第2课时　三角函数的单调性及应用课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦三角函数单调性及值域核心考点，依据高考评价体系梳理求单调区间、比较大小、参数求解、最值求法等考查维度，通过2024天津高考7题等真题分析明确高频题型分布，构建完整解题思路体系。 课件亮点在于“规律方法+真题演练+一题多解”策略，如用辅助角公式化f(x)=cosx-sinx为√2cos(x+π/4)求单调区间，培养数学思维与推理能力，设置ω正负对单调性影响等易错点警示，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升备考效率。

第2课时　三角函数的单调性及应用 目录/ CONTENTS 提能点一 三角函数的单调性 01 提能点二 三角函数的值域（最值） 02 课时跟踪训练 03 01 PART 提能点一 三角函数的单调性 目 录 角度1　求三角函数的单调区间 （1）函数y＝｜tan x｜在（－ ， ）上的单调递减区间为 ⁠ ⁠； 解析： 如图，观察图象可知，y＝｜tan x｜在（－ ， ）上的单调递减区间为（－ ，0］和（ ， π］. （－ ，0］和（ ，π］　 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）函数f（x）＝ sin （ －2x）的单调递减区间为 　 ，在[0，π]上的单调递减区间为 ⁠. ，k∈Z　 和 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：f（x）＝ sin （ －2x）的单调递减区间是g（x）＝ sin （ 2x－ ）的单调递增区间.由2kπ－ ≤2x－ ≤2kπ＋ ，k∈Z，得kπ－ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z. 故所求函数的单调递减区间为 ，k∈Z. 令A＝［kπ－ ，kπ＋ ］，k∈Z，B＝[0，π]，∴A∩B ＝［0， ］∪［ ，π］，∴f（x）在[0，π]上的单调递减区间为 ［0， ］和［ ，π］. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 已知三角函数解析式求单调区间解题策略 （1）求形如y＝A sin （ωx＋φ）或y＝A cos （ωx＋φ）（其中ω＞0）的 单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω＜ 0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错； （2）若讨论在给定区间上的单调性，可采用以下方法 方法一：先求出函数全部的单调区间，再给k取特定的整数值，得到在给 定区间上的单调性； 方法二：从给定区间出发，得出ωx＋φ的范围，对照y＝ sin x或y＝ cos x 的单调区间，得到在给定区间上的单调性； （3）求形如y＝A｜ sin （ωx＋φ）｜的单调区间时，常采用数形结合的 方法. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 角度2　利用单调性比较大小 〔多选〕（2026·河北石家庄调研）下列不等式成立的是（　　） A. sin （－ ）＜ sin （－ ） B. cos 400°＞ cos （－50°） C. sin ＜ sin D. sin 3＜ sin 2 √ √ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 　因为－ ＜－ ＜－ ＜0，且函数y＝ sin x在（－ ，0）上 单调递增，所以 sin （－ ）＜ sin （－ ），故A错误；因为 cos 400°＝ cos 40°， cos （－50°）＝ cos 50°，且当0°≤x≤90°时，函数y＝ cos x单调递减，所以 cos 40°＞ cos 50°，即 cos 400°＞ cos （－ 50°），故B正确；因为 ＜ ＜ ＜ ，且函数y＝ sin x在区间（ ， ）上单调递减，所以 sin ＞ sin ，故C错误；因为 ＜2＜3＜ ，且 函数y＝ sin x在区间（ ， ）上单调递减，所以 sin 3＜ sin 2，故D正确. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 　　比较三角函数值的大小，首先看是否可以直接利用三角函数在某个单 调区间上的单调性比较大小，若不能，则利用周期性进行转化求解. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 角度3　由单调性求参数 （1）（2026·湖南长沙模拟）若f（x）＝ cos x－ sin x在[－a，a]上 单调递减，则a的最大值为 ⁠； 解析： f（x）＝ cos x－ sin x＝ cos （x＋ ），由题意得a＞0，因为f （x）＝ cos （x＋ ）在[－a，a]上单调递减，所以 解得0＜a≤ ，所以a的最大值是 . ​ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）（2026·黑龙江齐齐哈尔模拟）已知函数f（x）＝ sin （ ωx－ ） （ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，若f（x）在（－m， m）上单调递增，则正数m的取值范围是 ⁠. （ 0， ］ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：因为函数f（x）＝ sin （ ωx－ ）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴 之间的距离为 ，所以 × ＝ ，解得ω＝2，即f（x）＝ sin （ 2x－ ），因为f（x）在（－m，m）上单调递增，且m＞0，所以函数f （x）＝ sin （ 2x－ ）的单调递增区间包含0，令－ ≤2x－ ≤ ，得 － ≤x≤ ，所以（－m，m）⊆［－ ， ］，所以 故m的取值范围为（ 0， ］. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 由单调区间求参数范围的方法 （1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是该区间的子 集，列不等式（组）求解； （2）求补集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、 余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式（组）求解； （3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过 个周期列不等式（组）求解. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练1 （1）已知函数f（x）＝2 cos （ x＋ ），设a＝f（ ），b＝f （ ），c＝f（ ），则a，b，c的大小关系是（　A　） A. a＞b＞c B. a＞c＞b C. c＞a＞b D. b＞a＞c 解析： a＝f（ ）＝2 cos ，b＝f（ ）＝2 cos ，c＝f（ ）＝ 2 cos ，因为y＝ cos x在[0，π]上单调递减， ＜ ＜ ，所以a＞b ＞c. A 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）若f（x）＝－ cos （ －2x＋ ），x∈［－ ， ］，则f（x）的单 调递增区间为（　C　） A. ［－ ，－ ］ B. ［－ ， ］ C. ［－ ，－ ］，［ ， ］ D. ［－ ， ］ C 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： f（x）＝－ cos （ －2x＋ ）＝－ cos （ 2x－ ），欲求函 数f（x）的单调递增区间，只需求y＝ cos （ 2x－ ）的单调递减区间. 由2kπ≤2x－ ≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ＋ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z. 故函 数f（x）的单调递增区间为 （k∈Z）.因为x∈ ，所以函数f（x）的单调递增区间是［－ ，－ ］， . 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （3）〔一题多解〕若f（x）＝2 sin ωx（ω＞0）在区间 上单调 递增，则ω的取值范围是 ⁠. 解析： 法一　由－ ＋2kπ≤ωx≤ ＋2kπ（k∈Z），得－ ＋ ≤x≤ ＋ （k∈Z），故f（x）的单调递增区间是［－ ＋ ， ＋ ］（k∈Z）.由题意，得［－ ， ］⊆［－ ＋ ， ＋ ］ （k∈Z，ω＞0），从而有 即0＜ω≤ . （ 0， ］　 高中总复习·数学（创新版） 目 录 法二　画出函数f（x）＝2 sin ωx（ω＞0）的图象如图所 示. 要使f（x）在 上单调递增，需 （ω＞0），即0＜ ω≤ . 高中总复习·数学（创新版） 目 录 02 PART 提能点二 三角函数的值域（最值） 目 录 （1）（2024·天津高考7题）已知函数f（x）＝ sin 3（ωx＋ ）的最 小正周期为π，则f（x）在［－ ， ］的最小值为（　A　） A. － B. － C. 0 D. A 解析： 由f（x）的最小正周期为π，可得π＝ ，所以ω＝ ，所以f （x）＝ sin （2x＋π）＝－ sin 2x.当x∈［－ ， ］时，2x∈［－ ， ］， sin 2x∈［－ ， ］，－ sin 2x∈［－ ， ］，所以f（x）min＝ － ，故选A. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）函数y＝ sin x－ cos x＋ sin x cos x的值域为（　C　） A. ［ － ，1］ B. ［1， ＋ ］ C. ［－ － ，1］ D. ［－ ＋ ，1］ C 解析：设t＝ sin x－ cos x，则t2＝ sin 2x＋ cos 2x－2 sin x cos x， sin x cos x ＝ ，且－ ≤t≤ .∴y＝－ ＋t＋ ＝－ （t－1）2＋1， t∈[－ ， ].当t＝1时，ymax＝1；当t＝－ 时，ymin＝－ － . ∴函数的值域为［－ － ，1］. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 求三角函数值域（最值）的常见类型 （1）形如y＝a sin x＋b cos x＋c的三角函数化为y＝A sin （ωx＋φ）＋c 的形式，再求值域（最值）； （2）形如y＝a sin 2x＋b sin x＋c的三角函数，可先设 sin x＝t，化为关 于t的二次函数求值域（最值）； （3）形如y＝a sin x cos x＋b（ sin x± cos x）＋c的三角函数，可先设t＝ sin x± cos x，化为关于t的二次函数求值域（最值）. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练2 （1）函数y＝tan（ －x）（ x∈［－ ， ］且x≠0）的值域为 （　B　） A. [－1，1] B. （－∞，－1]∪[1，＋∞） C. （－∞，1] D. [－1，＋∞） B 解析： 因为－ ≤x≤ 且x≠0，所以 ≤ －x≤ 且 －x≠ ， 所以函数y＝tan（ －x）的值域为（－∞，－1]∪[1，＋∞）. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：因为f（x）＝4 sin x－2（1－2 sin 2x）＋m＝4 sin 2x＋4 sin x＋m－ 2＝（2 sin x＋1）2＋m－3，当 sin x＝1时，函数取到最大值，即（2＋1）2 ＋m－3＝3，解得m＝－3. （2）若函数f（x）＝4 sin x－2 cos 2x＋m在R上的最大值是3，则实数m 等于（　C　） A. －6 B. －5 C. －3 D. －2 C 高中总复习·数学（创新版） 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：89分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1. 函数y＝2 sin （ x－ ）（x∈[－π，0]）的单调递增区间为（　　） A. ［－π，－ ］ B. ［－π，－ ］ C. ［－ ，0］ D. ［－ ，0］ √ 解析：令－ ＋2kπ≤x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z，则－ ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z. 由于x∈[－π，0]，所以所求的单调递增区间为［－ ，0］. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 2. 函数y＝ cos （ x＋ ），x∈［0， ］的值域是（　　） A. ［－ ， ］ B. ［ ， ］ C. ［－ ， ］ D. ［－ ，1］ √ 解析： 　由x∈［0， ］得x＋ ∈［ ， ］，所以y＝ cos （ x＋ ） ∈［－ ， ］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 3. 〔一题多解〕若函数f（x）＝ sin ωx（ω＞0）在区间［0， ］上单调 递增，在区间［ ， ］上单调递减，则ω＝（　　） A. B. √ 解析： 　法一　由解析式看出，图象过原点，所以 ＝ ，T＝ ， ＝ ，解得ω＝ . 法二　由题意知，函数在x＝ 处取得最大值1，所以1＝ sin ，易知 ＝ ，ω＝ . C. 2 D. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 4. 已知函数f（x）＝2 sin （ x＋ ），设a＝f（ ），b＝f（ ），c ＝f（ ），则a，b，c的大小关系是（　　） A. a＜b＜c B. a＜c＜b C. c＜a＜b D. c＜b＜a √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 　函数f（x）＝2 sin （ x＋ ＋2π）＝2 sin （ x＋ ），a＝f （ ）＝2 sin ，b＝f（ ）＝2 sin ，c＝f（ ）＝2 sin ＝2 sin ， 因为y＝ sin x在 上单调递增，且 ＜ ＜ ，所以 sin ＜ sin ＜ sin ，即c＜a＜b.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 5. 〔一题多解〕函数y＝ 的最大值与最小值分别为（　　） A. 6　 B. 3　 √ 解析： 　法一　原函数可化为 sin x＝ ，而－1≤ sin x≤1，所以－ 1≤ ≤1，所以 ≤y≤6，因此原函数的最大值是6，最小值是 . 法二　y＝ ＝ －1.当 sin x＝1时，ymax＝ －1＝6；当 sin x＝－1时，ymin＝ －1＝ .因此原函数的最大值是6，最小值是 . C. 6　 D. 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 6. 〔多选〕下列函数中，在区间（ ， ）上单调递减的函数是（　　） A. y＝ sin （x＋ ） B. y＝ sin x－ cos x C. y＝－tan x D. y＝ cos （x－ ） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： A选项，对于y＝ sin （x＋ ），由 ＜x＜ ，得 ＜x＋ ＜ ，所以y＝ sin （x＋ ）在区间（ ， ）上单调递减，A项正确；B 选项，对于y＝ sin x－ cos x＝2 sin （x－ ），由 ＜x＜ ，得 ＜x － ＜ ，所以y＝ sin x－ cos x在区间（ ， ）上单调递增，B项不符 合题意；C选项，由y＝tan x在区间（ ， ）上单调递增，所以y＝－tan x在区间（ ， ）上单调递减，C项正确；D选项，对于y＝ cos （x－ ），由 ＜x＜ ，得－ ＜x－ ＜ ，所以y＝ cos （x－ ）在区间 （ ， ）上不单调，D项不符合题意，故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 7. 比较大小： sin sin . 解析：因为y＝ sin x在 上单调递增且0＞－ ＞－ ＞－ ，故 sin ＞ sin . ＞ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 8. 若函数f（x）＝3 sin （2x－ ）的定义域是[0，m]，值域为［－ ， 3］，则m的最大值是 ⁠. 解析：∵x∈[0，m]，∴2x－ ∈［－ ，2m－ ］.∵f（x）的值域为 ［－ ，3］，∴ ≤2m－ ≤ ，解得 ≤m≤ ，∴m的最大值为 . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 9. （2026·山东烟台模拟）已知函数f（x）＝ sin （ωx－ ）（ω＞0）在 （－ ， ）上单调递增，且其图象关于点（ ，0）对称，则f（ ） ＝ ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：由函数f（x）＝ sin （ωx－ ）（ω＞0）在（－ ， ）上单调递 增，得 ≥2［ －（－ ）］＝π，解得0＜ω≤2，由f（x）的图象关于 点（ ，0）对称，得 ω－ ＝kπ，k∈N，解得ω＝3k＋ ，k∈N，于是 k＝0，ω＝ ，f（x）＝ sin （ x－ ），所以f（ ）＝ sin （ × － ）＝ sin ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 10. （13分）（2026·江西南昌调研）已知函数f（x）＝4 sin ωx· sin （ ωx＋ ）－1（ω＞0）的最小正周期为π. （1）求ω及f（x）的单调递增区间； 解： f（x）＝4 sin ωx（ sin ωx＋ cos ωx）－1＝2 sin 2ωx＋2 sin ωx cos ωx－1 ＝1－ cos 2ωx＋ sin 2ωx－1 ＝ sin 2ωx－ cos 2ωx＝2 sin （ 2ωx－ ）. ∵函数f（x）的最小正周期为π，∴ ＝π， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 ∴ω＝1，∴f（x）＝2 sin （ 2x－ ）， 令－ ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z， 解得－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z， ∴f（x）的单调递增区间为［－ ＋kπ， ＋kπ］（k∈Z）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）求f（x）图象的对称轴. 解： 令2x－ ＝kπ＋ ，k∈Z，解得x＝ ＋ ，k∈Z， ∴f（x）图象的对称轴为x＝ ＋ ，k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 11. 已知函数f（x）＝ cos x，若A，B是锐角三角形的两个内角，则一定 有（　　） A. f（ sin A）＞f（ sin B） B. f（ cos A）＞f（ cos B） C. f（ sin A）＞f（ cos B） D. f（ cos A）＞f（ sin B） √ 解析： 　∵A，B是锐角三角形的两个内角，∴A＋B＞ ，∴0＜ －B ＜A＜ ，∵y＝ sin x在 上单调递增，∴0＜ sin ＝ cos B＜ sin A＜1，又函数f（x）＝ cos x在[0，1]上单调递减，∴f（ cos B）＞f （ sin A），同理f（ cos A）＞f（ sin B），∴C错，D对；∵A，B的大小 关系不确定，∴A、B项不确定.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 12. 若f（x）＝ cos x－ sin x在[－m，m]上单调递减，则m的最大值为 （　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 　f（x）＝ cos x－ sin x＝ cos （x＋ ），令2kπ≤x＋ ≤π ＋2kπ（k∈Z），解得－ ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ（k∈Z），f（x）的单 调递减区间为［－ ＋2kπ， ＋2kπ］，k∈Z. ∵0∈[－m，m]， ∴0∈［－ ， ］，∴[－m，m]⊆［－ ， ］，∴m的最大值为 .故 选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 13. 〔创新交汇〕若函数f（x）＝2 sin （n＞0）图象上的相邻一个 最高点和一个最低点恰好都在圆O：x2＋y2＝n2上，则f（3）＝ ⁠. 解析：设f（x）图象上相邻的最高点和最低点的坐标分别为（x1，y1）， （x2，y2），则y1＝2 ，y2＝－2 ，又函数f（x）＝2 sin （n＞ 0）为奇函数，∴x1＝－x2，当 ＝ ⇒x＝ 时，函数取得最大值2 ， ∴x1＝ ，x2＝－ ，由题意知，函数f（x）＝2 sin （n＞0）图象上 的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆O：x2＋y2＝n2上，∴（ ）2 ＋（2 ）2＝n2⇒n＝4，则f（3）＝2 sin ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 14. （15分）已知函数f（x）＝x2＋2xtan θ－1，其中θ≠ ＋kπ，k∈Z. （1）当θ＝－ ，x∈[－1， ]时，求函数f（x）的最大值与最小值； 解： 当θ＝－ 时，f（x）＝x2－ x－1＝（x－ ）2－ . ∵x∈[－1， ]，且f（x）的图象开口向上， ∴当x＝ 时，f（x）min＝－ ； 当x＝－1时，f（x）max＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）求使y＝f（x）在区间[－1， ]上是单调函数的θ的取值范围. 解： 函数f（x）的图象的对称轴为直线x＝－tan θ. ∵f（x）在区间[－1， ]上是单调函数， ∴－tan θ≥ 或－tan θ≤－1， 即tan θ≤－ 或tan θ≥1， ∴－ ＋kπ＜θ≤－ ＋kπ或 ＋kπ≤θ＜ ＋kπ，k∈Z，故θ的取值范围 是（－ ＋kπ，－ ＋kπ］∪［ ＋kπ， ＋kπ），k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $