山东烟台市莱州市第一中学2025-2026学年高二下学期第四次检测数学试题

**基本信息** 高二数学周测试卷聚焦函数与导数核心内容，通过梯度化问题设计考查逻辑推理与数学应用能力，适配阶段性知识巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|6/30|集合运算、函数极值、单调性|第2题结合导数判断极值点，考查数学思维中的推理能力| |多选|3/18|函数值域、奇偶性、周期性|第8题综合奇函数性质与周期性，体现数学眼光的抽象能力| |填空|3/15|函数最值、单调区间|第12题构造函数利用单调性解不等式，强化数学语言表达| |解答题|3/45|导数应用、切线方程、零点问题|第15题通过构造函数与零点存在性定理求参数范围，突出数学思维的逻辑性|

高二数学第四次检测 一、单项选择题：本大题共6小题，共30分。 1.已知集合 ，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知函数在处取得极大值，则m的值为     A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 2或 3.若函数在R上单调递减，则a的取值范围是     A. B. C. D. 4.已知定义在R上的函数满足，当时，，且，则不等式的解集为      A. B. C. D. 5.已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 6.已知，若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为     A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 7.下列函数中，值域正确的是  A. 当时，函数的值域为 B. 函数的值域为 C. 函数的单调递减区间为 D. 函数的图象关于点对称 8.设是定义在R上的奇函数，且对R都有，当时，，则下列说法正确的是(    ) A. 的最大值是1，最小值是0 B. 当时， C. 函数的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递增 9.已知函数，则(    ) A. 当时，函数在R上单调递增 B. 当时，函数有两个极值 C. 过点且与曲线相切的直线有且仅有一条 D. 当时，直线与曲线有三个交点，，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 10.函数的最小值为_________. 11.若函数在上单调递增，则实数a取值范围为______. 12.已知定义在R上的函数满足对于任意两个不相等的实数，，都有，则不等式的解集为          . 四、解答题：本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题15分 已知函数， 求的单调区间； 若，且的极小值小于，求a的取值范围． 14.本小题15分 已知函数上点处的切线方程为 求的解析式； 若函数在上有两个零点，求m的取值范围． 15.本小题15分 设，若时，，求整数k的最大值. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：由题，又，  故，  故选： 根据交集定义直接计算即可． 本题主要考查了集合交集运算，属于基础题． 2.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究函数的极值，属于基础题. 首先对原函数求导得，根据在处取得极大值，可得，据此求出m可能的取值，再根据极值与导数的关系，对上步求得的m值进行取舍，即可完成解答. 【解答】 解：， 由题意得， 或，  经检验知，当时，在处取得极大值，当时，在处取得极小值， ， 故选 3.【答案】B  【解析】解：由在R上单调递减，得解得， 所以a的取值范围是 故选： 4.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查利用抽象函数的对称性、单调性解不等式，属于基础题. 利用抽象函数的对称性、单调性求解即可. 【解答】 解：因为，所以， 即函数的对称轴为 因为当时，， 所以当时，，则 在单调递减， 又函数的对称轴为， 所以在单调递增， 因为，所以， 不等式即， 所以或， 即不等式的解集为 故选： 5.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查了利用导数求解不等式，解题的关键是由不等式的特点构造函数． 构造函数 ，结合已知及导数与单调性关系可求的单调性，进而可求不等式的解集． 【解答】 解：令， ， 则， 故在R上单调递增， 由可得， ， ， 故 故选： 6.【答案】A  【解析】解：依题意，，即，则， 令，可知在上单调递增，则，则，故 设，则，故当时，单调递减，当时，单调递增，当时，取得最小值，故 故选： 7.【答案】BD  【解析】对于A，配方法， 由再结合函数的图象如图①所示，可得函数的值域为 对于B，分离常数法，显然， 故函数的值域为 对于C，换元法设，则，且，， 由，再结合函数的图象如图②所示，可得函数的值域为 8.【答案】BCD  【解析】因为是奇函数，所以，又对都有，所以的图象关于直线对称，故C正确; 因为，即，所以，所以是周期为4的周期函数，又当时，单调递增，所以在上单调递增，则在上单调递增，由的图象关于直线对称，得在上单调递减，所以在上的最大值是，最小值是，故A错误; 当时，，则，故B正确; 由在上单调递增，且周期为4，则在区间上单调递增，故D正确. 9.【答案】ACD  【解析】解：A选项，  时，  ，  恒成立，故函数  在 R 上单调递增，A正确； B选项，  ，当  时，  恒成立， 此时  在R上单调递增，无极值，B错误； C选项，显然  不在  上，设切点为  ， 因为  ，所以  ， 故切线方程为  ， 又切线过点  ，故  ， 整理得  ， 设  ，则  令  得  或  ， 令  得  或  ，令  得  ， 故  在  上单调递增，在  上单调递减， 其中  ，  ， 又  ，故  只有1个根， 故过点  且与曲线  相切的直线有且仅有一条，C正确； D选项，当  时，  ， 若  ，直线  ， 此时与曲线  只有1个交点，不合要求，故  ，  ，直线  与曲线  联立得  ， 设  ， 故  ， 所以  ，则  ，D正确. 故选： 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查导数的应用，考查利用导数求函数的最值，属基础题. 求导，根据单调性即可求最小值. 【解答】 解： 当时，，则在上单调递增; 当时，，则在上单调递减. 因此的最小值为， 故答案为 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了导数与函数单调性的关系，函数恒成立问题，属于中档题． 由函数在上单调递增可知在上恒成立，结合恒成立与最值的相互转化可求． 【解答】 解：函数在上单调递增， 在上恒成立， 在上恒成立， 令，， 根据二次函数的性质可知，当时，单调递减， ， 故答案为： 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数单调性，考查逻辑推理能力，属于基础题． 构造函数，在R上的增函数，则可得，由此得解． 【解答】 解：不妨令，则由， 得 令函数，则可知在上单调递增. 由， 得， 即 则， 解得 故答案为 13.【答案】解：， ①当时，在上单调递减，在上单调递增； ②当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； ③当时，在上单调递增； ④当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 已知，由知， 令，， 则， 所以在上单调递减且， 所以， 所以a的取值范围为  【解析】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题． 求导得，分四种情况：①当时，②当时，③当时，④当时，讨论的单调性，即可得出答案． 已知，由知，令，，求导分析的单调性，且，即可得出答案． 14.【答案】解：由题意可知， 因为函数图象上点处的切线方程为， 所以，，解得，， 所以； 由，可得， 令，其中，则， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以函数的极小值为，，， 由题意可知，直线与函数在上的图象有且只有两个交点，如下图所示：    由图可知，实数m的取值范围是   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 15.【答案】解： ，当时，， 所以不等式可变形如下：， 即，令， 则，令， 则，在上单调递增， 且，， 所以存在唯一的零点， 由， 易得在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即，又， 所以整数k的最大值为  【解析】略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $