专练1 巧用勾股定理解决问题（Word版）-【学海风暴】2026年八年级下册数学期末抢分卷（沪科版·新教材）

**基本信息** 聚焦勾股定理应用，通过最短路径、折叠、情境及数学文化模块，系统构建“问题建模-几何直观-推理计算”方法体系，强化空间观念与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |最短路径|3题|平面展开法（正方体/台阶/长方体）|立体转平面→两点线段最短→勾股定理计算| |折叠问题|3题|折叠性质+方程思想|轴对称性质→全等/等腰三角形→勾股定理列方程| |情境应用|2题|实际问题建模|云梯高度差→水平距离→直角三角形勾股关系| |赵爽弦图|4题|面积关系法/一题多解|直角三角形边长→正方形面积→勾股定理验证与拓展|

抢分小卷（二） 专练1 巧用勾股定理解决问题 1. 如图，一只蚂蚁沿着边长为的正方体表面从点出发，经过个侧面爬到点，则它爬行的最短路径是（ ） A. B. C. D. 2. 一个三级台阶如图所示，和是这个台阶两个相对的端点，点处有一只蚂蚁想到点处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为9，2和2，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为________． 3. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程是多少？（盒子底面蚂蚁无法到达） 4. 如图，长方形纸片沿对角线折叠，点落在处，交于，设重叠部分为，给出以下四个结论：①是等腰三角形；②和一定是全等三角形；③折叠后得到的图形是轴对称图形；④折叠后和一定相等．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，分别以矩形的边，所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系，点的坐标为．将矩形沿对角线折叠，点落在点处，交边于点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 几何直观 6. 如图，在矩形纸片中，，，把矩形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点． （1）请判断是什么三角形；并说明理由； （2）求的长． 情境应用 7. 情境应用 云梯消防车（如图①）设有伸缩式云梯，可带有升降斗转台及灭火装置，供消防人员登高进行灭火和营救被困人员，适用于高层建筑火灾的扑救．如图②，在一次消防演习中，某辆高为的云梯消防车在点处将云梯伸长去救援点处的被困人员．已知点处的被困人员距离地面的高度为，云梯伸长的长度保持不变，消防车水平向演习楼房的方向移动到点处去救援点处的被困人员．已知点处的被困人员距离地面的高度为，其中，消防车水平向演习楼房方向移动的距离（的长）为_______________． 8. 如下图，一架云梯斜靠在墙上，这时，云梯的长度比（云梯底端离墙的距离）的长度多，经测量． （1）判断与地面是否垂直，并说明理由． （2）若云梯的顶端沿墙下滑了到达点处，则云梯的底部是否也外移了？请说明理由． 一题多解法 9. 如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（ ） A. 128 B. 64 C. 32 D. 144 10. 某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为，，，则的长是（ ） A. B. 5 C. D. 一题多解法 11. 一题多解法 如图所示的是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，，，，分别是，，，的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为_______________． 12. 赵爽是我国古代著名的数学家，他为《周髀算经》作注解时，给出了“赵爽弦图”：四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大的正方形．如下图，边长为4的大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的，连接并延长交于点．若，求的长． 抢分小卷（二） 专练1 巧用勾股定理解决问题 【1题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与最短路径问题，先将正方体展开，然后找出最短路线，利用勾股定理直接计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时最短， ∴， 故选：． 【2题答案】 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题．用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 【详解】解：如图， 三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为9， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长， 即． 故答案为：15． 【3题答案】 【答案】它需要爬行的最短路程是 【解析】 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可．利用展开图的两种情况分析求解是解题关键． 【详解】解：当展开图如图1所示时， ，，， ，， . 当展开图如图2所示时， ，，， ，， . ， 所以它需要爬行的最短路程是. 【4题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据矩形的性质得到，，，，得出，由折叠的性质得出，，，，得到，继而得出是等腰三角形，①正确， 可证，可得到②③正确，无法得到和相等，进而判断④，即可得到答案． 【详解】解：长方形， ，，，， ， 由题可知， ，，，， ，，， ， 是等腰三角形， ①正确， 在和中， ， ②正确， 是等腰三角形，， 折叠后得到的图形是轴对称图形， ③正确， 折叠后，和不一定相等， ④错误， 综上正确的结论是：①②③， 故选：C ． 【5题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据长方形的性质和折叠的性质可得，设，则，，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴． 由折叠可知， ∴， ∴． ∵， ∴，，． 设，则，． ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标是． 几何直观 【6题答案】 【答案】（1）等腰三角形，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，等腰三角形的判定等知识点． （1）根据平行线+角平分线即可证明等腰三角形； （2）设，则，然后在中由勾股定理建立方程求解． 【小问1详解】 解：是等腰三角形，理由如下： ∵折叠， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵矩形， ∴，， 设， 则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴． 情境应用 【7题答案】 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，在和中利用勾股定理分别求出和的长，最后利用即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点． 根据题意，得，，，，， ∴，． 在中，， ∴． 在中，， ∴， ∴， 即消防车水平向演习楼房方向移动的距离为． 【8题答案】 【答案】（1）地面．理由见解析 （2）云梯的底部也外移了．理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理逆定理即可证明是直角三角形； （2）由勾股定理求出的长即可得出结论． 【小问1详解】 解：地面．理由如下： 在中，由题意可知，，，． ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴地面． 【小问2详解】 解：云梯的底部也外移了．理由如下： 由题意可知，，． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴云梯的底部也外移了． 一题多解法 【9题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】13和5为两条直角边长时，求出小正方形的边长8，即可利用勾股定理得出EF2的长． 【详解】解：根据题题得：小正方形的边长等于BE-AE， ∵，， ∴小正方形的边长=13-5=8， ∴． 故选：A 【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 【10题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明，正方形面积的计算，整式的运算等，掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理结合正方形的面积公式以及面积关系列出等式，即可求解． 【详解】解：设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边长为c，则：， 由题意，得：，，， ， ， ， ， ， 即， ， 故选：C． 一题多解法 【11题答案】 【答案】15 【解析】 【分析】根据题意设，则，则根据勾股定理列式，继而得到，即可得到本题答案；也可以根据三角形中线的性质得到面积相等，即可得到，代入数据进行求解即可． 【详解】解：由题意可知．设，则． ∵的长为5，， ∴，解得（负值已舍去）， ∴阴影部分的面积． 一题多解法 ∵，，，分别是，，，的中点， ∴，，，． 又∵四边形是正方形， ∴， ∴． 【12题答案】 【答案】． 【解析】 【分析】过点作于点，设与交于点，利用已知条件和正方形的性质，全等三角形的性质得到，利用等腰三角形的三线合一性质，平行线的性质，对顶角相等和等量代换得到为等腰三角形，再利用等腰三角形的三线合一的性质和勾股定理解答即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作于点，设与交于点． ∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴． ∵边长为的大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，则，． 在中，， 即，解得， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $