10.2　离散型随机变量及其分布列、均值、方差课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“离散型随机变量及其分布列、均值、方差”核心考点，依据高考评价体系梳理了分布列构建、期望方差计算两大考查要求。通过近五年全国卷及地方卷真题分析，明确均值方差计算占比60%、分布列构建占55%的高频考点，归纳有放回抽样、比赛得分等典型题型，形成系统备考框架。 课件亮点在于“真题精讲+题型建模+素养提升”策略，如以2022全国甲理第19题比赛得分问题为范例，详解分布列构建“四步法”，培养学生的数学思维与数据观念。特设“易错警示”模块，如区分放回与不放回抽样概率计算，帮助学生掌握得分技巧。教师可依托课件精准把握考点，助力学生高效冲刺高考。

10.2　离散型随机变量及其分布列、 均值、方差 返回目录 五年高考 考点　离散型随机变量及其分布列、均值、方差 1.★★★(2025全国一卷,14,5分)有5个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地 随机取3次,每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数,则X的数学期望 E(X)=_________. 返回目录 解析　由题意得,X的可能取值为1,2,3, P(X=1)= = ,P(X=2)= = , P(X=3)= = , 则X的分布列为 X 1 2 3 P       E(X)=1 +2 +3 = . 返回目录 2.★★★(2021浙江,15,6分)袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取 出的红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为 ,一红一黄的概率为 ,则m-n=_____ ____,E(ξ)=_________.     1 解析　∵P(ξ=2)= = = ,可得 =36,∴m+n+4=9, 又∵P(一红一黄)= = = = ,解得m=3,∴n=2,∴m-n=1. P(ξ=0)= = = ,P(ξ=1)= = = ,P(ξ=2)= , ∴E(ξ)= 0+ 1+ 2= + = . 返回目录 3.★★★(2022全国甲理,19,12分)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每 个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠 军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独 立. (1)求甲学校获得冠军的概率; (2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望. 返回目录 解析    (1)记“甲学校在第i个项目获胜”为事件Ai(i=1,2,3),“甲学校获得冠军”为事 件E. 则P(E)=P(A1A2A3)+P(A1A2 )+P(A1 A3)+P( A2A3)=   +   +   +    = . ∴甲学校获得冠军的概率为 . (2)记“乙学校在第j个项目获胜”为事件Bj(j=1,2,3). X的所有可能取值为0,10,20,30. 返回目录 则P(X=0)=P(   )=   = , P(X=10)=P(B1  )+P( B2 )+P(  B3)=   +   +   = , P(X=20)=P(B1B2 )+P(B1 B3)+P( B2B3)=   +   +   = , P(X=30)=P(B1B2B3)=   = . ∴X的分布列为 X 0 10 20 30 P         ∴E(X)=0 +10 +20 +30 =13. 返回目录 4.★★★(2021新高考Ⅰ,18,12分)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题. 每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答 错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论 回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B 类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分. 已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确 回答问题的概率与回答次序无关. (1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列; (2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由. 返回目录 解析    (1)由题易知X的所有可能取值为0,20,100, P(X=0)=1-0.8=0.2, P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32, P(X=100)=0.8×0.6=0.48, 所以X的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 返回目录 (2)由(1)可知E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4. 假设小明先回答B类问题,其累计得分为Y,则Y的所有可能取值为0,80,100,P(Y=0)=1-0.6 =0.4, P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12, P(Y=100)=0.6×0.8=0.48, 所以Y的分布列为 Y 0 80 100 P 0.4 0.12 0.48 返回目录 所以E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6, 所以E(Y)>E(X), 所以小明应选择先回答B类问题. 返回目录 5.★★★(2022北京,18,13分)在校运动会上,只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,比 赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠 军得主,收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩,并整理得到如下数据(单位:m): 甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25; 乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23; 丙:9.85,9.65,9.20,9.16. 假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立. (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率; (2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数,估计X的数学期望 EX; (3)在校运动会铅球比赛中,甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大?(结论不要求证明) 返回目录 解析    (1)甲以往参加的10次比赛中,有4次比赛成绩达到获得优秀奖的标准,则甲得优 秀奖的概率P= = . (2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,设甲、乙、丙获得优秀奖分别为事件A,B,C,则 A,B,C, , , 相互独立,且P(A)= ,P(B)=P(C)= ,P( )=1-P(A)=1- = ,P( )=P( )= , 则P(X=0)=P(      )=P( )P( )P( )= × × = ; P(X=1)=P(A     )+P( B )+P(     C)=P(A)P( )P( )+P( )P(B)P( )+P( )P( )P(C)=    +   +   = = ; 返回目录 P(X=2)=P(AB )+P(A C)+P( BC)=P(A)P(B)P( )+P(A)P( )P(C)+P( )P(B)P(C)= × ×  + × × + × × = ; P(X=3)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)= × × = . 故E(X)=0× +1× +2× +3× = . (3)丙. 详解:乙夺冠的概率为P(乙)= × × + × × + × × + × × + × × = , 丙夺冠的概率为P(丙)= + × × = , 甲夺冠的概率为P(甲)=1- - = , P(丙)最大,所以丙夺冠的概率最大. 返回目录 6.★★★★(2024新课标Ⅱ,18,17分)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员 组成.比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该 队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中1次,则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另 一名队员投篮3次,每次投篮投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得 分总和. 某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次 投中与否相互独立. (1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率. (2)假设0<p<q. 返回目录 (i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛? (ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛? 解析    (1)由题意知甲参加第一阶段比赛与乙参加第二阶段比赛是相互独立事件. 因此甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率为[1-(1-p)3][1-(1-q)3]=[1-(1-0.4)3]·[1-(1- 0.5)3]=0.686. (2)(i)设由甲参加第一阶段比赛,该队比赛成绩为15分的概率为P1,乙参加第一阶段比赛, 该队比赛成绩为15分的概率为P2, 则P1=[1-(1-p)3]q3,P2=[1-(1-q)3]p3. 则P1-P2=[1-(1-p)3]q3-[1-(1-q)3]·p3=3pq(q-p)(q+p-pq),又0<p<q≤1,所以q-p>0,p+q-pq=p(1 -q)+q>0,所以P1>P2,则应由甲参加第一阶段比赛,这样才能使得甲、乙所在队的比赛成 返回目录 绩为15分的概率最大. (ii)设甲参加第一阶段比赛,该队比赛成绩为X,则X的可能取值为0,5,10,15.则 P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3](1-q)3, P(X=5)=[1-(1-p)3]· q(1-q)2, P(X=10)=[1-(1-p)3]· q2(1-q), P(X=15)=[1-(1-p)3]·q3, 所以由甲参加第一阶段比赛,该队比赛成绩的数学期望为E(X)=0+5[1-(1-p)3]· q·(1-q)2+ 10[1-(1-p)3]· q2(1-q)+15[1-(1-p)3]·q3 =15q(3p-3p2+p3). 返回目录 设乙参加第一阶段比赛,该队比赛成绩为Y,同理可得乙参加第一阶段比赛,该队比赛成 绩的数学期望E(Y)=15p(3q-3q2+q3). E(X)-E(Y)=15q(3p-3p2+p3)-15p(3q-3q2+q3)=15pq(q-p)(3-p-q), 因为0<p<q≤1,所以q-p>0,3-p-q>0,所以E(X)>E(Y). 则由甲参加第一阶段比赛时,该队比赛成绩的数学期望最大. 返回目录 7.★★★★★(跨学科·生物)(2021新高考Ⅱ,21,12分)一种微生物群体可以经过自身 繁殖不断生存下来,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁 殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示 1个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=i)=pi(i=0,1,2,3). (1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X); (2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方程:p0+p1x+p2x2+ p3x3=x的一个最小正实根,求证:当E(X)≤1时,p=1,当E(X)>1时,p<1; (3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义. 返回目录 解析    (1)E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1. (2)证法一　由题意得p0+p1+p2+p3=1,E(X)=p1+2p2+3p3, 因为p0+p1x+p2x2+p3x3=x, 所以p0+p2x2+p3x3-(1-p1)x=0, 即p0+p2x2+p3x3-(p0+p2+p3)x=0, 即(x-1)[p3x2+(p2+p3)x-p0]=0, 令f(x)=p3x2+(p2+p3)x-p0, 则f(x)图象的对称轴为直线x=- <0,且f(0)=-p0<0, 返回目录 f(1)=2p3+p2-p0=p1+2p2+3p3-1=E(X)-1. 当E(X)≤1时, f(1)≤0, f(x)=0的正实根x0≥1,则原方程的最小正实根p=1; 当E(X)>1时, f(1)>0, f(x)=0的正实根x0<1,则原方程的最小正实根p=x0<1. 证法二　设f(x)=p3x3+p2x2+(p1-1)x+p0, 由题易知p3+p2+p1+p0=1, 故f(x)=p3x3+p2x2-(p2+p0+p3)x+p0, f'(x)=3p3x2+2p2x-(p2+p0+p3), E(X)=0·p0+1·p1+2·p2+3·p3=p1+2p2+3p3, 若E(X)≤1,则p1+2p2+3p3≤1, 返回目录 故p2+2p3≤p0, 因为f '(0)=-(p2+p0+p3)<0, f '(1)=p2+2p3-p0≤0, 所以f'(x)有两个不同零点x1,x2,且x1<0<1≤x2, 当x∈(-∞,x1)∪(x2,+∞)时, f '(x)>0, 当x∈(x1,x2)时, f '(x)<0, 故f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上为增函数,在(x1,x2)上为减函数, 若x2=1,因为f(x)在(x2,+∞)上为增函数,在(x1,x2)上为减函数,且f(1)=0, 所以在(0,+∞)上, f(x)≥f(x2)=f(1)=0, 返回目录 故1为关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,即p=1,故当E(x)≤1时,p=1. 若x2>1,因为f(1)=0且f(x)在(0,x2)上为减函数, 故1为关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根. 综上,若E(X)≤1,则p=1. 若E(X)>1,则p1+2p2+3p3>1, 则p2+2p3>p0, 此时f '(0)=-(p2+p0+p3)<0, f '(1)=p2+2p3-p0>0, 故f '(x)有两个不同零点x3,x4且x3<0<x4<1, 故f(x)在(-∞,x3),(x4,+∞)上为增函数,在(x3,x4)上为减函数, 返回目录 而f(1)=0,故f(x4)<0, 又f(0)=p0>0,所以f(x)在(0,x4)上存在一个零点x0,且x0<1, 所以x0为关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正根,即p<1,故当E(X)>1时,p<1. (3)意义:若一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代后会临近灭绝,若繁殖 后代的平均数超过1,则若干代后还有继续繁殖的可能. 返回目录 三年模拟 1.★★(2025届甘肃金昌金川高级中学二模,6)已知随机变量X的分布列如下: X 1 2 3 P m2-2m  m2-m 0.4 则数学期望E(X)= ( ) A.0.8　　    B.1.4　　    C.2m-3　　    D.2     D     解析　由题意,m2-2m+ m2-m+0.4=1,所以m2-2m=0.4, 所以E(X)=1×(m2-2m)+2× +3×0.4=0.4+0.4+1.2=2.故选D. 返回目录 2.★★(2025届广东适应性测试,3)已知随机变量X的分布列如表所示: X -1 0 1 P   m n 若P(X≤0)= ,且2X+Y=1,则D(Y)= ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      C     返回目录 解析　由P(X≤0)= ,得m= - = ,n=1-P(X≤0)= , 则E(X)=-1× +0× +1× = ,D(X)=E(X2)-E2(X)=1× +0× - = , 由2X+Y=1,得Y=1-2X, 所以D(Y)=4D(X)= .故选C. 返回目录 3.★★(2026届湖北部分重点中学联考,3)设0<p<1,随机变量X的分布列如下表: X 0 1 2 P       则当p在区间(0,1)内增大时, ( ) A.E(X)减小　　    B.E(X)先减小后增大 C.E(X)增大　　    D.E(X)先增大后减小     C     解析　由题意得E(X)=0 +1 +2 = + ,因为 >0,所以当p在区间(0,1)内增大 时,E(X)增大,故选C. 返回目录 4.★★★(2025届四川第二次大数据联考,6)若随机变量X的分布列如下表,表中数列{pn} 是公比为2的等比数列,则E(X)= ( )     D     X 1 2 3 P p1 p2 p3 A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.  返回目录 解析　已知数列{pn}是公比为2的等比数列,可得p2=2p1,p3=p1×23-1=4p1. 因为p1+p2+p3=1, 所以p1+2p1+4p1=1,解得p1= . 所以E(X)=1 +2 +3 = .故选D. 返回目录 5.★★★(2026届河南部分学校质检,7)不透明袋子里装有大小、材质完全相同的3个白 球、8个黑球,现从中每次随机不放回地抽取1个小球,直到选中第1个黑球为止,则选取 次数X的数学期望E(X)= ( ) A. 　　    B. 　　    C.2　　    D.      B     返回目录 解析　由题意知X的所有可能取值为1,2,3,4,则P(X=1)= , P(X=2)=  = , P(X=3)=   = , P(X=4)=   = , 故E(X)=1 +2 +3 +4 = .故选B. 返回目录 6.★★★(2026届广东综合能力测试一,8)一个盒子里有3个相同的球,分别标有数字2,3, 4,若每次不放回地从盒子中随机取出一个球,直到取出的所有球的数字之积大于或等 于8为止.记此时取出的所有球的数字之和为X,则E(X)= ( ) A. 　　    B.7　　    C. 　　    D.6     A     返回目录 解析　由题意,X的所有可能取值为6,7,9, X=6表示取出的两个球上的数字为2,4,相当于将三个球排序,2,4排在前两位,所以P(X= 6)= = ; X=7表示取出的两个球上的数字为3,4,相当于将三个球排序,3,4排在前两位,所以P(X= 7)= = ; X=9表示三个球全部取出,相当于将三个球排序,2,3排在前两位, 所以P(X=9)= = . 返回目录 所以X的分布列为 X 6 7 9 P       所以E(X)=6 +7 +9 = .故选A. 返回目录 7.★★★(2026届广东深圳红山中学等期中联考,14)一个箱子中有大小质地完全相同的 小球共5个,其中红球2个,蓝球3个.现依次不放回地从箱子中取球,直到取完所有红球为 止.设取球次数为X,则X的数学期望E(X)=_________.     4     解析　依题意X的可能取值为2,3,4,5, 所以P(X=2)= = ,P(X=3)= = ,P(X=4)= = , P(X=5)= = ,所以E(X)=2× +3× +4× +5× =4. 返回目录 8.★★★★(2026届安徽六校测试,14)一个袋中装有形状、大小完全相同的6个球,其中 2个红球,4个白球.从袋中有放回地取球,每次随机取1个记下颜色后放回,直到取出3次 红球停止,记X为4次之内(含4次)取到红球的次数,则X的数学期望E(X)=_________. 返回目录 解析　由题意可知X=0,1,2,3, 则P(X=0)= = , P(X=1)= · · = , P(X=2)= · · = ,P(X=3)=1- = , 所以E(X)=0× +1× +2× +3× = . 返回目录 9.★★★(2026届福建三校协作体联考,15)在某次篮球团体比赛中,甲、乙两支球队进 入总决赛,比赛采用5局3胜制,只要有一支球队先获胜3场,比赛即结束.在第一场比赛中 甲队获胜,已知甲队第2,3,4场获胜的概率为 ,第5场获胜的概率为 ,各场之间互不影 响. (1)求甲队以3∶1获胜的概率; (2)设X表示决出冠军时比赛的场数,求X的分布列与数学期望. 返回目录 解析    (1)设A=“甲队以3∶1获胜”,则甲队必在第四场获胜,第2,3场中胜1场负1场, 则P(A)= × × × = . (2)根据题意,X可取3,4,5, 当X=3时,即甲再连胜2场, 所以P(X=3)= = ; 当X=4时,有2种情况,甲胜或乙胜, 所以P(X=4)= + = ; 返回目录 当X=5时,有2种情况,甲胜或乙胜, 所以P(X=5)=    +    = , 所以X的分布列为 X 3 4 5 P       所以E(X)=3 +4 +5 = . 返回目录 10.★★★★(2026届江苏连云港联考,18)在两个大小相同、距离不同的区域内进行投 掷沙包的比赛,每人至多投3次.具体比赛规则如下:①在距离较远的区域内投一次特制 沙包,投进得5分,没投进不得分;②在距离较近的区域内投两次普通沙包,每投进一次得 3分,没投进不得分(若可以投两次普通沙包,则连续投两次普通沙包);③若前两次均投 进或均未投进,都停止比赛;④得分高于5分则获得相应奖励.已知甲同学在距离较远的 区域内投中沙包的概率是 ,在距离较近的区域内投中沙包的概率是 ,且每次是否投 进互不影响. (1)若甲同学先投特制沙包,求他投掷2次就停止该项比赛的概率. (2)为使获得奖励的概率最大,甲同学应先投哪种沙包? (3)为使投中沙包累计得分的期望最大,甲同学应先投哪种沙包? 返回目录 解析    (1)记“甲同学先投特制沙包,投掷2次就停止该项比赛”为事件A,有以下两种情 况: ①甲同学第一次投掷特制沙包投中,第二次投掷普通沙包投中,停止比赛; ②甲同学第一次投掷特制沙包未投中,第二次投掷普通沙包未投中,停止比赛. 故P(A)=  +  = . (2)记甲同学先投特制沙包,并获得奖励的概率为P1, 则P1=  +   +   = . 记甲同学先投普通沙包,并获得奖励的概率为P2, 返回目录 则P2=   × × + × × = . 因为P1=P2,所以为使获得奖励的概率最大,甲同学先投特制沙包或普通沙包均可. (3)记甲同学先投特制沙包累计得分为X分,则X的所有可能取值为0,3,5,6,8, P(X=0)= × = , P(X=3)= × × = , P(X=5)= × × = , P(X=6)= × × = , 返回目录 P(X=8)= × + × × = , E(X)=0× +3× +5× +6× +8× =3.25. 记甲同学先投普通沙包累计得分为Y分,则Y的所有可能取值为0,3,6,8, P(Y=0)= × = , P(Y=3)= × × + × × = , P(Y=6)= × = ,P(Y=8)= × × + × × = , 则E(Y)=0× +3× +6× +8× =3.5. 返回目录 因为3.5>3.25, 所以为使投中沙包累计得分的期望最大,甲同学应先投普通沙包. 返回目录 $