20.1勾股定理及其应用暑假巩固作业2026-2027学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦勾股定理从概念到应用再到拓展的系统训练，通过基础辨析、情境应用及新定义探究，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-3、6|直接考查定理及逆定理、数学思想|概念生成→直接应用| |定理应用|选择4-5、7-8，填空11-14|结合网格、面积、实际情境|几何直观→实际问题转化| |拓展探究|解答19-22|新定义、证明与综合应用|推理意识→创新应用|

20.1勾股定理及其应用暑假巩固作业 详解详析 一、选择题 1.C 【解析】A．12+12  ，故A不符合题意；B．12  22，故B不符合题意；C．42+52＝41≠62，故C符合题意；D．62+82＝102，故D不符合题意． 2.D 3.C 【解析】∵在Rt△ABC中，斜边BC＝5，∴AB2+AC2＝BC2＝25，∴AB2+AC2+BC2＝25+25＝50． 4.A 【解析】在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC2+BC2＝AB2．∵AC＝b，BD＝BC＝a，∴b2+a2＝（AD+a）2＝AD2+2aAD+a2，∴AD2+2aAD＝b2，比较AD2+2aAD＝b2与方程x2+2ax＝b2可得AD的长是方程x2+ax＝b2的一个正根． 5.D 【解析】由勾股定理得，DP ． 6.D 【解析】∵∠C＝90°，∴△ABC为直角三角形，又∵AC＝1，BC＝2，∴AB ． 7.B 【解析】由题意得AC＝BC，AD＝DB，CD＝8cm，∠ACD＝90°，设AC＝BC＝x，∵橡皮筋的长度比原长伸长了4cm，∴AD＝DB＝x+2，Rt△ACD中，根据勾股定理得AC2+CD2＝AD2，即x2+82＝（x+2）2，解得x＝15，∴AC＝CB＝15cm，∴AB＝30cm． 8.A 【解析】∵S1＝100，S2＝36，∴AC2＝100，AB2＝36，在Rt△ABC中，BC  8，故选：A． 9.D 【解析】∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠A，∠ABD＝∠EDB，∵∠A＝90°，∴∠CDE＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD，∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝DE，∵BE＝6，∴DE＝6，在Rt△CDE中，CE＝10，由勾股定理得  ，∴△CDE的周长是CD+DE+CE＝8+6+10＝24，故选：D． 10.D 【解析】A．大正方形的面积为：c2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：  ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理；B．大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：  ab×4+c2＝2ab+c2，∴（a+b）2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理；C．梯形的面积为：  （a+b）（a+b）  （a2+b2）+ab；也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：  ab×2  c2＝ab  c2，∴ab  c2  （a2+b2）+ab，∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理；D．大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴D选项不能证明勾股定理．故选：D． 二、填空题 11.＜　 【解析】∵AB＝ ＝ ， ＜ ＝3，∴AB＜3. 12.26 【解析】设直角三角形的两条直角边分别为5x、12x，则斜边长为  ，∵直角三角形的周长为60，∴5x+12x+13x＝60，解得x＝2，∴斜边长为13×2＝26． 13. 【解析】由勾股定理得， ，∵ ，∴ ． 14. 【解析】根据题意得AC2+BC2＝AB2，∴AC2+（7﹣AC）2＝52，解得AC＝3或AC＝4，当AC＝3时，BC＝4，不符合AC＞BC，舍去；当AC＝4时，BC＝3，符合要求，∴AC的长为4. 15. 【解析】设运动时间为t，则BP=2t，CP=BC−BP=20−2t，①当PC=AC时，∵AC=10，∴20−2t=10，解得t=5；②当PC=AP时，在Rt△ADC中，由勾股定理可得，DC  ，∴BD=BC−DC=20−6=14，∴DP=BD−BP=14−2t，在Rt△APD中，AD2+DP2=AP2，则64+(14−2t)2=(20−2t)2，解得t  ，综上所述，当点P运动的时间为5或  秒时，使得△PAC是以PC为腰的等腰三角形． 三、解答题 16.解：∵在△ACD中，∠C＝90°，AB是DC边上的中线，AB＝CD＝6， ∴BC＝3， ∴在Rt△ABC中，AC 3 ， ∴在Rt△ACD中，AD 3 ． 17.解：如答案图，连接AC， ∵∠B＝∠D＝90°， ∴AC2＝AB2＋BC2＝CD2＋AD2， ∵AB＝24，BC＝7，CD＝15， ∴242＋72＝152＋AD2， ∴AD＝20． 答案图 18.