精品解析：2026年山西吕梁市岚县育红中学等校九年级下学期适应训练数学试卷（二模）

九年级适应训练 数 学 说明：共三大题，23小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 在某段高铁线路建设中，将隧道内海拔高度低于地面的部分记为负，高于地面的部分记为正．若某隧道入口处海拔比地面低8米，记作米，则隧道出口处海拔比地面高12米，应记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2. 如图，这是一款工件模型，下列选项中，不是其三视图的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在直线上摆放着三个正方形，其中正放的两个正方形的顶点分别是斜放正方形相邻两边的中点，正放的两个正方形面积分别为3和4．则斜放正方形的面积为（ ） A. 5 B. 20 C. 28 D. 7 5. 从国网山西省电力有限公司获悉，2025年山西新能源发电量达1180亿千瓦时，同比增长，相当于约3500万户家庭一年的用电量，可节约标煤约3600万吨，减少二氧化碳排放约8800万吨．数据8800万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 校园春季游园会在操场设置了趣味闯关活动，现场开放了东、西两个入口（对应图中的A，B），游玩路线的终点则设有手工坊、美食区、礼品兑换处三个出口（对应图中的C，D，E）．同学们需随机选择一个入口进入游园，完成所有闯关游戏后，再随机选择一个出口离开．则某同学恰好从东入口A进入，且从礼品兑换处E离开的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 香篆钟是我国古代利用香燃烧的速度来计时的一种方法，古人将香制成特定的形状，如篆文，香燃烧到一定的位置，就表示过去了一定的时间．研究发现某款香篆钟所用香的剩余长度（单位：）与燃烧时间单位：）满足我们学过的某种函数关系，下表是记录的部分数据，则当时间为时，对应的剩余长度为（ ） 燃烧时间 2 4 8 剩余长度 18 16 12 A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，连接的垂直平分线分别交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 城市公园规划中，设计师设计了一个半圆形的景观区域，已知半圆的直径，是半圆上两点，且，连接．现分别以点、点为圆心，的长为半径画弧交于点、点．施工人员计划在图中阴影部分铺设彩色地砖，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：________． 12. 音乐课上，老师带领同学们动手制作音乐瓶，发现玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．通过多次实验得到：当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以敲击出音阶“”．如图，若瓶高，且敲击时发出音符“”的声音，则水面高度约为___________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别交函数的图象于点A，B．若C是y轴上任意一点，则的面积为_______． 14. 太谷饼是山西晋中极具代表性的传统糕点，是“山西八大名点”之一，以香、酥、绵、软的独特口感闻名，距今已有近年历史，更是国家地理标志保护产品．某经销部门看中其市场潜力，以每盒元的价格从太谷本地厂家购进一批礼盒装太谷饼；据市场分析，若按每盒元销售，一天能售出盒，销售单价每上涨元，日销售量就减少盒．要使日销售利润为元，销售单价应定为多少元？设销售单价为，可列方程：___________． 15. 如图，在矩形中，，是边的中点，连接，是对角线上的一点，连接，且，则的长为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求完成下列计算： （1）计算：． （2）解不等式组：并把它的解集表示在数轴上． 17. “千年平城韵，石窟耀云冈”．大同云冈石窟凭借恢弘的石刻艺术和深厚的北魏文化底蕴，吸引着八方游客．随着云冈石窟旅游热度攀升，相关特色文创产品也备受青睐．小宇和小琳去选购文创产品，两人的对话如下．根据两人的对话，求每件云冈石窟石雕摆件和每个飞天纹样书签的售价． 18. 某初中为落实《义务教育阶段体育与健康课程实施提质行动计划》，了解本校初中阶段学生周间（周一至周五）每天体育活动（含校内体育课、课间操、课外体育锻炼）的实际时长情况，从三个年级中随机抽取60名学生开展问卷调查． 调查问卷 （1）你每周周一至周五平均每天体育活动的时长是___________分钟． 若你周一至周五平均每天体育活动的时长不足40分钟，请接着回答第（2）题 （2）影响你完成体育活动的主要因素是___________（单选） A．文化课作业挤占时间 B．自身缺乏运动兴趣 C．校内运动场地/器材不足 D．其他 现对调查结果进行了整理，描述和分析，部分信息如下： 信息一：学校将学生周间平均每天体育活动时长，以分钟为单位分为：一级（），二级（），三级（），四级（），通过对调查数据分析获得条形统计图． 信息二：活动时长在“”的30名学生周间平均每天体育活动时长分别为40，40，40，41，43，45，45，45，45，45，45，46，48，50，50，51，51，51，51，53，54，55，56，56，56，57，58，58，58，59（单位；分钟）． 信息三：影响学生每天完成体育活动的主要因素扇形统计图． 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）①补全条形统计图． ②随机抽取的60名学生中，因“校内运动场地/器材不足”，导致周间平均每天体育活动时长不足40分钟的学生人数为___________． （2）本次调查中，学生周间（周一至周五）每天体育活动（含校内体育课、课间操、课外体育锻炼）的时长的中位数是___________． （3）该校初中阶段共有2400名学生，若对周间平均每天体育活动时长不足40分钟的这部分学生开展运动打卡激励，每人每天发放价值2元的运动积分兑换券，估计该校每周（5天）需准备多少价值的运动积分兑换券？ （4）结合本次调查结果和影响体育活动时长的因素，为该校落实“青少年体育活动促进计划”提出两条合理的建议． 19. 新型城镇化建设是我国现代化建设的重要战略，为落实“新型城镇化建设”的工作要求，某市对城郊结合部一段全长为1950米的民生道路进行升级改造，铺设透水沥青路面．施工队铺设650米后，为加快新型城镇化建设进度，后续每天的施工效率比原计划提高，最终共用25天完成了全部改造任务．问原计划每天铺设路面多少米？ 20. 项目学习项目背景：阅读是拓宽视野、涵养心灵的重要途径，为了给同学们营造更加舒适的阅读环境，学校图书馆新增了一批可调节角度的落地阅读书架．这款书架通过调节支架角度，能适配不同身高同学的阅读需求，让大家在阅读时更轻松．勤思小组将书架的支架结构进行简化，测量得到相关数据． 数据采集：如图，这是某款落地阅读书架及其支架结构简化图：支架臂，且点、点处均设计有可旋转的铰链，以此调节书架的倾斜角度；书架的支撑部分地面，起到稳定支撑的作用．勤思小组的同学将支架的支撑部分调节到一个舒适阅读的位置，经测量，得到以下数据：，，且此时点与点的高度差为． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，根据上述数据，求此阅读书架支架臂的长．（结果精确到，参考数据：） 21. 阅读与思考 下面是小函同学设计的一种“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．请认真阅读材料内容，并完成相应的任务． 过直线外一点作已知直线的平行线 已知：如图1，直线及直线外一点． 求作：直线，使得． 作法：如图2，①在直线上取一点，连接，以点为圆心，的长为半径画圆，交直线于点和点； ②连接，以点为圆心，的长为半径在直线上方画弧交于点； ③作直线，则直线为所求． 证明：如图2，连接， 在中，由作图可知， ∴（依据）， ∴， ∵， …… 任务： （1）材料中的依据是指______________________________________． （2）补全阅读材料中的证明过程． （3）请使用不同于材料中的作法，利用直尺和圆规在图3中作直线，使．（保留作图痕迹，不写作法） 22. 综合与实践 问题情境：漪汾桥是太原首座双七拱吊桥，具有划时代意义，它是中承式连续拱桥，其最亮眼的设计在于桥体两侧对称舒展的抛物线形桥拱，远远望去犹如两道绚丽的彩虹横跨汾河，早已成为汾河畔极具辨识度的城市景观，兼具工程美学与力学价值． 数学建模：图1是太原漪汾桥实物图，桥面上方的桥拱可近似看作完全相同的抛物线，图2为其一桥拱的示意图，以桥面所在直线为轴，桥墩立柱所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知桥拱的跨度米，桥拱最高点到桥面的距离为9米． 问题解决： （1）①求该桥拱抛物线的函数表达式； ②为了方便给桥拱顶部喷涂除锈剂，养护工人需在桥拱上距离桥面5米高的位置，搭建施工水平支架平台（点均在桥拱上），对桥拱横向作业，求该水平作业平台的长度． （2）如图3，若需在漪汾桥桥拱下方安装一块内容为“晋善晋美，马到成功”的矩形灯牌，其中点在抛物线上，点在桥面上，边靠近桥墩且到桥墩的距离不小于11米，为更好地筹备所需材料，需测算单块宣传牌的周长最大值（宣传牌厚度忽略不计），请你帮忙计算一下，直接写出结果即可． 23. 综合与探究 问题情境：如图1，在正方形纸片中，为对角线的中点，将正方形折叠后，点落在上的点处，折痕交于点，交于点，连接，是的中点． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由． 拓展延伸： （2）将（1）中得到的四边形绕点旋转至三点不在同一直线上，其他条件不变，如图2所示，连接． ①试猜想线段与的数量关系，并加以证明． ②若，在四边形绕点旋转的过程中，当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级适应训练 数 学 说明：共三大题，23小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 在某段高铁线路建设中，将隧道内海拔高度低于地面的部分记为负，高于地面的部分记为正．若某隧道入口处海拔比地面低8米，记作米，则隧道出口处海拔比地面高12米，应记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正负数的实际意义，根据题目给出的正负规定，直接判断即可得到结果 【详解】解：∵海拔低于地面记为负，高于地面记为正， 又∵隧道出口处海拔比地面高12米， ∴应记作米 2. 如图，这是一款工件模型，下列选项中，不是其三视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A.该选项是图形的主视图； B. 该选项是图形的俯视图； C. 该选项不是图形的三视图； D. 该选项是图形的左视图． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂除法、多项式乘多项式的计算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，因此A错误； B、，因此B错误； C、，因此C错误； D、，故D正确． 4. 如图，在直线上摆放着三个正方形，其中正放的两个正方形的顶点分别是斜放正方形相邻两边的中点，正放的两个正方形面积分别为3和4．则斜放正方形的面积为（ ） A. 5 B. 20 C. 28 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出直角，利用全等三角形的判定和性质得出相等的边，然后利用勾股定理，结合已知求出斜放正方形的边长，即可求解． 【详解】解：如图所示，标记相关点， ∵正方形的四个角都是直角， ∴，， ∴， ∴， 又∵点分别是斜放正方形相邻两边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵正放的两个正方形面积分别为3和4， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得， ∴斜放的正方形边长为， ∴． 5. 从国网山西省电力有限公司获悉，2025年山西新能源发电量达1180亿千瓦时，同比增长，相当于约3500万户家庭一年的用电量，可节约标煤约3600万吨，减少二氧化碳排放约8800万吨．数据8800万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题思路为：先将“8800万”转换为普通整数，再根据科学记数法的定义写出正确形式，科学记数法要求表示为 的形式，其中 ，为整数． 【详解】解：∵ 8800万 将表示为科学记数法，小数点向左移动7位得到 ，满足 ∴． 6. 校园春季游园会在操场设置了趣味闯关活动，现场开放了东、西两个入口（对应图中的A，B），游玩路线的终点则设有手工坊、美食区、礼品兑换处三个出口（对应图中的C，D，E）．同学们需随机选择一个入口进入游园，完成所有闯关游戏后，再随机选择一个出口离开．则某同学恰好从东入口A进入，且从礼品兑换处E离开的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画树状图求概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 等可能出现的情况有6种，符合要求的情况有1种， ∴从东入口A进入，且从礼品兑换处E离开的概率是． 7. 如图，是的直径，内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，利用圆周角定理得出，利用直径所对圆周角等于90度得出直角，最后利用直角三角形的两锐角互余求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与所对的弧为，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 8. 香篆钟是我国古代利用香燃烧的速度来计时的一种方法，古人将香制成特定的形状，如篆文，香燃烧到一定的位置，就表示过去了一定的时间．研究发现某款香篆钟所用香的剩余长度（单位：）与燃烧时间单位：）满足我们学过的某种函数关系，下表是记录的部分数据，则当时间为时，对应的剩余长度为（ ） 燃烧时间 2 4 8 剩余长度 18 16 12 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】待定系数法求出函数关系式，然后求出函数值即可． 【详解】解：设函数关系为， 将代入关系式得， 解得， ∴， 检验，当时，，符合题意， ∴当时，， ∴对应的剩余长度为． 9. 如图，在菱形中，连接的垂直平分线分别交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据菱形的性质证明，得出，利用菱形的性质以及线段垂直平分线的性质求出相关角的度数，最后利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 城市公园规划中，设计师设计了一个半圆形的景观区域，已知半圆的直径，是半圆上两点，且，连接．现分别以点、点为圆心，的长为半径画弧交于点、点．施工人员计划在图中阴影部分铺设彩色地砖，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，设与相交于点，由圆周角定理得，即得，得到，即得到，，再利用直角三角形的性质和勾股定理得，得，，得，最后根据图形求出面积即可． 【详解】解：如图，连接，设与相交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：________． 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查了实数的比较大小，算术平方根，熟练应用平方法比较大小是解题的关键．利用平方法分别计算，，然后比较大小即可． 【详解】解：，，， ， 故答案为：． 12. 音乐课上，老师带领同学们动手制作音乐瓶，发现玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．通过多次实验得到：当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以敲击出音阶“”．如图，若瓶高，且敲击时发出音符“”的声音，则水面高度约为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，得， 解得． 13. 如图，在平面直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别交函数的图象于点A，B．若C是y轴上任意一点，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，连接，由平行线的性质得到，再由反比例函数比例系数的几何意义得到，则可根据求出答案． 【详解】解：如图，连接． ∵轴， ∴， ∵，， ， 故答案为：． 14. 太谷饼是山西晋中极具代表性的传统糕点，是“山西八大名点”之一，以香、酥、绵、软的独特口感闻名，距今已有近年历史，更是国家地理标志保护产品．某经销部门看中其市场潜力，以每盒元的价格从太谷本地厂家购进一批礼盒装太谷饼；据市场分析，若按每盒元销售，一天能售出盒，销售单价每上涨元，日销售量就减少盒．要使日销售利润为元，销售单价应定为多少元？设销售单价为，可列方程：___________． 【答案】 【解析】 【分析】把日销售量、每盒的利润用含的代数式表示出来，再根据销售利润销量每盒的利润列方程即可． 【详解】解：设销售单价为元，则销售单价上涨了元， 日销售量就减少盒，每盒的利润为元， 根据销售利润销量每盒的利润， 可得：． 15. 如图，在矩形中，，是边的中点，连接，是对角线上的一点，连接，且，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，过点作于点，根据中位线的判定和性质得出，令，表示出相关线段的长度，根据锐角三角函数设，则，利用线段长度求出，最后根据勾股定理求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接，过点作于点． ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴． 令． ∵， ∴． ∵，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求完成下列计算： （1）计算：． （2）解不等式组：并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1） （2） ; 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：解不等式①： 解不等式②： 不等式组的解集为 17. “千年平城韵，石窟耀云冈”．大同云冈石窟凭借恢弘的石刻艺术和深厚的北魏文化底蕴，吸引着八方游客．随着云冈石窟旅游热度攀升，相关特色文创产品也备受青睐．小宇和小琳去选购文创产品，两人的对话如下．根据两人的对话，求每件云冈石窟石雕摆件和每个飞天纹样书签的售价． 【答案】每件云冈石窟石雕摆件的售价为55元，每个飞天纹样书签的售价为元 【解析】 【分析】设每件云冈石窟石雕摆件的售价为元，每个飞天纹样书签的售价为元，根据“买了1件摆件和4个书签，共85元”，“买了3件摆件和2个书签，共180元”为等量关系列方程组进行求解即可． 【详解】解：设每件云冈石窟石雕摆件的售价为元，每个飞天纹样书签的售价为元， 由题意可得 解得 答：每件云冈石窟石雕摆件的售价为55元，每个飞天纹样书签的售价为元． 18. 某初中为落实《义务教育阶段体育与健康课程实施提质行动计划》，了解本校初中阶段学生周间（周一至周五）每天体育活动（含校内体育课、课间操、课外体育锻炼）的实际时长情况，从三个年级中随机抽取60名学生开展问卷调查． 调查问卷 （1）你每周周一至周五平均每天体育活动的时长是___________分钟． 若你周一至周五平均每天体育活动的时长不足40分钟，请接着回答第（2）题 （2）影响你完成体育活动的主要因素是___________（单选） A．文化课作业挤占时间 B．自身缺乏运动兴趣 C．校内运动场地/器材不足 D．其他 现对调查结果进行了整理，描述和分析，部分信息如下： 信息一：学校将学生周间平均每天体育活动时长，以分钟为单位分为：一级（），二级（），三级（），四级（），通过对调查数据分析获得条形统计图． 信息二：活动时长在“”的30名学生周间平均每天体育活动时长分别为40，40，40，41，43，45，45，45，45，45，45，46，48，50，50，51，51，51，51，53，54，55，56，56，56，57，58，58，58，59（单位；分钟）． 信息三：影响学生每天完成体育活动的主要因素扇形统计图． 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）①补全条形统计图． ②随机抽取的60名学生中，因“校内运动场地/器材不足”，导致周间平均每天体育活动时长不足40分钟的学生人数为___________． （2）本次调查中，学生周间（周一至周五）每天体育活动（含校内体育课、课间操、课外体育锻炼）的时长的中位数是___________． （3）该校初中阶段共有2400名学生，若对周间平均每天体育活动时长不足40分钟的这部分学生开展运动打卡激励，每人每天发放价值2元的运动积分兑换券，估计该校每周（5天）需准备多少价值的运动积分兑换券？ （4）结合本次调查结果和影响体育活动时长的因素，为该校落实“青少年体育活动促进计划”提出两条合理的建议． 【答案】（1）①图见解析；②4 （2）50 （3）6400元 （4）建议：①组织班级体育打卡；②开设校级运动会等活动；③增加校园运动器材设施（合理即可） 【解析】 【分析】（1）①求出部分的数据补全条形统计图即可； ②根据百分比求出实际数据即可； （2）根据中位数定义求解； （3）利用样本频数求出总体频数，然后求解； （4）根据数据提出合理建议即可． 【小问1详解】 解：①（人）， 补全条形统计图如下： ②（人）； 【小问2详解】 解：中位数是第30位数据和第31位数据的平均数， 第30位数据为50，第31位数据为50， ∴中位数为； 【小问3详解】 解：（元）， ∴该校每周（5天）需准备6400元的运动积分兑换券； 【小问4详解】 解：建议：①组织班级体育打卡；②开设校级运动会等活动；③增加校园运动器材设施（合理即可）． 19. 新型城镇化建设是我国现代化建设的重要战略，为落实“新型城镇化建设”的工作要求，某市对城郊结合部一段全长为1950米的民生道路进行升级改造，铺设透水沥青路面．施工队铺设650米后，为加快新型城镇化建设进度，后续每天的施工效率比原计划提高，最终共用25天完成了全部改造任务．问原计划每天铺设路面多少米？ 【答案】66米 【解析】 【分析】设原计划每天铺设路面米，根据题意列出分式方程求解． 【详解】解：设原计划每天铺设路面米，根据题意得， ， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意． 答：原计划每天铺设路面66米． 20. 项目学习项目背景：阅读是拓宽视野、涵养心灵的重要途径，为了给同学们营造更加舒适的阅读环境，学校图书馆新增了一批可调节角度的落地阅读书架．这款书架通过调节支架角度，能适配不同身高同学的阅读需求，让大家在阅读时更轻松．勤思小组将书架的支架结构进行简化，测量得到相关数据． 数据采集：如图，这是某款落地阅读书架及其支架结构简化图：支架臂，且点、点处均设计有可旋转的铰链，以此调节书架的倾斜角度；书架的支撑部分地面，起到稳定支撑的作用．勤思小组的同学将支架的支撑部分调节到一个舒适阅读的位置，经测量，得到以下数据：，，且此时点与点的高度差为． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，根据上述数据，求此阅读书架支架臂的长．（结果精确到，参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】过点作的平行线，再分别过点作该平行线的垂线，垂足为，根据题意求出和，设，利用三角函数表示出和的长度，根据“点与点的高度差”列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作的平行线，再分别过点作该平行线的垂线，垂足为， 则． ∵， ∴， ∴， ∴， 设． 在中，， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴． 由题意可得， ∴， 解得． 答：此阅读书架支架臂的长约为． 21. 阅读与思考 下面是小函同学设计的一种“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．请认真阅读材料内容，并完成相应的任务． 过直线外一点作已知直线的平行线 已知：如图1，直线及直线外一点． 求作：直线，使得． 作法：如图2，①在直线上取一点，连接，以点为圆心，的长为半径画圆，交直线于点和点； ②连接，以点为圆心，的长为半径在直线上方画弧交于点； ③作直线，则直线为所求． 证明：如图2，连接， 在中，由作图可知， ∴（依据）， ∴， ∵， …… 任务： （1）材料中的依据是指______________________________________． （2）补全阅读材料中的证明过程． （3）请使用不同于材料中的作法，利用直尺和圆规在图3中作直线，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）与为圆的弦，则根据“在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等”可得． （2）根据等边对等角可得，再由三角形内角和可得，由此可得，再由“内错角相等，两直线平行”即可证明平行． （3）如图，在直线上取一点，作射线，以点为圆心，任意线段的长为半径画弧，交直线于点，交于点，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交的延长线于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点，作直线， 则直线即为所求． 【小问1详解】 解：依据是：在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等． 【小问2详解】 证明：如图2，连接， 在中，由作图可知， ∴（在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：作图如下： 22. 综合与实践 问题情境：漪汾桥是太原首座双七拱吊桥，具有划时代意义，它是中承式连续拱桥，其最亮眼的设计在于桥体两侧对称舒展的抛物线形桥拱，远远望去犹如两道绚丽的彩虹横跨汾河，早已成为汾河畔极具辨识度的城市景观，兼具工程美学与力学价值． 数学建模：图1是太原漪汾桥实物图，桥面上方的桥拱可近似看作完全相同的抛物线，图2为其一桥拱的示意图，以桥面所在直线为轴，桥墩立柱所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知桥拱的跨度米，桥拱最高点到桥面的距离为9米． 问题解决： （1）①求该桥拱抛物线的函数表达式； ②为了方便给桥拱顶部喷涂除锈剂，养护工人需在桥拱上距离桥面5米高的位置，搭建施工水平支架平台（点均在桥拱上），对桥拱横向作业，求该水平作业平台的长度． （2）如图3，若需在漪汾桥桥拱下方安装一块内容为“晋善晋美，马到成功”的矩形灯牌，其中点在抛物线上，点在桥面上，边靠近桥墩且到桥墩的距离不小于11米，为更好地筹备所需材料，需测算单块宣传牌的周长最大值（宣传牌厚度忽略不计），请你帮忙计算一下，直接写出结果即可． 【答案】（1）①；②44米 （2）98米 【解析】 【分析】（1）①待定系数法求函数表达式；②根据题意可得点的纵坐标，代入解析式，解方程可得点的横坐标，即可求解； （2）设点的横坐标为，表示出矩形的周长，根据二次函数的图象和性质求出最值． 【小问1详解】 解：①由题意得抛物线的顶点为桥拱最高点，横坐标为，纵坐标为9，即顶点坐标为． 设函数表达式为， 将原点代入上式，得， 解得， ∴该桥拱抛物线的函数表达式为； ②平台距离桥面的垂直距离为5米，即点的纵坐标， 将其代入抛物线解析式， 得， 解得， ∴（米）． 答：该水平作业平台的长度为44米； 【小问2详解】 解：设点的横坐标为， 由抛物线的对称性可知，点的横坐标为， ∴， 矩形的高即为点的纵坐标，． 设矩形的周长为， ∴ ， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，函数随的增大而减小， 根据题意，边到桥墩距离不小于11米，即． ∴当取最小值11时，周长取得最大值． 当时，（米）． 答：单块宣传牌的周长最大值为98米． 23. 综合与探究 问题情境：如图1，在正方形纸片中，为对角线的中点，将正方形折叠后，点落在上的点处，折痕交于点，交于点，连接，是的中点． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由． 拓展延伸： （2）将（1）中得到的四边形绕点旋转至三点不在同一直线上，其他条件不变，如图2所示，连接． ①试猜想线段与的数量关系，并加以证明． ②若，在四边形绕点旋转的过程中，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）正方形，见解析 （2）①，见解析②或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得出角的度数，根据翻折的性质得出相等的边和角，先得出四边形是平行四边形，再得出平行四边形是菱形，最后得出菱形是正方形； （2）①根据正方形的性质得出边之间的关系，证明，即可得出数量关系； ②分两种情况进行讨论，构造直角三角形，求出相关线段的长度，利用勾股定理得出的长度，然后利用求解． 【小问1详解】 解：四边形是正方形． 理由：∵四边形是正方形，是对角线， ∴． ∵是折痕， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形． ∵， ∴菱形是正方形； 【小问2详解】 解：①． 证明：∵四边形，四边形都是正方形， ∴． ∵分别为的中点， ∴， 由旋转的性质可得． ∴， ∴， ∴； ②由①知，且∽． 如图1，当四边形绕点顺时针旋转时，， 此时点在的延长线上， 四点共线，过点作于点， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 由勾股定理可得，而， ∴； 如图2，当四边形绕点顺时针旋转时，， 此时点在上，点 在上，过点作于点， 同理可得，，， 由勾股定理可得，而， ∴， 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $