精品解析：2026年广西隆安县部分学校中考二模九年级数学试卷

数学 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】无理数是无限不循环小数，由无理数定义逐项验证即可． 【详解】解：四个选项中，都是有理数，是无理数． 2. 年春节假期，全国国内出游约亿人次，较年春节假期增加亿人次，创历史新高，其中数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可解题，当原数绝对值大于等于10时，为正整数，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：亿， 将表示为科学记数法时，满足，要使，则小数点向左移动了位， ∴， 即亿用科学记数法表示为． 3. 下列各平面图形绕轴旋转一周后，得到的立体图形为圆柱的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟悉常见图形的旋转得到立体图形是解题的关键．根据面动成体可知长方形绕其一条边旋转一周所得的立体图形是圆柱即可得到答案． 【详解】解：长方形绕其一条边旋转一周所得的立体图形是圆柱， ∴得到的立体图形为圆柱的是B选项， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法及幂的乘方运算逐项验证即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能进行合并，选项计算错误； B、，选项计算正确； C、，选项计算错误； D、，选项计算错误． 5. 如图，把一个含角的直角三角板的直角顶点放在直线b上，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据两直线平行，同位角相等得，再根据平角的定义得． 【详解】如图， ∵， ∴， ∴． 6. 初中生课外阅读应优先选择语文教材推荐的必读书籍，这些书籍与语文课程紧密结合，是中考常见考点，能有效提升文学素养与应试能力．此外，可拓展人文、科学领域的经典作品以丰富视野．某本名著有页，小明同学每天看3页，则天后没看的页数有（ ） A. 页 B. 页 C. 页 D. 页 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵小明同学每天看页， ∴小明n天看页， ∵该名著有页， ∴n天后没看的页数有页． 7. 如图，高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其中的数学原理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 平行线之间的距离最短 【答案】C 【解析】 【详解】解：在高速公路的建设中，通常从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程， 其中的数学原理是：两点之间，线段最短． 故选：C． 8. 若，则m的值为（ ） A. B. C. 2 D. 10 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 9. 如图，大和小分别是等边的外接圆和内切圆，笑笑随意向水平放置的大内部区域抛一个飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】记与小相切于点，与小相切于点，连接，，，根据等边三角形的性质可知，，根据含角的直角三角形的性质可知，设，则，根据圆的面积公式求出阴影圆与大的面积比即为飞镖落在阴影区域的概率． 【详解】解：如下图所示，记与小相切于点，与小相切于点，连接，，， 为等边三角形， ， ，， ， 设，则， 飞镖落在阴影区域的概率为． 10. 在一定温度下，甲、乙、丙三种物质水中的溶解度曲线如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙、丙三种物质的溶解度都随温度的升高而增大 B. 时，丙的饱和溶液的浓度最大 C. 时，乙和丙的溶解度相同 D. 乙物质的溶解度始终大于甲物质的溶解度 【答案】B 【解析】 【详解】A、由题可知，甲、乙两种物质的溶解度都随温度的升高而增大，丙物质的溶解度随温度的升高而减小，故选项A说法错误，不符合题意； B、时，丙的溶解度为，大于甲、乙的溶解度，溶解度越大，浓度越高，所以在水中，丙的饱和溶液的质量最大，故选项B说法正确，符合题意； C、时，甲和丙的溶解度相等，乙和丙的溶解度不相同，故选项C说法错误，不符合题意； D、记温度为t，当时，乙物质的溶解度大于等于甲物质的溶解度，当时，甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度，故选项D说法错误． 故选：B． 11. 如图，木棒竖直举起靠近墙面，打开手机手电筒P照射木棒（点P在的垂直平分线上且位于右侧），在墙面上形成投影，已知，，此时点P到的距离为，若木棒不动，水平移动手机手电筒P使投影的长度缩短，则点P相对于木棒的移动方式（ ） A. 向左平移 B. 向右平移 C. 向左平移 D. 向右平移 【答案】B 【解析】 【分析】过点P作于点F，交于点E，证明得，即可求出，移动后过点作于点，交于点，，同理，则，即，求出，即可求解． 【详解】如图，过点P作于点F，交于点E， ∵， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 移动后如图，过点作于点，交于点， ∵投影的长度缩短了， ∴， 同理， ∴，即， ∴， 经检验，是原分式方程的根， ∴点P相对于木棒向右平移了． 12. 如图，在等边中，，，分别是，上一点，且，连接，当的面积最大时，的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点F，设，利用等边三角形的性质得到，利用三角函数求出高的长度，然后根据三角形面积公式列出的面积关于的二次函数表达式，最后根据二次函数开口向下的性质，求出顶点横坐标即为面积最大时的长度． 【详解】解：如图，过点作于点F，设， ∵是等边三角形， ∴，， 在中， ，， ∴， ∴，， ∴关于的二次函数图象开口向下，当， 即时，有最大值． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 如图，直线相交于点．若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】由对顶角相等即可得到答案 【详解】解：与是对顶角， ． 14. 甲、乙两人比赛成绩如图，则________的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【解析】 【分析】根据方差的意义即数据波动越小，数据越稳定即可得出答案． 【详解】解：根据图形可得：乙的成绩波动小，数据稳定，则两人成绩最稳定的是乙． 故答案是：乙． 【点睛】本题考查了方差的意义，理解方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定是解题的关键． 15. 正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是正六边形，连接．若，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作于点，由正六边形性质得到、，由等腰三角形三线合一得到及长度，最后在中，由正弦三角函数值定义列式计算即可． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ∵六边形是正六边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴在中，． 16. 元宵节是中国传统节日之一，象征着万家团圆．如图是2026年元宵节所在月的月历图，在该月历图中可以用十字框圈出5个数．若圈出的这5个数的和为70，则十字框正中间的数为______． 【答案】14 【解析】 【分析】设十字框正中间的数为x，则其左侧的数为，右侧的数为，上方的数为，下方的数为，根据圈出的这5个数的和为70，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设十字框正中间的数为x，则其左侧的数为，右侧的数为，上方的数为，下方的数为， 根据题意，得 ，即， 解得， 即十字体正中间的数为14． 三、解答题本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算括号里的减法，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先计算括号里的减法，再计算乘法． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，已知菱形，连接，为的中点． （1）利用尺规作四边形，使得四边形为平行四边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，若，，请求出的面积． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）依据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可用尺规作图画出四边形； （2）连接交于点，由四边形为菱形，可得，，再利用勾股定理求出，从而求出，利用和即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图①所示，四边形即为所求作（作法不唯一）， 以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，，则四边形即为所求作， ∵，， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：如图②所示，连接交于点，连接， 四边形为菱形，， ，， ， 在中，由勾股定理得， ， 四边形为平行四边形， ，， 为的中点， ． 19. 某数学社团为了解学生对数学文化知识的掌握情况，在七八年级开展数学文化知识竞赛活动，现从两个年级各随机抽取了10名学生的成绩（满分100分），具体如下： 七年级：69，79，87，88，88，94，94，94，100，100． 八年级：65，69，82，96，96，98，99，100，100，100． 并对这些成绩进行了整理、分析如下表： 【整理数据】 七年级人数 八年级人数 A 1 2 B 1 0 C a 1 D 5 7 【分析数据】 项目 平均数 中位数 众数 满分率 七年级 89.3 91 c 八年级 90.5 b 100 【解决问题】根据以上信息，解答下列问题： （1）_______，_______，_______； （2）若七、八年级学生分别有600人和500人，请估计本次竞赛活动中的满分人数； （3）你认为哪个年级的学生对数学文化知识的掌握情况更好?请说明理由（写出一条即可）． 【答案】（1）3，97，94 （2）270人 （3）我认为八年级的学生对数学文化知识的掌握情况更好，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据七年级的样本容量及A、B、D的人数，求出C的人数，即可得a的值，根据中位数、众数的定义即可得b、c的值； （2）根据七、八年级样本数据中满分人数的占比，估计总体数量即可； （3）根据平均数分析即可．（答案不唯一，合理即可） 【小问1详解】 解：， 八年级的中位数， 七年级抽取的10名学生的成绩中，出现最多的是94，所以七年级的众数； 【小问2详解】 解：七年级抽取的10名学生的成绩中满分的有2人，占比，八年级抽取的10名学生的成绩中满分的有3人，占比， ∴（人）， 答：估计本次竞赛活动中的满分人数为270人； 【小问3详解】 解：我认为八年级的学生对数学文化知识的掌握情况更好，理由如下： 因为七年级的平均数为89.3，八年级的平均数为90.5，，所以八年级学生对数学文化知识的掌握情况更好．（答案不唯一，合理即可） 20. 如图，在中，以为直径的交于点，为上的一点，连接，． （1）若，求证：是的切线; （2）若，且的长为，求的半径． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）的半径为． 【解析】 【分析】（1）连接，由直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形的两个锐角互余，可得，由同弧所对的圆周角相等，结合已知可得，可得，由三角形的内角和定理，可得，即可证得结论； （2）连接，由圆周角定理可得，设的半径为，根据的长即可得的半径． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， 又∵，且， ∴， ∴， ∴， 即， 又∵为的直径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， 设的半径为， ∵的长为， ∴， ∴， ∴的半径为． 21. “碳路先锋、绿动未来”，年月日是第个全国低碳日．某公司为深入宣传低碳发展理念，用碳积分来激励员工低碳出行．上下班的低碳出行累积的积分可兑换公交优惠券等权益（每月可兑换一次，当月的积分不可累积到下个月使用）．已知每乘坐一次公交车可获得个碳积分，步行则按总步数核算碳积分．小悦每日上下班各出行次，规划了两种固定绿色出行方式，具体如下： 方式一：一次公交车（中途不下车）步行步； 方式二：步行步． 已知小悦单次选用方式一上班获得的碳积分比单次选用方式二上班获得的碳积分少个． （1）求每获得个碳积分需要步行多少步? （2）小悦当月工作天，每日上下班任选一种方式出行，当月小悦需累计至少个碳积分才能兑换到心仪权益，则当月最多可选用多少次方式一出行? 【答案】（1）步 （2）当月最多可选用次方式一出行 【解析】 【分析】（1）设每获得个碳积分需要步行步，列分式方程求解即可； （2）设当月小悦使用方式一出行（且为整数）次，则使用方式二出行次，列不等式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每获得个碳积分需要步行步， 根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：每获得个碳积分需要步行步； 【小问2详解】 解：方式一：单次获得积分为（个）， 方式二：单次获得积分为（个）， 小悦当月上下班的总出行次数为（次）， ∴设当月小悦使用方式一出行（且为整数）次，则使用方式二出行次， 根据题意得，解得， 且为整数， ∴最大可取， 答：当月最多可选用次方式一出行． 22. 【探究主题】如何将一个任意四边形不重叠无缝隙拼接成正方形? 【研究思路】 （1）如图1，对于任意一个分别为的中点，连接，过点C作交延长线于点F．求证：． 【方案确定】从研究思路中发现，通过中点分割可拼接成平行四边形 研究方向：对任意四边形的中点进行分割的方向思考． 研究思路：按“四边形→平行四边形→矩形→正方形”的路径，由一般到特殊进行研究． 【初步探究】如图2，取四边形各边中点分别为点，连接交于点O，沿剪开．将分别绕点顺时针旋转 ，并将②平移，使点B与点D重合，拼接成四边形 （2）证明：四边形是平行四边形； 【方案实施】 步骤一：如图3，取任意四边形各边中点分别为点，连接，过点作 于点M，过点H作 于点N，沿剪开，将分别绕点顺时针旋转 将平移，使得点B与点D重合，拼接成四边形 记四边形的面积为S． （3）证明： 步骤二：如图4，在步骤一得到的四边形的边上确定一点P，连接，过点作 于点Q，沿分割，将平移，拼接成正方形 （4）若，直接写出的长及的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：由①③分别绕点顺时针旋转可知，三点共线，三点共线， ∵，， ∴， ∴三点共线，同理可证三点共线； 如图1，连接， ∵点分别为四边形各边的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，，由题意知，，， ∴，， ∴，同理可证， ∴四边形是平行四边形． （3）证明：∵， 由图形变换可知，， ∴，，即， 同理可证， ∴四边形是平行四边形． 又∵于点M， ∴， ∵四边形是矩形， 如图2，连接， ∵分别为的中点， ∴，， ∵分别为的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵于点M，于点N， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，由图形变换可知，，， ∴，． （4）， 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据中点的性质得到，证得结果； （2）由旋转知三点共线，三点共线，可得三点共线，三点共线，再利用中位线的性质证得四边形为平行四边形，最后利用等量代换和“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”证得结果； （3）通过旋转的性质与等量代换，证得，同理可证得，得到四边形是平行四边形，根据得到四边形是矩形，利用中位线的性质得到，证得，得到对应边相等，最后利用等量代换证得结果； （4）由（3）知求出正方形的面积，再根据正方形的面积求出正方形的边长，再利用旋转的性质求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解： 由（3）知： ， ∴， 由图形变换可得，，， ， ∴在中，． 23. 概念：若函数与函数有且只有一个公共点，则函数与函数互为孤点函数，其公共点称为孤点． （1）请根据孤点函数的概念，判断下列函数是否互为孤点函数，是的填“√”，不是的填“×”； 函数 判断 ①与 ②与 ③与 （2）若函数与函数互为孤点函数，求的值及对应的孤点坐标； （3）函数与函数互为孤点函数． ①求出关于的函数关系式，并直接写出的最小值； ②将函数向上平移个单位长度得到函数，此时函数与函数的图象有两个交点，分别为点．当与为整数，且时，请直接写出所有符合条件的与的值． 【答案】（1）①√；②×；③× （2）当时，孤点坐标为，当时，孤点坐标为 （3）①，当时，取得最小值，最小值为；②当时，；当时，；当时， 【解析】 【分析】（1）联立两个函数构成方程组求解，由孤点函数概念判断即可； （2）由孤点函数定义得到方程只有个实数根或有个相等的实数根，分类讨论求解即可； （3）①由孤点函数定义得到方程有个相等的实数根，由一元二次方程根与判别式的关系及二次函数图象与性质求解即可；②由孤点函数定义得到方程有个不等的实数根，求出，设，，则，，，， 由题意得到，分类讨论求解即可． 【小问1详解】 解：①联立，解得，有且只有一个公共点，符合孤点函数概念； ②联立，解得或，有两个公共点，不符合孤点函数概念； ③联立，消去得，由，方程组无解，没有公共点，不符合孤点函数概念； 则①√；②×；③×； 【小问2详解】 解：函数与函数互为孤点函数， ∴联立，消去得方程， 则方程只有个实数根或有个相等的实数根， ①当，即时，，解得，此时， ∴当时，孤点坐标为； ②当，即时，，解得， 此时，解得， 此时， ∴当时，孤点坐标为； 【小问3详解】 解：①函数与函数互为孤点函数， 联立，消去得方程， 则方程有个相等的实数根， ，解得， 由二次函数图象与性质可知，当时，取到最小值，最小值为； ②根据题意，函数图象平移得到为，且， 函数与函数的图象有两个交点，分别为点， ∴方程有个不等的实数根， 整理得， 则， 即， ∴， 设，，则，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， 又为整数且， ∴当时，；当时，；当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 年春节假期，全国国内出游约亿人次，较年春节假期增加亿人次，创历史新高，其中数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各平面图形绕轴旋转一周后，得到的立体图形为圆柱的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，把一个含角的直角三角板的直角顶点放在直线b上，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 初中生课外阅读应优先选择语文教材推荐的必读书籍，这些书籍与语文课程紧密结合，是中考常见考点，能有效提升文学素养与应试能力．此外，可拓展人文、科学领域的经典作品以丰富视野．某本名著有页，小明同学每天看3页，则天后没看的页数有（ ） A. 页 B. 页 C. 页 D. 页 7. 如图，高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其中的数学原理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 平行线之间的距离最短 8. 若，则m的值为（ ） A. B. C. 2 D. 10 9. 如图，大和小分别是等边的外接圆和内切圆，笑笑随意向水平放置的大内部区域抛一个飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 在一定温度下，甲、乙、丙三种物质水中的溶解度曲线如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙、丙三种物质的溶解度都随温度的升高而增大 B. 时，丙的饱和溶液的浓度最大 C. 时，乙和丙的溶解度相同 D. 乙物质的溶解度始终大于甲物质的溶解度 11. 如图，木棒竖直举起靠近墙面，打开手机手电筒P照射木棒（点P在的垂直平分线上且位于右侧），在墙面上形成投影，已知，，此时点P到的距离为，若木棒不动，水平移动手机手电筒P使投影的长度缩短，则点P相对于木棒的移动方式（ ） A. 向左平移 B. 向右平移 C. 向左平移 D. 向右平移 12. 如图，在等边中，，，分别是，上一点，且，连接，当的面积最大时，的长为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 如图，直线相交于点．若，则的度数为______． 14. 甲、乙两人比赛成绩如图，则________的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）． 15. 正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是正六边形，连接．若，则的长为______． 16. 元宵节是中国传统节日之一，象征着万家团圆．如图是2026年元宵节所在月的月历图，在该月历图中可以用十字框圈出5个数．若圈出的这5个数的和为70，则十字框正中间的数为______． 三、解答题本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）化简：． 18. 如图，已知菱形，连接，为的中点． （1）利用尺规作四边形，使得四边形为平行四边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，若，，请求出的面积． 19. 某数学社团为了解学生对数学文化知识的掌握情况，在七八年级开展数学文化知识竞赛活动，现从两个年级各随机抽取了10名学生的成绩（满分100分），具体如下： 七年级：69，79，87，88，88，94，94，94，100，100． 八年级：65，69，82，96，96，98，99，100，100，100． 并对这些成绩进行了整理、分析如下表： 【整理数据】 七年级人数 八年级人数 A 1 2 B 1 0 C a 1 D 5 7 【分析数据】 项目 平均数 中位数 众数 满分率 七年级 89.3 91 c 八年级 90.5 b 100 【解决问题】根据以上信息，解答下列问题： （1）_______，_______，_______； （2）若七、八年级学生分别有600人和500人，请估计本次竞赛活动中的满分人数； （3）你认为哪个年级的学生对数学文化知识的掌握情况更好?请说明理由（写出一条即可）． 20. 如图，在中，以为直径的交于点，为上的一点，连接，． （1）若，求证：是的切线; （2）若，且的长为，求的半径． 21. “碳路先锋、绿动未来”，年月日是第个全国低碳日．某公司为深入宣传低碳发展理念，用碳积分来激励员工低碳出行．上下班的低碳出行累积的积分可兑换公交优惠券等权益（每月可兑换一次，当月的积分不可累积到下个月使用）．已知每乘坐一次公交车可获得个碳积分，步行则按总步数核算碳积分．小悦每日上下班各出行次，规划了两种固定绿色出行方式，具体如下： 方式一：一次公交车（中途不下车）步行步； 方式二：步行步． 已知小悦单次选用方式一上班获得的碳积分比单次选用方式二上班获得的碳积分少个． （1）求每获得个碳积分需要步行多少步? （2）小悦当月工作天，每日上下班任选一种方式出行，当月小悦需累计至少个碳积分才能兑换到心仪权益，则当月最多可选用多少次方式一出行? 22. 【探究主题】如何将一个任意四边形不重叠无缝隙拼接成正方形? 【研究思路】 （1）如图1，对于任意一个分别为的中点，连接，过点C作交延长线于点F．求证：． 【方案确定】从研究思路中发现，通过中点分割可拼接成平行四边形 研究方向：对任意四边形的中点进行分割的方向思考． 研究思路：按“四边形→平行四边形→矩形→正方形”的路径，由一般到特殊进行研究． 【初步探究】如图2，取四边形各边中点分别为点，连接交于点O，沿剪开．将分别绕点顺时针旋转 ，并将②平移，使点B与点D重合，拼接成四边形 （2）证明：四边形是平行四边形； 【方案实施】 步骤一：如图3，取任意四边形各边中点分别为点，连接，过点作 于点M，过点H作 于点N，沿剪开，将分别绕点顺时针旋转 将平移，使得点B与点D重合，拼接成四边形 记四边形的面积为S． （3）证明： 步骤二：如图4，在步骤一得到的四边形的边上确定一点P，连接，过点作 于点Q，沿分割，将平移，拼接成正方形 （4）若，直接写出的长及的值． 23. 概念：若函数与函数有且只有一个公共点，则函数与函数互为孤点函数，其公共点称为孤点． （1）请根据孤点函数的概念，判断下列函数是否互为孤点函数，是的填“√”，不是的填“×”； 函数 判断 ①与 ②与 ③与 （2）若函数与函数互为孤点函数，求的值及对应的孤点坐标； （3）函数与函数互为孤点函数． ①求出关于的函数关系式，并直接写出的最小值； ②将函数向上平移个单位长度得到函数，此时函数与函数的图象有两个交点，分别为点．当与为整数，且时，请直接写出所有符合条件的与的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $