专题05不等式与不等式组 期末复习讲义（23大核心题型精讲+重点知识归纳）-2025-2026学年人教版数学七年级下学期.

专题05不等式与不等式组 期末复习讲义 期末复习◆目标 概念：分清不等式、不等式的解与解集，会检验解、数轴规范画解集。 性质：掌握不等式基本性质、对称性、传递性，负数乘除注意变号。 计算：熟练解一元一次不等式、不等式组，活用解集口诀，会求各类整数解与最值。 含参：由解集、整数解情况求参数，掌握方程组与不等式综合题型。 应用：找准不等关键词列不等式(组)，熟练解决方案、分配、收费等实际应用题。 核心题型◆归纳 题型1.不等式的识别与定义 题型2.不等式的解集 题型3.不等式的性质 题型4.一元一次不等式的定义 题型5.求一元一次不等式解集 题型6.求一元一次不等式的整数解 题型7.在数轴上规范表示不等式解集 题型8.求一元一次不等式解的最值 题型9.列一元一次不等式 题型10.一元一次不等式解决实际问题 题型11.一元一次不等式解决几何问题 题型12.求不等式组的解集 题型13.求一元一次不等式组的整数解 题型14.一元一次不等式组解集求参数 题型15.不等式组解集的情况求参数 题型16.不等式组和方程组结合的问题 题型17.列一元一次不等式组 题型18.不等式组的行程问题 题型19.不等式组的经济问题 题型20.不等式组的分配问题 题型21.不等式组的方案选择问题 题型22.不等式组的阶梯收费问题 题型23.一元一次不等式组其他应用 重点知识◆梳理 【知识点一、不等式的相关概念】 1.定义：一般地，用符号“＞、＜、≤、≥表示大小关系的式子，称为不等式。 注意：判断一个式子是不是不等式，关键看该式子是否含不等号。 【知识点二、不等式的基本性质】 1. (1)不等式性质的对称性 交换不等式的两边，不等号的方向改变.即：如果a>b,那么b<a; (2) 不等式性质的传递性 如果a>b,b>c,那么a>c. 拓展：如果c<b,b<a,那么c<a. 如果c≤b,b≤a,那么c≤a; 如果c=b,b=a,那么c=a. 2.不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变。 a± c > b± c 3.不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 ac>bc , >(c>0) 4. 不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变。 ac<bc, <(c<0) 重点提醒:系数为负数时，务必改变不等号方向. 【知识点三、一元一次不等式及其解法】 1.不等式的解:能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解； 2.不等式的解集:一个不等式的所有的解，组成这个不等式的解集； 3.解一元一次不等式的核心步骤： （1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1； 4. 三大易错点： (1)去分母不能漏掉没有分母的项； (2)移项要注意变号； (3)系数化为1要注意同乘除一个负数时不等号要变号； 【知识点四、一元一次不等式组及其解法】 1.不等式组的解集：不等式组中所有不等式解集的公共部分叫作不等式组的解集. 2.不等式组解集的四种情形： 3.解一元一次不等式组的一般步骤： (1)求出不等式组中各个不等式的解集，并分别在数轴上表示出来； (2)确定各个不等式的解集的公共部分，得到不等式组的解集。 4.不等式组的整数解 ★在不等式组解集范围内的整数叫作不等式组的整数解。 【知识点五、一元一次不等式的应用】 应用一元一次不等式（组）解决问题的步骤： （1）分析题意，寻找表示（不等）数量关系； （2）思考探索，列出一元一次不等式（组）； （3）求出解集，解不等式组； （4）确定答案，根据具体要求确定答案，从而解决实际问题。 题型解析◆精准备考 题型1.不等式的识别与定义 1．下列各式中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有____（填序号）． 3．用不等式表示： (1)x的与3的差大于2； (2)与3的和小于或等于零； (3)a的2倍与4的差是正数； (4)b的与c的和是非负数； (5)x与17的和比x的5倍小． 题型2.不等式的解集 1．下列说法中，正确的是（   ）． A．方程和不等式的解是一样的 B．不是不等式的解 C．是不等式的一个解 D．是不等式的解集 2．已知不等式的正整数解为1，2，3． （1）当为整数时，的值为_____． （2）当为实数时，的取值范围为_____． 3．已知关于的不等式的解集是，求不等式的解集 题型3.不等式的性质 1．下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．对于有理数a、b，如果，，则b____（用“”，“”，“”填空）． 3．利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性： (1)如果，那么； (2)如果a、b、c、d都是正数，且，那么． 题型4.一元一次不等式的定义 1．若是关于的一元一次不等式，则m的值不可以为（     ） A．1 B． C．2 D．0 2．若不等式是关于x的一元一次不等式，则________． 3．已知是关于x的一元一次不等式，求b的值． 题型5.求一元一次不等式解集 1．若关于x的不等式的解集为，则a的值为（   ） A． B． C． D． 2．对于实数a，b定义运算“※”为，例如，则关于x的不等式恰有两个正整数解时，m的取值范围是________． 3．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下：，例如：，． (1)若，求x的取值范围； (2)已知关于x的方程的解满足，求a的最小整数解． 题型6.求一元一次不等式的整数解 1．不等式的最大整数解是（     ） A．0 B．1 C． D．2 2．不等式 的正整数解有______个． 3．按要求解题： (1)解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (2)求不等式的非负整数解． 题型7.在数轴上规范表示不等式解集 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ）． A． B． C． D． 2．已知三个不等式的解集在数轴上表示如图所示，请分别写出这三个不等式的解集： （1）  ____________________． （2）   ____________________． （3）____________________． 3．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型8.求一元一次不等式解的最值 1．已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 2．关于的不等式的最小整数解为，则的值为______． 3．某货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过．现要用此货运电梯装运一批设备，每套设备由个甲部件和个乙部件组成，个甲部件的质量是千克，1个乙部件的质量是千克．每次装运都需要工人装卸，设备需要成套装运，现已知装卸工人总重量为，则货运电梯一次最多可装运多少套设备？ 题型9.列一元一次不等式 1．小颖同学用100元钱去购买矿泉水和可乐共30瓶，已知矿泉水每瓶2元，可乐每瓶5元，则小颖同学最多能买可乐（    ） A．12瓶 B．13瓶 C．14瓶 D．15瓶 2．一年一度的校园春季运动会即将拉开帷幕，学校体育教研室准备购买一批体育用品，其中计划同时购买接力棒、标志桶、长绳三种器材计划共40件，已知接力棒每根9元，标志桶每个18元，长绳每根25元，在价格不变的前提下，实际购买接力棒是计划数量的，长绳购进10根，结果实际购进三种器材共30件．且比原计划少支付124元，则实际购进标志桶的数量为______个． 3．列方程（或不等式）解决下列实际问题： 为开展校园数学实践活动，七年级社团准备制作立体模型，需要采购甲、乙手工材料．若购买件甲材料和件乙材料共需元；购买件甲材料和件乙材料共需元． (1)每件甲、乙材料的单价分别为多少元？ (2)本次实践活动计划购进甲、乙两种材料共需件，实际购买时，甲材料单价上涨，乙材料单价上涨，要求总采购费用不超过元，请问最多购进多少件甲材料？ 题型10.一元一次不等式解决实际问题 1．关于x的方程的解是非负整数，且关于y的多项式是四次多项式，则所有满足条件的正整数a的和是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．若点P为数轴上一个定点，点M为数轴上一点将M，P两点的距离记为MP．给出如下定义：若MP小于或等于k，则称点M为点P的k可达点． 例如：点O为原点，点A表示的数是1，则O，A两点的距离为1，1＜2，即点A可称为点O的2可达点． （1）如图，点B1，B2，B3中，___是点A的2可达点； （2）若点C为数轴上一个动点， ①若点C表示的数为﹣1，点C为点A的k可达点，请写出一个符合条件的k值 ___； ②若点C表示的数为m，点C为点A的2可达点，m的取值范围为 ___； （3）若m≠0，动点C表示的数是m，动点D表示的数是2m，点C，D及它们之间的每一个点都是点A的3可达点，写出m的取值范围 ___． 3．如图，在中，，，．D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为． (1)当_____s时，点P运动到点B； (2)当点P在边上运动时，若以P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，求t的值； (3)当点P在B、D之间运动时，_____；当点P在D、C之间运动时，_____；（用含t的代数式表示） (4)当时，请直接写出t的取值范围． 题型11.一元一次不等式解决几何问题 1．现将体积是125的正方体木块锯成8块同样大小的小正方体木块，准备从中选取n个小正方体木块，排放在一块长方形的木板上，已知此长方形木板的长是宽的4倍，面积是36，若只排放一层，n的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．若一个角不大于其补角，那么这个角最大为___________． 3．在中，，，，，射线，点在射线上，且，连接．动点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段的长度； (2)当的面积恰好等于的面积的时，求的值； (3)当是的高，且时，求的取值范围． 题型12.求不等式组的解集 1．关于的一元一次不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是（ ） A． B． C． D．无解 2．已知关于的不等式组，下列四个结论：①若它的解集是，则；②当 时，不等式组有解；③若它的整数解仅有4个，则 的取值范围是；④若它无解，则． 其中正确的结论有_______．（填编号） 3．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 题型13.求一元一次不等式组的整数解 1．若一元一次不等式组的整数解有个，则“”表示的不等式可以是（     ） A． B． C． D． 2．关于，的方程组（其中为整数）的解为整数，且关于的不等式的整数解的和为，则的最大值是________． 3．已知关于x，y的方程组． (1)用含m的代数式表示方程组的解； (2)若方程组的解满足，，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，当m取整数时，直接写出满足条件的所有m的值． 题型14.一元一次不等式组解集求参数 1．若不等式组的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．若的解集为，则的取值范围为__________． 3．已知关于x的不等式组． (1)若该不等式组的解集为，则a的值为______； (2)若该不等式组无解，求a的取值范围． 题型15.不等式组解集的情况求参数 1．已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 2．若关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的值之和为________． 3．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“和谐方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，恰好在的范围内，所以方程是不等式组的“和谐方程”．结合新定义，按要求解答下面问题： (1)在方程①；②；③中，不等式组的“和谐方程”有__________；（只填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“和谐方程”，求m的取值范围． 题型16.不等式组和方程组结合的问题 1．已知实数满足，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 2．已知满足，则的取值范围为______． 3．已知方程组的解满足，． (1)求的取值范围； (2)化简： ． 题型17.列一元一次不等式组 1．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 2．小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第组有首，，2，3，4； ②对于第组诗词，第天背诵第一遍，第天背诵第二遍，第天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，，2，3，4； 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 第2组 第3组 第4组 ③每天最多背诵10首，最少背诵3首． 解答下列问题： （1）若，，，则的取值为________； （2）7天后，小云背诵的诗词最多为________首． 3．某研学小组由a名男生和b名女生组成，已知男生人数多于女生人数，女生人数的2倍多于男生人数． (1)列出a、b满足的不等式． (2)该研学小组最少有多少名学生？ 题型18.不等式组的行程问题 1．哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 2．北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 3．热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 题型19.不等式组的经济问题 1．某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压．商店根据市场行情和消费者的心理状态，决定将两种商品分别按积压资金的八折和九折降价出售，结果滞销的这两种商品很快售完．商店立即将回收的全部资金以相当于零售价 的批发价买回一批畅销货．为了支付必要的开支，商店至少得赚回利润1100元，而为了保证这批新货迅速售完，不至于由畅销货变为滞销货，商店拟以低于零售价的价格，将这批新货卖出．设商店应该将这批新进货高出进价的卖出，则（   ） A． B． C． D． 2．某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 3．为响应眉山东坡区“蜀里安逸∙约惠东坡”消费焕新工程，落实家电“以旧换新”补贴政策，某家电卖场特推出惠民促销活动．请根据以下素材完成任务： “以旧换新”政策 素材1 购买3台节能空调和2台智能洗衣机，补贴后实际花费7900元； 素材2 购买2台节能空调和3台智能洗衣机，补贴后实际花费8100元． 解决问题 (1)任务1，计算节能空调和智能洗衣机每台的补贴后金额各是多少元？ (2)任务2，东坡区某企业为职工采购节能空调和智能洗衣机共10台，要求节能空调的数量不超过7台，且补贴后的实际总花费不超过16000元，请计算出有几种采购方案？哪种方案最省钱？ 题型20.不等式组的分配问题 1．某兴趣小组决定去市场购买A，B，C三种仪器，其单价分别为3元，5元，7元，购买这批仪器需花62元；经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．那么A种仪器最多可买（　　） A．8件 B．7件 C．6件 D．5件 2．春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有___________人． 3．某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分本，那么剩余本；如果前面的每名同学分本，那么最后一人分到了书但是不到本．则共有多少名同学． 题型21.不等式组的方案选择问题 1．三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 3．某体育用品店计划试销A、B两种不同品牌的足球．已知3个A品牌足球和2个B品牌足球的售价是640元，2个A品牌足球和3个B品牌足球的售价是560元． (1)求一个A品牌足球和一个B品牌足球的售价分别是多少元？ (2)经了解，每个A品牌足球的进价是100元，每个B品牌足球的进价是50元．体育用品店购进两种足球共20个，且进货总资金不超过1450元，销售完毕后的总利润不低于800元．则体育用品店有哪几种进货方案？哪种方案能获得最大利润？最大利润是多少？ 题型22.不等式组的阶梯收费问题 1．某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 2．大连地铁票收费标准如下： 不超过2元/人次；超过到（含）3元/人次；超过到（含）4元/人次；超过到（含）5元/人次；超过到（含）6元/人次；超过到（含）7元/人次；超过到（含）8元/人次；超过部分，票价每增加1元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围为 ___________ ． 3．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 题型23.一元一次不等式组的其他应用 1．已知非负数，，满足，设，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．对于实数x，用表示不超过x的最大整数，如，，，． （1）________； （2）若，则满足条件的实数t的值是________． 3．2026年3月北京市第五十五中学第20届校园体育节暨“班超”比赛热闹开场．学校需要购买A种品牌的排球20个，B种品牌的排球30个，共花费2100元，已知B种品牌排球的单价比A种品牌排球的单价高20元． (1)求A、B两种品牌排球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的排球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的排球单价优惠5元，B种品牌的排球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌排球的总费用不超过1550元，且购买B种品牌的排球不少于18个，则有几种购买方案？ (3)在(2)的条件下，为了节约资金，学校应选择哪种方案？为什么？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05不等式与不等式组 期末复习讲义 期末复习◆目标 概念：分清不等式、不等式的解与解集，会检验解、数轴规范画解集。 性质：掌握不等式基本性质、对称性、传递性，负数乘除注意变号。 计算：熟练解一元一次不等式、不等式组，活用解集口诀，会求各类整数解与最值。 含参：由解集、整数解情况求参数，掌握方程组与不等式综合题型。 应用：找准不等关键词列不等式(组)，熟练解决方案、分配、收费等实际应用题。 核心题型◆归纳 题型1.不等式的识别与定义 题型2.不等式的解集 题型3.不等式的性质 题型4.一元一次不等式的定义 题型5.求一元一次不等式解集 题型6.求一元一次不等式的整数解 题型7.在数轴上规范表示不等式解集 题型8.求一元一次不等式解的最值 题型9.列一元一次不等式 题型10.一元一次不等式解决实际问题 题型11.一元一次不等式解决几何问题 题型12.求不等式组的解集 题型13.求一元一次不等式组的整数解 题型14.一元一次不等式组解集求参数 题型15.不等式组解集的情况求参数 题型16.不等式组和方程组结合的问题 题型17.列一元一次不等式组 题型18.不等式组的行程问题 题型19.不等式组的经济问题 题型20.不等式组的分配问题 题型21.不等式组的方案选择问题 题型22.不等式组的阶梯收费问题 题型23.一元一次不等式组其他应用 重点知识◆梳理 【知识点一、不等式的相关概念】 1.定义：一般地，用符号“＞、＜、≤、≥表示大小关系的式子，称为不等式。 注意：判断一个式子是不是不等式，关键看该式子是否含不等号。 【知识点二、不等式的基本性质】 1. (1)不等式性质的对称性 交换不等式的两边，不等号的方向改变.即：如果a>b,那么b<a; (2) 不等式性质的传递性 如果a>b,b>c,那么a>c. 拓展：如果c<b,b<a,那么c<a. 如果c≤b,b≤a,那么c≤a; 如果c=b,b=a,那么c=a. 2.不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变。 a± c > b± c 3.不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 ac>bc , >(c>0) 4. 不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变。 ac<bc, <(c<0) 重点提醒:系数为负数时，务必改变不等号方向. 【知识点三、一元一次不等式及其解法】 1.不等式的解:能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解； 2.不等式的解集:一个不等式的所有的解，组成这个不等式的解集； 3.解一元一次不等式的核心步骤： （1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1； 4. 三大易错点： (1)去分母不能漏掉没有分母的项； (2)移项要注意变号； (3)系数化为1要注意同乘除一个负数时不等号要变号； 【知识点四、一元一次不等式组及其解法】 1.不等式组的解集：不等式组中所有不等式解集的公共部分叫作不等式组的解集. 2.不等式组解集的四种情形： 3.解一元一次不等式组的一般步骤： (1)求出不等式组中各个不等式的解集，并分别在数轴上表示出来； (2)确定各个不等式的解集的公共部分，得到不等式组的解集。 4.不等式组的整数解 ★在不等式组解集范围内的整数叫作不等式组的整数解。 【知识点五、一元一次不等式的应用】 应用一元一次不等式（组）解决问题的步骤： （1）分析题意，寻找表示（不等）数量关系； （2）思考探索，列出一元一次不等式（组）； （3）求出解集，解不等式组； （4）确定答案，根据具体要求确定答案，从而解决实际问题。 题型解析◆精准备考 题型1.不等式的识别与定义 1．下列各式中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：用等号连接，是等式，不是不等式； 选项B：是代数式，没有不等关系，不是不等式； 选项C：用不等号连接，表示不等关系，符合不等式的定义； 选项D：是单独的常数，属于代数式，不是不等式． 2．下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有____（填序号）． 【答案】①②⑤⑥ 【分析】不等式的概念：用不等号、、、、连接而成的式子叫做不等式，据此逐个判断式子即可． 【详解】解：∵ ①，是用不等号连接的式子，是不等式； ②，是用不等号连接的式子，是不等式； ③，是等式，不是不等式； ④ 是代数式，没有不等号连接，不是不等式； ⑤是用不等号连接的式子，是不等式； ⑥，是用不等号连接的式子，是不等式； 综上所述，是不等式的有①②⑤⑥． 3．用不等式表示： (1)x的与3的差大于2； (2)与3的和小于或等于零； (3)a的2倍与4的差是正数； (4)b的与c的和是非负数； (5)x与17的和比x的5倍小． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查了列不等式． （1）根据题意列出不等式即可． （2）根据题意列出不等式即可． （3）根据正数是大于0列出不等式即可． （4）根据非负数即大于等于0列出不等式即可． （5）根据题意列出不等式即可． 【详解】（1）解：x的与3的差大于2 即 （2）解：与3的和小于或等于零， 即 （3）解：a的2倍与4的差是正数， 即 （4）解：b的与c的和是非负数， 即 （5）解：x与17的和比x的5倍小， 即 题型2.不等式的解集 1．下列说法中，正确的是（   ）． A．方程和不等式的解是一样的 B．不是不等式的解 C．是不等式的一个解 D．是不等式的解集 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的解，熟练掌握不等式的解是解题的关键；因此此题可根据不等式的解进行排除选项． 【详解】解：A、方程和不等式的解是不一样的，故原说法错误； B、是不等式的解，故原说法错误； C、是不等式的一个解，故原说法正确； D、不是不等式的解集，故原说法错误； 故选C． 2．已知不等式的正整数解为1，2，3． （1）当为整数时，的值为_____． （2）当为实数时，的取值范围为_____． 【答案】 3 【分析】本题主要考查一元一次不等式的整数解，借助数轴利用数形结合的思想得到的取值范围是解题关键． （1）根据题意可将在数轴上表示出来，利用数形结合的思想即可求出的取值范围，由于为整数，即可求出的值； （2）由（1）即可求出答案． 【详解】解（1）将不等式在数轴上表示出来，如图所示， ∵的正整数解为，的正整数解为， ∴， 又为整数， ， 故答案为：； （2）由（1）可知，的取值范围是． 故答案为：． 3．已知关于的不等式的解集是，求不等式的解集 【答案】 【分析】先把原不等式系数化为1，表示出解集，根据已知解集确定出a与b的关系，即可求出所求不等式的解集． 【详解】解：不等式的解集是， ，且， ，， 整理，得：，， 把代入，得， 解得：， ， 解集为：， 把代入得：， 不等式的解集． 【点睛】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出的关系是解题关键． 题型3.不等式的性质 1．下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐一判断各选项，即可找出错误说法． 不等式性质1：不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号方向不变． 不等式性质2：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变． 【详解】解：A、，不等式两边同时加，可得， ∴A说法正确，不符合题意； B、，不等式两边同时减，可得， ∴B说法正确，不符合题意； C、，不等式两边同时乘，不等号方向改变，可得， ∴C说法错误，符合题意； D、，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，可得， ∴D说法正确，不符合题意． 2．对于有理数a、b，如果，，则b____（用“”，“”，“”填空）． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴根据不等式的性质可得：， ∴． 3．利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性： (1)如果，那么； (2)如果a、b、c、d都是正数，且，那么． 【答案】(1)解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． (2)解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【分析】（1）（2）利用不等式的性质证明即可． 【详解】（1）略 （2） 略 题型4.一元一次不等式的定义 1．若是关于的一元一次不等式，则m的值不可以为（     ） A．1 B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的系数不能为0，据此得到的取值要求，即可选出答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴的系数不能为，即， 解得：， 因此的值不可以为． 2．若不等式是关于x的一元一次不等式，则________． 【答案】0 【分析】根据一元一次不等式的定义进行求解即可． 【详解】解：∵不等式是关于x的一元一次不等式， ∴且， 即且或， ∴ 3．已知是关于x的一元一次不等式，求b的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握只含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式是一元一次不等式是解题的关键．根据一元一次不等式的定义，即可求解． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， 解得：． 故答案为：1． 题型5.求一元一次不等式解集 1．若关于x的不等式的解集为，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出不等式的解集，结合给出的解集，进行求解即可. 【详解】解：， ， ， ∵关于x的不等式的解集为， ∴， ∴，则， ∴. 2．对于实数a，b定义运算“※”为，例如，则关于x的不等式恰有两个正整数解时，m的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据新定义运算化简不等式，求解不等式得到的解集，结合不等式恰有两个正整数解构造关于的不等式组，解不等式组得到的取值范围． 【详解】解：根据定义的新运算可得 原不等式化为 移项得 不等式恰有两个正整数解 不等式的两个正整数解为， 因此可得 不等式两边同时减，得 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得． 3．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下：，例如：，． (1)若，求x的取值范围； (2)已知关于x的方程的解满足，求a的最小整数解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据运算规则列出关于x的不等式，再求解即可； （2）先解一元一次方程得到x的值，再代入列出关于a的不等式，求出a的范围后找出最小整数解即可． 【详解】（1） 解 ：∵， ∴ 解得； （2）解： 去括号得 移项合并同类项得 系数化为1得 ∵ 将代入得 整理得 解得 ∴的最小整数解为． 题型6.求一元一次不等式的整数解 1．不等式的最大整数解是（     ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】先解一元一次不等式得到解集，再在解集中找出满足条件的最大整数即可． 【详解】解：移项可得， 合并同类项得， 系数化为得， ∵小于等于的最大整数是 ∴不等式的最大整数解是． 2．不等式 的正整数解有______个． 【答案】3 【分析】先解不等式得到解集，再找出解集中的正整数，统计正整数的个数即可． 【详解】解：∵， 移项得 ， 合并同类项得 ， 系数化为得 ， ∴ 不等式的正整数解为，共个． 3．按要求解题： (1)解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (2)求不等式的非负整数解． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)非负整数解为：4，3，2，1，0 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 把不等式的解集表示在数轴上如下： （2）解：， ， ， ， 它的非负整数解为：4，3，2，1，0． 题型7.在数轴上规范表示不等式解集 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将原不等式进行移项、合并同类项、系数化为1以及不等式性质求出一元一次不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， ， ， 在数轴上表示如下： 2．已知三个不等式的解集在数轴上表示如图所示，请分别写出这三个不等式的解集： （1）  ____________________． （2）   ____________________． （3）____________________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用数轴表示不等式的解集，熟练掌握数轴表示解集的方法是解题的关键； （1）（2）（3）根据数轴上表示不等式解集的方法，判断折线方向以及端点是实心还是空心来确定不等式的解集． 【详解】解：（1）折线开口向左，表示小于，端点空心即不包含， 则该不等式的解集为：； （2）折线开口向右，表示大于，端点实心即包含， 则该不等式的解集为：； （3）折线开口向左，表示小于，端点实心即包含， 则该不等式的解集为：． 3．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，数轴表示： (2)，数轴表示： (3)，数轴表示： (4)，数轴表示： 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型8.求一元一次不等式解的最值 1．已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据不等式的解集求参数，根据题意得出，进而可得，解不等式，即可求解． 【详解】解： ①+②得， ∴ ∵ ∴ 解得： ∴的最小整数值为， 故选：A． 2．关于的不等式的最小整数解为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式； 先解不等式求出x的取值范围，再根据题意得出关于n的方程，求解即可． 【详解】解：解不等式得：， ∵关于的不等式的最小整数解为， ∴， ∴， 故答案为：． 3．某货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过．现要用此货运电梯装运一批设备，每套设备由个甲部件和个乙部件组成，个甲部件的质量是千克，1个乙部件的质量是千克．每次装运都需要工人装卸，设备需要成套装运，现已知装卸工人总重量为，则货运电梯一次最多可装运多少套设备？ 【答案】套 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设货运电梯一次可装运套设备，根据“货运电梯的载重总质量禁止超过”可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【详解】解：设货运电梯一次可装运套设备， 根据题意得：， 解得：， 又∵为正整数， ∴的最大值为． 答：货运电梯一次最多可装运套设备． 题型9.列一元一次不等式 1．小颖同学用100元钱去购买矿泉水和可乐共30瓶，已知矿泉水每瓶2元，可乐每瓶5元，则小颖同学最多能买可乐（    ） A．12瓶 B．13瓶 C．14瓶 D．15瓶 【答案】B 【分析】根据总费用不超过100元列出不等式，求解后取符合题意的最大正整数解即可. 【详解】解：设买可乐瓶，则买矿泉水瓶， 由题意，， 解得， ∵为正整数， ∴的最大值为13，即最多能买可乐13瓶. 2．一年一度的校园春季运动会即将拉开帷幕，学校体育教研室准备购买一批体育用品，其中计划同时购买接力棒、标志桶、长绳三种器材计划共40件，已知接力棒每根9元，标志桶每个18元，长绳每根25元，在价格不变的前提下，实际购买接力棒是计划数量的，长绳购进10根，结果实际购进三种器材共30件．且比原计划少支付124元，则实际购进标志桶的数量为______个． 【答案】6 【分析】设计划购进接力棒数量，根据实际购买比例得到实际接力棒数量，结合实际总件数得到实际标志桶数量的表达式，再根据总费用差列出方程，利用正整数的性质求解即可． 【详解】解：设计划购进接力棒根，实际购进标志桶个， 由题意，实际购买接力棒数量为 （根）， 实际购进长绳根，实际总件数为，因此可得： ， 整理得： ， 设原计划购进标志桶个，则原计划长绳数量为根， 原计划总费用减去实际总费用等于， 列方程得：， 整理得： ， 将 代入上式， 得：， 化简得， 变形得：， ∵是正整数， ∴为整数， 又∵和互质， ∴是的倍数， ∵，解得， ∴， 则，即实际购进标志桶的数量为个． 3．列方程（或不等式）解决下列实际问题： 为开展校园数学实践活动，七年级社团准备制作立体模型，需要采购甲、乙手工材料．若购买件甲材料和件乙材料共需元；购买件甲材料和件乙材料共需元． (1)每件甲、乙材料的单价分别为多少元？ (2)本次实践活动计划购进甲、乙两种材料共需件，实际购买时，甲材料单价上涨，乙材料单价上涨，要求总采购费用不超过元，请问最多购进多少件甲材料？ 【答案】(1)每件甲材料的单价为元，每件乙材料的单价为元 (2)件 【分析】（）设每件甲材料的单价为元，每件乙材料的单价为元，根据题意列出方程组解答即可； （）设购进甲材料件，则购进乙材料件，根据题意列出不等式解答即可求解． 【详解】（1）解：设每件甲材料的单价为元，每件乙材料的单价为元， 由题意得，， 解得， 答：每件甲材料的单价为元，每件乙材料的单价为元； （2）解：设购进甲材料件，则购进乙材料件， 由题意得，， 解得， 为非负整数， 的最大值为， 答：最多购进甲材料为件． 题型10.一元一次不等式解决实际问题 1．关于x的方程的解是非负整数，且关于y的多项式是四次多项式，则所有满足条件的正整数a的和是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次不等式的应用、多项式的次数，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．先解一元一次方程可得，从而可得，则，再根据多项式的次数可得所有满足条件的正整数的值，由此即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵关于的方程的解是非负整数， ∴， ∴， ∵关于的多项式是四次多项式， ∴所有满足条件的正整数的值为1和2， ∴所有满足条件的正整数的和是， 故选：A． 2．若点P为数轴上一个定点，点M为数轴上一点将M，P两点的距离记为MP．给出如下定义：若MP小于或等于k，则称点M为点P的k可达点． 例如：点O为原点，点A表示的数是1，则O，A两点的距离为1，1＜2，即点A可称为点O的2可达点． （1）如图，点B1，B2，B3中，___是点A的2可达点； （2）若点C为数轴上一个动点， ①若点C表示的数为﹣1，点C为点A的k可达点，请写出一个符合条件的k值 ___； ②若点C表示的数为m，点C为点A的2可达点，m的取值范围为 ___； （3）若m≠0，动点C表示的数是m，动点D表示的数是2m，点C，D及它们之间的每一个点都是点A的3可达点，写出m的取值范围 ___． 【答案】 、/B3、B2 3 【分析】（1）分别求两点间距离，满足≤2即可； （2）①求得CA两点间距离为2，k≥2即可；②表示CA的距离为，列不等式求解即可； （3）根据题意，，列不等式计算． 【详解】解：（1）由题意知：2，2，2， ∴、是点A的2可达点， 故填：、； （2）①当点C表示的数为﹣1时，≤，故k＝3， 故填：3； ②当点C表示的数为m时，≤2，解得：， 故填：； （3）由题意知：，， 即：，， 解得：， 故填：． 【点睛】本题考查两点间距离、不等式的应用，正确理解题意是关键． 3．如图，在中，，，．D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为． (1)当_____s时，点P运动到点B； (2)当点P在边上运动时，若以P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，求t的值； (3)当点P在B、D之间运动时，_____；当点P在D、C之间运动时，_____；（用含t的代数式表示） (4)当时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)3 (2) (3)， (4)t的取值范围为或或 【分析】（1）根据时间等于路程除以速度求解即可； （2）求出，根据已知条件得出是等腰直角三角形，列式解方程即可； （3）分点P在上运动和点P在上运动两种情况，分别列式即可； （4）分点P在上，点P在上，点P在上三种情况讨论，分别根据三角形的面积公式列式，再分，，三种情况讨论，分别根据列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵，以的速度沿运动， ∴点P运动到点B的时间为． （2）解：∵，D为的中点， ∴， ∵以P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点P以的速度沿运动，， ∴，则， 解得：． （3）解：∵，点P到达点B后再以的速度沿向终点C运动． ∴点P运动到点D的时间为，点P运动到点C的时间为， ∴当点P在上运动时，， 当点P在上运动时，． （4）解：当点P在上时，即， 根据题意，得， ∵， ∴，解得：， ∴； 当点P在上时，即， 根据题意，得， ∴，解得：， ∴； 当点P在上时，即， 根据题意，得， ∴，解得：， ∴， 综上所述，t的取值范围为或或． 题型11.一元一次不等式解决几何问题 1．现将体积是125的正方体木块锯成8块同样大小的小正方体木块，准备从中选取n个小正方体木块，排放在一块长方形的木板上，已知此长方形木板的长是宽的4倍，面积是36，若只排放一层，n的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先计算出每个小正方体的棱长，再计算出木板的长度，后建立不等式求不等式的整数解即可． 【详解】解：∵体积是125的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块， ∴每一块的棱长l＝2.5cm， ∵长方形面积是36 ，长方形木板的长是宽的4倍， 设宽为x cm，长为4x cm， x•4x＝36， 得：x＝3， ∴长为12 cm，根据题意,得2.5n≤12， ∴n≤4.8， ∵n是正整数， ∴n的最大值是4． 故选：C． 【点睛】本题考查了立方体的体积，长方形的面积，算术平方根即平方根中的正的那个，不等式的整数解，熟练求不等式的整数解是解题的关键． 2．若一个角不大于其补角，那么这个角最大为___________． 【答案】90 【详解】解：设这个角为，则其补角为， 由题意，得， 解得， 这个角最大为． 3．在中，，，，，射线，点在射线上，且，连接．动点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段的长度； (2)当的面积恰好等于的面积的时，求的值； (3)当是的高，且时，求的取值范围． 【答案】(1)当时，线段的长度为2 (2)的值为或 (3)的取值范围是： 【分析】（1）先求出运动的路程，再根据点的位置解答即可； （2）分两种情况：当点P在时，当点P在上时，根据面积关系列方程即可求解； （3）根据三角形的面积求出的值，分为点P在时，点P在上，两种情况根据列不等式组解答即可． 【详解】（1）解：当时，． ． 答：当时，线段的长度为2． （2）解：， ． 的边的高． ∵， ∴ ∴． ． ①当点在边上，即时． ． ． ， ． 解这个方程，得．        ②当点在边上，即时． ． ． ． 解这个方程，得． 综上所述，的值为或． （3）解：是的高． ． ，，， ． ①当点在边上，即时，． ，且． ，解得． ， ．          ②当点在边上，即时． ． ，且． ． 解不等式，得． ， ．        综上所述，的取值范围是：． 题型12.求不等式组的解集 1．关于的一元一次不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是（ ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【详解】解：不等式组的解集为 ． 2．已知关于的不等式组，下列四个结论：①若它的解集是，则；②当 时，不等式组有解；③若它的整数解仅有4个，则 的取值范围是；④若它无解，则． 其中正确的结论有_______．（填编号） 【答案】 ①②③ 【分析】本题考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据一元一次不等式组解集的判定原则，逐个判断每个结论即可. 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得： 因此当，即时，不等式组的解集为；当，即时，不等式组无解. ①若解集是，则，解得，故①正确； ②当时，，不等式组解集为，存在解，故②正确； ③若整数解仅有个，由得，个整数解为，因此可得， 不等式两边同乘得，移项得，故③正确； ④若不等式组无解，则，解得，故④错误. 综上，正确的结论编号为①②③. 故答案为①②③. 3．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见解析． 【分析】先解出每个不等式的解集，再得出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 题型13.求一元一次不等式组的整数解 1．若一元一次不等式组的整数解有个，则“”表示的不等式可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，得，因为不等式组有5个整数解，可得“”表示的不等式可以是，对照各选项选择即可． 【详解】解：由，得：， 一元一次不等式组的整数解有个， 整数解为、、、、， 不等式组的解集为， 则“”表示的不等式可以是， 的解集为， 的解集为， 的解集为， 的解集为， ∴选项符合． 2．关于，的方程组（其中为整数）的解为整数，且关于的不等式的整数解的和为，则的最大值是________． 【答案】 【分析】先解二元一次方程组，根据方程组的解为整数且为整数，得到所有符合条件的，再解一元一次不等式，根据不等式整数解的和为得到的取值范围，最后计算的最大值即可． 【详解】解：解方程组， 由②得， 代入①得 ， 整理得， 解得， 代入③得， ∵方程组的解为整数，为整数， ∴是的因数，即或， 分别计算得：当时，，，，符合条件； 当时，，，，不符合，舍去； 当时，，，，符合条件； 当时，，，，不符合，舍去； 综上，的可能取值为和，最大值为， 解不等式： 各项减得， 各项除以得：， 该取值内最多有个连续整数，由整数解的和为，得整数解为，，因此： ， 解得，故的最大值为， ∴的最大值为． 3．已知关于x，y的方程组． (1)用含m的代数式表示方程组的解； (2)若方程组的解满足，，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，当m取整数时，直接写出满足条件的所有m的值． 【答案】(1) (2) (3)整数m可取2，3，4，5 【分析】（1）将m看作已知量求解即可； （2）根据（1）中结果结合要求列不等式组求解即可； （3）根据m的取值范围作答即可． 【详解】（1）解： 得， 解得：， 将代入得， 解得：， ∴； （2）解：∵，， ∴， 解得：， ∴； （3）解：∵， ∴整数m可取2，3，4，5． 题型14.一元一次不等式组解集求参数 1．若不等式组的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别解不等式组，得到用，表示的解集，再与已知解集的端点对应，求出，后代入计算． 【详解】解：已知， 解得， 由不等式组的解集为， 可得， 解得， 故． 2．若的解集为，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据解集可得关于的一元一次不等式，即可得的取值范围． 【详解】解：∵的解集为， ∴， 解得． 3．已知关于x的不等式组． (1)若该不等式组的解集为，则a的值为______； (2)若该不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】(1)5 (2) 【分析】先分别求解原不等式组中两个不等式得到各自解集， （1）根据已知的不等式组解集得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值； （2）根据不等式组无解的条件， 得到关于的一元一次不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式，得 解不等式 ，得 已知不等式组的解集为， 因此 解得； （2）解：若不等式组无解，可得 解得． 题型15.不等式组解集的情况求参数 1．已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出每个不等式的解集，求出不等式组的解集，根据不等式组的解集和已知条件得出关于a的不等式组即可． 【详解】解： 由①得： 由②得： ∴不等式组解集：， ∵不等式组有3个整数解， ∴不等式组有3个整数解为、0、1． ∴的取值范围是． 2．若关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的值之和为________． 【答案】 【分析】先解关于y的一元一次方程得到y关于a的表达式，根据y为非负整数得到a的取值范围，再解关于x的不等式组，根据已知解集确定a的限制条件，最后找出所有符合条件的整数a计算求和即可． 【详解】解： 解得 ∵关于y的方程有非负整数解， ∴ ∴，且a为整数； 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵关于x的不等式组的解集为， ∴ ∴ ∴， ∴所有符合条件的整数a的值有，，，， ∴ ∴所有符合条件的整数a的值之和为． 3．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“和谐方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，恰好在的范围内，所以方程是不等式组的“和谐方程”．结合新定义，按要求解答下面问题： (1)在方程①；②；③中，不等式组的“和谐方程”有__________；（只填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“和谐方程”，求m的取值范围． 【答案】(1)③ (2) 【分析】（1）求出各个方程解和不等式组的解集，根据定义进行判断即可； （2）求出方程解和不等式组的解集，根据“和谐方程”的定义得到关于m的不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ①，解得； ②，解得； ③，解得， 只有在内， ∴不等式组的“和谐方程”有③； 故答案为：③ （2）解：解得到， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵关于的方程是不等式组的“和谐方程”， ∴， 解得 题型16.不等式组和方程组结合的问题 1．已知实数满足，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用已知等式用表示，代入不等式求出的范围，再依次推导各选项中代数式的范围，找出错误判断． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ， ∴ ∴，因此选项A判断正确． ∴ ， ∴， ∴，因此选项B判断正确． ∵ ， 由得 ， ∴ ，因此选项C判断正确． ∵， 由 得 ， 即 ，不符合选项D给出的范围，因此选项D判断错误． 2．已知满足，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】用第②个方程减第①个得，即得，再解不等式组即可求解． 【详解】解：， ②①，得， ∵ ∴， 即， 解得， ∴的取值范围为． 3．已知方程组的解满足，． (1)求的取值范围； (2)化简： ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把当作已知数，求出、的值，再根据，列出关于的不等式组，求出的取值范围即可； （2）由的范围，根据绝对值性质去绝对值符号即可得． 【详解】（1）解：， ，得，解得， 将代入②，得，解得． ∵，， ，解得． （2）解：∵， ∴，． ∴． 题型17.列一元一次不等式组 1．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 设小朋友人数为，则苹果总数为，当每个小朋友分个苹果时，前个小朋友分得个苹果，最后一个小朋友分得的苹果数为，该值大于且小于，由此可列不等式组． 【详解】解：∵苹果总数为， 前个小朋友分得个苹果， ∴最后一个小朋友分得的苹果数为， 由题意，， 即不等式组为 故选：C． 2．小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第组有首，，2，3，4； ②对于第组诗词，第天背诵第一遍，第天背诵第二遍，第天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，，2，3，4； 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 第2组 第3组 第4组 ③每天最多背诵10首，最少背诵3首． 解答下列问题： （1）若，，，则的取值为________； （2）7天后，小云背诵的诗词最多为________首． 【答案】 3 16 【分析】（1）根据题意列出每天背诵数量的不等式，结合每天最多背诵10首，最少背诵3首，即可求出的取值； （2）根据每天最多背诵10首列出不等式，利用不等式的性质求出总背诵数量的范围，即可得到最多背诵的数量． 【详解】（1）解：由题意，每天最多背诵10首，最少背诵3首，且， 第1天背诵数量为，满足，符合要求； 第2天背诵数量为，满足，符合要求； 第3天背诵数量为，满足，符合要求； 第4天背诵数量为，可得，解得； 第5天背诵数量为，可得，解得； 第6天背诵数量为，满足，符合要求； 第7天背诵数量为，可得； 综上可得，故； （2）解：设总背诵数量为， 由题意得不等关系：， ∵要求的最大值， ∴取， 由，得， 整理，得 ⑤， 由③，得，两边同乘2，得 ⑥， ，得， 解得， 且存在正整数解，满足所有约束条件，总数量为16， 故7天后，小云背诵的诗词最多为16首． 3．某研学小组由a名男生和b名女生组成，已知男生人数多于女生人数，女生人数的2倍多于男生人数． (1)列出a、b满足的不等式． (2)该研学小组最少有多少名学生？ 【答案】(1)（，为正整数） (2)该研学小组最少有名学生 【分析】（1）根据题干描述的人数关系列出对应不等式，即可作答； （2）通过枚举法，对b从小到大取值讨论，找到满足不等式的最小正整数a，b，计算总人数即可得到最少人数． 【详解】（1）解：根据题意，男生人数多于女生人数，可得，女生人数的2倍多于男生人数，可得，人数为正整数，且a，b为正整数， 因此a，b满足的不等式为（a，b为正整数） （2）解：要得到最少总人数，即求的最小值，且a，b为正整数， 对b从小到大取值讨论： 当时，不等式组变为，即，没有符合条件的正整数a； 当时，不等式组变为，即，符合条件的正整数.此时总人数为（名）， 答：该研学小组最少有5名学生． 题型18.不等式组的行程问题 1．哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为千米，根据不足1千米按1千米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即可． 【详解】解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千米2元， ∴超过的千米数为千米， ∵不足1千米按1千米计， ∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米， ∴， 解得：， 故选：D． 2．北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 【答案】 【分析】先统一单位，求出60秒内通过所需的最小速度，再结合路段限速即可得到的取值范围． 【详解】解：要在绿灯剩余的内通过路口，小车的速度至少满足， 将单位转换为，可得． 又∵该路段限速，且按照当前时速行驶能通过下一路口， ∴小车当前行驶速度的取值范围是． 3．热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 题型19.不等式组的经济问题 1．某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压．商店根据市场行情和消费者的心理状态，决定将两种商品分别按积压资金的八折和九折降价出售，结果滞销的这两种商品很快售完．商店立即将回收的全部资金以相当于零售价 的批发价买回一批畅销货．为了支付必要的开支，商店至少得赚回利润1100元，而为了保证这批新货迅速售完，不至于由畅销货变为滞销货，商店拟以低于零售价的价格，将这批新货卖出．设商店应该将这批新进货高出进价的卖出，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是不等式组的应用，某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压，“至少得赚回利润1100元”指的是最终销售额需要覆盖最初积压的全部资金(元)，并在此基础上盈利1100元，因此对最终销售额的最低要求为元；设商店应该将这批新进货高出买进价的卖出，则实际出售商品的收入为；商店立即将回收的全部资金以相当于零售价的批发价买回一批畅销货，则以零售价出售的收入为；且满足：最少收入实际出售商品的收入以零售价出售的收入，代入求解即可． 【详解】解：设新进货应高出进价的， 由题意得，则， 解得：， 故选：D． 2．某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】题目主要考查不等式组的应用，理解题意，列出不等式组是解题关键． 根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵为凑满减又加购了一件12元的商品，每单消费满299元减30元． ∴， ∴， 故答案为：． 3．为响应眉山东坡区“蜀里安逸∙约惠东坡”消费焕新工程，落实家电“以旧换新”补贴政策，某家电卖场特推出惠民促销活动．请根据以下素材完成任务： “以旧换新”政策 素材1 购买3台节能空调和2台智能洗衣机，补贴后实际花费7900元； 素材2 购买2台节能空调和3台智能洗衣机，补贴后实际花费8100元． 解决问题 (1)任务1，计算节能空调和智能洗衣机每台的补贴后金额各是多少元？ (2)任务2，东坡区某企业为职工采购节能空调和智能洗衣机共10台，要求节能空调的数量不超过7台，且补贴后的实际总花费不超过16000元，请计算出有几种采购方案？哪种方案最省钱？ 【答案】(1)补贴后节能空调每台1500元，智能洗衣机每台1700元 (2)有三种采购方案，采购节能空调7台，智能洗衣机3台更最钱 【分析】（1）设补贴后节能空调每台x元，智能洗衣机每台y元，根据素材1和素材2的购买情况列方程组求解即可； （2）设采购节能空调a台，则采购智能洗衣机台，根据节能空调的数量不超过7台，且补贴后的实际总花费不超过16000元列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设补贴后节能空调每台x元，智能洗衣机每台y元，由题可得： ， 解得：， ∴补贴后节能空调每台1500元，智能洗衣机每台1700元； （2）解：设采购节能空调a台，则采购智能洗衣机台，由题可得： ， 解得：， ∵a为正整数， ∴， 方案一：采购节能空调5台，智能洗衣机5台，元， 方案二：采购节能空调6台，智能洗衣机4台，元， 方案三：采购节能空调7台，智能洗衣机3台，元， ∵， ∴有三种采购方案，采购节能空调7台，智能洗衣机3台最省钱． 题型20.不等式组的分配问题 1．某兴趣小组决定去市场购买A，B，C三种仪器，其单价分别为3元，5元，7元，购买这批仪器需花62元；经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．那么A种仪器最多可买（　　） A．8件 B．7件 C．6件 D．5件 【答案】D 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用．设分别购买A，B，C三种仪器x、y、z台，根据“购买这批仪器需花62元，但经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．列方程组可得，再由，得到关于x的不等式组，即可求解． 【详解】解：设分别购买A，B，C三种仪器x、y、z台，根据题意得： ， 由得：， 解得：， 根据题意得：， ∴， 解得：， ∵x为整数， ∴x最大取5， 答：A种仪器最多可买5件． 故选：D 2．春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有___________人． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，根据题意列出不等式组是解题的关键． 设预定每组分配人，根据两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人，列出不等式方程组求解即可． 【详解】解：设预定每组分配人，根据题意可得： 解得： ∵为整数， ∴， 故答案为：． 3．某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分本，那么剩余本；如果前面的每名同学分本，那么最后一人分到了书但是不到本．则共有多少名同学． 【答案】 共有名同学 【分析】结合题意列出一元一次不等式组即可得解． 【详解】解：设共有名同学，则这些书有本， ， 解得， 为整数， ， 共有名同学． 题型21.不等式组的方案选择问题 1．三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，准确计算确定取值范围． 设购买元、元和元图书的数量分别为a、b、c本，根据总本数和总金额列出方程组，通过代入消元得到a与c的关系，再根据非负整数条件确定a的取值范围，从而得到方案数． 【详解】解：设购买三种图书的数量分别为a、b、c本， 由题意得：， 整理得：， ∵a、b、c为非负整数， ∴， 解得：， ∴a的取值范围为0到的整数，共种可能的取值，（分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，）， 对于每一个a值，对应地可求出唯一的b和c， ∴不同的购书方案共有种． 故选：B． 2．怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 【答案】3 【分析】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用， 一元一次不等式组的解法的运用， 解答中运用为整数的隐含条件求出结论是解答的关键 ． 设安排A中集装箱个， 则安排B中集装箱个， 根据题意建立不等式组， 然后求出其解集， 根据解集就可以确定装运方案 ． 【详解】解：设安排A种集装箱x个，则安排B种集装箱个． 根据题意，得， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为， 因为x取正整数，所以x取28，29，30， 当时，；当时，；当时，． 故有三种运输方案：方案一：安排A种集装箱28个，B种集装箱22个； 方案二：安排A种集装箱29个，B种集装箱21个； 方案三：安排A种集装箱30个，B种集装箱20个． 故答案为：3． 3．某体育用品店计划试销A、B两种不同品牌的足球．已知3个A品牌足球和2个B品牌足球的售价是640元，2个A品牌足球和3个B品牌足球的售价是560元． (1)求一个A品牌足球和一个B品牌足球的售价分别是多少元？ (2)经了解，每个A品牌足球的进价是100元，每个B品牌足球的进价是50元．体育用品店购进两种足球共20个，且进货总资金不超过1450元，销售完毕后的总利润不低于800元．则体育用品店有哪几种进货方案？哪种方案能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)一个A品牌足球的售价为160元，一个B品牌足球的售价为80元 (2)共有3种进货方案，分别是①购进A品牌足球7个，B品牌足球13个；②购进A品牌足球8个，B品牌足球12个；③购进A品牌足球9个，B品牌足球11个. 购进A品牌9个、B品牌11个的方案利润最大，最大利润为870元 【分析】（1）设一个A品牌足球的售价为x元，一个B品牌足球的售价为y元，根据题意，得：，解答即可； （2）设购买A品牌足球个，购买B品牌足球个，根据题意得 ，解答即可． 【详解】（1）解：设一个A品牌足球的售价为x元，一个B品牌足球的售价为y元， 根据题意，得：， 解得：． 答：一个A品牌足球的售价为160元，一个B品牌足球的售价为80元； （2）解：设购买A品牌足球个，购买B品牌足球个，根据题意得， 解得， 由m是正整数， 故的值为， 故共有3种进货方案，分别是①购进A品牌足球7个，B品牌足球个； ②购进A品牌足球8个，B品牌足球个； ③购进A品牌足球9个，B品牌足球个； 设总利润为w元，根据题意，得， 又w随m的增大而增大， 故时，w取得最大值，此时（元）， 故购进A品牌9个、B品牌11个的方案利润最大，最大利润为870元． 题型22.不等式组的阶梯收费问题 1．某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出租车行驶的路程为s千米，根据“车费=起步价+超出3千米的路程×每千米的收费”结合小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，即可得出关于s的一元一次不等式组，解不等式组即可得出s的取值范围，结合四个选项即可得出结论． 【详解】解：设出租车行驶的路程为s千米，由题意得 ， 解得． 在四个选项中，只有在此范围内，所以，选项B符合题意． 2．大连地铁票收费标准如下： 不超过2元/人次；超过到（含）3元/人次；超过到（含）4元/人次；超过到（含）5元/人次；超过到（含）6元/人次；超过到（含）7元/人次；超过到（含）8元/人次；超过部分，票价每增加1元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围为 ___________ ． 【答案】 【详解】根据该名乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围． 【解答】解：根据题意得：， 解得：． 3．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 题型23.一元一次不等式组的其他应用 1．已知非负数，，满足，设，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，，，，利用非负数的性质求出的取值范围，进而得到的取值范围． 【详解】解：设， ∴，，， ∴， ∵，，是非负数， ∴， 解得， ∴， ∴的最大值为． 2．对于实数x，用表示不超过x的最大整数，如，，，． （1）________； （2）若，则满足条件的实数t的值是________． 【答案】 1 /0.75 【分析】首先估算出的取值范围，根据新定义即可求解；根据的定义列出不等式组，结合为整数的性质即可求出的值． 【详解】解: （1）， ， 不超过的最大整数为，即； （2）根据的定义，可得对于任意实数，满足 ， 将，代入，得 解得不等式组的解集为 ． 是整数， 是整数． 设，其中为整数，则， 代入不等式，得 ， 解得 ． 为整数， ， ． 3．2026年3月北京市第五十五中学第20届校园体育节暨“班超”比赛热闹开场．学校需要购买A种品牌的排球20个，B种品牌的排球30个，共花费2100元，已知B种品牌排球的单价比A种品牌排球的单价高20元． (1)求A、B两种品牌排球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的排球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的排球单价优惠5元，B种品牌的排球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌排球的总费用不超过1550元，且购买B种品牌的排球不少于18个，则有几种购买方案？ (3)在(2)的条件下，为了节约资金，学校应选择哪种方案？为什么？ 【答案】(1) A种品牌排球的单价是30元，B种品牌排球的单价是50元 (2) 共有3种购买方案 (3) 为了节约资金，学校应选择购买A种品牌的排球32个，购买B种品牌排球18个，理由见解析 【分析】(1)设A种品牌排球的单价是x元，则B种品牌排球的单价是y元，再根据购买A种品牌的排球20个，B种品牌的排球30个，共花费2100元；B种品牌排球的单价比A种品牌排球的单价高20元，列出关于的二元一次方程组求解即可； (2)设购买A种品牌排球m个，则购买B种品牌排球个，根据商店“优惠促销”活动及学校给出的已知条件，列出关于m的一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，又由m为整数，确定购买方案即可； (3)由(2)得三种购买方案及总购买资金，比较数值大小即可得出资金最少的购买方案． 【详解】（1）解：设A种品牌的排球的单价是x元，则B种品牌的排球的单价是y元， 根据题意，得，解得， 答：A种品牌的排球的单价是30元，则B种品牌的排球的单价是50元； （2）解：设购买A种品牌的排球m个，则购买B种品牌的排球个， 根据题意，得，解得，即， 又∵m为整数， ∴m的值为30，31，32， ∴共有3种购买方案； （3）解：为了节约资金，学校应该选择购买A种品牌的排球32个，购买B种品牌排球18个．理由如下： 由(2)知3种购买方案及总购买资金分别为 方案一：购买A种品牌的排球30个，则购买B种品牌排球20个，购买资金为(元)； 方案二：购买A种品牌的排球31个，则购买B种品牌排球19个，购买资金为(元)； 方案三：购买A种品牌的排球32个，则购买B种品牌排球18个，购买资金为(元)； ∵， ∴为了节约资金，学校应该选择方案三：购买A种品牌的排球32个，购买B种品牌排球18个． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $