精品解析：2026年江苏省 扬州市京华梅岭中学九年级数学二模模试卷 （5月）

扬州市京华梅岭中学2025-2026学年第二学期初三二模考试试卷 数学学科 （满分：150分，时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据完全平方公式、同底数幂乘法、同底数幂除法、合并同类项法则逐一进行分析判断即可． 【详解】因为，所以选项A错误； ，所以B选项正确； ，故选项C错误； 因为与不是同类项，不能合并，故选项D错误， 故选B． 【点睛】本题考查了整式的运算，涉及了完全平方公式、同底数幂乘除法等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键． 3. 如图是某几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是（ ） A. 长方体 B. 球 C. 三棱柱 D. 圆柱 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何体的三视图逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 长方体的主视图、左视图、俯视图都是矩形，故A不符合题意； 球的主视图、左视图、俯视图都是圆，故B不符合题意； 三棱柱的俯视图是三角形，故C不符合题意； 圆柱主视图、左视图、俯视图，分别是矩形、矩形、圆，故D选项符合题意， 故选D； 【点睛】本题考查几何体的三视图，解题的关键是熟练掌握几种几何体的三视图． 4. 扬州是著名的长毛绒玩具之都．生产的长毛绒玩具深受国内外游客青睐．今年“烟花三月”国际经贸旅游节期间，某玩具商店一个星期销售的长毛绒玩具数量如下： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 玩具数量（件） 则这个星期该玩具商店销售长毛绒玩具的平均数和中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数的定义及中位数的定义直接求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 将数据排列可得，， ∴中位数是， 平均数为：， 故选B； 【点睛】本题考查平均数的定义及中位数的定义，解题的关键是熟练掌握两个定义． 5. 某商场为了解用户最喜欢的家用电器，设计了如下尚不完整的调查问卷：该商场准备在“①制冷电器，②微波炉，③冰箱，④电饭锅，⑤空调，⑥厨房电器”中选取四个作为问卷问题的备选项目，你认为最合理的是（ ） 调查问卷 ________年________月________日 你最喜欢的一种家用电器是（ ）（单选） A B C D A. ①②③④ B. ①③⑤⑥ C. ③④⑤⑥ D. ②③④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】制冷电器包括冰箱和空调；厨房电器包括微波炉和电饭锅，不能并列判断即可． 【详解】∵制冷电器包括冰箱和空调；厨房电器包括微波炉和电饭锅， ∴常用的家用电器应是②③④⑤， 故选D． 【点睛】本题考查了经验积累，熟练掌握家用电器的类型是解题的关键． 6. 如图，⨀O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC的长为( ) A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】连接CD，由圆周角定理得出∠ACD＝90°，∠ADC＝∠ABC，证出∠ADC＝∠DAC，得出AC＝DC，△ACD是等腰直角三角形，得出AD＝AC，即可的AC的长． 【详解】解：连接CD，如图所示： ∵AD是⨀O的直径， ∴∠ACD＝90°， ∵∠ADC＝∠ABC，∠ABC＝∠DAC， ∴∠ADC＝∠DAC， ∴AC＝DC，△ACD是等腰直角三角形， ∴AD＝AC， ∴AC＝＝＝2， 故选A．   【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握圆周角定理，证明△ACD是等腰直角三角形是解题关键． 7. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，列出方程组即可． 【详解】解：设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为 ； 故选A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，两点，于点，是线段上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为（　　） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点的运动确定的运动轨迹是在与轴垂直的一段线段，当线段与垂直时，线段的值最小． 【详解】解：由已知可得，，， 三角形是等腰直角三角形， ， ， 又是线段上动点，将线段绕点逆时针旋转， 在线段上运动，所以的运动轨迹也是线段， 当在点时和在点时分别确定的起点与终点， 的运动轨迹是在与轴垂直的一段线段， 当线段与垂直时，线段的值最小， 在中，，， ，  又是等腰直角三角形， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，动点运动轨迹的判断，垂线段最短，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 2026年3月29日扬州半程马拉松暨第四届东亚半程马拉松锦标赛在扬州举行，来自35个国家和地区的23000名跑者齐聚这个“好地方”，在春日的赛道上挥洒激情，感受扬州的人文与生态魅力．数据23000用科学记数法可以表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可求解． 【详解】解：数据23000用科学记数法可以表示为． 10. 函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】由题意得，解得， 故答案为：． 11. 因式分解___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行二次因式分解． 【详解】解： 12. 某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数 50 100 200 500 1000 1500 2000 次品的频数 2 5 12 29 54 74 102 次品的频率（精确到0.001） 0.040 0.050 0.060 0.058 0.054 0.049 0.051 从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是次品的概率估计值是_____（精确到0.01）． 【答案】 【解析】 【详解】解：由表格数据可知，随着试验次数不断增加，次品的频率逐渐稳定在， 则任意抽取一只乒乓球是次品的概率估计值是． 13. 若圆锥的高是，底圆半径是，则圆锥的全面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再分别计算圆锥的侧面积与底面积，两者相加即可得到圆锥的全面积． 【详解】解：设圆锥母线长为，底面圆半径为，圆锥的高为． 由题意得：，． 根据勾股定理可得母线长 ． 圆锥的侧面积 ． 圆锥的底面积 ． 圆锥的全面积 ． 14. 如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为______．    【答案】##210度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过顶点做直线 支撑平台，直线将分成两个角，根据平行的性质即可求解． 【详解】解：过顶点做直线 支撑平台， 支撑平台工作篮底部， 、， ， ， ． 15. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点、、都在格点上，则的值是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】作交于点，先通过，得到的长度，再通过勾股定理求得，在利用面积法求得，最后利用求得答案． 【详解】解：如图所示，作交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 16. 若在同一平面内将边长相等的正五边形徽章和正六边形模具按如图所示的位置摆放，连接并延长至点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正边形内角和，则正边形一个内角的度数，即可求得正五边形与正六边形每个内角的度数，由周角是可得的度数，再根据是等腰三角形可求出，最后根据平角是即可求解． 【详解】解：五边形是正五边形， ， 六边形是正六边形， ， , 正五边形与正六边形的边长相等， ， 是等腰三角形， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形内角和公式，以及求正多边形每个内角的度数，理解并熟练记忆公式，灵活根据题意运用等腰三角形两底角相等、以及平角、周角相结合求角度是解题的关键． 17. 如图，已知直线l：y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于点A，B，双曲线（k＞0，x＞0）与直线l不相交，E为双曲线上一动点，过点E作EG⊥x轴于点G，EF⊥y轴于点F，分别与直线l交于点C，D，且∠COD＝45°，则k＝_____． 【答案】8 【解析】 【分析】证明△ODA∽△CDO，则OD2＝CD•DA，而则OD2＝（4﹣n）2+n2＝2n2﹣8n+16，CD＝（m+n﹣4），DA＝n，即可求解． 【详解】解：点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，4）， 即：OA＝OB，∴∠OAB＝45°＝∠COD， ∠ODA＝∠ODA，∴△ODA∽△CDO， ∴OD2＝CD•DA， 设点E（m，n），则点D（4﹣n，n），点C（m，4﹣m）， 则OD2＝（4﹣n）2+n2＝2n2﹣8n+16， CD＝（m+n﹣4），DA＝n， 即2n2﹣8n+16＝（m+n﹣4）×n， 解得：mn＝8＝k， 故答案为8． 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到三角形相似、一次函数等知识点，关键是通过设定点E的坐标，确定相关线段的长度，进而求解． 18. 如图所示，在圆环的10个空格内分别填入1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字，将所有相邻两个格子（具有公共边）内的两数之差的绝对值相加，若使这个和最大，则此最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知及要求，1~10的十个数字应大小间隔相排，如10，1，9，2，8，3，7，4，6，5且相邻两个格子(具有公共边)两个数之差的绝对值之和最大． 【详解】解：如图所示： 最大值． 故此最大值为50． 三．解答题（共10题，共96分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解不等式组，并写出的所有整数解． 【答案】，所有整数解为 【解析】 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以原不等式组的解集为， 所以所有整数解为． 21. “身上有汗，眼里有光”是教育部近年来大力倡导的健康第一教育理念的具体体现，要求中小学生每天参加综合体育活动时间不少于2小时．某中学为了解学生参加体育活动的情况，随机抽查部分学生进行了在线问卷调查． 调查问卷 1．你最喜欢参加的体育活动类型是什么？（单选） A．田径类 B．体操类 C．球类 D．其他类 2．你每天参加综合体育活动的时间是多少？ 学校根据调查结果绘制出不完整的统计图，请根据图中信息，回答下列问题． （1）随机抽查了________名学生，扇形图中最喜欢的“球类”活动类型的圆心角是________； （2）估计该校780名学生中每天参加体育活动的时间不少于2小时的学生人数； （3）基于本次调查的两项数据，给学校提一条合理的建议． 【答案】（1）130， （2）360人 （3）适当增设球类、田径类活动项目，并引导每天运动时间少于2小时的学生多参加体育活动（合理即可，答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）条形统计图中各组数据相加可得学生总数；用360度乘以“球类”活动所占百分比可得对应的圆心角； （2）利用样本估计总体思想求解； （3）合理即可，答案不唯一． 【小问1详解】 解：， 即随机抽查了130名学生； 扇形图中最喜欢的“球类”活动类型的圆心角为：； 【小问2详解】 解：， 答：估计该校780名学生中每天参加体育活动的时间不少于2小时的学生人数为360人； 【小问3详解】 解：根据学生最喜欢的体育活动类型以及每天参加综合体育运动时间达2小时的人数不到一半的情况，建议学校可以适当增设球类、田径类活动项目，并引导每天运动时间少于2小时的学生多参加体育活动． 22. 2026年江苏省城市足球联赛常规赛于4月11日正式开赛，四场比赛分别是常州南通，扬州苏州，无锡镇江，连云港盐城． （1）有四场足球赛：常州南通，扬州苏州，无锡镇江，连云港盐城．小明随机观看一场，则观看扬州苏州的概率为___________； （2）某比赛场馆共有四个入口：入口2，3通往南看台，入口1，4通往北看台．小华和小丽将随机选择入口进入场馆现场观看比赛，求他们在相同一侧看台观赛的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用“随机事件的概率该事件可能出现的结果数所有等可能出现的结果总数”这一公式求解； （2）先通过列表法列出两人选择入口的所有等可能结果，再统计出“两人选择同一侧看台”的结果数，最后用目标结果数除以总结果数得到概率． 【小问1详解】 解：由题意可知，共有4场比赛，小明随机观看一场，其中观看扬州苏州的情况只有1种， 则观看扬州苏州的概率为； 【小问2详解】 解：根据题意，用列表法列出所有可能的结果： 小华小丽 1(北) 2(南) 3(南) 4(北) 1（北） 2（南） 3（南） 4（北） 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两人在同一侧看台的结果有8种： 同在北看台： 同在南看台： 答：他们在相同一侧看台观赛的概率为． 23. 为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在一条河堤的两岸共栽树9600棵．由于青年志愿者支援，实际每天栽树的棵数是原计划的倍，结果提前4天完成栽树任务，求原计划每天栽树多少棵？ 【答案】600棵 【解析】 【分析】设原计划每天种树棵，则实际每天种树为棵，根据实际比原计划提前4天完成任务，列方程求解． 【详解】解：设原计划每天栽树棵， 则根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， 答：原计划每天栽树600棵． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 24. 在中，，，，点D是的中点，过点A作，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交AC于点O，过点O作．垂足为F，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，，推出四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边中线的性质得出，，即可求证平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出，则，推出，即可求解，根据勾股定理求出，用等面积法得出，即可求出，最后根据勾股定理即可得出． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，且D是中点， ∴，， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵平行四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 可得：， 在中，， ∵， ∴， 即，则， 在中，． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有一组邻边相等的平行四边形是菱形；相似三角形对应边成比例． 25. 如图，四边形的顶点A，B，C在上，，直径与弦相交于点F，点D是延长线上的一点，． （1）求证：是的切线； （2）若四边形是平行四边形，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握切线的判定方法，圆周角定理，是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，推出，根据等边对等角，推出，根据直径得到，进而得到，继而得到，即，即可得证； （2）由平行四边形的性质得到，根据，得到，求出的长，证明是菱形，得到为等边三角形，进而得到，解，求出的长即可． 【小问1详解】 证明：如图1，连接， ，， ． ， ． 是的直径， ，即． ， ，即． 为的半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：如图2， 四边形是平行四边形， ． 又， ， ． ， 是菱形， ． 为等边三角形， ∴． 在中，． 26. 尺规作图：如图，已知等腰和直线，其中，．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）在图1中，利用尺规在直线上作出点，使得；（作出一点即可） （2）在图2中，利用尺规在直线上作出点，使得．（作出一点即可） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、圆周角定理、等边对等角，根据三角形外接圆的性质作图是解题的关键． （1）以点为圆心，为半径画圆，交直线于点（点、在的同侧），连接，，利用圆周角定理可得，则点即为所求； （2）在上截取点使得，作的外接圆，交直线于点（点、在的同侧），连接，，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得，再根据同弧所对的圆周角相等得到，则点即为所求． 【小问1详解】 解：如图，以点为圆心，为半径画圆，交直线于点（点、在的同侧），连接，， ∵， ∴， ∴点即为所求； 【小问2详解】 解：如图，在上截取点使得，作的外接圆，交直线于点（点、在的同侧），连接，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点即为所求． 27. 如图1，已知抛物线的顶点坐标为（0，1）且经过点A（1，2），直线y＝3x﹣4经过点B（，n），与y轴交点为C． （1）求抛物线的解析式及n的值； （2）将直线BC绕原点O逆时针旋转45°，求旋转后的直线的解析式； （3）如图2将抛物线绕原点O顺时针旋转45°得到新曲线，新曲线与直线BC交于点M、N，点M在点N的上方，求点N的坐标． 【答案】（1）y＝x2+1，n＝2；（2）y＝﹣2x+4；（3）N（，）． 【解析】 【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝ax2+1，将点A坐标代入上式得：2＝a+1，即可求解； （2）点B围绕点O逆时针旋转45°，落在y轴上，设为点B′（0，4），同理点C（0，﹣4）围绕点O逆时针旋转45°，设旋转后该点对应点C′（4，﹣4），即可求解； （3）在图2中，作直线y＝﹣2x+4交抛物线于点N′，则抛物线和直线y＝﹣2x+4绕原点O顺时针旋转45°得到新曲线和直线线y＝3x﹣4，由ON＝ON′，即可求解． 【详解】解：（1）抛物线的表达式为：y＝ax2+1， 将点A坐标代入上式得：2＝a+1，解得：a＝1， 故抛物线的表达式为：y＝x2+1， n＝3×2﹣4＝2； （2）∵点B的横坐标和纵坐标相同，BO＝4， 故点B围绕点O逆时针旋转45°，落在y轴上，设为点B′（0，4）， 同理点C（0，﹣4）围绕点O逆时针旋转45°，设旋转后该点对应点C′（4，﹣4）， 将BC坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：，解得：， 故旋转后直线的表达式为：y＝﹣2x+4； （3）在图2中，作直线y＝﹣2x+4交抛物线于点N′， 则抛物线和直线y＝﹣2x+4绕原点O顺时针旋转45°得到新曲线和直线线y＝3x﹣4， 联立y＝x2+1与y＝﹣2x+4并解得：x＝1或﹣3（舍去﹣3），故点N′（1，2）， 设点N（m，3m﹣4）， 由题意得：ON＝ON′， 即：，解得：m＝（不合题意值已舍去）， 故点N′（，）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形、图象的旋转等知识点，其中（3），利用两个图象同时旋转，确定对应点N、N′的关系，是本题的突破点． 28. 在平面直角坐标系xOy中，对于ABC，点P在BC边的垂直平分线上，若以点P为圆心，PB为半径的⨀P与ABC三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P为ABC关于边BC的“Math点”．如图所示，点P即为ABC关于边BC的“Math点”．已知点P(0，4)，Q(a，0)． （1）如图1，a＝4，在点A(1，0)、B(2，2)、C(，)、D(5，5)中，POQ关于边PQ的“Math点”为　 　． （2）如图2，， ①已知D(0，8)，点E为POQ关于边PQ的“Math点”，请直接写出线段DE的长度的取值范围； ②将POQ绕原点O旋转一周，直线交x轴、y轴于点M、N，若线段MN上存在POQ关于边PQ的“Math点”，求b的取值范围． 【答案】（1）B，C；（2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据“Math点”的定义，结合图象判断即可． （2）①首先证明∠PQO＝30°，当点E与PQ的中点K重合时，点E是△POQ关于边PQ的“Math点”，此时E（2，2），当⊙E′与x轴相切于点Q时，E′（4，8），推出DE′＝4，观察图象可知，当点E在线段KE′上时，点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，求出点D到直线E′K的最小值，即可解决问题． ②如图3中，分别以O为圆心，2和4为半径画圆，当线段MN与图中圆环有交点时，线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，求出直线MN与大圆或小圆相切时b的值，即可判断． 【详解】解：（1）根据“Math点”的定义，观察图象可知，△POQ关于边PQ的“Math点”为B、C． 故答案为：B，C． （2）如图2中，∵P（0，4），Q（4，0）， ∴OP＝4，OQ＝4， ∴tan∠PQO＝， ∴∠PQO＝30°， ①当点E与PQ的中点K重合时，点E是△POQ关于边PQ的“Math点”，此时E（2，2）， ∵D（0，8）， ∴DE＝＝4， 当⊙E′与x轴相切于点Q时，E′（4，8）， ∴DE′＝4， 观察图象可知，当点E在线段KE′上时，点E为△POQ关于边PQ的“Math点”， ∵E′Q⊥OQ， ∴∠E′QO＝90°， ∴∠E′QK＝60°， ∴∠E′KQ＝90°， ∴∠EE′Q＝30°， ∵DE′∥OQ， ∴∠DE′K＝60°， ∵DE′＝DK， ∴△DE′K是等边三角形， ∵点D到E′K的距离的最小值为4•sin60°＝6， ∴． ②如图3中，分别以O为圆心，2和4为半径画圆， 当线段MN与图中圆环有交点时，线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”， 当直线MN与小圆相切时，b＝±4， 当直线MN与大圆相切时，b＝±8， 观察图象可知，满足条件的b的值为：或． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，三角形的外接圆，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象，寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市京华梅岭中学2025-2026学年第二学期初三二模考试试卷 数学学科 （满分：150分，时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图是某几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是（ ） A. 长方体 B. 球 C. 三棱柱 D. 圆柱 4. 扬州是著名的长毛绒玩具之都．生产的长毛绒玩具深受国内外游客青睐．今年“烟花三月”国际经贸旅游节期间，某玩具商店一个星期销售的长毛绒玩具数量如下： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 玩具数量（件） 则这个星期该玩具商店销售长毛绒玩具的平均数和中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 某商场为了解用户最喜欢的家用电器，设计了如下尚不完整的调查问卷：该商场准备在“①制冷电器，②微波炉，③冰箱，④电饭锅，⑤空调，⑥厨房电器”中选取四个作为问卷问题的备选项目，你认为最合理的是（ ） 调查问卷 ________年________月________日 你最喜欢的一种家用电器是（ ）（单选） A B C D A. ①②③④ B. ①③⑤⑥ C. ③④⑤⑥ D. ②③④⑤ 6. 如图，⨀O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC的长为( ) A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 7. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，两点，于点，是线段上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为（　　） A. B. 1 C. D. 二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 2026年3月29日扬州半程马拉松暨第四届东亚半程马拉松锦标赛在扬州举行，来自35个国家和地区的23000名跑者齐聚这个“好地方”，在春日的赛道上挥洒激情，感受扬州的人文与生态魅力．数据23000用科学记数法可以表示为___________． 10. 函数中，自变量x的取值范围是________． 11. 因式分解___________． 12. 某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数 50 100 200 500 1000 1500 2000 次品的频数 2 5 12 29 54 74 102 次品的频率（精确到0.001） 0.040 0.050 0.060 0.058 0.054 0.049 0.051 从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是次品的概率估计值是_____（精确到0.01）． 13. 若圆锥的高是，底圆半径是，则圆锥的全面积是___________． 14. 如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为______．    15. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点、、都在格点上，则的值是___________． 16. 若在同一平面内将边长相等的正五边形徽章和正六边形模具按如图所示的位置摆放，连接并延长至点，则______． 17. 如图，已知直线l：y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于点A，B，双曲线（k＞0，x＞0）与直线l不相交，E为双曲线上一动点，过点E作EG⊥x轴于点G，EF⊥y轴于点F，分别与直线l交于点C，D，且∠COD＝45°，则k＝_____． 18. 如图所示，在圆环的10个空格内分别填入1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字，将所有相邻两个格子（具有公共边）内的两数之差的绝对值相加，若使这个和最大，则此最大值为___________． 三．解答题（共10题，共96分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解不等式组，并写出的所有整数解． 21. “身上有汗，眼里有光”是教育部近年来大力倡导的健康第一教育理念的具体体现，要求中小学生每天参加综合体育活动时间不少于2小时．某中学为了解学生参加体育活动的情况，随机抽查部分学生进行了在线问卷调查． 调查问卷 1．你最喜欢参加的体育活动类型是什么？（单选） A．田径类 B．体操类 C．球类 D．其他类 2．你每天参加综合体育活动的时间是多少？ 学校根据调查结果绘制出不完整的统计图，请根据图中信息，回答下列问题． （1）随机抽查了________名学生，扇形图中最喜欢的“球类”活动类型的圆心角是________； （2）估计该校780名学生中每天参加体育活动的时间不少于2小时的学生人数； （3）基于本次调查的两项数据，给学校提一条合理的建议． 22. 2026年江苏省城市足球联赛常规赛于4月11日正式开赛，四场比赛分别是常州南通，扬州苏州，无锡镇江，连云港盐城． （1）有四场足球赛：常州南通，扬州苏州，无锡镇江，连云港盐城．小明随机观看一场，则观看扬州苏州的概率为___________； （2）某比赛场馆共有四个入口：入口2，3通往南看台，入口1，4通往北看台．小华和小丽将随机选择入口进入场馆现场观看比赛，求他们在相同一侧看台观赛的概率． 23. 为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在一条河堤的两岸共栽树9600棵．由于青年志愿者支援，实际每天栽树的棵数是原计划的倍，结果提前4天完成栽树任务，求原计划每天栽树多少棵？ 24. 在中，，，，点D是的中点，过点A作，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交AC于点O，过点O作．垂足为F，求的长． 25. 如图，四边形的顶点A，B，C在上，，直径与弦相交于点F，点D是延长线上的一点，． （1）求证：是的切线； （2）若四边形是平行四边形，，求的长． 26. 尺规作图：如图，已知等腰和直线，其中，．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）在图1中，利用尺规在直线上作出点，使得；（作出一点即可） （2）在图2中，利用尺规在直线上作出点，使得．（作出一点即可） 27. 如图1，已知抛物线的顶点坐标为（0，1）且经过点A（1，2），直线y＝3x﹣4经过点B（，n），与y轴交点为C． （1）求抛物线的解析式及n的值； （2）将直线BC绕原点O逆时针旋转45°，求旋转后的直线的解析式； （3）如图2将抛物线绕原点O顺时针旋转45°得到新曲线，新曲线与直线BC交于点M、N，点M在点N的上方，求点N的坐标． 28. 在平面直角坐标系xOy中，对于ABC，点P在BC边的垂直平分线上，若以点P为圆心，PB为半径的⨀P与ABC三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P为ABC关于边BC的“Math点”．如图所示，点P即为ABC关于边BC的“Math点”．已知点P(0，4)，Q(a，0)． （1）如图1，a＝4，在点A(1，0)、B(2，2)、C(，)、D(5，5)中，POQ关于边PQ的“Math点”为　 　． （2）如图2，， ①已知D(0，8)，点E为POQ关于边PQ的“Math点”，请直接写出线段DE的长度的取值范围； ②将POQ绕原点O旋转一周，直线交x轴、y轴于点M、N，若线段MN上存在POQ关于边PQ的“Math点”，求b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $