期末复习：卫星发射及变轨问题、双星问题、多星问题 专项训练-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

**基本信息** 聚焦卫星发射及变轨、双星、多星三大天体模型，以核心知识点为基，系统提炼解题思路，构建从稳态到变轨、两体到多体的递进逻辑体系，培养科学思维与模型建构能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |卫星发射及变轨问题|4题（含河南、江苏期中题）|圆轨道公式直接用，变轨切点加速度等、速度看离心近心，多次加速升轨|从圆周稳态（万有引力提供向心力）到变轨（离心/近心运动），结合开普勒定律拓展| |双星问题|6题（含河北、广西期中题）|抓等角速度，万有引力等大反向，半径质量成反比，联立间距关系|两体相互作用模型，对比单体绕转与双星系统差异，深化运动和相互作用观念| |多星问题|4题（含山东、吉林期中题）|矢量合成万有引力，合力提供向心力，结合几何关系求轨道半径|多体作用模型，从正三角形到直线构型，强化科学推理与空间几何应用|

期末复习：卫星发射及变轨问题、双星问题、多星问题专项训练 期末复习：卫星发射及变轨问题、双星问题、多星问题专项训练 考点目录 卫星发射及变轨问题 双星问题 多星问题 考点一 卫星发射及变轨问题 核心知识点 1. 圆周轨道稳态：万有引力提供向心力 · 轨道半径越大：越小，周期越大。 1. 变轨规律 · 加速（向后喷气）：万有引力不足所需向心力，做离心运动，抬升轨道； · 减速（向前喷气）：万有引力大于所需向心力，做近心运动，降低轨道； · 同一点：变轨后大圆速度＞原圆轨道速度＞内切椭圆近地点速度。 1. 第一宇宙速度：近地环绕最大线速度、最小发射速度 。 解题思路 1. 圆轨道直接套用万有引力向心力公式； 1. 变轨问题：点火变速改变轨道，切点处万有引力不变、加速度相等，速度看离心/近心判断大小； 1. 高轨发射需要多次加速变轨。 例1．（24-25高一下·河南·期中）2024年10月30日，“神舟十九号”3名航天员顺利进驻中国空间站，2025年1月21日，“神舟十九号”航天员乘组圆满完成第二次出舱活动。某同学设想的对接过程如图所示，载人飞船在圆轨道Ⅰ的A处点火加速，沿椭圆转移轨道Ⅱ运动到远地点B，再次点火加速，进入圆轨道Ⅲ，并恰好与圆轨道Ⅲ上的空间站对接。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，圆轨道Ⅰ离地高度为h，圆轨道Ⅲ的半径为r，忽略地球自转的影响。求： (1)载人飞船在圆轨道Ⅰ上的运行周期T1； (2)载人飞船在转移轨道Ⅱ上的运行周期T2； (3)地球的平均密度ρ。 例2．（24-25高一下·江苏南通·阶段检测）如图所示，圆形轨道Ⅰ和椭圆转移轨道Ⅱ、Ⅱ和圆形轨道Ⅲ分别相切于A、B两点，且轨道均处在同一水平面内，地球位于椭圆轨道的一个焦点O上。载人飞船在轨道Ⅰ上运行，并伺机瞬间加速至轨道Ⅱ上，与轨道Ⅲ上绕行方向相同的天和核心舱在B点相遇和对接。已知轨道Ⅰ、Ⅲ的半径之比，核心舱的周期为 (1)求飞船在轨道Ⅱ上A、B点的速度大小之比 (2)若飞船从轨道Ⅱ上的A点飞行半个椭圆轨道至B点时与核心舱相遇，求上述过程中核心舱绕地球转过的角度 变式1．（24-25高三上·江苏扬州·期中）嫦娥六号进入环月轨道，如图所示，在椭圆轨道1上经过近月点P的速度为，在P点启动点火装置，完成变轨后进入圆形轨道2，再次经过P点时速度为。已知万有引力常量为G，圆形轨道到月球表面距离为h，月球半径为R。求： (1)月球的质量M； (2)嫦娥六号在轨道1上经过P点时的加速度大小a。 变式2．（24-25高一下·广东佛山·期中）某次卫星发射任务中，卫星的变轨过程如图所示。先将卫星发射到半径为的近地圆轨道（停泊轨道），在轨道I的P点通过点火加速使卫星进入椭圆转移轨道II，卫星运行到轨道Ⅱ的远地点Q时再次点火加速，最终进入半径为的同步轨道III。 已知绕同一中心天体的所有卫星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值相等，卫星在轨道I、III的运行速率分别为和，两位同学对此展开讨论： 甲同学认为：“卫星在变轨过程中经历了两次点火加速，动能增加，因此。” 乙同学认为：“根据万有引力提供向心力可得，轨道半径越大，运行速率v越小，所以。” (1)请判断哪位同学的说法正确（不需要说明理由）； (2)请分析另一位同学说法错误的原因； (3)已知卫星在同步轨道III的运行周期为，请计算卫星在轨道II由P第一次运行到Q所需的时间t。（为已知） 考点二 双星问题 核心知识点 1. 两星体彼此万有引力互为向心力，角速度、周期相等； 2. 间距；； 3. 半径、质量成反比：。 解题思路 1. 抓住相同，万有引力等大反向； 2. 结合轨道半径之和等于星体间距列式求解质量、周期。 例1．（25-26高一下·河北保定·期中）科学家在研究地月系统时，忽略其他星球的影响后，通常有两种处理方式：第一种是对系统做近似处理，认为月球绕地心做圆周运动，第二种是不对系统做近似处理，把系统看成一个双星系统，它们绕二者连线上的某个定点以相同的周期运动。已知地球的质量为M，月球的质量为m，二者之间的距离为L，引力常量为G。求： (1)近似处理时，月球绕地球运动的线速度大小； (2)不做近似处理时，地球做圆周运动的角速度大小。 例2．（25-26高一下·广西南宁·期中）利用不同的模型可以探索地月系统的奥秘。已知引力常量为G，地球半径为R，地球质量是月球质量的k倍，地球和月球两球心的距离为d，忽略其他星球的影响。回答下列问题： (1)在地球表面以初速度v0竖直上抛一个物体，物体上升的最大高度为，不计空气阻力，忽略地球自转，求地球的质量M及月球绕地球做匀速圆周运动的角速度ω0； (2)实际上地球和月球构成双星系统，共同绕地月球心连线上的O点做匀速圆周运动，求该匀速圆周运动的角速度ω； (3)在地月系统中存在五个拉格朗日点，在拉格朗日点的航天器与地球、月球始终保持相对静止，即航天器在地球和月球引力的作用下以角速度ω绕O点做匀速圆周运动。其中L4点与地球、月球构成等边三角形，如图甲所示。L2点在地月延长线上，如图乙所示。航天器的质量远小于地球、月球的质量。[可能用到的数学工具：余弦定理；当时，可作近似处理] ①求在L4点的航天器做匀速圆周运动的半径r； ②设L2点与月球球心的距离为x，我们无法求出x的解析解，但如果作近似处理，认为，则可以计算出，求系数k0的值。 例3．（25-26高一下·辽宁大连·期中）“食双星”是指两颗恒星在相互引力作用下绕连线上某点做匀速圆周运动。由于距离遥远，观测者不能把两颗星区分开，但由于两颗恒星的彼此掩食，会造成其亮度发生周期性变化，观测者可以通过观察双星的亮度研究双星。如图，时刻，由于较亮的恒星遮挡较暗的恒星，造成亮度L减弱，时刻则是较暗的恒星遮挡较亮的恒星，从时刻起经过的时间，再次观察到较亮的恒星遮挡较暗的恒星。若较亮的恒星与较暗的恒星的质量分别为、。已知万有引力常量为G，求： (1)“食双星”的运动周期T； (2)两颗恒星间的距离X。 变式1．（25-26高一下·山东菏泽·期中）在探究地月天体运动规律的过程中，科研人员常构建两类简化物理模型开展分析：模型一假定地球处于静止状态，月球围绕地球做匀速圆周运动；模型二将地球与月球视作双星系统，两星体绕其连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。已知月球质量为，地球半径为，地球与月球两球心间的距离为，引力常量为，忽略地球自转的影响。 (1)在地球表面将一钩码从空中适当高度（远小于地球半径）由静止释放，测得钩码下落高度为、下落时间为，求地球的质量； (2)依据模型一，若测得月球绕地球运动的周期为，求地球的质量； (3)依据模型二，若测得双星系统的运动周期为，求地球的质量。 变式2．（25-26高一下·湖北武汉·期中）模型建构是物理学研究中常用的思想方法，它可以帮助人们抓住主要矛盾、忽略次要因素，更好的揭示和理解物理现象背后的规律。在研究地球-月球系统时，有两种常见的模型，第一种是认为地球静止不动，月球绕地球做匀速圆周运动；第二种是把地球-月球系统看成一个双星系统，它们围绕二者连线上的某个定点以相同的周期运动。若已知地球的质量为，地球的半径为，地球表面的重力加速度为，月球的质量为，地球和月球的球心相距，引力常量未知。忽略太阳及其它星球对于地球、月球的作用力，请分析求解： (1)根据第一个模型，推导月球的向心加速度。 (2)根据第二个模型，求月球做圆周运动的周期。 变式3．（25-26高一下·广东中山·阶段检测）牛顿运用其运动定律并结合开普勒定律，通过建构物理模型研究天体的运动，建立了伟大的万有引力定律。请你选用恰当的规律和方法解决下列问题：在研究地球－月球系统时，有两种常见的模型，第一种是认为地球静止不动，月球绕地球做匀速圆周运动（如图甲）；第二种是把地球－月球系统看成一个双星系统（如图乙），它们围绕二者连线上的某个定点以相同的周期运动。若已知地球的质量为M，月球的质量为m，二者相距L，引力常量为G。忽略太阳及其它星球对于地球、月球的作用力，请分析求解： (1)根据第一个模型，求月球绕地球转动的周期 (2)根据第二个模型，求月球做圆周运动的周期 考点三 多星问题 核心知识点 1. 常见构型：正三角形排布、直线共线排布； 2. 中心星体不动，环绕星体受多个天体万有引力的合力充当向心力； 3. 所有环绕天体角速度、周期相同。 解题思路 1. 对任意一颗环绕天体，矢量合成全部万有引力； 2. 合力提供向心力，结合几何关系找轨道半径列方程。 例1．（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）如图所示，三颗质量均为的星球位于边长为的等边三角形的三个顶点上。如果它们中的每一颗都在相互的引力作用下沿外接于等边三角形的圆轨道运行而保持等边三角形不变，已知引力常量为，求： (1)其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力大小 (2)它们运行的速度大小 例2．（25-26高一下·吉林长春·期中）假设银河系边缘有一组罕见的三星系统，三颗质量相同的致密星体在太空中构成完美的等边三角形，边长恒为L，并绕着系统的几何中心O匀速转动，如图所示。经光谱分析，这三颗星体均为半径为的中子星，引力常量为G， ，忽略星体自转及相对论效应，半径为R的球的体积。 (1)若每颗中子星的质量均为M，求中子星2、3对中子星1的万有引力的合力大小F； (2)若每颗中子星转动的周期都为T，求中子星1的线速度大小； (3)若每颗中子星转动的周期都为T，求中子星1的平均密度。 变式1．（24-25高二下·江苏南通·阶段检测）宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，求： (1)每颗星的加速度大小； (2)每颗星做圆周运动的周期； (3)若等边三角形的边长与每颗星的质量都变成两倍，则每颗星的线速度大小与之前线速度的比。 变式2．（24-25高一下·江苏盐城·阶段检测）双星由两颗绕着共同的点旋转的恒星组成。对于其中一颗来说，另一颗就是其“伴星”。如果甲、乙两颗星体质量分别为m1、m2，它们之间的距离为L，甲、乙离其他天体十分遥远（不受其他天体的作用），它们绕连线上一点O以相同的角速度做匀速圆周运动，如图所示。已知引力常量为G。求∶ (1)甲、乙做圆周运动的轨道半径r1和r2 (2)双星做圆周运动的周期T0 (3)实际观测该系统的周期T要小于按照力学理论计算出的周期理论值T0，且（k＜1），于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星球C的影响，并认为C位于双星A、B的连线正中间，星球A、B围绕C做匀速圆周运动，试求星球C的质量。 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：卫星发射及变轨问题、双星问题、多星问题专项训练 期末复习：卫星发射及变轨问题、双星问题、多星问题专项训练 考点目录 卫星发射及变轨问题 双星问题 多星问题 考点一 卫星发射及变轨问题 核心知识点 1. 圆周轨道稳态：万有引力提供向心力 · 轨道半径越大：越小，周期越大。 1. 变轨规律 · 加速（向后喷气）：万有引力不足所需向心力，做离心运动，抬升轨道； · 减速（向前喷气）：万有引力大于所需向心力，做近心运动，降低轨道； · 同一点：变轨后大圆速度＞原圆轨道速度＞内切椭圆近地点速度。 1. 第一宇宙速度：近地环绕最大线速度、最小发射速度 。 解题思路 1. 圆轨道直接套用万有引力向心力公式； 1. 变轨问题：点火变速改变轨道，切点处万有引力不变、加速度相等，速度看离心/近心判断大小； 1. 高轨发射需要多次加速变轨。 例1．（24-25高一下·河南·期中）2024年10月30日，“神舟十九号”3名航天员顺利进驻中国空间站，2025年1月21日，“神舟十九号”航天员乘组圆满完成第二次出舱活动。某同学设想的对接过程如图所示，载人飞船在圆轨道Ⅰ的A处点火加速，沿椭圆转移轨道Ⅱ运动到远地点B，再次点火加速，进入圆轨道Ⅲ，并恰好与圆轨道Ⅲ上的空间站对接。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，圆轨道Ⅰ离地高度为h，圆轨道Ⅲ的半径为r，忽略地球自转的影响。求： (1)载人飞船在圆轨道Ⅰ上的运行周期T1； (2)载人飞船在转移轨道Ⅱ上的运行周期T2； (3)地球的平均密度ρ。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由 在地球表面有 解得 （2）根据开普勒第三定律有 解得 （3）在地球表面有 可得 由密度公式得 解得 例2．（24-25高一下·江苏南通·阶段检测）如图所示，圆形轨道Ⅰ和椭圆转移轨道Ⅱ、Ⅱ和圆形轨道Ⅲ分别相切于A、B两点，且轨道均处在同一水平面内，地球位于椭圆轨道的一个焦点O上。载人飞船在轨道Ⅰ上运行，并伺机瞬间加速至轨道Ⅱ上，与轨道Ⅲ上绕行方向相同的天和核心舱在B点相遇和对接。已知轨道Ⅰ、Ⅲ的半径之比，核心舱的周期为 (1)求飞船在轨道Ⅱ上A、B点的速度大小之比 (2)若飞船从轨道Ⅱ上的A点飞行半个椭圆轨道至B点时与核心舱相遇，求上述过程中核心舱绕地球转过的角度 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由开普勒第二定律有 解得 （2）设椭圆轨道周期为，由开普勒第三定律有 解得 角度 解得 变式1．（24-25高三上·江苏扬州·期中）嫦娥六号进入环月轨道，如图所示，在椭圆轨道1上经过近月点P的速度为，在P点启动点火装置，完成变轨后进入圆形轨道2，再次经过P点时速度为。已知万有引力常量为G，圆形轨道到月球表面距离为h，月球半径为R。求： (1)月球的质量M； (2)嫦娥六号在轨道1上经过P点时的加速度大小a。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在圆轨道上运行时 解得 （2）在P点 解得 变式2．（24-25高一下·广东佛山·期中）某次卫星发射任务中，卫星的变轨过程如图所示。先将卫星发射到半径为的近地圆轨道（停泊轨道），在轨道I的P点通过点火加速使卫星进入椭圆转移轨道II，卫星运行到轨道Ⅱ的远地点Q时再次点火加速，最终进入半径为的同步轨道III。 已知绕同一中心天体的所有卫星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值相等，卫星在轨道I、III的运行速率分别为和，两位同学对此展开讨论： 甲同学认为：“卫星在变轨过程中经历了两次点火加速，动能增加，因此。” 乙同学认为：“根据万有引力提供向心力可得，轨道半径越大，运行速率v越小，所以。” (1)请判断哪位同学的说法正确（不需要说明理由）； (2)请分析另一位同学说法错误的原因； (3)已知卫星在同步轨道III的运行周期为，请计算卫星在轨道II由P第一次运行到Q所需的时间t。（为已知） 【答案】(1)乙同学说的对 (2)见详解 (3) 【详解】（1）乙同学说的对 （2）卫星在变轨过程中经历了两次点火加速，只是点火时动能增加；而卫星从低轨道进入高轨道，万有引做负功，势能增加，速度减小，故甲同学的说法不正确。 （3）由图可知，卫星在轨道II运行的半长轴为 设卫星在轨道II运行的周期为，根据题意可得 联立解得 则有 考点二 双星问题 核心知识点 1. 两星体彼此万有引力互为向心力，角速度、周期相等； 2. 间距；； 3. 半径、质量成反比：。 解题思路 1. 抓住相同，万有引力等大反向； 2. 结合轨道半径之和等于星体间距列式求解质量、周期。 例1．（25-26高一下·河北保定·期中）科学家在研究地月系统时，忽略其他星球的影响后，通常有两种处理方式：第一种是对系统做近似处理，认为月球绕地心做圆周运动，第二种是不对系统做近似处理，把系统看成一个双星系统，它们绕二者连线上的某个定点以相同的周期运动。已知地球的质量为M，月球的质量为m，二者之间的距离为L，引力常量为G。求： (1)近似处理时，月球绕地球运动的线速度大小； (2)不做近似处理时，地球做圆周运动的角速度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据万有引力提供向心力 解得 （2）对于双星系统，由彼此之间的万有引力提供向心力 对地球 对月球 又 联立解得 例2．（25-26高一下·广西南宁·期中）利用不同的模型可以探索地月系统的奥秘。已知引力常量为G，地球半径为R，地球质量是月球质量的k倍，地球和月球两球心的距离为d，忽略其他星球的影响。回答下列问题： (1)在地球表面以初速度v0竖直上抛一个物体，物体上升的最大高度为，不计空气阻力，忽略地球自转，求地球的质量M及月球绕地球做匀速圆周运动的角速度ω0； (2)实际上地球和月球构成双星系统，共同绕地月球心连线上的O点做匀速圆周运动，求该匀速圆周运动的角速度ω； (3)在地月系统中存在五个拉格朗日点，在拉格朗日点的航天器与地球、月球始终保持相对静止，即航天器在地球和月球引力的作用下以角速度ω绕O点做匀速圆周运动。其中L4点与地球、月球构成等边三角形，如图甲所示。L2点在地月延长线上，如图乙所示。航天器的质量远小于地球、月球的质量。[可能用到的数学工具：余弦定理；当时，可作近似处理] ①求在L4点的航天器做匀速圆周运动的半径r； ②设L2点与月球球心的距离为x，我们无法求出x的解析解，但如果作近似处理，认为，则可以计算出，求系数k0的值。 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【详解】（1）根据竖直上抛运动规律可得 根据万有引力与重力的关系 联立解得 对月球，根据万有引力提供向心力 解得 （2）根据万有引力提供向心力， 根据几何关系可得 联立解得 （3）①由以上分析可得 根据余弦定理可得 解得 ②由以上分析可得 根据牛顿第二定律可得 联立可得 等式两边同时乘以d2得 由于，则 所以 又 联立解得 例3．（25-26高一下·辽宁大连·期中）“食双星”是指两颗恒星在相互引力作用下绕连线上某点做匀速圆周运动。由于距离遥远，观测者不能把两颗星区分开，但由于两颗恒星的彼此掩食，会造成其亮度发生周期性变化，观测者可以通过观察双星的亮度研究双星。如图，时刻，由于较亮的恒星遮挡较暗的恒星，造成亮度L减弱，时刻则是较暗的恒星遮挡较亮的恒星，从时刻起经过的时间，再次观察到较亮的恒星遮挡较暗的恒星。若较亮的恒星与较暗的恒星的质量分别为、。已知万有引力常量为G，求： (1)“食双星”的运动周期T； (2)两颗恒星间的距离X。 【答案】(1) (2) 【详解】从亮度变化图像可以看出，时刻较亮的恒星遮挡住较暗的恒星，时刻较暗的恒星遮挡住较亮的恒星。即时间里，双星系统恰好绕转了半圈，所以“食双星”的运动周期为 对较亮的恒星，根据万有引力提供向心力，可得 对较暗的恒星，根据万有引力提供向心力，可得 由题意知两颗恒星间的距离 联立可得 变式1．（25-26高一下·山东菏泽·期中）在探究地月天体运动规律的过程中，科研人员常构建两类简化物理模型开展分析：模型一假定地球处于静止状态，月球围绕地球做匀速圆周运动；模型二将地球与月球视作双星系统，两星体绕其连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。已知月球质量为，地球半径为，地球与月球两球心间的距离为，引力常量为，忽略地球自转的影响。 (1)在地球表面将一钩码从空中适当高度（远小于地球半径）由静止释放，测得钩码下落高度为、下落时间为，求地球的质量； (2)依据模型一，若测得月球绕地球运动的周期为，求地球的质量； (3)依据模型二，若测得双星系统的运动周期为，求地球的质量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）钩码做自由落体运动 在地球表面的钩码     解得 （2）依据模型一月球绕地球做匀速圆周运动     解得 （3）依据模型二，设地球绕定点的轨道半径为，月球的轨道半径为，则 万有引力提供各自向心力，且向心力大小相等、周期均为，对地球有 对月球有 解得 变式2．（25-26高一下·湖北武汉·期中）模型建构是物理学研究中常用的思想方法，它可以帮助人们抓住主要矛盾、忽略次要因素，更好的揭示和理解物理现象背后的规律。在研究地球-月球系统时，有两种常见的模型，第一种是认为地球静止不动，月球绕地球做匀速圆周运动；第二种是把地球-月球系统看成一个双星系统，它们围绕二者连线上的某个定点以相同的周期运动。若已知地球的质量为，地球的半径为，地球表面的重力加速度为，月球的质量为，地球和月球的球心相距，引力常量未知。忽略太阳及其它星球对于地球、月球的作用力，请分析求解： (1)根据第一个模型，推导月球的向心加速度。 (2)根据第二个模型，求月球做圆周运动的周期。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在第一个模型中，假设地球是静止的，月球绕地球做匀速圆周运动。根据牛顿第二定律，得= 对于地球赤道上质量为的物体有= 解得 （2）根据第二个模型，地月系统看成双星系统。设地球、月球做圆周运动的半径分别为 、，周期均为 。对月球，由万有引力提供向心力 对地球，同理有 根据双星系统的几何关系 在地球表面有 可得 解得 变式3．（25-26高一下·广东中山·阶段检测）牛顿运用其运动定律并结合开普勒定律，通过建构物理模型研究天体的运动，建立了伟大的万有引力定律。请你选用恰当的规律和方法解决下列问题：在研究地球－月球系统时，有两种常见的模型，第一种是认为地球静止不动，月球绕地球做匀速圆周运动（如图甲）；第二种是把地球－月球系统看成一个双星系统（如图乙），它们围绕二者连线上的某个定点以相同的周期运动。若已知地球的质量为M，月球的质量为m，二者相距L，引力常量为G。忽略太阳及其它星球对于地球、月球的作用力，请分析求解： (1)根据第一个模型，求月球绕地球转动的周期 (2)根据第二个模型，求月球做圆周运动的周期 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据第一个模型，由 可得 （2）根据第二个模型，则 其中 解得 考点三 多星问题 核心知识点 1. 常见构型：正三角形排布、直线共线排布； 2. 中心星体不动，环绕星体受多个天体万有引力的合力充当向心力； 3. 所有环绕天体角速度、周期相同。 解题思路 1. 对任意一颗环绕天体，矢量合成全部万有引力； 2. 合力提供向心力，结合几何关系找轨道半径列方程。 例1．（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）如图所示，三颗质量均为的星球位于边长为的等边三角形的三个顶点上。如果它们中的每一颗都在相互的引力作用下沿外接于等边三角形的圆轨道运行而保持等边三角形不变，已知引力常量为，求： (1)其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力大小 (2)它们运行的速度大小 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据万有引力定律，任意两颗星球之间的万有引力，方向沿着它们的连线 则一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力大小 （2）设它们运行的轨道半径为r，根据几何关系有 解得 根据万有引力提供向心力有 解得 例2．（25-26高一下·吉林长春·期中）假设银河系边缘有一组罕见的三星系统，三颗质量相同的致密星体在太空中构成完美的等边三角形，边长恒为L，并绕着系统的几何中心O匀速转动，如图所示。经光谱分析，这三颗星体均为半径为的中子星，引力常量为G， ，忽略星体自转及相对论效应，半径为R的球的体积。 (1)若每颗中子星的质量均为M，求中子星2、3对中子星1的万有引力的合力大小F； (2)若每颗中子星转动的周期都为T，求中子星1的线速度大小； (3)若每颗中子星转动的周期都为T，求中子星1的平均密度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）中子星2、3对中子星1的万有引力如图 根据万有引力定律，结合几何关系，即可得到中子星2、3对中子星1的万有引力为 解得 （2）根据圆周运动特点，可得 由几何关系可得 解得线速度大小 （3）根据万有引力提供向心力，可得 中子星体积 中子星1的平均密度为 解得 变式1．（24-25高二下·江苏南通·阶段检测）宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，求： (1)每颗星的加速度大小； (2)每颗星做圆周运动的周期； (3)若等边三角形的边长与每颗星的质量都变成两倍，则每颗星的线速度大小与之前线速度的比。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）以其中一颗星为研究对象，另外两颗星对它的万有引力的合力提供向心力，即 解得 （2）设三颗星到O点的距离均为r，则根据几何关系有 得 又 解得 （3）因，， 得 由此可知，若等边三角形的边长与每颗星的质量都变成两倍，则每颗星的线速度大小不变，即每颗星的线速度大小与之前线速度的比。 变式2．（24-25高一下·江苏盐城·阶段检测）双星由两颗绕着共同的点旋转的恒星组成。对于其中一颗来说，另一颗就是其“伴星”。如果甲、乙两颗星体质量分别为m1、m2，它们之间的距离为L，甲、乙离其他天体十分遥远（不受其他天体的作用），它们绕连线上一点O以相同的角速度做匀速圆周运动，如图所示。已知引力常量为G。求∶ (1)甲、乙做圆周运动的轨道半径r1和r2 (2)双星做圆周运动的周期T0 (3)实际观测该系统的周期T要小于按照力学理论计算出的周期理论值T0，且（k＜1），于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星球C的影响，并认为C位于双星A、B的连线正中间，星球A、B围绕C做匀速圆周运动，试求星球C的质量。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）甲、乙两颗恒星靠相互的万有引力提供向心力，对两个天体，分别根据向心力公式得 以r1+r2=L 由以上三式解得， （2）由上述表达式可得 则 （3）由于星体C的存在，星球A、B的向心力由两个力的合力提供，则对星球A有 又由 可得星球C的质量为 2 学科网（北京）股份有限公司 $