一只风筝，通过测量它的主体（如图2）得AB=AD, BC=DC,发现它是一个筝形，还得到AB=18cm,BC=40cm,∠ABC=120°，求筝形ABCD的面积. 【技巧总结】 1.读懂定义：抓住核心特征（如“等对角线四边形），转化为数学条件。 2.联系模型：匹配特殊平行四边形性质（矩对角线等、形垂直等）。 3.分类讨论：按定义情形分情况画图验证。 4. 逆向推理：由结论反推需要满足的条件，结合性质列式。 【变式训练3-1】阅读下列材料：“鹞形”在数学中是一种四边形.我们把有一条对角线垂直平分另一条对角 线的四边形叫做鹛形.如图1，四边形ABCD中，若AC垂直平分BD,那么四边形ABCD称为鹞形. B C C 图1 图2 图3 (1)写出图1所示鹞形的两个性质（定义除外）：① ；② 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，在平行四边形ABCD中，E、F分别在边BC和CD上，且四边形AECF是鹞形(AC垂直平分 EF),求证平行四边形ABCD是菱形 (3)如图3，在(2)的条件下，连接AC、EF,若AC=12,AB=10,DF=4,则EF的长度为 【变式训练3-2】定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形 了解性质：如图1：己知四边形ABCD中，AC⊥BD.垂足为O,则有：AB2+CD2=AD2+BC2; A D 图1 图2 图3 性质应用： (1)如图1，四边形ABCD是垂美四边形，若AD=2,BC=5,CD=4,则AB= 性质变式： (2)如图2，图3，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP2+CP2=BP2+DP2.请 以图2为例将此重要结论证明出来。 D 图4 图5 应用变式： (3)①如图4，在矩形ABCD中，O为对角线交点，P为B0中点，则P4+PC PB2 ②如图5，在ABC中，CA=4,CB=6,D是ABC内一点，且CD=1,∠ADB=90°，则AB的最小值是 04 综合通关 1.如图，把一张矩形纸片ABCD按如下方法进行两次折叠：第一次将DA边折叠到DC边上得到DA',折痕 为DM,连接A'M,CM,第二次将△MBC沿着MC折叠，MB边恰好落在MD边上.若AD=√2，则AB的 长为() 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5 A. B.5 C.5 D.2 2.如图，正方形ABCD中，AB=4,点E,F分别在边AB,BC上，点P在对角线AC上，EF∥AC, PE+PF=m.下列结论错误的是() A.若BE=2,则m的最小值为4 B.若m的最小值为4，则BE=2 C.若BE0.5,则m的最小值为5 D.若m的最小值为5，则BE0.5 3.如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE,若LD=8O°，则LBCF的度 数是」 A E B 4.如图，在长方形ABCD中，AD=3,AB=2,BF=DE,则CE+DF的最小值是 E D 5.如图，在ABC中，AC=6,AB=8,BC=10,D为BC边上一动点，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于 点F. B D (I)求证：四边形AEDF是矩形： (②)在点D运动的过程中，EF的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由， 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.定义：若一个四边形满足三个条件①有一组对角互补，②一组邻边相等，③相等邻边的夹角为直角，则 称这样的四边形为“直角等邻对补”四边形，简称为“直等补”四边形.根据以上定义，解答下列问题 B 图1 图2 (I)如图1，四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在CB边的延长线上，且DE=BF,连接AE, AF,请根据定义判断四边形AFCE是否是“直等补”四边形，并说明理由 (2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=AD,若AB=20,CD=4,求BC的长 7.【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展学习活动，同学们积极参与 了矩形折叠活动. G D D B 图① 图② 图③ (1)操作与证明： ①如图①所示，小华将矩形ABCD沿EF折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若LAFB=60°， 则∠AFE= o,∠AEF= ②如图②所示，张三将矩形ABCD沿对角线BD折叠后，使得点C与点E重合，BE与AD交于点F,过点 D作DG∥BF交BC于点G,求证：四边形DFBG是菱形： (2)迁移应用： 如图③所示，李四将矩形ABCD沿对角线BD折叠后，使得点C与点E重合，BE与AD交于点F,连接AE, 若∠CBD=30°，CD=3√2，求AE的长. 8.定义引入： 定义：如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个四边形为“对垂”四边形. (1)问题1：举例：写一个你学过的特殊四边形是“对垂”四边形的图形的名称： 猜想与验证： (2)①如图1，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点O,下列结论正确的是(). 1 A.AB+BC2=CD'+AD B.S四边形ABCD=2 ACxBD C.ABxCD=BC×AD ②证明①中正确的结论： 拓展思考： 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图2，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别是3cm和5cm,连接AE,AG,CE,且AE=7cm, △ADG的面积和△DCE的面积会相等吗？如果会，请证明并求△DCE的面积，如果不会，请说明理由， G 图1 图2 9.在八年一班数学课上，数学老师让每人准备一张菱形纸片ABCD,要求同学们在对角线BD上取一点E, 连接AE,将△ABE沿AE折叠，得到△AEF. F A B B C C 图1 图2 图3 (I)同学甲发现∠DAE=3∠BAE(图1)，通过探索发现点F落在线段AC上，从而可证明∠BAD=2∠DEF.请 你完整证明：∠BAD=2∠DEF; 乙取8E=3DE,折叠后发现P∥BA(图2)，通过探索可得出仁为常数，清求出 EF (3)同学丙通过折叠发现EF⊥BD,测得AB=5,BE=7DE,连接DF,发现DF的长度可求，求出此时 DF的长度， 10.【问题提出】 (1)如图1，正方形ABCD的边长为6，M是对角线BD上的一个动点，N是边BC的中点，连接MN, MC,则在点M的运动过程中，MN+MC的最小值为 【问题探究】 (2)如图2，四边形ABCD是菱形，AB=10,BD=16,M,N是对角线BD上的动点，MN的长度为4且始 终保持不变，连接AM,CN,求AM+CN的最小值， D D M B 图1 图2 图3 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【问题解决】 (3)某国防教育基地在操场训练军体拳，要求训练方阵为正方形ABCD,如图3.为了效果更好，站在边 AE处的学生队伍要平分∠DAC,其中，教学生军体拳的主教官站在点D处，另外两位教官分别在边AD上 的点M处和边AE上的点N处指导纠正学生的动作，即M,N分别为边AD,AE上的动点，通过记录并计 算，得到MN+DN的最小值为8√2，请你计算学生训练方阵正方形ABCD的边长 05错题留痕 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课