10.1.3 古典概型（第1课时　古典概型的判断及其概率的求解）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦古典概型的判断及其概率求解，涵盖随机事件概率含义、古典概型两大特征（有限性、等可能性）及概率公式，通过“过关自诊”判断正误题和线段构成三角形等实例，衔接随机事件概率与古典概型定义，搭建知识学习支架。 其亮点在于模块清晰，设“基础落实”“重难探究”等环节，结合汽车站乘车策略、放回与不放回抽样等实例，以数学眼光抽象问题特征，用数学思维推理概型判断，借数学语言表达概率公式，助力学生夯实基础提升解题能力，为教师提供系统教学资源与清晰思路。

第十章　概率 10.1.3　古典概型 第1课时 古典概型的判断及其概率的求解 【课标要求】 1.了解随机事件概率的含义及表示. 2.理解古典概型的特点和概率公式. 基础落实•必备知识全过关 知识点一　随机事件的概率 对随机事件　　　　　　　　　　的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用　　　　表示.  发生可能性大小 P(A) 过关自诊 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)概率就是用一个数值来衡量随机事件发生可能性的大小.(　　) (2)抛掷一枚硬币,正面向上的概率为0.5.(　　) √ √ 知识点二　古典概型 1.有限性:样本空间的样本点只有有限个;   2.等可能性:每个样本点发生的可能性相等. 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型. 缺一不可 名师点睛 1.由古典概型的定义可得古典概型满足基本事件的有限性和等可能性这两个重要特征,所以求事件的概率就可以不用通过大量的重复试验,而只要对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可. 2.在古典概型中,每个基本事件发生的可能性都相等,称这些基本事件为等可能基本事件. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等.(　　) (2)古典概型中样本点只有有限个.(　　) (3)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的.(　　) √ √ √ 2.若一次试验的结果所包含的样本点的个数是有限个,则该试验是古典概型吗? 提示 不一定是,还要看每个样本点发生的可能性是否相等,若相等才是,否则不是. 知识点三　古典概型的概率公式 一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)==　　　　.　 　　　   其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 注意与后面将要学习的概  率与频率的关系式进行区分 　 名师点睛 求解古典概型问题的一般思路 (1)明确试验的条件及要观察的结果,用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果); (2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性; (3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数,求出事件A的概率. 过关自诊 1.在长分别为1 cm、2 cm、3 cm、4 cm的四条线段中,任取三条,这三条线段能构成三角形的概率为(　　) A. B. C. D.0 C 解析 从四条线段中任意取三条,共有:(1 cm,2 cm,3 cm),(1 cm,2 cm,4 cm),(1 cm,3 cm,4 cm),(2 cm,3 cm,4 cm),四种情况,其中三条线段能构成三角形只有(2 cm,3 cm,4 cm)一种情况,故能构成三角形的概率为. 2.某汽车站每天均有3辆开往省城的分上、中、下等级的客车.某天王先生准备在该汽车站乘车去省城办事,但他不知道客车的车况,也不知道发车顺序.为了尽可能乘上上等车,他采取如下策略:先不上第一辆,如果第二辆比第一辆好则上第二辆,否则上第三辆,那么你能得出王先生能乘上上等车的概率吗? 提示 共有6种发车顺序:①上、中、下;②上、下、中;③中、上、下;④中、下、上;⑤下、中、上;⑥下、上、中(其中画线的表示王先生所乘的车),所以他乘上上等车的概率为. 重难探究•能力素养全提升 探究点一　古典概型的判断 【例1】 (多选题)下列试验不是古典概型的是(　　 ) A.任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为样本点时 B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为样本点时 C.从甲地到乙地共n条路线,求某人正好选中最短路线的概率 D.抛掷一枚质地均匀的硬币首次出现正面为止 ABD 解析 A项中由于点数的和出现的可能性不相等,故A不是; B项中的样本点是无限的,故B不是; C项满足古典概型的有限性和等可能性,故C是; D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性,故D不是.故选ABD. 规律方法　1.一个试验是否为古典概型,在于是否具有两个特征:有限性和等可能性. 2.并不是所有的试验都是古典概型,下列三类试验都不是古典概型:(1)样本点个数有限,但非等可能.(2)样本点个数无限,但等可能.(3)样本点个数无限,也不等可能. 变式训练1下列问题中是古典概型的是(　　) A.种下一粒杨树种子,求其能长成大树的概率 B.掷一颗质地不均匀的骰子,求出现1点的概率 C.在区间[1,4]上任取一数,求这个数大于1.5的概率 D.同时掷两颗骰子,求向上的点数之和是5的概率 D 解析 A,B两项中的样本点的发生不是等可能的;C项中样本点的个数是无数个;D项中样本点的发生是等可能的,且是有限个. 探究点二　古典概型的概率计算 角度1.简单的古典概型问题 【例2】 从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字,求下列事件的概率: (1)事件A={三个数字中不含1和5}; (2)事件B={三个数字中含1或5}. 解 这个试验的样本空间Ω={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)},所以样本点总数n=10. (1)因为事件A={(2,3,4)}, 所以事件A包含的样本点数m=1. 所以P(A)=. (2)因为事件B={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)}, 所以事件B包含的样本点数m=9. 所以P(B)=. 规律方法　1.古典概型的概率求解步骤 (1)求出所有样本点的个数n. (2)求出事件A包含的所有样本点的个数m. (3)代入公式P(A)=求解. 2.样本点个数的确定方法 (1)列举法:此法适合于样本点个数较少的古典概型. (2)列表法:此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成坐标法. (3)树形图法:树形图是进行列举的一种常用方法,适用于有顺序的问题及较复杂问题中样本点数的探求. 变式训练2我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”,如20=7+13.在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数,其和小于15的概率是(　　) A. B. C. D. A 解析 不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,共8个,从中任取2个不同的数,所有的样本点有(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(2,17),(2,19),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(3,17),(3,19),(5,7),(5,11),(5,13),(5,17),(5,19),(7,11),(7,13),(7,17),(7,19),(11,13),(11,17),(11,19),(13,17),(13,19),(17,19),共28个,其中两个素数的和小于15的样本点有(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(3,5),(3,7),(3,11),(5,7),共8个,所以所求概率为.故选A. 角度2.古典概型中的“放回”与“不放回”问题 【例3】 从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的3件产品中每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次. (1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率; (2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少? 解 (1)每次取一件,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)},其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品.Ω由6个样本点组成,这些样本点的出现是等可能的.用A表示“取出的两件中,恰好有一件次品”这一事件,则A={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}. 事件A由4个样本点组成,所以P(A)=. (2)有放回地连续取出两件,其一切可能的结果组成的样本空间Ω={(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b1)},共9个样本点. 用B表示“恰有一件次品”这一事件,则B={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}. 事件B由4个样本点组成,所以P(B)=. 规律方法　1.关于不放回抽样,计算样本点个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺序的,其最后结果是一致的.但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会产生错误. 2.关于有放回抽样,应注意在连续取出两次的过程中,因为先后顺序不同,所以(a1,b1),(b1,a1)不是同一个样本点,解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”,每一个元素被取出的机会都是均等的. 变式训练3从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　) A. B. C. D. 解析 根据题意,不妨用(x,y)表示两次抽取得到的样本点,其中x代表第一次抽取的数字,y代表第二次抽取的数字. 故所有抽取的可能有如下25种: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5). 满足抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的有如下10种: (2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),根据古典概型的概率计算公式可得,该事件的概率P=.故选D. D 本节要点归纳 1.知识清单: (1)古典概型. (2)古典概型的概率公式. 2.方法归纳:列举法、树状图法. 3.常见误区: 列举样本点时,要按照一定的顺序,力求不重不漏. $