专题01相交线与平行线 期末复习讲义（13大核心题型精讲+重点知识全归纳）-2025-2026学年人教版数学七年级下学期.

专题01相交线与平行线 期末复习讲义 期末复习◆目标 基础概念与角度计算：熟练掌握邻补角、对顶角、垂线的定义与性质，能快速完成相交线角度计算，明确垂线段、点到直线距离的核心定义。 三线八角精准识别：掌握同位角、内错角、同旁内角的图形特征（F、Z、U型），找准截线与被截直线。 平行线判定与性质：精准区分平行线判定和性质，熟练运用几何规范语言书写证明过程。 几何模型与压轴题型：掌握平行线拐点辅助线作法，熟练运用猪蹄模型、铅笔头模型解决折线角度计算问题，掌握图形折叠、角平分线与平行线的综合题型解题思路。 命题与平移应用：能准确区分命题的题设与结论，判断命题真假；掌握平移的性质，熟练解决网格平移作图、平移求面积等基础应用题。 核心题型◆归纳 题型1对顶角、邻补角基础计算 题型2垂线与互余角度的计算 题型3三线八角识别 题型4相交线与角平分线的综合计算 题型5根据平行线性质求角度 题型6平行线的判定 题型7平行线性质与判定综合应用 题型8平行线与角平分线的计算 题型9平行线拐点问题 题型10平行线折叠问题 题型11命题与定理 题型12平移的性质 题型13平移坐标变化 重点知识◆梳理 【知识点一、相交线】 1.邻补角 & 对顶角 名称 定义 核心性质 几何语言 邻补角 两条直线相交时，有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角是邻补角； 邻补角互补，和=180° ∵直线AB、CD相交,∠1与∠2互为邻补角，∴∠1+∠2=180° 对顶角 两条直线相交时，相对的两个角是对顶角 对顶角相等 ∵直线AB、CD相交于点O，∠3与∠4是对顶角，∴∠3=∠4 易错提醒：①对顶角成对出现，只有两条直线相交才产生对顶角； ②互补≠邻补角（互补只看度数，邻补角还要满足位置）。 【知识点二、垂线】 1.垂直定义：两条直线相交所形成的角为直角（90°）时，这两条直线互相垂直。其中一条直线被称为另一条直线的垂线。交点叫垂足；（如下图） ∵AB⊥CD∴∠AOC=90°；∵∠AOC=90°∴AB⊥CD（判定+性质双向） 2.垂线两条性质 ①在同一平面内，通过一点只有一条直线与已知直线垂直。垂直的角度为90°； ②垂线段最短：直线外一点到直线所有连线中，垂线段最短； 3.点到直线距离：垂线段的长度（是长度，不是线段）。 易错提醒：垂线是直线、垂线段是线段、距离是数量，三者不能混写。 【知识点三、 三线八角】 两条直线被第三条截线所截，形成3类角： 1.同位角（F型）：截线同侧、两线同方向→4对； 2.内错角（Z型）：两线中间、截线两侧→2对； 3.同旁内角（U型）：两线中间、截线同侧→2对。 ★先找截线，再找两条被截线。 【知识点四、 平行线】 1.平行线定义&平行公理 定义：同一平面内，不相交的两条直线互相平行（注意“同一平面”）； 平行公理：过直线外一点，有且只有1条直线与已知直线平行； 推论：a∥b,b∥c⇒a∥c（平行传递）； 补充：同一平面两直线位置：相交、平行（无重合）。 2. 平行线判定（已知角→证平行） 判定定理 几何语言 同位角相等⇒两直线平行 ∵∠1=∠5，∴AB∥CD 内错角相等⇒两直线平行 ∵∠4=∠6，∴AB∥CD 同旁内角互补⇒两直线平行 ∵∠3+∠6=180°，AB∥CD 补充判定：同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行：b⊥a,c⊥a⇒b∥c。 3.平行线性质（已知平行→求角） 性质定理 几何语言 两直线平行⇒同位角相等 ∵AB∥CD，∴∠4=∠8, 两直线平行⇒内错角相等 ∵AB∥CD，∴∠3=∠5 两直线平行⇒同旁内角互补 ∵AB∥CD，∴∠3+∠6=180° 【知识点五、平行线经典模型】 1.铅笔头模型（拐点向内） 模型特征：两条平行线被折线截取，拐点向内凹陷，形成封闭图形； 核心结论：拐点处所有角的和为360°； 解题关键：过每个拐点作平行线，结合 “同旁内角互补” 推导。 2.猪蹄模型（拐点向外） 模型特征：两条平行线被折线截取，拐点向外凸起，呈 “Z” 型； 核心结论：拐点处两个相关角相等（单拐点）；多拐点时，对应角的和相等； 解题关键：过拐点作平行线，结合 “内错角相等” 推导。 3.鹰嘴模型（拐点向上 / 向下） . 模型特征：两条平行线被折线截取，拐点向上或向下凸起； 核心结论：拐点处的角等于另外两个相关角的差； 【知识点六、命题、定理、证明】 1.命题核心定义 命题：能判断真假的陈述句。（问句、感叹句、祈使句都不是命题） 组成：题设（条件）+ 结论，可统一改写为「如果…那么…」句式。 2.命题两类区分 真命题：条件成立，结论一定成立。 假命题：条件成立，结论不一定成立；判定方法：举1个反例即可。 3.公理 & 定理 公理（基本事实）：公认的真命题，无需证明，直接用。 定理：经过证明的真命题，可作为几何推理依据。 核心结论：公理、定理一定是真命题，真命题不一定是公理、定理。 【知识点七、平移】 1.平移三要素：平移方向、平移距离； 2.平移性质：①平移前后对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等； ②图形形状、大小不变，只变位置； ③连接各组对应点的线段平行且相等； 3.应用：网格平移作图、不规则图形面积平移转化（割补法）。 题型解析◆精准备考 题型1对顶角、邻补角基础计算 1．王麻子剪刀是北京市的传统工艺品，其锻制技艺被国务院列入第二批国家级非物质文化遗产名录，如图1是王麻子剪刀，把它抽象为图2所示，如果，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据邻补角的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 2．两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则的值为_____． 【答案】18或10 【分析】分这两个角是对顶角和邻补角两种情况讨论，根据对顶角的性质和邻补角的定义列方程求解即可． 【详解】解：当这两个角是对顶角时，根据对顶角相等，得： 移项合并同类项得： 解得：； 当这两个角是邻补角时，根据邻补角的和为，得： 解得：； 因此的值为或． 3．如图，直线与相交于点O，平分．   (1)的对顶角是_________，的邻补角是_________； (2)如果，求的度数； (3)若平分，与垂直吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)与垂直，理由见解析 【分析】（1）根据对顶角定义直接求解即可； （2）根据角平分线的定义可得，再根据邻补角的定义可得的度数； （3）根据角平分线的定义可得，，再根据邻补角的定义可得． 【详解】（1）解：的对顶角是，的邻补角是； （2）平分，， ， ， 的度数为； （3）与垂直，理由如下： 平分，平分， ，， 又， ， ． 题型2垂线与互余角度的计算 1．如图，直线相交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂直的定义可得，结合平角定义及已知比例关系求出的度数，最后利用邻补角定义求解，即可解题． 【详解】解： ， ， 由图可知， ， ， （邻补角定义）， ． 2．如图，直线，相交于点，，垂足为，，则____． 【答案】 【分析】由对顶角相等可得，由垂线的定义可得，作差即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，直线交于点O，于点O，平分，已知． (1)求的度数； (2)过O作射线，若，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据垂线的定义得到，可求出的度数，由邻补角互补求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数即可得到答案； （2）分两种情况：点M在上方和点M在下方，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：如图所示，当点M在上方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，当点M在下方时， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； 综上所述，的度数为或． 题型3三线八角识别 1．如图，下列判断错误的是(     ) A．与是内错角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】A 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角、邻补角的概念逐一判断即可． 【详解】解：A．与是邻补角，原表述错误，符合题意； B．与是内错角，正确，不符合题意； C．与是同位角，正确，不符合题意； D．与是同旁内角，正确，不符合题意． 2．如图． （1）与是直线，被直线所截形成的______角； （2）与是直线______被直线______所截形成的_______角； （3）与是直线______被直线_____所截形成的______角； （4）与是直线______被直线____所截形成的______角． 【答案】 内错 同位 同旁内 内错 【分析】本题考查的知识点是同位角，内错角，同旁内角的概念，解题关键是熟记同位角、内错角、同旁内角的位置关系． （1）利用内错角的概念进行判断填空即可； （2）利用同位角的概念进行判断填空即可； （3）利用同旁内角的概念进行判断填空即可； （4）利用内错角的概念进行判断填空即可． 【详解】解：（1）与是直线，被直线所截形成的内错角； 故答案为：内错； （2）与是直线被直线所截形成的同位角； 故答案为：，，同位； （3）与是直线被直线所截形成的同旁内角； 故答案为：，，同旁内； （4）与是直线被直线所截形成的内错角． 故答案为：，，内错． 3．如图，请分别指出各图中的同位角、内错角和同旁内角． 【答案】见解析 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角的识别，明确平行线与截线形成的角的位置关系是解题关键． “同位角：同位置；内错角：交错在截线两侧；同旁内角：在截线同侧”，根据角的位置特征进行识别． 【详解】（1）同位角：和，和，和，和， 内错角：和，和， 同旁内角：和，和． （2）同位角：和，和， 内错角：和，和， 同旁内角：和，和，和，和． 题型4相交线与角平分线的综合计算 1．如图，直线相交于点，平分，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂线的定义得到，可知，根据余角的定义求出，根据角平分线的定义得到，根据对顶角的定义即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵直线相交于点， ∴． 2．如图，点是直线上一点，，平分，，则的度数_______． 【答案】 【分析】根据补角的定义得到，根据角平分线的定义得到，根据余角的定义求出，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，已知直线，，相交于点O，，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】利用两直线垂直的性质，对顶角的性质和角平分线的性质，即可求出结果． 【详解】解：与是对顶角， ， 平分， ， ， ， ， ． 题型5根据平行线性质求角度 1．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在、之间的一条平行线上，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图： ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 2．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是_______． 【答案】①②④ 【分析】由内错角相等，两直线平行可判断①，由邻补角的定义可判断②；延长交于，由平行线的性质求出，可判断③不正确；求出可判断④正确． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， ∴ 故①正确，符合题意； ， 故②正确，符合题意； 如图，延长交于， ∵， ∴， ， ， ∴，故③不正确； ∵， ∴ ∵， ∴，故④正确，符合题意； 综上：正确的有①②④． 3．综合与实践课上，张老师让同学们以“平行线间的折拐”为主题开展数学活动． (1)观察发现如图①，，点在直线、之间，连接、．若，，则的大小为__________度． (2)探究迁移：（Ⅰ）如图②，，，交于点，探究，，之间的数量关系，并说明理由． （Ⅱ）如图③，，若点在直线，之间，平分，平分，当时，直接写出的度数是__________． (3)如图④，，若在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数__________．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)（Ⅰ），理由见解析；（Ⅱ） (3) 【分析】（1）过点作直线，由平行线的性质容易得到； （2）（Ⅰ）过点作直线，利用平行线的性质可得，，由可得； （Ⅱ）由（1）可得，则，结合角平分线的性质可得，由（1）可得； （3）过点作直线，由平行线的性质可得，．设，则，，由角平分线的性质可得，，结合（2）的模型可知，将条件代入并化简即可得到结果． 【详解】（1）解：如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：（Ⅰ），理由如下： 如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （Ⅱ）如图， 由（1）可得，，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图④，过点作直线， ∵， ∴， ∴，， 设，则， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）可得，， ∴， 化简，得． 题型6平行线的判定 1．如图，下列条件：①；②；③中，能判断直线的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，对各个条件进行逐一分析即可． 【详解】解： 与 是直线 、 被第三条直线所截形成的内错角， 若 ，则 ，故①符合题意； 与 分别是直线 、 被两条不同的直线所截形成的角，无法判断 ，故②不符合题意； ③ 与 是直线 、 被第三条直线所截形成的同位角， 若 ，则 ，故③符合题意； 综上所述，能判断 的有①③，共2个． 2．如图，现给出下列条件：①；②；③；④；能判定的条件有_________（填序号）． 【答案】①③④ 【详解】解：①， ． ②， ． ③， ． ④， ． 综上，能判定的条件有①③④． 3．如图1，对于两条直线被第三条直线所截的同旁内角满足，则称是的关联角． (1)当是的关联角且时，试判断直线的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知是的关联角，点是直线上一定点． ①求证：是的关联角； ②过点的直线分别交直线于点，且．当是图中某角的关联角时，求出所有符合条件的的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①见解析；②或 【分析】（1）由题意可得，，据此求出和的度数，即可确定直线，的位置关系； （2）①由与，与的互补关系，求出与之间的大小关系，进而命题得以证明； 根据直线过点的形式可分种情况，每种情况均有个角与互为同旁内角，因此共有种情况，分别解出的度数即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵是的关联角， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①是的关联角， ∴； ∵， ∴， ， ∴， ∴， 是的关联角； ②如图当点Q在右侧时， ∵是的关联角，， ∴， 若是的关联角，则； 若是的关联角，则， ∵，， ， ∴， ∴， ∴ ∴； 如图所示，当点Q在左侧时， ∵是的关联角，， ∴，， ∴； 若是的关联角，则， ∴， ∴， ∴此种情况不成立； 若是的关联角，同理可得； 综上所述，的度数为或． 题型7平行线性质与判定综合应用 1．健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处与座位处在一条直线上，若， ，则的度数是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用和得到同旁内角互补，过点作得出，结合 得出，即可求解． 【详解】解：， ，即 ， ， ， ，， ， 如图，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ， ， ． 2．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若，，则的度数为___________． 【答案】/79度 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质推出，，．求出的度数，即可得到的度数， 【详解】解：如图，c'c ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 故答案为：． 3．如图所示，是的角平分线，C是上的一点，且，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线的定义求出，根据平行线的性质作答即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴． 题型8平行线与角平分线的计算 1．如图，四边形中，，，的平分线交于点，连接，，的平分线交的延长线于点F，下列结论：；；平分；．其中正确的结论有__． 【答案】①②③ 【分析】由角平分线的定义，结合，可判断；由，结合平行线的性质，可判断；由角平分线的定义，结合平行线的性质，可判断；由，可得，，结合，可判断． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴正确， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴正确， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴错误， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴正确． 2．已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行线的性质，可得，，即可证得结论； （2）由平行线的性质，结合角平分线的定义，可得，即可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵平分， ∴． 3．【材料】我们经常经过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． (1)【问题解决】如图1，已知，，，求的度数； (2)【类比应用】如图2，已知，点在直线的上方，点在直线上，连接，，则，，之间有何数量关系?请说明理由； (3)【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知，的角平分线和的角平分线相交于点，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点作，利用两直线平行同位角和内错角相等得到答案； （2）过点作，得，再根据，即可得到答案； （3）依题意，，，由（2）得，可知，得到答案． 【详解】（1）解：如图1，过点作， ， ， ， ， ； （2），理由如下： 如图2，过点作， ， ， ， ， ， ； （3）如图3，的角平分线和的角平分线相交于点， 平分，平分， ，， 由（2）知， ， ， 同（2）理，可知， 题型9平行线拐点问题 1．机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过E作，过F作，根据平行线的性质分别求出，，即可得解． 【详解】解：过E作，过F作， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ． 2．在中，，点D，E分别是边两个动点．将沿折叠得到，点A的对应点为点F，的平分线交直线于点G．若边与的一条边平行，，则的度数为______． 【答案】或或 【分析】根据题目与的一条边平行，先确定线段的位置，再利用平行线和角平分线的性质求得对应角的度数求出答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵在中，，， ∴， 当时，①如图1所示： ， ∵， ∴， ∴； ②如图2所示： ， ∵， ∴， ∴； 当，如图3所示： ， ∵， ∴， 在中，， ∴． 3．问题情境：如图1，，，，求的度数． (1)小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质，可得______． 问题迁移： 如图3，，点在射线上运动，，． (2)当点在A、两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请说明理由． (3)如果点在A、两点外侧运动时（点与点A、、三点不重合），请你直接写出、、之间有何数量关系． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)当点P在B、O两点之间时，点P在射线上时 【分析】（1）过作，先证明，再进一步证明即可； （2）过点作 ，可得，然后平行线的性质分别求出把和表示出来，再利用角的和差关系，即可求出结果； （3）分两种情况讨论：过点P作，则可得出，然后平行线的性质分别求出把 和 表示出来，则利用角的和差关系，即可得到结果． 【详解】（1）解：过作，∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴. （2）解：，理由如下： 如图，过点P作， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：当点P在B、O两点之间时，点P在射线上时；理由如下： 如图，过点P作， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴； 如图，当点P在B、O两点之间时，如图，过点P作， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵ ， ∴， ∴； 综上所述：或． 题型10平行线折叠问题 1．如图，现有一张长方形纸条，将纸条沿折叠，点C落在处，点D落在处．再将纸条沿继续折叠，点A落在处，点B落在处．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠得，，，设，根据平行线的性质推出，则，根据，可得，通过列方程求出的值即可． 【详解】解：由折叠得，，， 设， ∵ ∴， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，折叠宽度相等的长方形纸条，若，则______； 【答案】 【分析】根据题意得出，，根据两直线平行，内错角相等、同旁内角互补得出，，进而求出的度数，最后求出的度数． 【详解】解：根据题意可得，，，如图： ∵， ∴，， 故； ∵， 故． 3．图1是生活中常见的一种折叠道闸，它是由转动杆和水平杆两节组成．图2是由这种折叠道闸抽象出来的几何图形，其中为转动杆，为水平杆，当转动杆转动时，杆始终保持水平，即．已知． (1)如图3，当转动杆转动到三点在同一条直线上时，．若，求的大小； 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． （已知）， （________）（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， （________）（________）． ． (2)如图2，在转动杆转动过程中，的大小是否发生改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的大小． 题型11命题与定理 1．有下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 其中假命题有(   ) A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了判断真假命题，平方根、立方根等相关知识，根据算术平方根和立方根的意义逐项进行判断，进而可得答案． 【详解】解：∵ 对于①，取，，有，但，∴①为假命题； ∵ 对于②，立方根具有唯一性，，则，∴②为真命题； ∵ 对于③，取，，有，但，∴③为假命题； ∵ 对于④， 则 ，∴④为真命题． ∴ 假命题有①和③． 故选：B． 2．①平行于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的两直线平行；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤同位角相等；其中假命题有______个． 【答案】 【分析】判定一个命题是真命题通常需要严格的证明，但判定一个命题是假命题，通常只需要举出一个反例． 【详解】解：①平行于同一直线的两条直线平行，是真命题． ②缺少“在同一平面内”的前提，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，是假命题． ③缺少“过直线外一点”的前提，若点在已知直线上，不存在与已知直线平行的直线，是假命题． ④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题． ⑤“同位角相等”缺少“两直线平行”的前提条件，不一定成立，是假命题． 因此假命题共有个． 3．如图，点、分别在、上，连接、、，分别交、于点、．有三个论断：①；②；③． (1)请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题； (2)在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 【答案】(1)命题见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据命题的定义进行书写即可； （2）利用平行线的判定与性质结合对顶角相等进行证明． 【详解】（1）解：命题1：若，，则； 命题2： 若，，则； 命题3：若，，则； （2）解：第一种情况： 已知：，， 求证：． 证明：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 第二种情况： 已知：，， 求证：． 证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 第三种情况： 已知：，， 求证：． 证明：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型12平移的性质 1．如图，将三角形沿方向向右平移到三角形的位置，连接．已知三角形的周长为，四边形的周长为，则这次平移的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质，平移的距离等于，且结合三角形的周长和四边形的周长，通过周长差求出的长度，即为平移的距离． 【详解】解：设平移的距离为，则 ∵平移得到， ∴ ∵的周长为， ∴ ∵四边形的周长为， ∴ ∴ ∴ 解得 ∴这次平移的距离为 2．如图，将周长为12的三角形沿直线向右平移个单位长度得到三角形，连接，是，的交点，则 （1）与的位置关系是_____； （2）若四边形的周长为24，则三角形沿方向平移的距离为______． 【答案】 平行 6 【分析】（1）根据平移的性质可进行求解； （2）由平移的性质可知：，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：（1）由平移的性质可知：， ∴与的位置关系是平行； （2）由平移的性质可知：， ∵的周长为12， ∴， ∵四边形的周长为24， ∴， ∴． 3．如图，将三角形沿射线的方向平移个单位长度到三角形的位置，点，，的对应点分别为点，，． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据图形平移的性质得出，再根据线段的和差关系求解即可； （2）由图形平移的性质得出，，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：由平移的性质可得，， ， ； （2）解：由平移的性质可得，，， ． 题型13利用平移解决实际问题 1．如图是某公园里一处矩形草地，长，宽，为方便游人行走，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为，那么这块草地青草覆盖的面积（图中阴影部分）还有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平移的性质，得出阴影部分为长为，宽为的长方形，然后根据长方形面积公式进行计算即可． 【详解】解：根据平移得出图中阴影部分可以看作一个长为，宽为， ∴图中阴影部分的面积为： ． 2．沿竖直方向向下平移2cm，得到，若，则阴影部分的面积为______． 【答案】15 【分析】根据题意得到阴影部分的面积，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，， ， 阴影部分的面积． 3．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽． 【答案】道路的宽为2米 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设道路的宽为，利用平移得到草坪为一个长为，宽为的一个矩形，利用矩形的面积公式列出方程，进行求解即可． 【详解】解：设道路的宽为，由题意，得：， 解得：（舍去），； 答：道路的宽为2米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01相交线与平行线 期末复习讲义 期末复习◆目标 基础概念与角度计算：熟练掌握邻补角、对顶角、垂线的定义与性质，能快速完成相交线角度计算，明确垂线段、点到直线距离的核心定义。 三线八角精准识别：掌握同位角、内错角、同旁内角的图形特征（F、Z、U型），找准截线与被截直线。 平行线判定与性质：精准区分平行线判定和性质，熟练运用几何规范语言书写证明过程。 几何模型与压轴题型：掌握平行线拐点辅助线作法，熟练运用猪蹄模型、铅笔头模型解决折线角度计算问题，掌握图形折叠、角平分线与平行线的综合题型解题思路。 命题与平移应用：能准确区分命题的题设与结论，判断命题真假；掌握平移的性质，熟练解决网格平移作图、平移求面积等基础应用题。 核心题型◆归纳 题型1对顶角、邻补角基础计算 题型2垂线与互余角度的计算 题型3三线八角识别 题型4相交线与角平分线的综合计算 题型5根据平行线性质求角度 题型6平行线的判定 题型7平行线性质与判定综合应用 题型8平行线与角平分线的计算 题型9平行线拐点问题 题型10平行线折叠问题 题型11命题与定理 题型12平移的性质 题型13平移坐标变化 重点知识◆梳理 【知识点一、相交线】 1.邻补角 & 对顶角 名称 定义 核心性质 几何语言 邻补角 两条直线相交时，有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角是邻补角 邻补角互补，和=180° ∵直线AB、CD相交,∠1与∠2互为邻补角，∴∠1+∠2=180° 对顶角 两条直线相交时，相对的两个角是对顶角 对顶角相等 ∵直线AB、CD相交于点O，∠3与∠4是对顶角，∴∠3=∠4 易错提醒：①对顶角成对出现，只有两条直线相交才产生对顶角； ②互补≠邻补角（互补只看度数，邻补角还要满足位置）。 【知识点二、垂线】 1.垂直定义：两条直线相交所形成的角为直角（90°）时，这两条直线互相垂直。其中一条直线被称为另一条直线的垂线。交点叫垂足；（如下图） ∵AB⊥CD∴∠BOC=90°；∵∠BOC=90°∴AB⊥CD（判定+性质双向） 2.垂线两条性质 ①在同一平面内，通过一点只有一条直线与已知直线垂直。垂直的角度为90°； ②垂线段最短：直线外一点到直线所有连线中，垂线段最短； 3.点到直线距离：垂线段的长度（是长度，不是线段）。 易错提醒：垂线是直线、垂线段是线段、距离是数量，三者不能混写。 【知识点三、 三线八角】 两条直线被第三条截线所截，形成3类角： 1.同位角（F型）：截线同侧、两线同方向→4对； 2.内错角（Z型）：两线中间、截线两侧→2对； 3.同旁内角（U型）：两线中间、截线同侧→2对。 ★先找截线，再找两条被截线。 【知识点四、 平行线】 1.平行线定义&平行公理 定义：同一平面内，不相交的两条直线互相平行（注意“同一平面”）； 平行公理：过直线外一点，有且只有1条直线与已知直线平行； 推论：a∥b,b∥c⇒a∥c（平行传递）； 补充：同一平面两直线位置：相交、平行（无重合）。 2. 平行线判定（已知角→证平行） 判定定理 几何语言 同位角相等⇒两直线平行 ∵∠1=∠5，∴AB∥CD 内错角相等⇒两直线平行 ∵∠4=∠6，∴AB∥CD 同旁内角互补⇒两直线平行 ∵∠3+∠6=180°，AB∥CD 补充判定：同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行：b⊥a,c⊥a⇒b∥c。 3.平行线性质（已知平行→求角） 性质定理 几何语言 两直线平行⇒同位角相等 ∵AB∥CD，∴∠4=∠8, 两直线平行⇒内错角相等 ∵AB∥CD，∴∠3=∠5 两直线平行⇒同旁内角互补 ∵AB∥CD，∴∠3+∠6=180° 【知识点五、平行线经典模型】 1.铅笔头模型（拐点向内） 模型特征：两条平行线被折线截取，拐点向内凹陷，形成封闭图形； 核心结论：拐点处所有角的和为360°； 解题关键：过每个拐点作平行线，结合 “同旁内角互补” 推导。 2.猪蹄模型（拐点向外） 模型特征：两条平行线被折线截取，拐点向外凸起，呈 “Z” 型； 核心结论：拐点处两个相关角相等（单拐点）；多拐点时，对应角的和相等； 解题关键：过拐点作平行线，结合 “内错角相等” 推导。 3.鹰嘴模型（拐点向上 / 向下） . 模型特征：两条平行线被折线截取，拐点向上或向下凸起； 核心结论：拐点处的角等于另外两个相关角的差； 【知识点六、命题、定理、证明】 1.命题核心定义 命题：能判断真假的陈述句。（问句、感叹句、祈使句都不是命题） 组成：题设（条件）+ 结论，可统一改写为「如果…那么…」句式。 2.命题两类区分 真命题：条件成立，结论一定成立。 假命题：条件成立，结论不一定成立；判定方法：举1个反例即可。 3.公理 & 定理 公理（基本事实）：公认的真命题，无需证明，直接用。 定理：经过证明的真命题，可作为几何推理依据。 核心结论：公理、定理一定是真命题，真命题不一定是公理、定理。 【知识点七、平移】 1.平移三要素：平移方向、平移距离； 2.平移性质：①平移前后对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等； ②图形形状、大小不变，只变位置； ③连接各组对应点的线段平行且相等； 3.应用：网格平移作图、不规则图形面积平移转化（割补法）。 题型解析◆精准备考 题型1对顶角、邻补角基础计算 1．王麻子剪刀是北京市的传统工艺品，其锻制技艺被国务院列入第二批国家级非物质文化遗产名录，如图1是王麻子剪刀，把它抽象为图2所示，如果，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 2．两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则的值为_____． 3．如图，直线与相交于点O，平分．   (1)的对顶角是_________，的邻补角是_________； (2)如果，求的度数； (3)若平分，与垂直吗？请说明理由． 题型2垂线与互余角度的计算 1．如图，直线相交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线，相交于点，，垂足为，，则____． 3．如图，直线交于点O，于点O，平分，已知． (1)求的度数； (2)过O作射线，若，直接写出的度数． 题型3三线八角识别 1．如图，下列判断错误的是(     ) A．与是内错角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 2．如图． （1）与是直线，被直线所截形成的______角； （2）与是直线______被直线______所截形成的_______角； （3）与是直线______被直线_____所截形成的______角； （4）与是直线______被直线____所截形成的______角． 3．如图，请分别指出各图中的同位角、内错角和同旁内角． 题型4相交线与角平分线的综合计算 1．如图，直线相交于点，平分，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，点是直线上一点，，平分，，则的度数_______． 3．如图，已知直线，，相交于点O，，平分，，求的度数． 题型5根据平行线性质求角度 1．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在、之间的一条平行线上，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是_______． 3．综合与实践课上，张老师让同学们以“平行线间的折拐”为主题开展数学活动． (1)观察发现如图①，，点在直线、之间，连接、．若，，则的大小为__________度． (2)探究迁移：（Ⅰ）如图②，，，交于点，探究，，之间的数量关系，并说明理由． （Ⅱ）如图③，，若点在直线，之间，平分，平分，当时，直接写出的度数是__________． (3)如图④，，若在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数__________．（用含的式子表示） 题型6平行线的判定 1．如图，下列条件：①；②；③中，能判断直线的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．如图，现给出下列条件：①；②；③；④；能判定的条件有_________（填序号）． 3．如图1，对于两条直线被第三条直线所截的同旁内角满足，则称是的关联角． (1)当是的关联角且时，试判断直线的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知是的关联角，点是直线上一定点． ①求证：是的关联角； ②过点的直线分别交直线于点，且．当是图中某角的关联角时，求出所有符合条件的的度数． 题型7平行线性质与判定综合应用 1．健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处与座位处在一条直线上，若， ，则的度数是(     ) A． B． C． D． 2．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若，，则的度数为___________． 3．如图所示，是的角平分线，C是上的一点，且，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型8平行线与角平分线的计算 1．如图，四边形中，，，的平分线交于点，连接，，的平分线交的延长线于点F，下列结论：；；平分；．其中正确的结论有__． 2．已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 3．【材料】我们经常经过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． (1)【问题解决】如图1，已知，，，求的度数； (2)【类比应用】如图2，已知，点在直线的上方，点在直线上，连接，，则，，之间有何数量关系?请说明理由； (3)【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知，的角平分线和的角平分线相交于点，求的度数．（用含的代数式表示） 题型9平行线拐点问题 1．机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．在中，，点D，E分别是边两个动点．将沿折叠得到，点A的对应点为点F，的平分线交直线于点G．若边与的一条边平行，，则的度数为______． 3．问题情境：如图1，，，，求的度数． (1)小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质，可得______． 问题迁移： 如图3，，点在射线上运动，，． (2)当点在A、两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请说明理由． (3)如果点在A、两点外侧运动时（点与点A、、三点不重合），请你直接写出、、之间有何数量关系． 题型10平行线折叠问题 1．如图，现有一张长方形纸条，将纸条沿折叠，点C落在处，点D落在处．再将纸条沿继续折叠，点A落在处，点B落在处．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，折叠宽度相等的长方形纸条，若，则______； 3．图1是生活中常见的一种折叠道闸，它是由转动杆和水平杆两节组成．图2是由这种折叠道闸抽象出来的几何图形，其中为转动杆，为水平杆，当转动杆转动时，杆始终保持水平，即．已知． (1)如图3，当转动杆转动到三点在同一条直线上时，．若，求的大小； 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． （已知）， （________）（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， （________）（________）． ． (2)如图2，在转动杆转动过程中，的大小是否发生改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的大小． 题型11命题与定理 1．有下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 其中假命题有(   ) A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 2．①平行于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的两直线平行；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤同位角相等；其中假命题有______个． 3．如图，点、分别在、上，连接、、，分别交、于点、．有三个论断：①；②；③． (1)请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题； (2)在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 题型12平移的性质 1．如图，将三角形沿方向向右平移到三角形的位置，连接．已知三角形的周长为，四边形的周长为，则这次平移的距离为（     ） A． B． C． D． 2．如图，将周长为12的三角形沿直线向右平移个单位长度得到三角形，连接，是，的交点，则 （1）与的位置关系是_____； （2）若四边形的周长为24，则三角形沿方向平移的距离为______． 3．如图，将三角形沿射线的方向平移个单位长度到三角形的位置，点，，的对应点分别为点，，． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 题型13利用平移解决实际问题 1．如图是某公园里一处矩形草地，长，宽，为方便游人行走，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为，那么这块草地青草覆盖的面积（图中阴影部分）还有（    ） A． B． C． D． 2．沿竖直方向向下平移2cm，得到，若，则阴影部分的面积为______． 3．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽． 学科网（北京）股份有限公司 $