第二次质量检测数学试卷2025-2026学年度第二学期山东滕州市北辛中学七年级下册数学（北师大版）

**基本信息** 北师大新版七年级（下）数学月考卷，以几何与三角形知识为核心，通过基础题、创新情境题和动态探究题，考查抽象能力、推理意识与应用意识，适配七年级下学期学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称、三角形全等判定、等腰三角形性质|结合生活情境（角平分仪），考查空间观念| |填空题|6/18|三角形面积计算、新定义“倍长三角形”|引入创新概念，培养数学抽象能力| |解答题|8/72|尺规作图、全等证明、动态点运动|设计分层任务（如动点全等问题），发展推理与模型意识|

北师大新版七年级（下）第二次质量检测数学试卷 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1下列四个图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（   ） A． B．2 C．3 D． 4．如图，点A、D在线段BC的同侧，连接AB、AC、DB、DC，已知∠ABC＝∠DCB，老师要求同学们补充一个条件使△ABC≌△DCB．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是（　　） A．AC＝DB B．AB＝DC C．∠A＝∠D D．∠ABD＝∠DCA 5．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（　　） A．80° B．20° C．100° D．80°或20° 6．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 7．将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是（　　） A． B． C． D． 8．如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为9，AB＝6，则线段DP的长不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5.5 9．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD．则下列结论：①∠C＝2∠A；②BD平分∠ABC；③BC＝AD；④OD＝2CD．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图1，已知△ABD和△ACD关于直线AD对称；在射线AD上取点E，连接BE，CE，如图2，在射线AD上取点F连接BF，CF，如图3，依此规律，第6个图形中全等三角形的对数是（　　） A．10 B．15 C．21 D．28 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，将一副三角板如图摆放，则图中∠1的度数是　 　度． 12．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC与△DBC面积的大小关系为：S△ABC　　S△DBC（填“＞”，“＝”或“＜”）． 13．如图，在△ABC中，DE是线段BC的垂直平分线，点F是线段AC的中点，其中CF＝5，DF＝4，则△ABE的周长为　 　 ． 14．如图，△ABC的边BC上的高为AF，中线为AD，AC边上的高为BG，已知AF＝6，BD＝10，BG＝5．（1）则△ABC的面积是 ；（2）则AC的长是 ． 15．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　 　cm2． 16．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若△ABC是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为 　 　 ． 三、解答题 17．（8分）如图，网格中每个小方格的边长为1，△ABC的顶点均在格点上，△ABC与△A1B1C1关于直线l对称． （1）画出△A1B1C1； （2）求四边形AA1C1C的面积． 18．（8分）若a，b，c是△ABC三边的长，化简：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c﹣a﹣b|． 19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°． （1）请用尺规作图法，作∠BAC的角平分线AD交BC于D（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）条件下，求∠ADB的度数． 20．（8分）已知：如图，平分，．求证：． 21．（8分）如图，在中，，，，求的度数．    22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝24cm，BC＝16cm，点D为AB的中点．如果点P34．已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 23．（10分）如图，在一个支架的横杆上点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，OA表示小球静止时的位置．当小华用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D；当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E．已知CE＝13cm，细绳OA的长为15cm，求AD的长． 24．（12分）点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CA上由C点以a cm/s的速度向A点运动．设运动的时间为t s． （1）直接写出：①BP＝ 　 cm；②CP＝ 　 　 cm；③CQ＝ 　　 cm．（用含t，a的式子表示） （2）若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a，t的值． 答案提示 北师大新版七年级（下）第二次质量检测数学试卷 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1下列四个图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得答案． 【解答】解：A、C、D中的图形不是轴对称图形，故A、C、D不符合题意； B图形是轴对称图形，故B符合题意． 故选：B． 【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念． 2．将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理．根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图所示， 由题意得，，， ∴， 故选：B． 3．已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（   ） A． B．2 C．3 D． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 由等腰三角形“三线合一”得到平分，再角平分线的性质定理即可求解． 【详解】解： 如图， ∵是等腰底边上的高， ∴平分， ∴点F到直线，的距离相等， ∵点到直线的距离为3， ∴点到直线的距离为3． 故选：C． 4．如图，点A、D在线段BC的同侧，连接AB、AC、DB、DC，已知∠ABC＝∠DCB，老师要求同学们补充一个条件使△ABC≌△DCB．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是（　　） A．AC＝DB B．AB＝DC C．∠A＝∠D D．∠ABD＝∠DCA 【分析】因为∠ABC＝∠DCB，BC共边，对选项一一分析，选择正确答案． 【解答】解：A、补充AC＝DB，SSA不能判定△ABC≌△DCB，故A错误； B、补充AB＝DC，可根据SAS判定△ABC≌△DCB，故B正确； C、补充∠A＝∠D，可根据AAS判定△ABC≌△DCB，故C正确； D、补充∠ABD＝∠DCA，可根据ASA判定△ABC≌△DCB，故D正确． 故选：A． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 5．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（　　） A．80° B．20° C．100° D．80°或20° 【分析】根据题意外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，分情况讨论，再结合三角形的内角和，可求出顶角的度数． 【解答】解：依题意，等腰三角形的一个外角等于100° ∴①若100°是顶角的外角， 则顶角＝180°﹣100°＝80°； ∴②若100°是底角的外角， 则底角＝180°﹣100°＝80°， 即顶角＝180°﹣2×80°＝20°． 故选：D． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和性质，解题的关键是要分情况讨论． 6．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【分析】由“SSS”可证△ABC≌△ADC，可得∠BAC＝∠DAC，可证AE就是∠PRQ的平分线，即可求解． 【解答】解：在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴AE就是∠PRQ的平分线， 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键． 7．将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是（　　） A． B． C． D． 【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现． 【解答】解：严格按照图中的顺序向右上翻折，向左上角翻折，剪去左上角，展开得到结论． 故选：B． 【点评】本题考查的是剪纸问题，此类题目主要考查学生的动手能力及空间想象能力，对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现． 8．如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为9，AB＝6，则线段DP的长不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5.5 【分析】根据三角形的面积得出DE的长，进而利用角平分线的性质解答即可． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F， ∵△ABD的面积为9，AB＝6， ∴DE， ∵BM是∠ABC的平分线， ∴DF＝DE＝3， ∴DP≥3， 故选：A． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质与三角形的面积计算公式．作出辅助线是正确解答本题的关键． 9．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD．则下列结论：①∠C＝2∠A；②BD平分∠ABC；③BC＝AD；④OD＝2CD．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，根据线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质，可求得∠ABD＝∠DBC＝∠A＝36°，∠ABC＝∠BDC＝∠C＝72°，继而求得：①∠C＝2∠A；②BD平分∠ABC；③BC＝AD． 【解答】解：∵AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D， ∴AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝36°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝72°， ∴∠C＝2∠A，故①正确； ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝36°， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴BD平分∠ABC，故②正确； ∴∠BDC＝∠C＝72°， ∴BC＝BD＝AD，故③正确； 由条件不能得出OD＝2CD，故④错误． 故选：C． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 10．如图1，已知△ABD和△ACD关于直线AD对称；在射线AD上取点E，连接BE，CE，如图2，在射线AD上取点F连接BF，CF，如图3，依此规律，第6个图形中全等三角形的对数是（　　） A．10 B．15 C．21 D．28 【分析】根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第6个图形中全等三角形的对数． 【解答】解：∵△ABD和△ACD关于直线AD对称， ∴∠BAD＝∠CAD． 在△ABD与△ACD中， ∴△ABD≌△ACD（SAS）． ∴图1中有1对三角形全等； 同理图2中，△ABE≌△ACE（SAS）， ∴BE＝EC， ∵△ABD≌△ACD． ∴BD＝CD， 在△BDE和△CDE中， ∴△BDE≌△CDE（SSS）， ∴图2中有1+2＝3对三角形全等； 同理：图3中有1+2+3＝6对三角形全等； 由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是． 所以：第6个图形中全等三角形的对数是， 故选：C． 【点评】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，将一副三角板如图摆放，则图中∠1的度数是　 　度． 【分析】根据三角形的外角性求出∠2，根据补角的概念求出∠1． 【解答】解：由三角形的外角性质控可知，∠2＝30°+45°＝75°， ∴∠1＝180°﹣∠2＝105°， 故答案为：105． 【点评】本题考查的是三角形的外角性质、补角的概念，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 12．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC与△DBC面积的大小关系为：S△ABC　　S△DBC（填“＞”，“＝”或“＜”）． 【分析】根据网格线分别计算出△ABC和△DBC的面积，再比较大小即可． 【解答】解：设每个小网格边长为1， 则S△ABC＝＝3， S△DBC＝2×3﹣﹣＝， ∵3＞， ∴S△ABC＞S△DBC， 故答案为：＞． 【点评】本题主要考查三角形面积的知识，在矩形中减去三个直角三角形求△DBC的面积是解题的关键． 13．如图，在△ABC中，DE是线段BC的垂直平分线，点F是线段AC的中点，其中CF＝5，DF＝4，则△ABE的周长为　 　 ． 【分析】根据垂直平分线的性质得到CE＝BE，BD＝CD，根据中位线的性质可得AB＝2DF＝8，AC＝2CF＝10，进而求解即可． 【解答】解：有条件可知CE＝BE，BD＝CD，AB＝2DF＝8，AC＝2CF＝10， ∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+CE＝AB+AC＝18． 故答案为：18． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及三角形中位线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质及三角形中位线的性质是解题的关键． 14．如图，△ABC的边BC上的高为AF，中线为AD，AC边上的高为BG，已知AF＝6，BD＝10，BG＝5．（1）则△ABC的面积是 ；（2）则AC的长是 ． 解：（1）∵△ABC的边BC上的高为AF，中线为AD，AF＝6，BD＝10， ∴BC＝2BD＝20， △ABC的面积； （2）∵△ABC的面积， ∵BG＝5， ∴AC＝24． 【点评】本题考查三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握高线和中线的定义是解题的关键． 15．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　 　cm2． 解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等， ∴S△ABD＝S△ACDS△ABC4＝2（cm2）， 同理S△BDE＝S△CDES△BCE2＝1（cm2）， ∴S△BCE＝2（cm2）， ∵F为EC中点， ∴S△BEFS△BCE2＝1（cm2）． 故答案为1． 【点评】此题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面积相等． 16．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若△ABC是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为 　 　 ． 【分析】由△ABC是“倍长三角形”，可知AB＝2AC或AC＝2BC或AC＝2AB或BC＝2AB，分别求出AB，根据三角形的三边关系即可得答案． 【解答】解：设三角形ABC中，第三条边AB＝x，AC＝2，BC＝3， 等腰△ABC是“倍长三角形”， ①当AB＝2AC，即x＝4， ∴△ABC三边分别是2，3，4，符合题意， ②当AC＝2BC，即x＝6， ∴△ABC三边分别是2，3，6， ∵2+3＜6， ∴此时不能构成三角形，这种情况不存在； ③当AC＝2AB＝2，即x＝1， ∴1+2＝3， ∴此时不能构成三角形，这种情况不存在； ④当BC＝2AB＝3，即x＝1.5， ∴△ABC三边分别是1.5，2，3，符合题意， 综上所述，第三条边的长为是4或1.5， 故答案为：1.5或4． 【点评】本题考查三角形三边关系，涉及新定义，解题的关键是掌握三角形的三边关系和分类讨论思想方法的应用． 三、解答题 17．如图，网格中每个小方格的边长为1，△ABC的顶点均在格点上，△ABC与△A1B1C1关于直线l对称． （1）画出△A1B1C1； （2）求四边形AA1C1C的面积． 【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B、C关于直线l的对称点，从而得到△A1B1C1； （2）根据梯形的面积公式计算． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作； （2）四边形AA1C1C的面积（4+8）×3＝18． 【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．也考查了平移变换． 18．若a，b，c是△ABC三边的长，化简：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c﹣a﹣b|． 【分析】根据三角形的三边关系判断出a+b﹣c，b﹣a﹣c及c﹣a﹣b的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【解答】解：∵a、b、c是△ABC的三边的长， ∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，c﹣a﹣b＜0， ∴原式＝a+b﹣c﹣b+a+c+c﹣a﹣b＝a﹣b+c． 【点评】本题考查的是三角形三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°． （1）请用尺规作图法，作∠BAC的角平分线AD交BC于D（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）条件下，求∠ADB的度数． 【分析】（1）直接利用角平分线的作法得出D点位置，进而得出答案； （2）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论． 【解答】解：（1）如图所示，线段AD即为所求； （2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°， ∴∠BAC＝50°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝BAC＝25°， ∴∠ADB＝∠C+∠CAD＝90°+25°＝115°． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的定义，三角形的内角和定理，正确的作出角平分线是解题的关键． 20．已知：如图，平分，．求证：． 【分析】利用证明，即可证明． 【详解】解：平分， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握、、、等全等三角形的判定方法是解题的关键． 21．如图，在中，，，，求的度数．    【分析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，角的和差． 根据三角形的内角和可得，根据，得到，，从而，根据角的和差有，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∴． 故的度数 22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝24cm，BC＝16cm，点D为AB的中点．如果点P34．已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：选择①； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 选择②； 无法证明， 无法得出； 选择③； ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴，即； 故答案为：①或③（答案不唯一） 23．如图，在一个支架的横杆上点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，OA表示小球静止时的位置．当小华用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D；当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E．已知CE＝13cm，细绳OA的长为15cm，求AD的长． 【分析】证明∠COE＝∠B，结合∠CEO＝∠ODB＝90°，OB＝OC，得△COE≌△OBD（AAS），得CE＝OD＝13，即得AD＝2． 【解答】解：由条件可知∠BOD+∠COE＝90°， 又∵CE⊥OA，BD⊥OA， ∴∠COE＝∠B， 在△COE和△OBD中， ， ∴△COE≌△OBD（AAS）， ∴CE＝OD＝13， 又∵OA＝15， ∴AD＝15﹣13＝2（cm）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 24．点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CA上由C点以a cm/s的速度向A点运动．设运动的时间为t s． （1）直接写出：①BP＝ 　 cm；②CP＝ 　 　 cm；③CQ＝ 　　 cm．（用含t，a的式子表示） （2）若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a，t的值． 解：（1）由题意得：∵BC＝16cm，点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动． ∴①BP＝4t（cm）；②CP＝BC﹣BP＝16﹣4t（cm）； ∵点Q在线段CA上由C点以a cm/s的速度向A点运动， ∴③CQ＝at（cm）； 故答案为：4t；（16﹣4t）；at； （2）∵BP＝4t cm，BD＝12cm，CP＝（16﹣4t）cm，CQ＝at cm， ∵∠B＝∠C， ∴分两种情况： ①若△DBP≌△QCP， 则， ∴， ∴； ②若△DBP≌△PCQ， 则， ∴， ∴； 综上所述，a的值为6、t的值为2或a的值为4、t的值为1． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，关键是能根据题意得出方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $