云南德宏傣族景颇族自治州2025-2026学年高三上学期期末教学质量统一监测数学试题

**基本信息** 德宏州2025高三期末数学卷以杨辉三角文化素材、掷游戏币生活情境为载体，通过基础（集合、复数）、能力（函数零点、立体几何夹角）、创新（数列证明）三级梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、向量、直线夹角|基础概念辨析，如向量数量积运算| |多选|3/18|三角函数性质、抛物线、杨辉三角|文化传承与数学史结合，如杨辉三角数字规律探究| |填空|3/15|函数定义域、正方体体积分割、比赛概率|空间想象与概率模型应用，如正方体体积比计算| |解答|5/77|椭圆方程、函数零点、立体几何翻折、概率游戏、数列证明|生活情境与逻辑推理融合，如掷游戏币概率及数列"G—数列"证明|

德宏州2025年高三年级秋季学期期末教学质量统一监测 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项：     1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将答题卡交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数（是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 3．若向量、满足：，，则（    ） A．1 B． C． D． 4．直线与直线所成角是（     ） A． B． C． D． 5．若命题“，”是假命题，则（ ） A． B． C． D． 6．在锐角△中，，，分别为内角，，的对边．已知，，，则（       ） A． B． C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．已知．若对于任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，下列结论中正确的是（    ） A．函数的周期是 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的最小值是 D．函数的图象关于点对称 10．已知抛物线：的焦点为F，C上一点到和到轴的距离分别为12和10，且点位于第一象限，以线段为直径的圆记为，则下列说法正确的是（     ） A． B．的准线方程为 C．圆的标准方程为 D．若过点，且与直线（为坐标原点）平行的直线与圆相交于A，B两点，则 11．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．他在1261年所著的《详解九章算法》给出图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示．杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．根据以上材料，则下列说法正确的是（    ）    A．第10行所有数字的和等于1024 B．第10行所有数字的平方和等于 C．若第n行的第i个数记为，则 D．记每一行的第个数组成的数列称为第k斜列，该三角形数阵前2024行中第k斜列各项之和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数的定义域为，，且，则= ． 13．如图，在正方体中，是的中点， 平面将正方体分成体积分别为，（）的 两部分，则 ．   14．小明和小红进行某项比赛（比赛结果没有平局），小明每局获胜的概率均为，每局比赛胜者获得1个积分，负者获得0个积分，记小明和小红两人积分之差的绝对值为．规定时，比赛结束且总积分多者获胜．若，，则在不超过5局比赛结束的条件下，小明以获胜的概率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 已知椭圆的两焦点为，，点为椭圆上一点，且 （1）求此椭圆的方程； （2）若点满足，求△的面积． 16．（本小题15分） 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有2个零点，求实数的取值范围． 17．（本小题15分） 如图1，菱形的边长为4，，是的中点，将△沿着翻折，使点到点处，连接，，得到如图2所示的四棱锥． （1）证明：； （2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值． ( A B C D E 图1 图2 ) 18．（本小题17分） 在一个温馨的周末，甲同学一家人齐聚在宽敞明亮的客厅里进行掷游戏币活动．假设每次掷游戏币出现正面的概率为，且，每次掷游戏币的结果相互独立． （1）当时，若甲连续投掷了两次，求至少出现一次正面向上的概率； （2）若规定每轮游戏只要连续不断的出现三次正面向上，则游戏结束，每轮最多连续投掷6次． ①甲在一轮游戏中恰好投掷了5次游戏结束的概率为，求的表达式； ②设甲在一轮游戏中投掷次数为，求的最大值． 19．（本小题17分） 已知递增数列的各项为正整数，前项和为，数列满足对任意的，均有成立，且． （1）证明：数列为等差数列，并求的通项公式； （2）若的公差大于1，定义首项为2且公比大于1的等比数列为“G—数列”，证明： ①对任意且，存在“—数列”，使得成立； ②当且时，不存在“—数列”，使得对任意正整数成立． 数学试卷·第4页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 德宏州2025年高三年级秋季学期期末教学质量统一监测 数学参考答案 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A B B D C B B 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分． 题号 9 10 11 答案 AC ACD ABC 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：共5小题，共77分． 15．（本小题13分） 解：（1）由题意，设椭圆的方程为， ∵焦点为，，∴，又， 所以，∴ ， ∵，∴． ∴所求椭圆的方程为． ………………………… 6分 （2）在△中，由余弦定理得 ，即， ∴ ，∴ ， 所以． ……………………………………………………………………………………13分 16．（本小题15分） 解：（1）由可得， ，， 故切线方程为，即． ………………………………………………………………………………………6分 （2）函数的定义域为，， 当时，．此时在上单调递减，至多有一个零点，不符合题意，舍去． 当时，令，得．此时在上，在单调递增；在上，在单调递减． 当时，；当时，． 故要使有两个零点，则需要，解得． ……………………………………………………………………………………15分 17．（本小题15分） 解：（1）在菱形中，．连接，则△是等边三角形． ∵是的中点 ∴ 在四棱锥中， ∵，，，，平面 ∴平面． ∵平面 ∴ ． …………………………5分 （2）∵菱形的边长为4，，是的中点，，． 由（1）知平面．以为坐标原点，以为轴正方向，为轴负方向建立空间直角坐标系（如图） 则，， ， 设，则． 由，，得 ， 解得：， ∴ ． …………………… 10分 ，，，． 设平面的法向量分别为，由，得： ． 令，则，，则平面的一个法向量为． ……………………………………………………………………………………12分 设平面的法向量分别为．由，得： ，则． 令，则，则平面的一个法向量为.………14分 设平面与平面的夹角为，则． 所以平面与平面的夹角的余弦值为． ………………………………………………………………………………………15分 18．（本小题17分） 解：（1）设事件表示第次正面向上，其中，且，， 设事件：“至少出现一次正面向上”． ………………………………………………………………………………………6分 （2）①设事件：“恰好投掷了5次游戏结束”，则． 故 ． 所以． …………………………………… 10分 ②由题意知：， ， ，， ， 则． 令，， 当时，，即在上单调递减，故， 因此，的最大值为． ………………………………17分 19．（本小题17分） 解：（1）∵ ， 又∵ ，， 所以， 当时，， 两式相减整理得：， 又：， 两式相减整理可得：， 由，当时，，即， 所以对任意的，，都有， 所以是等差数列，由，可得： ． ∴，． ………………………… 7分 （2）由于，∴ ．设“数列”的公比为，且． ①由题意，只需证存在对且，成立， 即成立，设，， 令，所以在上单增，上单减， 又∵ ∴ 所以，使得对任意且成立． 又，，， ，， 所以对任意且，均成立． 所以对任意且，存在“数列”，使得成立． ②由①知，若成立，则成立． 当时，． 取，由，，不存在， 所以当且时，不存在“数列”，使得对任意正整数成立． …………………………………………………17分 数学参考答案·第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $