9.1.2 分层随机抽样 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学导学案聚焦分层随机抽样，通过简单随机抽样可能出现“极端”样本的实例导入，衔接已学抽样方法，引导学生发现改进抽样的必要性，搭建从旧知到新知的学习支架。 以问题链驱动探究，通过四个递进问题引导学生理解分层抽样概念、比例分配及样本均值计算，培养数学抽象素养。例题与练习涵盖选择、填空及实际操作，强化数据分析能力，助力学生掌握抽样方法并提升解决实际问题的能力。

9.1.2　分层随机抽样 【学习目标】 通过实例，学习分层随机抽样，培养学生数学抽象素养；练习应用，培养学生数据分析素养． 【学习重难点】 1. 了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法．（重点） 2. 结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值．（难点） 【学习过程】 一、新知引入 抽样调查最核心的问题是样本的代表性.简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中,但因为抽样的随机性,有可能会出现比较“极端”的样本.例如,在对树人中学高一年级学生身高的调查中,可能出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形.这种“极端”样本的平均数会大幅度地偏离总体平均数,从而使得估计出现较大的误差. 能否利用总体中的一些额外信息对抽样方法进行改进呢? 二、探究新知 问题1　在树人中学高一年级的712名学生中,男生有326名、女生有386名.能否利用这个辅助信息改进简单随机抽样方法,减少“极端,样本的出现,从而提高对整个年级平均身高的估计效果呢? 问题2　对男生、女生分别进行简单随机抽样,样本量在男生、女生中应如何分配? 问题3　已知男生和女生身高的样本平均数分别为170.6和160.6，如何根据样本平均数以及他们各自的人数估计总体平均数？ 问题4　与考察简单随机抽样估计效果类似,小明也想通过多次抽样考察一下分层随机抽样的估计效果.他用比例分配的分层随机抽样方法,从高一年级的学生中抽取了10个样本量为50的样本,计算出样本平均数如表所示.与上一小节“探究”中相同样本量的简单随机抽样的结果比较,小明有了一个重要的发现.你是否也有所发现? 抽样序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 男生样本的平均数 女生样本的平均数 总样本的平均数 我们把分层随机抽样的平均数与上一小节样本量为50的简单随机抽样的平均数用图形进行表示,其中红线表示整个年级学生身高的平均数. 结论形成： 1．分层随机抽样的相关概念 (1)分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行 抽样，再把所有子总体中抽取的样本 作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层． (2)比例分配：在分层随机抽样中，如果每层 都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配． 2．样本平均数的计算公式 在分层随机抽样中，如果层数为两层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层样本的平均数分别为和，则样本的平均数 ＝_ ＝_ ． 三、例题解析 例1. (1)(多选题) 下列问题中，不适合用分层随机抽样抽取样本的是(　　) A．从10名同学中抽取3人参加座谈会 B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本 C．从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间 D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量 (2)分层随机抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体被等可能抽取，必须进行(　　) A．每层等可能抽样 B．每层可以不等可能抽样 C．所有层按比例分配等可能抽样 D．所有层抽取个体数量相同 练习1. 某校有高一学生400人，高二学生380人，高三学生220人，现教育局督导组用按比例分配分层随机抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是(　　) A．高一学生被抽到的可能性最大 B．高二学生被抽到的可能性最大 C．高三学生被抽到的可能性最大 D．每位学生被抽到的可能性相等 例2. 某学校的学生由小学部、初中部、高中部构成，其中小学部与初中部共有700人，该校领导采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取12名学生进行家访，若高中部抽取了5名学生，则该校高中部有________名学生． 练习2. 一批产品中有一级品100个，二级品60个，三级品40个，用分层随机抽样法从这批产品中抽取一个容量为20的样本．请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程． 例3.某校有初中、高中两个部门，其中初中有学生850人，高中有学生650人，小军想要进行一个视力调查，对学校按部门进行按比例分配分层随机抽样，得到初中生、高中生平均视力分别为1.0,0.8，其中样本量为60，则在初中部、高中部各抽取多少人？整个学校平均视力是多少？ 练习3.某校高二有重点班学生400人，普通班学生800人，为调查总体学生数学成绩的平均值，按比例分配进行分层随机抽样，从重点班抽出20人，从普通班抽出40人，通过计算重点班平均成绩为125分，普通班平均成绩为95分，则据此估计高二总体数学成绩的平均数为(　　) A．110 B．125 C．95 D．105 四、布置作业 课本184页1-4题 第 3 页 共 5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.1.2　分层随机抽样教师版 【学习目标】 通过实例，学习分层随机抽样，培养学生数学抽象素养；练习应用，培养学生数据分析素养． 【学习重难点】 1. 了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法．（重点） 2. 结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值．（难点） 【学习过程】 一、新知引入 抽样调查最核心的问题是样本的代表性.简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中,但因为抽样的随机性,有可能会出现比较“极端”的样本.例如,在对树人中学高一年级学生身高的调查中,可能出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形.这种“极端”样本的平均数会大幅度地偏离总体平均数,从而使得估计出现较大的误差. 能否利用总体中的一些额外信息对抽样方法进行改进呢? 二、探究新知 问题1　在树人中学高一年级的712名学生中,男生有326名、女生有386名.能否利用这个辅助信息改进简单随机抽样方法,减少“极端,样本的出现,从而提高对整个年级平均身高的估计效果呢? 提示　我们知道,影响身高的因素有很多,性别是其中的一个主要因素.高中男生的身高普遍高于女生的身高,而相同性别的身高差异相对较小.我们可以利用性别和身高的这种关系,把高一年级学生分成男生和女生两个身高有明显差异的群体,对两个群体分别进行简单随机抽样,然后汇总作为总体的一个样本.由于在男生和女生两个群体中都抽取了相应的个体,这样就能有效地避免“极端”样本. 问题2　对男生、女生分别进行简单随机抽样,样本量在男生、女生中应如何分配? 提示　自然地,为了使样本的结构与总体的分布相近,人数多的群体应多抽一些,人数少的群体应少抽一些.因此,按男生、女生在全体学生中所占的比例进行分配是一种比较合理的方式,即 这样无论是男生还是女生,每个学生抽到的概率都相等.当总样本量为50时,可以计算出从男生、女生中分别应抽取的人数为 问题3　已知男生和女生身高的样本平均数分别为170.6和160.6，如何根据样本平均数以及他们各自的人数估计总体平均数？ 提示　 即估计树人中学高一年级学生的平均身高在165.2cm左右. 问题4　与考察简单随机抽样估计效果类似,小明也想通过多次抽样考察一下分层随机抽样的估计效果.他用比例分配的分层随机抽样方法,从高一年级的学生中抽取了10个样本量为50的样本,计算出样本平均数如表所示.与上一小节“探究”中相同样本量的简单随机抽样的结果比较,小明有了一个重要的发现.你是否也有所发现? 抽样序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 男生样本的平均数 女生样本的平均数 总样本的平均数 我们把分层随机抽样的平均数与上一小节样本量为50的简单随机抽样的平均数用图形进行表示,其中红线表示整个年级学生身高的平均数. 提示 从试验结果看,分层随机抽样的样本平均数围绕总体平均数波动,与简单随机抽样的结果比较,分层随机抽样并没有明显优于简单随机抽样.但相对而言,分层随机抽样的样本平均数波动幅度更均匀,简单随机抽样中出现了一个(第2个)偏离总体平均数的幅度比较大的样本平均数,即出现了比较“极端”的样本,而分层随机抽样没有出现. 实际上,在个体之间差异较大的情形下,只要选取的分层变量合适,使得各层间差异明显、层内差异不大,分层随机抽样的效果一般会好于简单随机抽样,也好于很多其他抽样方法.分层随机抽样的组织实施也比简单随机抽样方便,而且除了能得到总体的估计外,还能得到每层的估计. 在实际抽样调查中,由于实际问题的复杂性,除了要考虑获得的样本的代表性,还要考虑调查实施中人力、物力、时间等因素,因此通常会把多种抽样方法组合起来使用.例如,在分层抽样中,不同的层内除了用简单随机抽样外,还可以用其他的抽样方法,有时层内还需要再进行分层,等等. 结论形成： 1．分层随机抽样的相关概念 (1)分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行__简单随机__抽样，再把所有子总体中抽取的样本__合在一起__作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层． (2)比例分配：在分层随机抽样中，如果每层__样本量__都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配． 2．样本平均数的计算公式 在分层随机抽样中，如果层数为两层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层样本的平均数分别为和，则样本的平均数 ＝___＋___＝___＋___． 三、例题解析 例1. (1)(多选题) 下列问题中，不适合用分层随机抽样抽取样本的是(　　) A．从10名同学中抽取3人参加座谈会 B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本 C．从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间 D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量 解析　ACD A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，不适合用分层随机抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层随机抽样． (2)分层随机抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体被等可能抽取，必须进行(　　) A．每层等可能抽样 B．每层可以不等可能抽样 C．所有层按比例分配等可能抽样 D．所有层抽取个体数量相同 解析　C 为了保证每个个体被等可能地抽取，分层随机抽样时必须在所有层都按比例分配等可能抽样． 练习1. 某校有高一学生400人，高二学生380人，高三学生220人，现教育局督导组用按比例分配分层随机抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是(　　) A．高一学生被抽到的可能性最大 B．高二学生被抽到的可能性最大 C．高三学生被抽到的可能性最大 D．每位学生被抽到的可能性相等 解析　D根据按比例分配分层随机抽样的性质，每个个体被抽到的可能性是相等的． 例2. 某学校的学生由小学部、初中部、高中部构成，其中小学部与初中部共有700人，该校领导采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取12名学生进行家访，若高中部抽取了5名学生，则该校高中部有________名学生． 解析　500设该校高中部有m名学生，则 ＝，解得m＝500. 则该校高中部有500名学生． 练习2. 一批产品中有一级品100个，二级品60个，三级品40个，用分层随机抽样法从这批产品中抽取一个容量为20的样本．请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程． 解析第一步，确定抽样比，因为100＋60＋40＝200，所以＝， 第二步，确定各层抽取的样本数， 一级品：100×＝10， 二级品：60×＝6， 三级品：40×＝4. 第三步，采用简单随机抽样的方法，从各层分别抽取样本． 第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本． 例3.某校有初中、高中两个部门，其中初中有学生850人，高中有学生650人，小军想要进行一个视力调查，对学校按部门进行按比例分配分层随机抽样，得到初中生、高中生平均视力分别为1.0,0.8，其中样本量为60，则在初中部、高中部各抽取多少人？整个学校平均视力是多少？ 解　初中部抽取的人数为60×＝34， 高中部抽取的人数为60×＝26， 整个学校平均视力为×1.0＋×0.8≈0.91， 所以在初中部、高中部各抽取34,26人，整个学校平均视力约为0.91. 练习3.某校高二有重点班学生400人，普通班学生800人，为调查总体学生数学成绩的平均值，按比例分配进行分层随机抽样，从重点班抽出20人，从普通班抽出40人，通过计算重点班平均成绩为125分，普通班平均成绩为95分，则据此估计高二总体数学成绩的平均数为(　　) A．110 B．125 C．95 D．105 解析　D 总体数学成绩的平均值为＝105. 四、布置作业 课本184页1-4题 第 5 页 共 5页 学科网（北京）股份有限公司 $