解：(1)如答案图，正方形ABCD即为所求， 根据网格和勾股定理可知AB2＝22+62＝40(个单位)， 所以正方形ABCD的面积为40个单位； (2)如答案图，正方形EFGH即为所求. 答案图 19.证明：（1）  ∴  ∴  （2）如答案图，过点E作ED⊥BC交BC延长线于点D， ∴  ， ∵  ， ∴  ∴  ∵  ， ∴△ABC≌△CDE， ∴BC＝ED＝a，AB＝CD＝b， ∴  ， ∴  答案图 20.解：(1)因为CD⊥AB，CD＝2，BD＝1， 所以∠BDC＝∠ADC＝90°， 所以  ； (2)设AD＝x，则AB＝x＋1， 因为∠ADC＝90°， 所以AC2＝AD2＋CD2＝x2＋4， 因为∠ACB＝90°， 所以AB2＝AC2＋BC2， 所以  ， 解得x＝4， 所以AD＝4． 21.解：（1）是； 【解法提示】因为（2 ）2+42＝4×32＝36，所以△ABC是常态三角形. （2）因为Rt△ABC是常态三角形， 所以设两直角边长为a、b，斜边长为c， 则a2+b2＝c2，a2+c2＝4b2， 所以2a2＝3b2， 所以a∶b ∶ ， 设a x，b x， 则c x， 所以此三角形的三边比为 ∶ ∶ ； （3）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4， 所以AD＝BD＝CD， 因为△BCD是常态三角形， 当CD2+BD2＝4×42时， 解得BD＝CD＝4 ， 则AB＝8  ， 所以AC 4 ， 所以△ABC的面积为 8 ， 当CD2+BC2＝4×BD2时， 解得BD＝CD ， 则AB ， 所以AC ， 所以△ABC的面积为 4 ， 所以△ABC的面积为8 或 ． 22.解：【感知】是，理由如下， 在△ABC中，三边长分别是2，2 和 ， ∵22+（2 ）2＝2（ ）2， ∴△ABC是奇异三角形； 【思考】5 ； 【解法提示】①当5 为斜边时，另一条直角边 5，∵（5 ）2+52≠2×52或52+52 ，故5不符合；②当5 ，5是直角边时，斜边 5 ，∵ 2＝（5 ）2+52，∴5 符合. 【运用】根据奇异三角形的定义得a2+c2＝2b2， 又∵a2+b2＝c2， ∴b2＝2a2，c2＝3a2， ∴a：b：c＝1： ： ； 【创新】证明：∵∠ACB＝∠ADB＝90°， ∴AC2+BC2＝AB2，AD2+BD2＝AB2， ∵AD＝BD， ∴2AD2＝AB2， ∵AE＝AD，CB＝CE， ∴AC2+CE2＝2AE2， ∴△ACE是奇异三角形． 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.1勾股定理及其应用暑假巩固作业 一、选择题 1.下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（          ） A．1，1， B．1， ，2 C．4，5，6 D．6，8，10 1.C 【解析】A．12+12  ，故A不符合题意；B．12  22，故B不符合题意；C．42+52＝41≠62，故C符合题意；D．62+82＝102，故D不符合题意． 2.已知直角三角形两边的长分别是3和4，求第三边的长.琪棋的解答过程：“当第三边是斜边时，第三边长为  .当第三边是直角边时，第三边长为  .故直角三角形第三边长是5或  .”琪棋的上述方法体现的数学思想是（          ） A.整体思想 B.转化思想 C.数形结合思想 D.分类讨论思想 2.D 3.在Rt△ABC中，斜边BC＝5，则AB2+AC2+BC2的值为（      ） A．15 B．25 C．50 D．无法计算 3.C 【解析】∵在Rt△ABC中，斜边BC＝5，∴AB2+AC2＝BC2＝25，∴AB2+AC2+BC2＝25+25＝50． 4.欧几里得的《原本》记载，形如x2+2ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝a．则该方程的一个正根是（      ） A．AD的长 B．AC的长 C．BC的长 D．CD的长 4.A 【解析】在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC2+BC2＝AB2．∵AC＝b，BD＝BC＝a，∴b2+a2＝（AD+a）2＝AD2+2aAD+a2，∴AD2+2aAD＝b2，比较AD2+2aAD＝b2与方程x2+2ax＝b2可得AD的长是方程x2+ax＝b2的一个正根． 5.如图每个小正方形的边长均为1，其中点D与点P之间的距离为（      ） A． B． C． D． 5.D 【解析】由勾股定理得，DP ． 6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝1，BC＝2，则AB的长是（      ） A． B． C．2 D． 6.D 【解析】∵∠C＝90°，∴△ABC为直角三角形，又∵AC＝1，BC＝2，∴AB ． 7.如图，有一条橡皮筋放置在直线l上，固定两端A和B，然后把中点C竖直向上拉升8cm至点D，若此时橡皮筋的长度比原长伸长了4cm，则橡皮筋原长AB的长是（      ） A．29cm B．30cm C．31cm D．32cm 7.B 【解析】由题意得AC＝BC，AD＝DB，CD＝8cm，∠ACD＝90°，设AC＝BC＝x，∵橡皮筋的长度比原长伸长了4cm，∴AD＝DB＝x+2，Rt△ACD中，根据勾股定理得AC2+CD2＝AD2，即x2+82＝（x+2）2，解得x＝15，∴AC＝CB＝15cm，∴AB＝30cm． 8.如图，Rt△ABC的两边往外作的正方形，其面积分别为S1，S2，若S1＝100，S2＝36，则BC边长为（      ） A．8 B．64 C．7 D．49 8.A 【解析】∵S1＝100，S2＝36，∴AC2＝100，AB2＝36，在Rt△ABC中，BC  8，故选：A． 9.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB交BC于点E．若CE＝10，BE＝6，则△CDE的周长为（      ） A．18 B．20 C．22 D．24 9.D 【解析】∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠A，∠ABD＝∠EDB，∵∠A＝90°，∴∠CDE＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD，∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝DE，∵BE＝6，∴DE＝6，在Rt△CDE中，CE＝10，由勾股定理得  ，∴△CDE的周长是CD+DE+CE＝8+6+10＝24，故选：D． 10.我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（      ）   A． B．   C． D． 10.D 【解析】A．大正方形的面积为：c2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：  ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理；B．大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：  ab×4+c2＝2ab+c2，∴（a+b）2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理；C．梯形的面积为：  （a+b）（a+b）  （a2+b2）+ab；也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：  ab×2  c2＝ab  c2，∴ab  c2  （a2+b2）+ab，∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理；D．大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴D选项不能证明勾股定理．故选：D． 二、填空题 11.如图，边长为1的正方形网格中，AB______3.(填“＞”，“＝”或“＜”) 11.＜　 【解析】∵AB＝ ＝ ， ＜ ＝3，∴AB＜3. 12.已知某直角三角形的两条直角边长的比为5：12，若该直角三角形的周长为60，则该直角三角形的斜边长为______． 12.26 【解析】设直角三角形的两条直角边分别为5x、12x，则斜边长为  ，∵直角三角形的周长为60，∴5x+12x+13x＝60，解得x＝2，∴斜边长为13×2＝26． 13.如图，边长为1的正方形网格图中，点A，B都在格点上，若 ，则AC的长为______． 13. 【解析】由勾股定理得， ，∵ ，∴ ． 14.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题．对这个问题稍作改编，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC+AC＝7，AB＝5，AC＞BC，求AC的长．则AC的长为______． 14. 【解析】根据题意得AC2+BC2＝AB2，∴AC2+（7﹣AC）2＝52，解得AC＝3或AC＝4，当AC＝3时，BC＝4，不符合AC＞BC，舍去；当AC＝4时，BC＝3，符合要求，∴AC的长为4. 15.如图，在△ABC中，AC=10，BC=20，AD为BC边上的高，AD=8．若动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着BC向终点C运动，当点P运动的时间为____________秒时，使得△PAC是以PC为腰的等腰三角形． 15. 【解析】设运动时间为t，则BP=2t，CP=BC−BP=20−2t，①当PC=AC时，∵AC=10，∴20−2t=10，解得t=5；②当PC=AP时，在Rt△ADC中，由勾股定理可得，DC  ，∴BD=BC−DC=20−6=14，∴DP=BD−BP=14−2t，在Rt△APD中，AD2+DP2=AP2，则64+(14−2t)2=(20−2t)2，解得t  ，综上所述，当点P运动的时间为5或  秒时，使得△PAC是以PC为腰的等腰三角形． 三、解答题 16.如图，在△ACD中，∠C＝90°，AB是DC边上的中线，若AB＝CD＝6，求AD的长． 16.解：∵在△ACD中，∠C＝90°，AB是DC边上的中线，AB＝CD＝6， ∴BC＝3， ∴在Rt△ABC中，AC 3 ， ∴在Rt△ACD中，AD 3 ． 17.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝24，BC＝7，CD＝15，求AD的长． 17.解：如答案图，连接AC， ∵∠B＝∠D＝90°， ∴AC2＝AB2＋BC2＝CD2＋AD2， ∵AB＝24，BC＝7，CD＝15， ∴242＋72＝152＋AD2， ∴AD＝20． 答案图 18.如图，方格纸上每个小正方形的面积为1个单位. (1)在方格纸上，请你以线段AB为边画正方形并计算所画正方形的面积，解释你的计算方法； (2)请你在图上画出一个面积为5个单位的正方形. 18.解：(1)如答案图，正方形ABCD即为所求， 根据网格和勾股定理可知AB2＝22+62＝40(个单位)， 所以正方形ABCD的面积为40个单位； (2)如答案图，正方形EFGH即为所求. 答案图 19.早在公元3世纪，我国数学家赵爽就用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图①），这个图形称为赵爽弦图．赵爽弦图验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a，b与斜边c满足关系式  ，称为勾股定理． （1）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图②），也能验证这个结论，请你帮助小明写出证明过程； （2）如图③所示，  ，请你添加适当的辅助线证明结论  19.证明：（1）  ∴  ∴  （2）如答案图，过点E作ED⊥BC交BC延长线于点D， ∴  ， ∵  ， ∴  ∴  ∵  ， ∴△ABC≌△CDE， ∴BC＝ED＝a，AB＝CD＝b， ∴  ， ∴  答案图 20.如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，且CD＝2，BD＝1． (1)求BC的长； (2)求AD的长． 20.解：(1)因为CD⊥AB，CD＝2，BD＝1， 所以∠BDC＝∠ADC＝90°， 所以  ； (2)设AD＝x，则AB＝x＋1， 因为∠ADC＝90°， 所以AC2＝AD2＋CD2＝x2＋4， 因为∠ACB＝90°， 所以AB2＝AC2＋BC2， 所以  ， 解得x＝4， 所以AD＝4． 21.我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82＝4×52＝100，所以这个三角形是常态三角形． （1）若△ABC三边长分别是3，2 和4，则此三角形______常态三角形（填“是”或“不是”）； （2）若Rt△ABC是常态三角形，求此三角形的三边长之比（请写出求解过程并将三边按从小到大排列）； （3）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AD＝DB＝DC，若△BCD是常态三角形，求△ABC的面积． 21.解：（1）是； 【解法提示】因为（2 ）2+42＝4×32＝36，所以△ABC是常态三角形. （2）因为Rt△ABC是常态三角形， 所以设两直角边长为a、b，斜边长为c， 则a2+b2＝c2，a2+c2＝4b2， 所以2a2＝3b2， 所以a∶b ∶ ， 设a x，b x， 则c x， 所以此三角形的三边比为 ∶ ∶ ； （3）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4， 所以AD＝BD＝CD， 因为△BCD是常态三角形， 当CD2+BD2＝4×42时， 解得BD＝CD＝4 ， 则AB＝8  ， 所以AC 4 ， 所以△ABC的面积为 8 ， 当CD2+BC2＝4×BD2时， 解得BD＝CD ， 则AB ， 所以AC ， 所以△ABC的面积为 4 ， 所以△ABC的面积为8 或 ． 22.【定义】我们定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． 【感知】若△ABC三边长分别是2，2 和 ，判断此三角形是否奇异三角形，说明理由； 【思考】已知Rt△ABC中，两边长分别是5，5 ，若这个三角形是奇异三角形，则第三边长是 ______； 【运用】若Rt△ABC是奇异三角形，直角边为a、b（a＜b），斜边为c，求a∶b∶c的值；（比值从小到大排列） 【创新】如图，以AB为斜边分别在AB的两侧作直角三角形，且AD＝BD，若四边形ADBC内存在点E，使得AE＝AD，CB＝CE．试说明：△ACE是奇异三角形． 22.解：【感知】是，理由如下， 在△ABC中，三边长分别是2，2 和 ， ∵22+（2 ）2＝2（ ）2， ∴△ABC是奇异三角形； 【思考】5 ； 【解法提示】①当5 为斜边时，另一条直角边 5，∵（5 ）2+52≠2×52或52+52 ，故5不符合；②当5 ，5是直角边时，斜边 5 ，∵ 2＝（5 ）2+52，∴5 符合. 【运用】根据奇异三角形的定义得a2+c2＝2b2， 又∵a2+b2＝c2， ∴b2＝2a2，c2＝3a2， ∴a：b：c＝1： ： ； 【创新】证明：∵∠ACB＝∠ADB＝90°， ∴AC2+BC2＝AB2，AD2+BD2＝AB2， ∵AD＝BD， ∴2AD2＝AB2， ∵AE＝AD，CB＝CE， ∴AC2+CE2＝2AE2， ∴△ACE是奇异三角形． 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.1勾股定理及其应用暑假巩固作业 一、选择题 1.下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（          ） A．1，1， B．1， ，2 C．4，5，6 D．6，8，10 2.已知直角三角形两边的长分别是3和4，求第三边的长.琪棋的解答过程：“当第三边是斜边时，第三边长为  .当第三边是直角边时，第三边长为  .故直角三角形第三边长是5或  .”琪棋的上述方法体现的数学思想是（          ） A.整体思想 B.转化思想 C.数形结合思想 D.分类讨论思想 3.在Rt△ABC中，斜边BC＝5，则AB2+AC2+BC2的值为（      ） A．15 B．25 C．50 D．无法计算 4.欧几里得的《原本》记载，形如x2+2ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝a．则该方程的一个正根是（      ） A．AD的长 B．AC的长 C．BC的长 D．CD的长 5.如图每个小正方形的边长均为1，其中点D与点P之间的距离为（      ） A． B． C． D． 6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝1，BC＝2，则AB的长是（      ） A． B． C．2 D． 7.如图，有一条橡皮筋放置在直线l上，固定两端A和B，然后把中点C竖直向上拉升8cm至点D，若此时橡皮筋的长度比原长伸长了4cm，则橡皮筋原长AB的长是（      ） A．29cm B．30cm C．31cm D．32cm 8.如图，Rt△ABC的两边往外作的正方形，其面积分别为S1，S2，若S1＝100，S2＝36，则BC边长为（      ） A．8 B．64 C．7 D．49 9.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB交BC于点E．若CE＝10，BE＝6，则△CDE的周长为（      ） A．18 B．20 C．22 D．24 10.我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（      ）   A． B．   C． D． 二、填空题 11.如图，边长为1的正方形网格中，AB______3.(填“＞”，“＝”或“＜”) 12.已知某直角三角形的两条直角边长的比为5：12，若该直角三角形的周长为60，则该直角三角形的斜边长为______． 13.如图，边长为1的正方形网格图中，点A，B都在格点上，若 ，则AC的长为______． 14.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题．对这个问题稍作改编，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC+AC＝7，AB＝5，AC＞BC，求AC的长．则AC的长为______． 15.如图，在△ABC中，AC=10，BC=20，AD为BC边上的高，AD=8．若动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着BC向终点C运动，当点P运动的时间为____________秒时，使得△PAC是以PC为腰的等腰三角形． 三、解答题 16.如图，在△ACD中，∠C＝90°，AB是DC边上的中线，若AB＝CD＝6，求AD的长． 17.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝24，BC＝7，CD＝15，求AD的长． 18.如图，方格纸上每个小正方形的面积为1个单位. (1)在方格纸上，请你以线段AB为边画正方形并计算所画正方形的面积，解释你的计算方法； (2)请你在图上画出一个面积为5个单位的正方形. 19.早在公元3世纪，我国数学家赵爽就用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图①），这个图形称为赵爽弦图．赵爽弦图验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a，b与斜边c满足关系式  ，称为勾股定理． （1）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图②），也能验证这个结论，请你帮助小明写出证明过程； （2）如图③所示，  ，请你添加适当的辅助线证明结论  20.如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，且CD＝2，BD＝1． (1)求BC的长； (2)求AD的长． 21.我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82＝4×52＝100，所以这个三角形是常态三角形． （1）若△ABC三边长分别是3，2 和4，则此三角形______常态三角形（填“是”或“不是”）； （2）若Rt△ABC是常态三角形，求此三角形的三边长之比（请写出求解过程并将三边按从小到大排列）； （3）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AD＝DB＝DC，若△BCD是常态三角形，求△ABC的面积． 22.【定义】我们定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． 【感知】若△ABC三边长分别是2，2 和 ，判断此三角形是否奇异三角形，说明理由； 【思考】已知Rt△ABC中，两边长分别是5，5 ，若这个三角形是奇异三角形，则第三边长是 ______； 【运用】若Rt△ABC是奇异三角形，直角边为a、b（a＜b），斜边为c，求a∶b∶c的值；（比值从小到大排列） 【创新】如图，以AB为斜边分别在AB的两侧作直角三角形，且AD＝BD，若四边形ADBC内存在点E，使得AE＝AD，CB＝CE．试说明：△ACE是奇异三角形． 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $