专题06 数据分析与新定义（期末真题汇编，北京专用人教版）八年级数学下学期

**基本信息** 聚焦数据分析与新定义，汇编北京各区期末真题，覆盖统计量计算、数据图表分析及新定义几何问题，梯度设计兼顾基础巩固与创新应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|11题|统计量概念（如中位数应用）、方差计算（如立定跳远成绩分析）|结合生活情境（端午竞赛、体育测试）| |填空题|6题|加权平均数（如体育成绩计算）、方差比较（如身高数据）|注重基础运算与数据理解| |解答题|21题|数据综合分析（机器人满意度测评、视力调查）、新定义几何（“倍增点”“限距点”）|情境具时代性（AI、机器人），问题分层（计算→推断→创新应用）|

专题06 数据分析与新定义 3大高频考点概览 考点01 众数、中位数、平均数、方差 考点02 数据分析 考点03 新定义 地 城 考点01 众数、中位数、平均数、方差 一、单选题 1．(24-25八下·北京门头沟区·期末)竭午节来临之际，某班级举办了“端午文化我知道”的知识竞赛，小明的成绩为95分，超过了班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（   ） A．方差 B．平均分 C．众数 D．中位数 2．(24-25八下·北京密云区·期末)已知一组数据的平均数为10，方差为4，那么数据，，的平均数和方差分别是（    ） A．10，4 B．7，4 C．10，1 D．7，1 3．(24-25八下·北京怀柔区·期末)甲、乙、丙、丁四位男同学各进行了10次立定跳远比赛测试，他们的平均成绩、方差如下表，要选拔成绩好且稳定的1名学生参加区级比赛，则应该选（    ） 甲 乙 丙 丁 平均成绩 270 270 275 275 方差 11.3 10.2 8.6 8.9 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．(24-25八下·北京燕山区·期末)甲、乙两座城市某年四季的平均气温如图所示，下列说法正确的是（   ） A．甲城市的年平均气温在以上 B．乙城市的年平均气温在以下 C．甲城市的年平均气温低于乙城市的年平均气温 D．甲、乙两座城市中，甲城市四季的平均气温较为接近 5．(24-25八下·北京西城区·期末)如图是甲、乙两名同学的5次引体向上练习成绩的折线统计图，下列判断正确的是（  ） A．甲的成绩比乙的成绩稳定 B．甲的最好成绩比乙的最好成绩高 C．甲的成绩的平均数比乙的成绩的平均数大 D．甲的成绩的中位数比乙的成绩的中位数大 6．(24-25八下·北京东城区·期末)某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，192，196．现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，场上队员的身高（　　） A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大 7．(24-25八下·北京海淀区·期末)下表记录了甲、乙、丙、丁四名学员十次射击成绩的平均环数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均环数 9.3 9.6 9.6 9.4 方差 0.41 0.24 0.44 0.24 在这四名学员中，成绩好且发挥稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．(24-25八下·北京大兴区·期末)甲、乙两名同学在相同条件下射击打靶5次，每次命中的环数如下： 甲：7，8，8，8，9        乙：6，7，8，9，10 则这两组数据的方差的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 9．(24-25八下·北京朝阳区·期末)如表是八年级某班学生平均周阅读时间（单位：h）的分布表： 时间 3 4 5 6 7 频数 1 6 8 12 9 5 1 则该班学生平均周阅读时间的众数是（   ） A．4 B．6 C．7 D．9 10．(24-25八下·北京丰台区·期末)某校合唱比赛、共有六位评委现场打分，去掉一个最高分和一个最低分后的4个有效分数与6个原始分数相比，一定不变的统计量是（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 11．(24-25八·北京二中教育集团·期末)在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员成绩如下表所示： 成绩/米 人数 2 5 3 1 其中两个数据被污染了，根据这些数据，一定能确定这15名运动员成绩的（    ） A．众数和中位数 B．中位数和方差 C．众数和方差 D．众数和平均数 二、填空题 12．(24-25八下·北京门头沟区·期末)某学校规定学生的学期体育成绩满分为100，其中平时成绩占20%，期中成绩占30%，期末成绩占50%，小枫的三项成绩依次是95、90、80．小枫这学期的体育成绩是________． 13．(24-25八下·北京燕山区·期末)10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，他们的身高（单位：）如下表所示： 队员1 队员2 队员3 队员4 队员5 甲队 177 176 175 172 175 乙队 170 175 173 174 183 则两队队员身高的平均数______（填或），身高的方差______（填或）． 14．(24-25八下·北京东城区·期末)学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占，投球技能占计算选手的综合成绩（百分制）．选手李林控球技能得分，投球技能得分，则李林的综合成绩为_____分． 15．(24-25八下·北京海淀区·期末)某工厂第一季度采购某种原材料的数量和单价如下表所示： 数量（吨） 单价（元/吨） 1月份 3 5000 2月份 3 5100 3月份 4 4800 则该工厂第一季度采购这种原材料的平均单价为______元/吨． 16．(24-25八下·北京朝阳区·期末)某校为增强学生体质，以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练，并对学生进行专项测试．以下是某次八年级（1）班甲、乙两组男生引体向上测试的成绩： 甲组 乙组| 如果甲、乙两组成绩的方差分别为，则______（填“>”“<”或“=”） 17．(24-25八下·北京丰台区·期末)如图是甲、乙两射击运动员的10次射击训练成绩的折线统计图．观察图形，甲、乙这10次射击训练成绩的方差___________（填“>”，“<”或“=”），可知射击成绩更稳定的运动员是___________（填“甲”或“乙”）． 18．(24-25八·北京二中教育集团·期末)下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择______． 甲 乙 丙 丁 平均数（） 192 195 195 193 方差 3.2 4.7 6.5 6.0 地 城 考点02 数据分析 一、解答题 1．(24-25八下·北京门头沟区·期末)某公司为参加“2025年人形机器人半程马拉松赛”，对本公司生产的甲、乙两款人形机器人的满意度进行了测评，并从中各随机抽取20份测评结果，对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．对甲、乙两款人形机器人满意度的评分数据： 甲款：65，67，76，77，78，79，85，85，85，85，88，89，90，90，94，94，97，98，98，100 乙款：68，69，78，78，78，79，79，86，87，88，88，88，89，89，89，97，98，98，99，99 对甲，乙两款人形机器人满意度的评分统计表： 人形机器人 平均数 中位数 众数 方差 甲款 86 86.5 m 93.9 乙款 86 n 88 81.4 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中 ， ； (2)根据以上数据，你认为哪款人形机器人的满意度更好，请说明理由； (3)此次测评中，有350人对甲款人形机器人进行评分，400人对乙款人形机器人进行评分，如果评分数据不低于90分被认定为“优秀”，请估计此次测评中对甲、乙两款人形机器人的满意度评分为“优秀”的共有多少人． 2．(24-25八下·北京密云区·期末)我国机器人产业正处于高速发展时期．某科研团队研发了、、三款智能机器人．为测试这三款机器人在图像识别和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图像识别能力测试中，、、三款机器人的得分（满分100分）分别为88分、85分、89分．运动能力测试由10位专业测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力的测试成绩．以下是、、三款机器人运动能力测试的部分数据信息： a．、两款机器人运动能力得分的折线图 b．款机器人运动能力得分的扇形统计图 c．、、三款机器人运动能力测试情况统计表        测试员打分情况 机器人 中位数 众数 运动能力测试成绩 方差 A 84 B 8 87 C 8 83 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中、的值； (2)比较与的大小； (3)按图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，在、、三款机器人中综合成绩最高的是 ，其综合成绩是 分； (4)若选择、、三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请说明理由． 3．(24-25八下·北京怀柔区·期末)每年的6月6日为“全国爱眼日”，某初中学校为了解本校学生视力健康状况，从全校880名学生中随机抽取100名学生，进行视力状况调查．（注：数据以左、右眼睛较低视力值为准．） 抽取的学生视力频数分布表 视力范围 频数 百分比 10 10% 22 22% a 35% 20 20% 13 b 合计 100 100% (1)频数分布表中______，______； (2)补全频数分布直方图： (3)数据如下： 4.9  4.9  4.9  5.0  5.0  5.0  5.0  5.0  5.0  5.0 5.1  5.1  5.1  5.1  5.1  5.1  5.1  5.1  5.1  5.1 在这组数据中，中位数为______； (4)视力达到5.0及以上的同学视力达到正常视力水平，那么根据抽取的结果预估全校880人视力达到正常视力水平的一共多少人？ 4．(24-25八下·北京燕山区·期末)某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. (1)初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分：                                      .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________. 5．(24-25八下·北京西城区·期末)某校为了解七年级和八年级学生的体育与健康知识掌握情况．从这两个年级的学生中各随机抽取了30名学生进行有关测试，获得了这些学生的成绩(成绩用x表示，满分100分)．并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．抽取的七年级学生测试成绩： 65，68，72，72，75，78，80，81，82，82，83，83，84，84，85 85，86，86，86，87，88，89，91，93，95，96，97，98，99，100 b．抽取的八年级学生测试成绩的频数分布直方图(数据分成5组：)： c．抽取的八年级学生测试成绩在这一组的是： 85，85，86，87，87，88，89，89，89 d．抽取的七、八年级学生测试成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 七年级 85 85 m 八年级 88 n 89 根据以上信息解答下列问题： (1)请补全频数分布直方图； (2)表中 ， ； (3)在此次测试中，七、八年级各有学生考了88分，这个成绩在哪个年级排名更靠前？回答并说明理由； (4)此次测试成绩85分及85分以上为优秀．若该校八年级有300名学生，假设八年级的学生都参加此次测试，估计八年级学生成绩优秀的人数． 6．(24-25八下·北京东城区·期末)2025年是中国共产党建党104周年，在7月1日党的生日来临之际，某校七年级和八年级开展党史知识竞赛．现从两个年级中各随机抽查10名学生的竞赛成绩，统计如下（满分100分）： 七年级：72，80，80，82，82，84，87，88，90，95； 八年级：76，78，79，82，85，85，85，88，90，92． 老师现将两个年级的成绩整理成下表，并将85分及以上（含85分）的成绩评定为优秀，请根据统计数据回答以下问题： 统计量 七年级组 八年级组 平均数 84 84 中位数 85 众数 80，82 (1)___________；___________； (2)八年级随后又补查了3名同学的成绩，与之前的数据合并后，发现中位数没变，那么这3名同学中至少有___________名同学达到优秀； (3)如果七年级有700名学生参加了此次竞赛，请你估计优秀的学生的人数． 7．(24-25八下·北京海淀区·期末)某市举办“人工智能创新挑战赛”，比赛分为模拟比赛和正式比赛两个阶段，共有100个团队参赛． (1)模拟比赛阶段，评委随机抽取25个团队进行综合打分（十分制，分值均为整数）．被抽取的团队得分结果如下： 得分 6 7 8 9 10 频数 2 5 9 8 1 将模拟比赛中得分为9分或10分的团队视为高水平团队，估计全体参赛团队中高水平团队的个数为______； (2)正式比赛阶段，评委对参赛团队进行综合打分（百分制，分值均为整数）．对各团队的得分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．各团队得分的频数分布直方图如图（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： b．各团队得分在这一组的是： 80  80  80  80  80  81  81  81 82  82  82  83  83  83  84  84 根据以上信息，解决下列问题： 补全频数分布直方图； 各团队得分的中位数是______； 各团队得分的众数所在组的组号可能是______． 8．(24-25八下·北京大兴区·期末)为普及健康生活方式，倡导学生“合理运动，健康生活”，学校举办“健康使者”评比活动．每位同学需要参加科普知识、体育竞技和创意实践三项评比，每项评比成绩均按百分制打分．评委会将三项评比成绩按的比例计算出每人的总评成绩，在全校参加评比活动的学生中，随机选出45名学生的成绩数据整理如下： ①45名学生总评成绩的频数分布直方图如图所示：（数据分6组，每组包含最小值，不包含最大值） ②其中总评成绩在91~94分的学生成绩如下： ③小聪和小明三项评比成绩及总评成绩如下： 科普知识成绩 体育竞技成绩 创意实践成绩 总评成绩 小聪 92 95 90 92.8 小明 88 92 92 根据以上信息，回答下列问题： (1)将“45名学生总评成绩的频数分布直方图”补充完整； (2)45名学生总评成绩的中位数为___________； (3)45名学生中总评成绩在91~94分的学生成绩的众数为___________； (4)上表中___________； (5)若总评成绩不少于97分的学生可获得“健康使者”奖章，则全校3600名参加此次评选活动的学生中约有___________名学生可以获得该奖章． 9．(24-25八下·北京朝阳区·期末)2025年3月31日是第30个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动，该校七、八年级各有200人，都参加了此次竞赛活动．现从七、八年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩分成四组：），并给出下面部分信息： a．七年级抽取的学生竞赛成绩频数分布直方图： b．七年级抽取的学生竞赛成绩在组的成绩为： c．八年级抽取的学生竞赛成绩为： d．七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数、中位数为： 年级 平均数 中位数 七 87 p 八 87 86 根据以上信息，解答下列问题： (1)写出表中的值； (2)如果去掉八年级抽取的学生竞赛成绩中的一个最高分和一个最低分，记剩下13个成绩的平均数为，则______87；（填“”“”或“”） (3)请你估计该校七、八年级学生此次竞赛活动成绩达到90分及以上的总人数． 10．(24-25八下·北京丰台区·期末)某中学组织八年级学生开展了红色研学活动，包含甲、乙两条线路，每名学生选择其中一条线路自愿参与．为了解学生对研学的满意程度，学校分别从参加甲、乙两条线路研学的学生中各随机抽取30人进行了问卷调研，按百分制评分（均为整数），对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲、乙线路评分的频数分布表： 评分分组 甲线路评分频数 7 3 0 乙线路评分频数 9 18 2 1 （说明：当时，非常满意；当时，比较满意；当时，不太满意；当时，非常不满意） b．乙线路在的评分：89，88，87，87，87，87，85，85，84，83，83，82，82，81，81，80，80，80 c．甲、乙线路评分的平均数、中位数、众数、方差如下： 平均数 中位数 众数 方差 甲线路评分 85.4 85 85 27.9 乙线路评分 85.1 87 40.1 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中___________，___________； (2)此次调研分别从课程策划、实践体验、服务保障三个方面按照的比确定评分．某位学生对这三方面的评分分别是93，84，77，他对此次研学的评价是___________（填“非常满意”“比较满意”、“不太满意”或“非常不满意”）； (3)学校计划在两条线路中选择一条作为七年级红色研学线路，请你结合调研数据给出建议：选择___________（填“甲”或“乙”）线路，理由是___________． 11．(24-25八·北京二中教育集团·期末)百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：A：，B：，C：，D：）． 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中的数据：64，70，75，76，78，78，80，82，84，85，85，85，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中C组包含的所有数据：87，88，84，87，89，87，81，90． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 86 85 a 乙 86 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中，______，______，______． (2)在此次测验中，有200人对甲款进行评分．220人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数是多少？ (3)如果让你选择一款聊天机器人，你会选择哪一款？请利用数据说明理由． 地 城 考点03 新定义 一、解答题 1．(24-25八下·北京门头沟区·期末)在平面直角坐标系中，A为平面内一点．对于点P和线段给出如下定义：如果线段的中点在线段上，则称点P是线段关于点A的“倍增点”． (1)如图1，，， ①如果，那么在点，，，中，线段关于点A的“倍增点”是 ； ②已知，如果点P是线段关于点的“倍增点”，那么 ，a的取值范围是 ； (2)已知，点M，N在直线上，且．设点M的横坐标为n，如果在直线上存在点P，使点P是线段关于点A的“倍增点”，直接写出n的取值范围． 2．(24-25八下·北京密云区·期末)在平面直角坐标系中，对于直线和点，给出如下定义：过点作直线的垂线交直线于点，若，则称点为直线的“限距点”．特别地，直线上所有的点都是直线的“限距点”． 已知点，，． (1)当直线的表达式为时． ①在点中，直线的“限距点”是 ； ②若以为边的矩形上所有的点都是直线的“限距点”，求点的纵坐标的取值范围； (2)当直线的表达式为时，若线段上存在直线的“限距点”，直接写出的取值范围． 3．(24-25八下·北京怀柔区·期末)在平面直角坐标系中，对于点给出如下定义：若点在直线上，称点是点的“和谐点”． 已知，点． (1)在中，点的“和谐点”有______； (2)点在直线上，若点的“和谐点”也是点的“和谐点”，求点的坐标； (3)已知点和线段，点在以为顶点的四边形上，且线段上总存在线段上每个点的“和谐点”．若的最小值为，直接写出的值． 4．(24-25八下·北京燕山区·期末)定义：形如的函数称为正比例函数的“分移函数”，其中b叫“分移值”． (1)①函数的“分移函数”为其中“分移值”为3，在图1中画出其图象； ②已知点在的“分移函数”的图象上，则________； (2)已知点，）在函数的“分移函数”的图象上，则m的值是__________； (3)已知矩形顶点坐标为，，，．函数的“分移函数”的“分移值”为3，且其图象与矩形恰好有2个交点，直接写出k的取值范围． 5．(24-25八下·北京西城区·期末)在平面直角坐标系中，对于对角线交点为原点的正方形和它的边上任意一点，给出如下定义：记点所在边的中点为，线段OM的长度为．将线段沿射线的方向平移个单位长度得到线段，以点为顶角顶点，分别作顶角都为的等腰三角形和等腰三角形，连接．若线段上的点都在该正方形的内部或边上，则称点为该正方形的“美好点”． 已知正方形的顶点坐标分别为，，，． (1)如图1，点在边上， ①在点，中，点 是正方形的“美好点”； ②若点E，F的横坐标满足，当时，点的坐标为 ； (2)若直线上存在正方形的“美好点”，则的取值范围是 ； (3)如图2，与正方形大小相同的正方形的顶点在坐标轴上．若直线上既存在正方形的“美好点”又存在正方形的“美好点”，请直接写出的取值范围． 6．(24-25八下·北京东城区·期末)已知点为图形上一点，点为图形上一点(不重合)，若一点能使得点为线段的中点，则称点为图形关于图形的“二倍点”．若图形上每一点都是图形关于图形的“二倍点”，且图形关于图形的“二倍点”都在图形上，则图形为图形关于图形的“二倍图”．在平面直角坐标系中，点． (1)在点中，点___________是点关于线段的“二倍点”； (2)若图形为线段关于线段的“二倍图”，则图形的面积为___________； (3)点是轴上一动点，正方形的各顶点坐标为，，线段上任一点都为正方形关于正方形的“二倍点”，直接写出的取值范围． 7．(24-25八下·北京海淀区·期末)在平面直角坐标系中，对于图形M，线段和点C，若在图形M上存在点P，使线段的中点在线段上，则称C为图形M关于线段的“扩充点”． (1)如图1，点，，在点，，中，关于线段的“扩充点”是______； (2)已知点，，，，其中，直线：． ①H是直线l上的一个动点，当，，时，若H为四边形关于线段的“扩充点”，直接写出点H的横坐标的取值范围； ②连接，为线段的中点，当，时，若直线l上存在四边形关于线段的“扩充点”，直接写出的取值范围． 8．(24-25八下·北京大兴区·期末)在平面直角坐标系中，已知点，点． 对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点绕点旋转后的对应点为点，称点为点的“对称点” 已知一次函数． (1)点，点． ①若点，则点的“对称点”点的坐标是___________； ②当时，点为一次函数图象上一点，点为点的对称点，直接用等式表示点的横，纵坐标满足的关系； (2)若点，点为一次函数图象上一动点，且点的纵坐标满足，点，点为点的“对称点”，直接写出点横，纵坐标的取值范围． 9．(24-25八下·北京朝阳区·期末)在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点分别为，，，线段在矩形的外面．给出如下定义：将线段关于直线对称，得到线段，若线段不在矩形的外面，则称线段为矩形关于直线的对称线段，线段与线段中点间的距离为线段到矩形的对称距离． (1)如图，已知点，，，在线段，中，是矩形关于轴的对称线段的是______，该线段到矩形的对称距离为______； (2)过点作轴的垂线． ①已知点，，若存在，使线段MN是矩形关于直线的对称线段，则的取值范围是______； ②已知点，，若存在，使线段是矩形关于直线的对称线段，则线段到矩形的对称距离的取值范围是______． 10．(24-25八下·北京丰台区·期末)在平面直角坐标系中，已知点和过点垂直于轴的直线．对于点和图形，给出如下定义：将点关于直线的对称点向上或向下平移个单位长度，得到点，若点在图形上，则称点是图形关于点的“关联点”． (1)已知点，，和点． ①在点中，正方形关于点的“关联点”是___________； ②若点是正方形关于点的“关联点”，直接写出长的最大值； (2)已知点和点．若存在点是正方形关于点的“关联点”，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数据分析与新定义 3大高频考点概览 考点01 众数、中位数、平均数、方差 考点02 数据分析 考点03 新定义 地 城 考点01 众数、中位数、平均数、方差 一、单选题 1．(24-25八下·北京门头沟区·期末)竭午节来临之际，某班级举办了“端午文化我知道”的知识竞赛，小明的成绩为95分，超过了班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（   ） A．方差 B．平均分 C．众数 D．中位数 【答案】D 【分析】本题考查了统计量．根据中位数的意义即可求解． 【详解】解：某班级举办了“端午文化我知道”的知识竞赛，小明的成绩为95分，超过了班级半数同学的成绩，所用的统计量是中位数， 故选：D． 2．(24-25八下·北京密云区·期末)已知一组数据的平均数为10，方差为4，那么数据，，的平均数和方差分别是（    ） A．10，4 B．7，4 C．10，1 D．7，1 【答案】B 【分析】本题考查了平均数、方差，理解其定义是解题的关键． 根据平均数和方差的定义，当每个数据都减去同一个常数时，平均数也减去该常数，而方差保持不变，计算即可得到答案． 【详解】解：由题意知：，故， 新数据，，的平均数为： ， 因此，新数据的平均数为； 原数据的方差为4，即， 新数据，，的平均数为，每个数据与新平均数的差为： ，，， 因此，新方差为： ， 方差保持不变，仍为； 综上，新数据的平均数为，方差为． 故选：B． 3．(24-25八下·北京怀柔区·期末)甲、乙、丙、丁四位男同学各进行了10次立定跳远比赛测试，他们的平均成绩、方差如下表，要选拔成绩好且稳定的1名学生参加区级比赛，则应该选（    ） 甲 乙 丙 丁 平均成绩 270 270 275 275 方差 11.3 10.2 8.6 8.9 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查利用平均数、方差做决策．选拔标准为成绩好（平均成绩高）且稳定（方差小），首先比较平均成绩，选出较高的丙和丁；再比较两者的方差，选择方差更小的丙． 【详解】解： 比较平均成绩：甲、乙的平均成绩为，丙、丁为．因此，优先考虑平均成绩更高的丙和丁． 比较方差：方差越小，成绩越稳定．丙的方差为8.6，丁为8.9，故丙的稳定性更优． 综合判断：在平均成绩相同的情况下，丙的方差更小，满足“成绩好且稳定”的要求． 故选C． 4．(24-25八下·北京燕山区·期末)甲、乙两座城市某年四季的平均气温如图所示，下列说法正确的是（   ） A．甲城市的年平均气温在以上 B．乙城市的年平均气温在以下 C．甲城市的年平均气温低于乙城市的年平均气温 D．甲、乙两座城市中，甲城市四季的平均气温较为接近 【答案】D 【分析】利用折线图，求出甲、乙的平均气温即可判断． 【详解】解：由折线图可知，甲的年平均气温．故选项不符合题意， 乙的年平均气温，故选项，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查折线统计图，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型． 5．(24-25八下·北京西城区·期末)如图是甲、乙两名同学的5次引体向上练习成绩的折线统计图，下列判断正确的是（  ） A．甲的成绩比乙的成绩稳定 B．甲的最好成绩比乙的最好成绩高 C．甲的成绩的平均数比乙的成绩的平均数大 D．甲的成绩的中位数比乙的成绩的中位数大 【答案】A 【分析】本题考查了折线统计图，平均数、中位数与方差．从折线图中得到必要的信息是解决问题的关键．根据统计量的确定方法确定相应的统计量，再判断即可． 【详解】解：A、由折线统计图可以看出甲成绩的波动小于乙成绩的波动，即甲的成绩比乙的成绩稳定，故选项A正确，符合题意； B、由折线统计图可以看，甲的最好成绩为9，乙的最好成绩为10， 所以甲的最好成绩比乙的最好成绩低，故选项B不正确，不符合题意； C、甲的成绩的平均数为（个），乙的成绩的平均数为（个） 所以甲的成绩的平均数与乙的成绩的平均数相同，故选项C不正确，不符合题意； D、甲的成绩的中位数与乙的成绩的中位数均为8个，故选项D不正确，不符合题意． 故选：A． 6．(24-25八下·北京东城区·期末)某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，192，196．现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，场上队员的身高（　　） A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大 【答案】A 【分析】本题考查了平均数与方差的意义，根据平均数和方差的意义即可得出答案． 比较换人前后的平均数和方差变化，需分别计算两者的数值。 【详解】解：∵换上的队员身高小于下场队员的身高， ∴平均数变小； ∵数据变的更集中， ∴方差变小； 故选：A． 7．(24-25八下·北京海淀区·期末)下表记录了甲、乙、丙、丁四名学员十次射击成绩的平均环数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均环数 9.3 9.6 9.6 9.4 方差 0.41 0.24 0.44 0.24 在这四名学员中，成绩好且发挥稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据平均数和方差做决策，根据平均环数判断成绩优劣，方差衡量发挥稳定性，需两者兼顾．根据平均数的高低结合方差的大小进行判定即可得． 【详解】解：成绩比较：平均环数越高，成绩越好．乙和丙的平均环数均为9.6环，高于甲的9.3环和丁的9.4环，故成绩最优为乙、丙． 稳定性比较：方差越小，发挥越稳定．乙的方差为0.24，丙的方差为0.44，乙的稳定性更优． 综合判断：乙的平均环数最高且方差最小，满足“成绩好且发挥稳定”．丁虽方差小，但平均环数较低；甲、丙均存在明显劣势． 故选B． 8．(24-25八下·北京大兴区·期末)甲、乙两名同学在相同条件下射击打靶5次，每次命中的环数如下： 甲：7，8，8，8，9        乙：6，7，8，9，10 则这两组数据的方差的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了求方差，比较甲、乙两组数据的方差，需先计算各自的平均数，再利用方差公式计算方差，然后比较大小，据此进行分析计算，即可作答． 【详解】解：依题意，甲同学的平均数，乙同学的平均数， 则； 则； ∵， ∴， 故选：C． 9．(24-25八下·北京朝阳区·期末)如表是八年级某班学生平均周阅读时间（单位：h）的分布表： 时间 3 4 5 6 7 频数 1 6 8 12 9 5 1 则该班学生平均周阅读时间的众数是（   ） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】A 【分析】此题考查了众数的定义，正确理解众数的定义是解题的关键． 根据众数的定义，即一组数据中出现次数最多的数据，直接观察频数分布表中频数最大的对应时间即可． 【详解】由表格可知，周阅读时间及其对应频数分别为：（1次）、（6次）、（8次）、（12次）、（9次）、（5次）、（1次）．其中频数最大的是12次，对应的时间为．因此，该班学生平均周阅读时间的众数是． 故选：A． 10．(24-25八下·北京丰台区·期末)某校合唱比赛、共有六位评委现场打分，去掉一个最高分和一个最低分后的4个有效分数与6个原始分数相比，一定不变的统计量是（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】C 【分析】本题考查统计量的性质．原始数据去掉最高分和最低分后，分析各统计量是否变化．中位数在去掉对称的两个极值后保持不变，而平均数、众数、方差均可能改变． 【详解】解：平均数：总和减少，故平均数可能变化． 众数：若被去掉的最高分或最低分是原众数，则众数改变． 中位数：原始6个数据的中位数为第3、4位数的平均值；去掉最高和最低分后，剩余4个数据的中位数为第2、3位数的平均值．由于原第3、4位数仍位于剩余数据中间，故中位数不变． 方差：数据分布改变，方差可能变化． 故选C． 11．(24-25八·北京二中教育集团·期末)在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员成绩如下表所示： 成绩/米 人数 2 5 3 1 其中两个数据被污染了，根据这些数据，一定能确定这15名运动员成绩的（    ） A．众数和中位数 B．中位数和方差 C．众数和方差 D．众数和平均数 【答案】A 【分析】本题考查了中位数与众数、平均数与方差，掌握它们的含义是解题的关键；被污染的数据有4个，可以确定众数与中位数均是，由此可作出判断． 【详解】解：被污染的数据有4个，显然众数是，它出现了5次；，则中位数是按大小排列的第8个数据，中位数也是，根据这些数据，一定能确定这15名运动员成绩的众数与中位数； 故选：A． 二、填空题 12．(24-25八下·北京门头沟区·期末)某学校规定学生的学期体育成绩满分为100，其中平时成绩占20%，期中成绩占30%，期末成绩占50%，小枫的三项成绩依次是95、90、80．小枫这学期的体育成绩是________． 【答案】86 【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的定义求解即可． 【详解】解：小枫这学期的体育成绩是， 故答案为：86． 13．(24-25八下·北京燕山区·期末)10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，他们的身高（单位：）如下表所示： 队员1 队员2 队员3 队员4 队员5 甲队 177 176 175 172 175 乙队 170 175 173 174 183 则两队队员身高的平均数______（填或），身高的方差______（填或）． 【答案】 【分析】本题主要考查了求平均数和方差，根据方差和平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， ∴； ， ， ∴， 故答案为：，． 14．(24-25八下·北京东城区·期末)学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占，投球技能占计算选手的综合成绩（百分制）．选手李林控球技能得分，投球技能得分，则李林的综合成绩为_____分． 【答案】87 【分析】本题考查了加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键． 根据题意，运用加权平均数的计算方法计算即可． 【详解】解：控球技能占，投球技能占计算选手的综合成绩，李林控球技能得分，投球技能得分， ∴（分）， ∴李林的综合成绩为分， 故答案为：87 ． 15．(24-25八下·北京海淀区·期末)某工厂第一季度采购某种原材料的数量和单价如下表所示： 数量（吨） 单价（元/吨） 1月份 3 5000 2月份 3 5100 3月份 4 4800 则该工厂第一季度采购这种原材料的平均单价为______元/吨． 【答案】4950 【分析】本题考查了求一组数据的平均数，根据平均数的公式求解即可． 【详解】解：该工厂第一季度采购这种原材料的平均单价为：（元/吨）． 故答案为： 4950． 16．(24-25八下·北京朝阳区·期末)某校为增强学生体质，以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练，并对学生进行专项测试．以下是某次八年级（1）班甲、乙两组男生引体向上测试的成绩： 甲组 乙组| 如果甲、乙两组成绩的方差分别为，则______（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数和方差的定义． 根据方差的定义列式计算即可． 【详解】解：， ． ， ． 所以：． 故答案为：． 17．(24-25八下·北京丰台区·期末)如图是甲、乙两射击运动员的10次射击训练成绩的折线统计图．观察图形，甲、乙这10次射击训练成绩的方差___________（填“>”，“<”或“=”），可知射击成绩更稳定的运动员是___________（填“甲”或“乙”）． 【答案】 甲 【分析】本题考查的是方差、折线统计图的有关内容．分析折线统计图，容易看出甲的成绩比较稳定，乙的成绩波动较大． 【详解】解：由图可知，乙的波动大， ∴乙的方差大，即； ∴射击成绩更稳定的运动员是甲． 故答案为：；甲． 18．(24-25八·北京二中教育集团·期末)下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择______． 甲 乙 丙 丁 平均数（） 192 195 195 193 方差 3.2 4.7 6.5 6.0 【答案】乙 【分析】本题主要考查了用方差和平均数做决策，根据题意可知要选择平均数大且方差小的运动员参赛，据此可得答案． 【详解】解：从平均数来看，应该从乙、丙中选择一人参赛， 从方差来看，应该选择乙参赛， 故答案为：乙． 地 城 考点02 数据分析 一、解答题 1．(24-25八下·北京门头沟区·期末)某公司为参加“2025年人形机器人半程马拉松赛”，对本公司生产的甲、乙两款人形机器人的满意度进行了测评，并从中各随机抽取20份测评结果，对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．对甲、乙两款人形机器人满意度的评分数据： 甲款：65，67，76，77，78，79，85，85，85，85，88，89，90，90，94，94，97，98，98，100 乙款：68，69，78，78，78，79，79，86，87，88，88，88，89，89，89，97，98，98，99，99 对甲，乙两款人形机器人满意度的评分统计表： 人形机器人 平均数 中位数 众数 方差 甲款 86 86.5 m 93.9 乙款 86 n 88 81.4 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中 ， ； (2)根据以上数据，你认为哪款人形机器人的满意度更好，请说明理由； (3)此次测评中，有350人对甲款人形机器人进行评分，400人对乙款人形机器人进行评分，如果评分数据不低于90分被认定为“优秀”，请估计此次测评中对甲、乙两款人形机器人的满意度评分为“优秀”的共有多少人． 【答案】(1)85，88 (2)乙款人形机器人的满意度更好，理由见解析 (3)240人 【分析】本题考查了平均数的意义、求一组数据的中位数、求一组数据的众数、方差的意义，解题关键是理解各统计量的意义及求解方法． （1）分别根据众数和中位数的定义解答即可； （2）根据平均数、中位数、众数和方差的意义解答即可； （3）利用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：在甲款人形机器人满意度的评分数据中，85出现的次数最多，故众数； 把乙款人形机器人满意度的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数分别是88，88，故中位数， 故答案为：85，88； （2）解：乙款人形机器人的满意度更好，理由如下： 因为乙两款人形机器人满意度的评分的平均数相同，但乙款人形机器人的满意度评分的中位数和众数均高于甲款人形机器人，且方差小于甲款人形机器人，所以乙款人形机器人的满意度更好； （3）解：（人）， 答：估计此次测评中对甲、乙两款人形机器人的满意度评分为“优秀”的共有240人． 2．(24-25八下·北京密云区·期末)我国机器人产业正处于高速发展时期．某科研团队研发了、、三款智能机器人．为测试这三款机器人在图像识别和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图像识别能力测试中，、、三款机器人的得分（满分100分）分别为88分、85分、89分．运动能力测试由10位专业测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力的测试成绩．以下是、、三款机器人运动能力测试的部分数据信息： a．、两款机器人运动能力得分的折线图 b．款机器人运动能力得分的扇形统计图 c．、、三款机器人运动能力测试情况统计表        测试员打分情况 机器人 中位数 众数 运动能力测试成绩 方差 A 84 B 8 87 C 8 83 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中、的值； (2)比较与的大小； (3)按图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，在、、三款机器人中综合成绩最高的是 ，其综合成绩是 分； (4)若选择、、三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请说明理由． 【答案】(1)10和9，8 (2) (3)B， (4)B机器人 【分析】（1）根据图象信息，得A机器人得分为：7，10，10，7，9，9，8，9，10，6， B机器人得分为：8，8，9，10，8，10，9，8，9，8， 由此得到A的众数为10和9； C组机器人打分：6分有个；8分有个；9分有个； 10分有个；中位数是第5个，第6个数据的平均数即（分），解答即可； （2）先计算各自的平均数，再根据方差公式解答即可； （3）C组的平均分为分，根据占比计算加权平均数即可； （4）根据方差越小越稳定作出决策即可． 【详解】（1）解：根据图象信息，得得A机器人得分为：7，10，10，7，9，9，8，9，10，6， B机器人得分为：8，8，9，10，8，10，9，8，9，8， 由此得到A的众数为10和9； 故或； C组机器人打分：6分有个；8分有个；9分有个； 10分有个；中位数是第5个，第6个数据的平均数即（分）， 故； （2）解：∵B机器人得分为：8，8，9，10，8，10，9，8，9，8， A机器人得分为：7，10，10，7，9，9，8，9，10，6求这组数据的方差？ ∴，， 故， ， 故． （3）解：根据图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占， 故综合成绩为：A机器人：（分）， B机器人：（分）， C机器人：（分）， 故综合成绩最高的是B机器人，综合成绩为分， 故答案为：B，． （4）解：， 故选择B机器人． 【点睛】本题考查了中位数，众数，平均数，方差，根据统计量作出决策，熟练掌握公式计算是解题的关键． 3．(24-25八下·北京怀柔区·期末)每年的6月6日为“全国爱眼日”，某初中学校为了解本校学生视力健康状况，从全校880名学生中随机抽取100名学生，进行视力状况调查．（注：数据以左、右眼睛较低视力值为准．） 抽取的学生视力频数分布表 视力范围 频数 百分比 10 10% 22 22% a 35% 20 20% 13 b 合计 100 100% (1)频数分布表中______，______； (2)补全频数分布直方图： (3)数据如下： 4.9  4.9  4.9  5.0  5.0  5.0  5.0  5.0  5.0  5.0 5.1  5.1  5.1  5.1  5.1  5.1  5.1  5.1  5.1  5.1 在这组数据中，中位数为______； (4)视力达到5.0及以上的同学视力达到正常视力水平，那么根据抽取的结果预估全校880人视力达到正常视力水平的一共多少人？ 【答案】(1)； (2)见解析 (3)5.05； (4)预估全校880人视力达到正常视力水平的一共264人． 【分析】本题考查频数分布表和频数分布直方图，中位数，读懂统计图并获取信息是解题的关键。 （1）利用频数分布表，即可求解； （2）根据，画图即可； （3）在这组数据中，确定第10个数为5.0，第11个数为5.1，则中位数即可求解； （4）求出视力达到5.0及以上的同学的百分比，再乘以全校人数，即可解答。 【详解】（1）解：，． 故答案为：． （2）如图所示： （3）在这组数据中，共20个数，第10个数为5.0，第11个数为5.1，则中位数为． 故答案为：． （4）（人） 答：预估全校880人视力达到正常视力水平的一共264人． 4．(24-25八下·北京燕山区·期末)某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. (1)初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分：                                      .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________. 【答案】(1)①，；② (2)甲， 【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据众数、中位数和算术平均数的定义解答即可； （2）根据方差的定义和意义求解即可； （3）根据题意得出，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可． 【详解】（1）①从教师评委打分的情况看，分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为， 所以， 共有45名学生评委给每位选手打分， 所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组， 故答案为：，； ②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：，，，，，，，， ， 故答案为：； （2）， ， ， ， 丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， 依题意，当，则 解得： 当时， 此时 ∵，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意， 当时， 此时 ∵，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲 故答案为：甲，． 5．(24-25八下·北京西城区·期末)某校为了解七年级和八年级学生的体育与健康知识掌握情况．从这两个年级的学生中各随机抽取了30名学生进行有关测试，获得了这些学生的成绩(成绩用x表示，满分100分)．并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．抽取的七年级学生测试成绩： 65，68，72，72，75，78，80，81，82，82，83，83，84，84，85 85，86，86，86，87，88，89，91，93，95，96，97，98，99，100 b．抽取的八年级学生测试成绩的频数分布直方图(数据分成5组：)： c．抽取的八年级学生测试成绩在这一组的是： 85，85，86，87，87，88，89，89，89 d．抽取的七、八年级学生测试成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 七年级 85 85 m 八年级 88 n 89 根据以上信息解答下列问题： (1)请补全频数分布直方图； (2)表中 ， ； (3)在此次测试中，七、八年级各有学生考了88分，这个成绩在哪个年级排名更靠前？回答并说明理由； (4)此次测试成绩85分及85分以上为优秀．若该校八年级有300名学生，假设八年级的学生都参加此次测试，估计八年级学生成绩优秀的人数． 【答案】(1)见解析 (2)86，88.5 (3)这个成绩在七年级排名更靠前，理由见解析 (4)人 【分析】此题考查了频数(率分布直方图，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． （1）先用减法求出这一组的人数，再补全频数分布直方图即可： （2）根据众数和中位数的定义求解即可； （3）根据中位数的意义求解即可； （4）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 【详解】（1）这一组的人数为：； 补全频数分布直方图如图： （2）解：由题意知86出现的次数最多，有三次，， 八年级的中位数是第15和16个数字的平均数，即这一组的第6和第7个数字的平均数， ∴， 故答案为：86，88.5； （3）七年级学生排名更靠前， 因为88分大于七年级学生测试成绩的中位数85， 所以七年级该学生超过七年级一半学生， 故七年级学生排名更靠前； （4）(名， 答：估计八年级学生成绩优秀的人数为210名． 6．(24-25八下·北京东城区·期末)2025年是中国共产党建党104周年，在7月1日党的生日来临之际，某校七年级和八年级开展党史知识竞赛．现从两个年级中各随机抽查10名学生的竞赛成绩，统计如下（满分100分）： 七年级：72，80，80，82，82，84，87，88，90，95； 八年级：76，78，79，82，85，85，85，88，90，92． 老师现将两个年级的成绩整理成下表，并将85分及以上（含85分）的成绩评定为优秀，请根据统计数据回答以下问题： 统计量 七年级组 八年级组 平均数 84 84 中位数 85 众数 80，82 (1)___________；___________； (2)八年级随后又补查了3名同学的成绩，与之前的数据合并后，发现中位数没变，那么这3名同学中至少有___________名同学达到优秀； (3)如果七年级有700名学生参加了此次竞赛，请你估计优秀的学生的人数． 【答案】(1)83，85 (2)1 (3)估计优秀的学生的人数为人 【分析】本题考查求中位数和众数，利用样本估计总体，熟练掌握中位数和众数的确定方法，是解题的关键： （1）根据中位数和众数的确定方法进行求解即可； （2）根据中位数的确定方法，进行判断即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：七年级的数据排序后第5个和第6个数据分别为：， ∴， 八年级数据中出现次数最多的是：85， ∴； （2）补录三位同学，数据变为13个，其中中位数为排序后的第7个数据，且为85， 又∵原来的第5到第7个数均为85， ∴补录的三位同学的成绩至少有1个数据大于等于85， 即：这3名同学中至少有1名同学达到优秀； （3）（人）； 答：估计优秀的学生的人数为人． 7．(24-25八下·北京海淀区·期末)某市举办“人工智能创新挑战赛”，比赛分为模拟比赛和正式比赛两个阶段，共有100个团队参赛． (1)模拟比赛阶段，评委随机抽取25个团队进行综合打分（十分制，分值均为整数）．被抽取的团队得分结果如下： 得分 6 7 8 9 10 频数 2 5 9 8 1 将模拟比赛中得分为9分或10分的团队视为高水平团队，估计全体参赛团队中高水平团队的个数为______； (2)正式比赛阶段，评委对参赛团队进行综合打分（百分制，分值均为整数）．对各团队的得分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．各团队得分的频数分布直方图如图（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： b．各团队得分在这一组的是： 80  80  80  80  80  81  81  81 82  82  82  83  83  83  84  84 根据以上信息，解决下列问题： 补全频数分布直方图； 各团队得分的中位数是______； 各团队得分的众数所在组的组号可能是______． 【答案】(1)36； (2) ①补全频数分布直方图见解析；83；2或4 【分析】本题考查了频数分布直方图，利用样本估计总体、中位数、众数，从图表中获取信息等知识点，从统计图表中获取信息是解题的关键． （1）总个数乘以样本中9分和10分个数所占比例即可； （2）根据各组频数之和等于总数即可求出第一组频数，补全图即可； 根据中位数定义求解即可； 根据众数定义求解即可． 【详解】（1）估计全体参赛团队中高水平团队的个数为：（个）； 故答案为：36； （2）第1组频数为：， 补全图形如下： 中位数为； 故答案为：83； 从频数分布直方图可以看出，第2组和第4组频数较多，所以各团队得分的众数所在组的组号可能是2或4． 故答案为：2或4． 8．(24-25八下·北京大兴区·期末)为普及健康生活方式，倡导学生“合理运动，健康生活”，学校举办“健康使者”评比活动．每位同学需要参加科普知识、体育竞技和创意实践三项评比，每项评比成绩均按百分制打分．评委会将三项评比成绩按的比例计算出每人的总评成绩，在全校参加评比活动的学生中，随机选出45名学生的成绩数据整理如下： ①45名学生总评成绩的频数分布直方图如图所示：（数据分6组，每组包含最小值，不包含最大值） ②其中总评成绩在91~94分的学生成绩如下： ③小聪和小明三项评比成绩及总评成绩如下： 科普知识成绩 体育竞技成绩 创意实践成绩 总评成绩 小聪 92 95 90 92.8 小明 88 92 92 根据以上信息，回答下列问题： (1)将“45名学生总评成绩的频数分布直方图”补充完整； (2)45名学生总评成绩的中位数为___________； (3)45名学生中总评成绩在91~94分的学生成绩的众数为___________； (4)上表中___________； (5)若总评成绩不少于97分的学生可获得“健康使者”奖章，则全校3600名参加此次评选活动的学生中约有___________名学生可以获得该奖章． 【答案】(1)见解析 (2)91 (3)92 (4) (5)240 【分析】本题考查统计综合，涉及补全条形统计图、计算中位数、计算众数、计算加权平均数、利用中位数做决策等知识，熟记相关统计量的意义与求法是解决问题的关键． （1）先求出第5组人数，补全频数分布直方图即可得到答案； （2）由45名选手初赛成绩的频数分布直方图，结合中位数求法得到中位数在第4组，将总评在91~94分的选手成绩从小到大排列即可得到答案； （3）由总评在91~94分的选手成绩，结合众数定义求解即可得到答案； （4）由三项成绩按比例计算出每人的总评成绩，由加权平均数求解即可； （5）利用总数乘以相应比例求解即可． 【详解】（1）解：， 补全统计图如下： （2）根据题意得：45名学生总评成绩的中位数为第23名同学的成绩， ∵， ∴第23名同学的成绩为成绩在91~94分成绩的第一个，即91， 故答案为：91； （3）45名学生中总评成绩在91~94分的学生成绩中，92出现的次数最多， ∴众数为92； （4）根据题意得：， 故答案为：； （5）名， 故答案为：240 9．(24-25八下·北京朝阳区·期末)2025年3月31日是第30个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动，该校七、八年级各有200人，都参加了此次竞赛活动．现从七、八年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩分成四组：），并给出下面部分信息： a．七年级抽取的学生竞赛成绩频数分布直方图： b．七年级抽取的学生竞赛成绩在组的成绩为： c．八年级抽取的学生竞赛成绩为： d．七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数、中位数为： 年级 平均数 中位数 七 87 p 八 87 86 根据以上信息，解答下列问题： (1)写出表中的值； (2)如果去掉八年级抽取的学生竞赛成绩中的一个最高分和一个最低分，记剩下13个成绩的平均数为，则______87；（填“”“”或“”） (3)请你估计该校七、八年级学生此次竞赛活动成绩达到90分及以上的总人数． 【答案】(1)88 (2) (3)160人 【分析】（1）根据中位数的定义得出P为排序后第八名学生的成绩； （2）根据去掉的两个成绩为69和100，原来15个人的平均分为87分，求出剩余13个人的平均分即可得出答案； （3）用200人乘以抽取的七、八年级学生竞赛成绩中90分及以上的人数所占百分比，即可求解． 【详解】（1）解：∵一共抽取七年级学生15人， ∴中位数是排序后的第8个数据， ∵， ∴第8个数据落在C组， ∴； （2）解：根据题意可知：去掉的最低分为69分，最高分为100分， ∵抽取的15个人的平均分为87分， ∴剩余的13个人的平均分为：； （3）解：根据频数分布直方图可得，抽取的七年级学生竞赛成绩中，90分以上的有6个； 根据抽取的八年级学生的竞赛成绩可得，90分以上的有6个； ∴该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为：（人）， 答：该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为160人． 【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，中位数，众数，频率，以及用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用，正确从统计图中获取需要数据． 10．(24-25八下·北京丰台区·期末)某中学组织八年级学生开展了红色研学活动，包含甲、乙两条线路，每名学生选择其中一条线路自愿参与．为了解学生对研学的满意程度，学校分别从参加甲、乙两条线路研学的学生中各随机抽取30人进行了问卷调研，按百分制评分（均为整数），对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲、乙线路评分的频数分布表： 评分分组 甲线路评分频数 7 3 0 乙线路评分频数 9 18 2 1 （说明：当时，非常满意；当时，比较满意；当时，不太满意；当时，非常不满意） b．乙线路在的评分：89，88，87，87，87，87，85，85，84，83，83，82，82，81，81，80，80，80 c．甲、乙线路评分的平均数、中位数、众数、方差如下： 平均数 中位数 众数 方差 甲线路评分 85.4 85 85 27.9 乙线路评分 85.1 87 40.1 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中___________，___________； (2)此次调研分别从课程策划、实践体验、服务保障三个方面按照的比确定评分．某位学生对这三方面的评分分别是93，84，77，他对此次研学的评价是___________（填“非常满意”“比较满意”、“不太满意”或“非常不满意”）； (3)学校计划在两条线路中选择一条作为七年级红色研学线路，请你结合调研数据给出建议：选择___________（填“甲”或“乙”）线路，理由是___________． 【答案】(1)， (2)比较满意 (3)甲线路；甲线路评分的平均数、中位数高于乙线路评分 【分析】本题考查平均数、中位数、众数的意义和频数分布表； （1）运用考查的总人数减去其它组的人数求出m的值；然后利用中位数的定义求出n的值即可； （2）利用加权平均数的计算公式求出平均数，然后判断解答即可； （3）根据平均数、中位数、众数的意义作比较解答即可． 【详解】（1）解：， 乙线路评分排序后居于中间的两个数是和，则， 故答案为：，； （2）解：， ∴他对此次研学的评价是比较满意， 故答案为：比较满意； （3）选择甲线路，理由为甲线路评分的平均数、中位数高于乙线路评分，故选择甲线路． 11．(24-25八·北京二中教育集团·期末)百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：A：，B：，C：，D：）． 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中的数据：64，70，75，76，78，78，80，82，84，85，85，85，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中C组包含的所有数据：87，88，84，87，89，87，81，90． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 86 85 a 乙 86 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中，______，______，______． (2)在此次测验中，有200人对甲款进行评分．220人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数是多少？ (3)如果让你选择一款聊天机器人，你会选择哪一款？请利用数据说明理由． 【答案】(1)85，；20； (2)115人 (3)乙款，理由见解析 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键； （1）根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得a的值，再由数据确定m即可； （2）由A、B两款的非常满意的人数之和即可得出答案． （3）利用中位数和平均数作决策即可． 【详解】（1）解：甲款评分数据中，85分出现次数最多，则， 根据乙款扇形统计图可得，A组B组共有人， 将C组包含的所有数据排序为：81，84，87，87，87，88， 89， 90 第十个和第十一个评分分别为84、87， 所以中位数． 乙款聊天机器人中，C组包含8个数据，所占比例为， ∴， ∴， 故答案为：85，；20； （2）解：乙款扇形统计图可得，组有人， 甲数据中组有6人， ∴对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数人． （3）解：由表格得，甲乙款平均数都相同，但是乙的中位数，甲的中位数85， ∴选择乙款聊天机器人 地 城 考点03 新定义 一、解答题 1．(24-25八下·北京门头沟区·期末)在平面直角坐标系中，A为平面内一点．对于点P和线段给出如下定义：如果线段的中点在线段上，则称点P是线段关于点A的“倍增点”． (1)如图1，，， ①如果，那么在点，，，中，线段关于点A的“倍增点”是 ； ②已知，如果点P是线段关于点的“倍增点”，那么 ，a的取值范围是 ； (2)已知，点M，N在直线上，且．设点M的横坐标为n，如果在直线上存在点P，使点P是线段关于点A的“倍增点”，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)①，；②2， (2)或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，坐标与图形，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“倍增点”的意义． （1）①根据“倍增点”的定义逐个判断即可； ②表示出的中点为，可知在线段上，故，，即可解得答案； （2）设，可得的中点为，由在直线上，有，解得，故，根据点M的横坐标为n，点M在直线上，点N在直线上，，可得或，当，时，，解得：；当，时，，解得：． 【详解】（1）解：①∵，， ∴的中点为， ∵，， ∴的中点在线段上， ∴是线段关于点A的“倍增点”； ∵，， ∴的中点为， ∵，， ∴的中点不在线段上， ∴不是线段关于点A的“倍增点”； ∵，， ∴的中点为， ∵，， ∴的中点在线段上， ∴是线段关于点A的“倍增点”； ∵，， ∴的中点为， ∵，， ∴的中点不在线段上， ∴不是线段关于点A的“倍增点”； 故答案为：，； ②∵，， ∴的中点为， ∵点P是线段关于点A的“倍增点”， ∴在线段上， ∵，， ∴，， 解得：，； 故答案为：2，； （2）解：由P在直线上，设， ∵， ∴的中点为， ∵点P是线段关于点A的“倍增点”， ∴在线段上， ∵点M，N在直线上， ∴在直线上， ∴， 解得， ∴， ∵点M的横坐标为n，点M在直线上， ∴， ∵点N在直线上，， ∴或， 当，时， ∵在线段上， ∴， 解得：； 当，时， ∵在线段上， ∴， 解得：； ∴n的取值范围是或． 2．(24-25八下·北京密云区·期末)在平面直角坐标系中，对于直线和点，给出如下定义：过点作直线的垂线交直线于点，若，则称点为直线的“限距点”．特别地，直线上所有的点都是直线的“限距点”． 已知点，，． (1)当直线的表达式为时． ①在点中，直线的“限距点”是 ； ②若以为边的矩形上所有的点都是直线的“限距点”，求点的纵坐标的取值范围； (2)当直线的表达式为时，若线段上存在直线的“限距点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查一次函数综合题，点为直线的“限距点”的定义等知识，解题的关键是理解题意并正确画出图形，利用特殊位置解决问题． （1）①根据直线的表达式为，得出直线与坐标轴夹角为，从而得出到直线的距离，故是直线的“限距点”；到直线的距离，故不是直线的“限距点”；到直线的距离是，故是直线的“限距点”； ②设点的纵坐标为，分为当点在直线的上方，点到直线的距离时，当点在直线的下方，点到直线的距离时，分别求出，再结合图象即可解答． （2）如图，分为当直线在点的下方，且到点的距离为，过点作轴交直线于点，则，表示出，解三角形列方程得出，求出；当直线在点的上方，且到点的距离为，过点作轴交直线于点，同理求出，结合图象即可解答． 【详解】（1）解：①∵直线的表达式为， ∴直线与坐标轴夹角为， 根据题意到直线的距离是， 故是直线的“限距点”； 到直线的距离是， 故不是直线的“限距点”； 到直线的距离是， 故是直线的“限距点”； 故答案为：； ②设点的纵坐标为， 当点在直线的上方，点到直线的距离时， 解得：； 当点在直线的下方，点到直线的距离时， 解得：； 结合图象可得当时，以为边的矩形上所有的点都是直线的“限距点”， 即． （2）解：如图， 当直线在点的下方，且到点的距离为， 过点作轴交直线于点， 则， ∴， ∴， 解得：； 当直线在点的上方，且到点的距离为， 过点作轴交直线于点， 则， ∴， ∴， 解得：； 综上，根据图象可得，当时，线段上存在直线的“限距点”． 3．(24-25八下·北京怀柔区·期末)在平面直角坐标系中，对于点给出如下定义：若点在直线上，称点是点的“和谐点”． 已知，点． (1)在中，点的“和谐点”有______； (2)点在直线上，若点的“和谐点”也是点的“和谐点”，求点的坐标； (3)已知点和线段，点在以为顶点的四边形上，且线段上总存在线段上每个点的“和谐点”．若的最小值为，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)的坐标为； (3)或． 【分析】（1）根据新定义判断即可； （2）设点的“和谐点”为，则，设，由点也是点的“和谐点”，得出，即可求解； （3）由题意可得点的“和谐点”在直线上，点的“和谐点”在直线和直线之间的区域，再正确画图列等式可解答． 【详解】（1）解：∵点， ∴， 即点的“和谐点”在直线上， ，则， ∴是点的“和谐点”； ，则， ∴不是点的“和谐点”； ，则， ∴是点的“和谐点”； 故答案为：； （2）解：∵在直线上， ∴设点的坐标为． 设点的一个“和谐点”为， ∴满足，即． 由于点也是点的“和谐点”， ∴满足，即． ∴，即． ∴的坐标为． （3）解：∵， ∴点的“和谐点”在直线上， 令，则， 令，则， 即直线与坐标轴的交点为， ∵，且点在以为顶点的四边形上， 如图，假设四边形的四个顶点为， ①当点在线段上时，设点， ∴点的“和谐点”在直线上，， 即点的“和谐点”在直线和直线之间区域， ②当点在线段上时，设点， ∴点的“和谐点”在直线上，， 即点的“和谐点”在直线和直线之间区域， ③当点在线段上时，设点， ∴点的“和谐点”在直线上，， 即点的“和谐点”在直线和直线之间区域， ④当点在线段上时，设点， ∴点的“和谐点”在直线上，， 即点的“和谐点”在直线和直线之间区域， 综上，点的“和谐点”在直线和直线之间的区域， ∵直线和直线与轴的交点分别为， 线段上总存在线段上每个点的“和谐点”，的最小值为， 如图， 根据图象可得当或时，的最小值为和的最小距离， 又 ∵与平行，且与轴的夹角为， ∴和的距离为， 即， 解得：； 当时，的最小值为和的最小距离， 又 ∵与平行，且与轴的夹角为， ∴和的距离为， 即， 解得：； 综上，或． 【点睛】本题是一次函数的综合应用，考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴交点，平行线间的距离，勾股定理的应用，新定义：“和谐点”的理解和运用，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解新定义，将所求问题与一次函数相结合是解题的关键． 4．(24-25八下·北京燕山区·期末)定义：形如的函数称为正比例函数的“分移函数”，其中b叫“分移值”． (1)①函数的“分移函数”为其中“分移值”为3，在图1中画出其图象； ②已知点在的“分移函数”的图象上，则________； (2)已知点，）在函数的“分移函数”的图象上，则m的值是__________； (3)已知矩形顶点坐标为，，，．函数的“分移函数”的“分移值”为3，且其图象与矩形恰好有2个交点，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)①见解析 ②； (2)m的值是 (3) 【分析】（1）①根据“分移函数”定义，分别确定和时函数表达式，通过找特殊点（如与坐标轴交点、对称点等）来绘制图象；②已知点，根据“分移函数”定义，，代入对应分段函数求解． （2）先写出的“分移函数”，再根据、的横、纵坐标正负，代入对应分段函数列方程求解． （3）根据函数的“分移函数”图像与矩形的性质，通过计算函数图像分别过点和过点时的值，即可确定图像与矩形有两个交点时的取值范围． 【详解】（1）解：①当时，函数为，取点、； 当时，函数为，取点、； 描点连线，画出分移函数图象如下． ②点，，代入分移函数， ， 解得． 故答案为． （2）解：的“分移函数”为（为分移值，本题隐含分移值不影响，直接代入点坐标）： ，，代入得； ，，代入得； 两式相加消去：， 化简得，解得． 故答案为． （3）解：∵函数的“分移函数”的“分移值”为， ∴， 当时，函数图像与矩形没有交点， 当时，当函数图像经过点时，如图所示： 此时函数图像与矩形有一个交点， 将点代入， 得， 解得， 当函数图像经过点时，此时函数图像与矩形有三个交点， 将点代入， 得， 解得， ∴当函数图像与矩形有两个交点时，的取值范围是． 【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、一次函数的平移与交点问题，以及矩形的坐标特征．解题关键是理解“分移函数”的定义，结合矩形顶点坐标，通过分析函数在不同区间的表达式与矩形边的交点情况，利用临界值法确定的取值范围． 5．(24-25八下·北京西城区·期末)在平面直角坐标系中，对于对角线交点为原点的正方形和它的边上任意一点，给出如下定义：记点所在边的中点为，线段OM的长度为．将线段沿射线的方向平移个单位长度得到线段，以点为顶角顶点，分别作顶角都为的等腰三角形和等腰三角形，连接．若线段上的点都在该正方形的内部或边上，则称点为该正方形的“美好点”． 已知正方形的顶点坐标分别为，，，． (1)如图1，点在边上， ①在点，中，点 是正方形的“美好点”； ②若点E，F的横坐标满足，当时，点的坐标为 ； (2)若直线上存在正方形的“美好点”，则的取值范围是 ； (3)如图2，与正方形大小相同的正方形的顶点在坐标轴上．若直线上既存在正方形的“美好点”又存在正方形的“美好点”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)或或 (3)或或 【分析】（1）①和所在的线段为，的中点为点，此时与重合，连接，，将，沿着射线方向平移2个单位得到，，然后将，绕点顺时针和逆时针旋转分别得到、、、，连接、，从图象中即可判断出答案；②取的中点为，那么，连接，将沿着射线的方向平移2个单位，得到，将绕点顺时针和逆时针旋转分别得到和，过点作轴于点，过点作于点，可证，那么，，此时点与点重合，点落在线段上，然后利用勾股定理可求得的长度，得到点坐标； （2）当“美好点”在线段时，由（1）②可知，当点坐标为时，点点落在线段上，为保证一定在正方形的内部或边上，那么点不能再继续往右移动，那么将代入，得到，当“美好点”在线段时，为保证一定在正方形的内部或边上，点的横坐标要大于等于小于等于，那么或．同理讨论出那么当“美好点”在线段时，为保证一定在正方形的内部或边上，点的纵坐标要大于等于小于等于，那么．当“美好点”在线段时，；当“美好点”在线段时，那么或，从而得出答案． （3）由（2）可知，正方形的美好点需要在、、、上移动，其中，，和，，，和；同理可求得正方形的美好点需要在、、、上移动，其中 ，，，， ，，， 因为直线上既存在正方形的“美好点”又存在正方形的“美好点”，那么直线可以在直线和之间移动，也可以在和之间移动，也可以与直线、直线重合，从而求得答案． 【详解】（1）解：①由题意可知，和所在的线段为，的中点为点，此时与重合，连接，，将，沿着射线方向平移2个单位得到，，然后将，绕点顺时针和逆时针旋转分别得到、、、，连接、，如图所示： 从上图可知，线段上的点都在该正方形的内部，那么在是正方形的“美好点”； 故答案为：； ②已知正方形的顶点坐标分别为，，，． ， 取的中点为，那么，连接，将沿着射线的方向平移2个单位，得到，将绕点顺时针和逆时针旋转分别得到和，过点作轴于点，过点作于点，如图所示： 在线段上，不妨设， 点纵坐标为2， 不妨设，那么， ， ， ，，， ， ， 点在第一象限， 点在第一象限， ，， ， ，， 点与点重合，点落在线段上，如图所示： 将沿着射线的方向平移2个单位，得到， ， ， ，， ， ， ， （舍去负值）， ； 故答案为：； （2）解：直线上存在正方形的“美好点”， 点为直线与正方形的交点， 当“美好点”在线段时，由（1）②可知，当点坐标为时，点点落在线段上，为保证一定在正方形的内部或边上，那么点不能再继续往右移动，那么将代入，得到， ， ， 如图所示： 同理可求得当落在线段上，可求得，将代入，得到，可求得，为保证一定在正方形的内部或边上，那么点不能再继续往左移动，如图所示： 那么当“美好点”在线段时，为保证一定在正方形的内部或边上，点的横坐标要大于等于小于等于． 根据正方形的对称性，可知，当“美好点”在线段时，为保证一定在正方形的内部或边上，点的横坐标要大于等于小于等于． 当“美好点”在线段或者时，可知点在，连接，将沿着射线的方向平移2个单位，得到，将绕点顺时针和逆时针旋转分别得到和，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示： 当落在线段上，点在第二象限，由（1）②可知，，， ， ， ， ， 不妨设，那么，， ， ， （舍去负值）， ， 为保证一定在正方形的内部或边上，那么点不能再继续往上移动； 同理可求得当落在线段上，，为保证一定在正方形的内部或边上，那么点不能再继续往下移动，如图所示： 那么当“美好点”在线段或时，为保证一定在正方形的内部或边上，点的纵坐标要大于等于小于等于． 综上，可知正方形的美好点需要在、、、上移动，其中，，和，，，和，如图所示： 当正方形的美好点在、上移动时， 当直线过时，将代入，得到，解得，那么， 将代入，得到，可知也过直线； 当直线过时，将代入，得到，解得，那么，将代入，得到，可知也过直线； 综上，当正方形的美好点在、上移动时，或； 当正方形的美好点在、上移动时， 当直线过时，将代入，得到，解得，那么， 将代入，得到，可知也过直线； 当直线过时，将代入，得到，解得，那么，将代入，得到，可知也过直线； 那么当正方形的美好点在、上移动时，； 或或； （3）解：与正方形大小相同的正方形的顶点在坐标轴上，如图所示： 由题意可知，， 已知正方形的顶点坐标分别为，，，， ， ，，，， 由（2）可知，正方形的美好点需要在、、、上移动， 其中，，和，，，和； 同理可求得正方形的美好点需要在、、、上移动，其中 ，，，，， ，，，即如图所示： 设直线为，代入和， 有， 解得， 那么直线为； 同理可求得直线为：； 直线为：； 直线为：， 直线为：， 直线为： 因为直线上既存在正方形的“美好点”又存在正方形的“美好点”，那么直线可以在直线和之间移动，也可以在和之间移动，也可以与直线、直线重合， 当与直线重合时，那么有； 当与直线重合时，那么有； 当与直线重合时，那么有； 当与直线重合时，那么有； 当与直线重合时，那么有； 当与直线重合时，那么有； 那么当直线在直线和之间移动，； 直线在和之间移动，； 综上，或或． 【点睛】本题考查了“美好点”，旋转的性质，一次函数与几何综合，30度所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，熟练掌握以上知识点并能读懂“美好点”的含义是解题的关键． 6．(24-25八下·北京东城区·期末)已知点为图形上一点，点为图形上一点(不重合)，若一点能使得点为线段的中点，则称点为图形关于图形的“二倍点”．若图形上每一点都是图形关于图形的“二倍点”，且图形关于图形的“二倍点”都在图形上，则图形为图形关于图形的“二倍图”．在平面直角坐标系中，点． (1)在点中，点___________是点关于线段的“二倍点”； (2)若图形为线段关于线段的“二倍图”，则图形的面积为___________； (3)点是轴上一动点，正方形的各顶点坐标为，，线段上任一点都为正方形关于正方形的“二倍点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)F (2)12 (3)或 【分析】（1）先求出直线的解析式为，根据题意可知：若点P是点关于线段的“二倍点”， 则的中点在线段上，再分别验证OE，OF、OG的中点是否在线段AB上即可； （2）根据题意推导图形是一个平行四边形，分别求出四个顶点的坐标，再用割补法求面积即可； （3）根据题意可知正方形关于正方形的“二倍图”如途中阴影部分所示，它是由一个与正方形共对角线的交点即点T且边长为6且各边都与坐标轴垂直或平行的正方形去除正方形的内部所得到的．分别求出四个临界情况时t的值，从而得解． 【详解】（1）解：设直线的解析式是：， 将点A，B的坐标代入解析式得： ，解得：， ∴直线的解析式是：， 由题意可知：若点P是点关于线段的“二倍点则的中点在线段上， 对于点，的中点是：点， 当时，， ∴点不在线段上，即点不是点关于线段的“二倍点”； 同理：的中点在线段上，即点是点关于线段的“二倍点”； 的中点不在线段上，即点不是点关于线段的“二倍点”； 故答案为：F； （2）解：由题意可知：如下图所示：点关于线段的“二倍图”，就是以这条线段为中位线的第三边，下图中点O关于线段的“二倍图”即为，此时是三角形的中位线， 由中位线定理可知：，即当长度不变时，的长度不变， ∴线段关于线段的“二倍图”就是线段平移产生的图形，这个图形是线段或者平行四边形， 如下图所示，图形为线段关于线段的“二倍图”是平行四边形， 其中点A关于线段的“二倍图”是，点B关于线段的“二倍图”是， 则C是的中点，设点G为， 又∵ ∴ 解得：，即， 同理可得：，，， ∴阴影部分面积等于长方形面积减去四个直角三角形的面积， 即图形的面积为：， 故答案为：12； （3）或，理由如下： 如下图所示：正方形的边长为2． 正方形关于正方形的“二倍图”如途中阴影部分所示，它是由一个与正方形共对角线的交点即点T且边长为6且各边都与坐标轴垂直或平行的正方形去除正方形的内部所得到的． 所以点T到阴影部分的外边界与x轴的交点的距离是3，到阴影部分的内边界与x轴的交点的距离是1， 要使得线段上任一点都为正方形关于正方形的“二倍点”，只需阴影部分包括线段即可． ①如图，当外边界与x轴的右交点是点A时， ， 所以， ②如图，当点与在线段上时， 将点，代入直线的解析式得：， 解得：， ③如图，当内边界与x轴的左交点是点A时， ， 所以， ④如图，当点B与在阴影部分的左边界线上时， 结合以上四种情况可知：的取值范围是：或． 【点睛】本题考查中位线定理，中点坐标公式，正方形的性质，割补法求面积，待定系数法，平行四边形的判定等知识，审清题意找出“二倍图”是解题的关键． 7．(24-25八下·北京海淀区·期末)在平面直角坐标系中，对于图形M，线段和点C，若在图形M上存在点P，使线段的中点在线段上，则称C为图形M关于线段的“扩充点”． (1)如图1，点，，在点，，中，关于线段的“扩充点”是______； (2)已知点，，，，其中，直线：． ①H是直线l上的一个动点，当，，时，若H为四边形关于线段的“扩充点”，直接写出点H的横坐标的取值范围； ②连接，为线段的中点，当，时，若直线l上存在四边形关于线段的“扩充点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）结合图形，可知，的中点在原点，符合题意；求得点，的中点为，接着求得与的中点并发现这个中点落在线段上，从而得出答案； （2）①当，，时，那么，，，，直线：，可判断四边形是矩形，在矩形上存在点，使线段的中点在线段上，那么可知，可落在线段，，上，然后分别求得当在线段，，上时，的范围即可；②当，时，，，直线：，通过为线段的中点，得到，接着判断四边形是正方形，当时，设点关于点的对称点为， 那么点， 那么当直线l过点时，直线的斜率最大，即取得最大值， 当时，设点关于点的对称点为，那么点，那么当直线l过点时，直线的斜率最小，取得最小值，当时，也符合题意，最后求得答案． 【详解】（1）解：，， 和的中点为，符合题意； 点，， 点，的中点为， 与的中点为，即， 在线段上， 关于线段的“扩充点”是，， 故答案为：，； （2）解：已知点，，，，其中，直线：，其中，，， ，，，，直线：， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 直线：，代入，；代入，， 由题意可知，在矩形上存在点，使线段的中点在线段上，那么可知，可落在线段，，上，如图所示： 不妨设， 当在线段上，当的中点为点时，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示： 在线段上， 纵坐标为2，即， ，，， ， ， 在第三象限， ， ； 当的中点为点时，如图所示： 此时在第二象限，，解得， 那么当在线段上，； 当在线段上，使线段的中点落在线段，如图所示： 那么； 同理可求得落在线段上，， 综上， ； ②当，时，，，直线：， ， ，，为线段的中点， ， ， ，， ， ，，，， ， 四边形是菱形， ， 四边形是正方形， 直线：，时， 直线一定过， 当时，设点关于点的对称点为， 那么点， 如图所示： 若直线l上存在四边形关于线段的“扩充点”，那么当直线l过点时，直线的斜率最大，即取得最大值， 将代入，得，解得，（舍去）； 当时，设点关于点的对称点为，那么点，如图所示： 若直线l上存在四边形关于线段的“扩充点”，那么当直线l过点时，直线的斜率最小，取得最小值， 将代入，得，解得，（舍去）； 当时，，，，，直线为，如图所示： 借助图象，可知在可找到与的中点落在点上，那么满足题意； 综上，． 【点睛】本题考查了一次函数几何综合，一次函数的图象与性质，中点坐标，轴对称的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并理解“扩充点”是解题的关键． 8．(24-25八下·北京大兴区·期末)在平面直角坐标系中，已知点，点． 对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点绕点旋转后的对应点为点，称点为点的“对称点” 已知一次函数． (1)点，点． ①若点，则点的“对称点”点的坐标是___________； ②当时，点为一次函数图象上一点，点为点的对称点，直接用等式表示点的横，纵坐标满足的关系； (2)若点，点为一次函数图象上一动点，且点的纵坐标满足，点，点为点的“对称点”，直接写出点横，纵坐标的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】本题考查了坐标点的平移，旋转，中点坐标的求解，根据题中给出的定义准确得到平移旋转后的点为解题关键 （1）①先根据平移求出的坐标，再根据旋转可知是和的中点，设，根据中点坐标公式求解即可；②当时，一次函数为，设点，利用中点公式求解即可； （2）当时，分情况当时以及时求出x的值，对于，当时以及时，确定出，设，再根据平移，旋转以及中点公式表示出，结合题中给出的范围求解即可． 【详解】（1）解：①点，故向右平移2个单位，向上平移1个单位，点平移后得到，即， 点绕点旋转，即是和的中点， 设， 则，， 解得：， 因此，Q的坐标为； ②当时，一次函数为，设点， 同①，平移后仍为， 点绕N旋转，N是和Q的中点， 设， 则: 消去n化简得：； （2）解：次函数， 当时，且， 由， 当时，， 当时，， ，对于， 当时，， 当时，， ，即点P横坐标范围是； 已知，点P先根据M平移，再根据旋转得到点， 设，平移后， 设， 则，， 则， ，， ，即， ，即； ，， ，即， ，即． 【点睛】本题考查了坐标点的平移，旋转，中点坐标的求解，理解题中给出的定义，能够根据平移以及旋转的方式求出点的坐标为解题关键． 9．(24-25八下·北京朝阳区·期末)在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点分别为，，，线段在矩形的外面．给出如下定义：将线段关于直线对称，得到线段，若线段不在矩形的外面，则称线段为矩形关于直线的对称线段，线段与线段中点间的距离为线段到矩形的对称距离． (1)如图，已知点，，，在线段，中，是矩形关于轴的对称线段的是______，该线段到矩形的对称距离为______； (2)过点作轴的垂线． ①已知点，，若存在，使线段MN是矩形关于直线的对称线段，则的取值范围是______； ②已知点，，若存在，使线段是矩形关于直线的对称线段，则线段到矩形的对称距离的取值范围是______． 【答案】(1)，； (2)①；②． 【分析】（1）分别写出，，，关于轴对称的坐标，即可得出答案，然后再写出相应的中点坐标，求出其距离即可； （2）①过点作轴的垂线，那么该直线为，然后写出点，关于直线的对称点为，，据题意可知，点，，在矩形的外面，，在矩形的内部，那么有，那么有，然后分成和讨论即可得出答案；②点，关于直线的对称点为，，根据题意可知，点，在矩形的外面，，，在矩形的内部，那么有，那么有，然后分成和分别讨论出的范围，进而得到的范围． 【详解】（1）解：由题意可知，，，关于轴对称的坐标分别为，，在矩形的内部，，关于轴对称的坐标分别为，，不在矩形的内部， 那么矩形关于轴的对称线段的是，如图所示： 那么、的中点为，，即、， 那么、之间的距离为，该线段到矩形的对称距离为， 故答案为：，； （2）解：①过点作轴的垂线，那么该直线为， 点，关于直线的对称点为，， 根据题意可知，点，，在矩形的外面， ，在矩形的内部， 那么有，那么有， 那么当时，点为，， ，，为保证，在矩形的内部，如图所示： 那么需要满足，即， 那么当时，点为，， ，，为保证，在矩形的内部，如图所示： 那么需要满足，即， 综上，； 故答案为：； ②过点作轴的垂线，那么该直线为， 点，关于直线的对称点为，， 根据题意可知，点，在矩形的外面，，，在矩形的内部， 那么有，那么有， 那么当时，点为，，，，为保证，在矩形的内部，如图所示： 那么需要满足，即， 此时，点为，的中点为，，的中点为，则线段到矩形的对称距离为，那么； 那么当时，点为，，，，为保证，在矩形的内部，如图所示： 那么需要满足，即， 此时，点为，的中点为，，的中点为，则线段到矩形的对称距离为，那么； 综上，； 则线段到矩形的对称距离的取值范围是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了“对称线段”，“对称距离”，两点距离公式，两点的中点公式，轴对称的性质，理解“对称线段”和“对称距离”，画出图形数形结合是解题的关键． 10．(24-25八下·北京丰台区·期末)在平面直角坐标系中，已知点和过点垂直于轴的直线．对于点和图形，给出如下定义：将点关于直线的对称点向上或向下平移个单位长度，得到点，若点在图形上，则称点是图形关于点的“关联点”． (1)已知点，，和点． ①在点中，正方形关于点的“关联点”是___________； ②若点是正方形关于点的“关联点”，直接写出长的最大值； (2)已知点和点．若存在点是正方形关于点的“关联点”，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①点，；② (2)或 【分析】（1）①将正方形向下平移2个单位长度，得到正方形，再关于直线作轴对称图形，得到正方形，则正方形关于点的“关联点”P在正方形上．根据平移与轴对称的坐标变换，得到正方形各顶点的坐标，即可判断点，，是否符合； ②由①点D在正方形上，因此当点D在点，即点D为时，的长为最大值，根据两点间距离公式即可求解； （2）同（1）思路，将正方形平移个单位长度，得到正方形，若，则向下平移；若，则向上平移．将正方形关于直线作轴对称图形，得到正方形，根据“关联点”的定义得到点P在正方形上．根据平移与轴对称的坐标变换，得到正方形各顶点的坐标．由是以点为直角顶点的等腰直角三角形，可求出点P（图中的点，）的坐标．再分别讨论点，在正方形上时，t的取值范围即可． 【详解】（1）解：如图，将正方形向下平移2个单位长度，得到正方形， ∵，，， ∴，，，， ∵， ∴将正方形关于直线作轴对称图形，得到正方形， ∴，，，， 由题意可知，正方形关于点的“关联点”P在正方形上， ∵点与点重合，点在边上， ∴点，是正方形关于点的“关联点”． 故答案为：点， ②由①可知正方形关于点的“关联点”在正方形上， ∵点是正方形关于点的“关联点”， ∴点D在正方形上， ∴当点D在点，即点D为时，的长为最大值， 最大值为． 故答案为：． （2）解：如图，将正方形平移个单位长度，得到正方形， 若，则向下平移；若，则向上平移， （ ∵， ∴． ∵， ∴将正方形关于直线作轴对称图形，得到正方形， ∴，，，， ∵点是正方形关于点的“关联点”， ∴点P在正方形上． ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴如图，点，为点P的位置． 过点Q作轴于点M，点作轴于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 同理可得． ①∵， 正方形的各顶点为，，， ∴点在直线上， ∴要使点在正方形上，则， 解得． ②若点在正方形上， 当点在边上时，且， 即且，无解，不合题意，舍去． 当点在边上时，且， 即且，无解，不合题意，舍去． 当点在边上时，且， 即且， ∴． 当点在边上时，且， 即且， ∴． ∴点在正方形上，时． 综上所述，t的取值范围为或． 【点睛】本题考查新定义，平移与轴对称的坐标变换，方程与不等式的应用，通过反向变换，求出符合要求的“关联点”的所有位置是解题的关键． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $