8.2 向量的数量积（第2课时）同步练习-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

**基本信息** 本同步练习分层设计合理，通过基础巩固、中档辨析、综合应用三阶递进，覆盖向量数量积定义、投影、夹角等核心知识点，强化运算能力与几何直观，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|数量积定义、夹角计算、投影向量|填空题1-10题聚焦单一知识点，如向量夹角公式直接应用，夯实运算能力| |中档|概念辨析、几何情境应用|单选题13-16题结合圆、矩形等几何背景，如第13题弦中点性质应用，培养几何直观| |综合|多知识点交汇、实际问题解决|解答题17-21题需综合数量积、垂直条件等，如第20题三角形中点向量计算，发展推理能力与模型意识|

8.2 向量的数量积（第2课时） 一、填空题 1．已知向量满足与的夹角为，若，则__________. 2．已知向量，满足，且与的夹角为，则______． 3．已知向量与满足：，且，则与的夹角为__________. 4．已知向量，满足，且与的夹角为60°，则______． 5．已知向量满足，，，则与的夹角为______． 6．在矩形ABCD中，，E为CD中点，则＝______． 7．已知为一个单位向量，，若在上的投影向量为，则与的夹角为___________． 8．设，为单位向量，且，则_______. 9．已知向量，满足，，且，则________． 10．已知向量在向量方向的投影向量是，且，，______. 11．记的内角，，的对边分别是，已知，，的面积为，则______. 12．已知平面向量，，，，，，，，其中，则的最大值为________． 二、单选题 13．已知是圆的弦，且，则（   ） A． B． C． D． 14．已知，，与的夹角为，则向量在方向上的投影数量为（    ） A．4 B． C．2 D． 15．下列关于平面向量描述正确的是（   ） A．若，则 B．若，则向量与的夹角为锐角 C．若，，则 D．若为非零向量，则与的方向相同 16．在同一个平面上，已知是两个相互垂直的单位向量，向量满足，则的最大值等于（    ）. A．1 B． C． D．2 三、解答题 17．已知，且与的夹角为， （1）求的值； （2）若，求的值． 18．已知向量与的夹角为，且，. （1）求的值； （2）求向量与的夹角. 19．已知，，与的夹角为. （1）求； （2）若向量与相互垂直，求实数的值. 20．在中，已知，，和的夹角为，且． （1）若为的中点，求． （2）已知，若，求实数的值． 21．已知向量，的夹角为，且． （1）求向量在向量上的投影向量； （2）若，求的值． 8.2 向量的数量积（第2课时）-同步练习-2025学年沪教版高一数学必修第二册 一、填空题 1．已知向量满足与的夹角为，若，则__________. 【答案】因为与的夹角为，所以. 因为，所以， 解得. 2．已知向量，满足，且与的夹角为，则______． 【答案】由数量积的定义可得. 3．已知向量与满足：，且，则与的夹角为__________. 【答案】根据向量的计算，由， 而因为，所以， 由，得，则，故与夹角为. 4．已知向量，满足，且与的夹角为60°，则______． 【答案】 . 5．已知向量满足，，，则与的夹角为______． 【答案】 6．在矩形ABCD中，，E为CD中点，则＝______． 【答案】因为E为CD中点， 所以在上的投影向量为， 又，所以． 7．已知为一个单位向量，，若在上的投影向量为，则与的夹角为___________． 【答案】设与的夹角为， 由于在上的投影向量为，则，又，， 则，即，而，则. 8．设，为单位向量，且，则_______. 【答案】已知，为单位向量，且， 所以，解得. 则与同向.又两向量模长均为1，故，因此. 9．已知向量，满足，，且，则________． 【答案】因为，， 所以，即， 因为，所以， 联立，解得. 10．已知向量在向量方向的投影向量是，且，，______. 【答案】1 【难度】由题意，所以， ，则， 所以. 11．记的内角，，的对边分别是，已知，，的面积为，则______. 【答案】由的面积为，即， 又， 两式相除得，又，所以，所以， 又，所以. 由余弦定理， 所以. 12．已知平面向量，，，，，，，，其中，则的最大值为________． 【答案】，则，即， 由，则， 即，故， 又，则或， 由，则都可为或或其它，其中且， 要使得最大，则取，或， 、、、也都取较大根，即、、、， 由，则、，取， 、，取，则， 则 ， 故的最大值为. 二、单选题 13．已知是圆的弦，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】如图：取弦的中点为, , 故选:D 14．已知，，与的夹角为，则向量在方向上的投影数量为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】向量，，与的夹角为， 所以向量在方向上的投影数量为. 故选：A 15．下列关于平面向量描述正确的是（   ） A．若，则 B．若，则向量与的夹角为锐角 C．若，，则 D．若为非零向量，则与的方向相同 【答案】因为向量不能比较大小，所以A错误； 当时，与的夹角可以为，所以B错误； 当时，和可以是任意向量，不一定共线，所以C错误； 为的同方向单位向量，所以D正确. 16．在同一个平面上，已知是两个相互垂直的单位向量，向量满足，则的最大值等于（    ）. A．1 B． C． D．2 【答案】设与的夹角为， 因为，， 所以， 所以， 因为是平面内垂直的单位向量，所以，所以， 因为，所以， 即当与的夹角为0时，. 故选：B 三、解答题 17．已知，且与的夹角为， （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）因为，且与的夹角为， 所以， 所以 . （2）因为， 所以， 即 . 18．已知向量与的夹角为，且，. （1）求的值； （2）求向量与的夹角. 【答案】（1）. ， 故. （2）. ， 故. 设向量与的夹角为， 则， 又，故. 19．已知，，与的夹角为. （1）求； （2）若向量与相互垂直，求实数的值. 【答案】（1）因为，，， 则，所以. （2）若向量与相互垂直， 则，即，解得. 20．在中，已知，，和的夹角为，且． （1）若为的中点，求． （2）已知，若，求实数的值． 【答案】（1）因为，，和的夹角为，且， 所以 因为为的中点，所以， 所以； （2）因为 ， 所以， 即有， 代入已知条件有，解得． 21．已知向量，的夹角为，且． （1）求向量在向量上的投影向量； （2）若，求的值． 【答案】（1）由向量，的夹角为，且，得， 所以向量在向量上的投影向量为. （2）由（1）知，，由，得，即， 整理得，解得或， 学科网（北京）股份有限公司 $