精品解析：四川绵阳市南山中学2026届高三下学期模拟预测热手考试数学试题

绵阳南山中学高2023级高考热手考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则A的子集个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 2. 在复平面内，复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 的展开式中，第5项为常数项，则该展开式的所有二项式系数的和为（ ） A. 1 B. 32 C. 64 D. 128 5. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且函数是偶函数，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 6. 过抛物线的焦点作斜率为正的直线交抛物线于，两点，且，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知球的半径为，圆锥内接于球，则圆锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两班决定举行篮球比赛，比赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到一个班比另一个班多2分或打满6局时结束．设甲班在每局中获胜的概率为，乙班在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．比赛结束时甲班所得分数为，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分． 9. 有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表： 优秀 非优秀 甲班 10 乙班 30 附：， 0.05 0.025 0.010 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. 甲班人数多于乙班人数 B. 甲班的优秀率低于乙班的优秀率 C. 表中的值为15，的值为50 D. 根据小概率值的独立性检验，能认为“成绩与班级有关系” 10. 在锐角中，角，，的对边分别为，，．已知，，成等差数列，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 周长取值范围为 D. 若是外接圆的圆心，则和面积之差的取值范围为 11. 在三棱锥中，底面，，用一平面截该三棱锥分别与棱，，，相交于点，，，，如图所示，记向量为平面的一个法向量，下列条件中，使的是（ ） A. 若 B. 若 C. 若 D. 若 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知均为正数，且，则的最小值为______. 13. 已知向量，满足，，且，则________． 14. 已知双曲线的左、右焦点为，，为双曲线上一点，的内心为，直线，的斜率分别为，，且，则该双曲线的渐近线夹角的正切值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，． （1）证明：数列是等比数列，并求出通项公式； （2）设函数的导函数为，数列满足，求数列的前项和． 16. 如图，在三棱柱中，平面，，，，是棱的中点，是棱上靠近的三等分点，在棱上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，没售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品，现以（单位：吨，）表示下一个销售季度的市场需求量，（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润． （Ⅰ）视分布在各区间内的频率为相应的概率，求； （Ⅱ）将表示为的函数，求出该函数表达式； （Ⅲ）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如，则取的概率等于市场需求量落入的频率），求的分布列及数学期望． 18. 已知直角坐标系中满足，，，动点A的轨迹为曲线T． （1）求曲线T的方程； （2）若半径为的圆的圆心M在曲线T上运动，过原点O作圆M的两条切线，分别与曲线T交于E，F，射线，的斜率存在，并记为，． ①求证：为定值； ②求的最大值． 19. 已知， （1）求函数的极值； （2）正项数列满足，， ①若不等式对任意的正整数n成立，求实数m的取值范围； ②若，求实数λ的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳南山中学高2023级高考热手考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则A的子集个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合子集的性质可得 【详解】因为集合共含有个元素， 因此A的子集个数为 2. 在复平面内，复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】，得， 所以在复平面内对应的点为，位于第四象限. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别解出、，结合充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】由，得， 由，得， 又， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 的展开式中，第5项为常数项，则该展开式的所有二项式系数的和为（ ） A. 1 B. 32 C. 64 D. 128 【答案】C 【解析】 【分析】先写出二项展开式的通项公式，根据第项是常数项，建立关于的方程求解，利用二项式系数和的性质，计算结果. 【详解】二项式的展开式的第项，​ 因为第项为常数项， 所以，解得， 所以二项展开式的所有二项式系数和为. 5. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且函数是偶函数，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象平移变换得到，结合是偶函数求解即可. 【详解】由题意知，. 因为是偶函数，所以，， 解得，， 又，所以的最小值是. 6. 过抛物线的焦点作斜率为正的直线交抛物线于，两点，且，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过抛物线定义和题目条件可知为中点，结合勾股定理进而计算可得结论. 【详解】过分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，过作的垂线，垂足为，则四边形为矩形，如下图所示 ， 由抛物线定义可知，， 设，则， 所以，, 在直角三角形中，，， 则， 所以直线的斜率为， 因为直线的斜率为正数，所以不考虑负数的情况，即直线的斜率为. 7. 已知球的半径为，圆锥内接于球，则圆锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过几何关系建立圆锥体积关于高的函数表达式，再利用导数求解函数最大值，需明确变量的实际取值范围. 【详解】设圆锥的高为，底面半径为，已知球的半径. ∵ 圆锥内接于球，球心到圆锥底面的距离为， ∴ 由勾股定理可得 ，整理得 ，其中的取值范围为. 根据圆锥体积公式 ，将代入得：. 对关于求导，得 . 令，解得 或 （不符合实际意义，舍去）. ∵ 当 时，，单调递增；当 时，，单调递减， ∴ 当时，取得最大值，代入得： . 故正确选项为B. 【点睛】方法归纳：求解几何体内接几何体的最值问题，通常先结合几何关系建立目标函数，再利用导数或基本不等式求解最值，需注意变量的实际取值范围，避免无意义解. 8. 甲、乙两班决定举行篮球比赛，比赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到一个班比另一个班多2分或打满6局时结束．设甲班在每局中获胜的概率为，乙班在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．比赛结束时甲班所得分数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析事件对应的比赛进程，根据各局胜负独立的条件，用独立事件乘法公式计算对应概率，再用互斥事件加法公式将所得概率相加. 【详解】表示比赛结束时甲班得分，分两种情况讨论： 情况1：甲得分，且甲获胜，即前两局甲胜， 对应事件的概率，​ 情况2：甲得分，且乙获胜，即比赛打满6局结束，最终甲班得2分， 要打到第6局才结束，必须满足：前2局比分（不满足结束条件），第3、4局比分也为（仍不满足结束条件），前4局结束总比分为，且第5、6局甲全负（最终甲总分为2分）， 前局的概率为， 第3、4局的概率为 第5、6局甲全负的概率为  因此这种情况的概率， 所以. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分． 9. 有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表： 优秀 非优秀 甲班 10 乙班 30 附：， 0.05 0.025 0.010 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. 甲班人数多于乙班人数 B. 甲班的优秀率低于乙班的优秀率 C. 表中的值为15，的值为50 D. 根据小概率值的独立性检验，能认为“成绩与班级有关系” 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定信息求出判断ABC，求出的观测值即可判断D. 【详解】对于C，依题意，，，解得，，C错误； 对于A，甲班人数为，乙班人数为，A正确； 对于B，甲班优秀率为，乙班优秀率为，B正确； 对于D，， 根据小概率值的独立性检验，能认为“成绩与班级有关系”，D正确. 10. 在锐角中，角，，的对边分别为，，．已知，，成等差数列，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 周长取值范围为 D. 若是外接圆的圆心，则和面积之差的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】AB利用正弦定理边角互化即可；C利用正弦定理将周长用来表示，求关于的函数的取值范围；D利用正弦定理将面积差用来表示，求关于的函数的取值范围. 【详解】由题意得，， 则由正弦定理得， 因为，所以，则，则，故A正确； 因为，所以， 则， 因为，所以，故B正确； 由，即，得， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，得， 则， 因为，所以， 则，故， 故周长取值范围为，故C错误； 设的外接圆半径为，，则，则， 故和面积之差为 ， 因为，所以，则， 故当时，；当时，当时， 故和面积之差的取值范围为，故D正确. 11. 在三棱锥中，底面，，用一平面截该三棱锥分别与棱，，，相交于点，，，，如图所示，记向量为平面的一个法向量，下列条件中，使的是（ ） A. 若 B. 若 C. 若 D. 若 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用平面法向量的意义，结合线面垂直的判定性质逐项分析判断即可. 【详解】依题意，向量是平面的法向量， 对于A，由，得平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又平面， 因此平面，又平面，则，A正确； 对于B，由，得平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又平面， 因此平面，又平面，则，假设， 而平面，则，而不在平面内，则平面， 平面平面，平面，则必有，当时，由， 得，由选项A知，此时不一定平行，因此不一定平行，B错误； 对于C，由，得平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又平面， 因此平面，又平面，则，C正确； 对于D，由，得平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又平面， 因此平面，又平面，则，而平面， 于是平面，又平面，则，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知均为正数，且，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用“1的代换”构造乘积形式，化简后运用均值不等式求最小值. 【详解】由均为正数，且， 则， 当且仅当，解得时等号成立. 13. 已知向量，满足，，且，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量垂直可得向量的数量积为零，结合向量的模联立计算即可. 【详解】因为，， 所以，即， 因为，所以， 联立，解得. 14. 已知双曲线的左、右焦点为，，为双曲线上一点，的内心为，直线，的斜率分别为，，且，则该双曲线的渐近线夹角的正切值为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用三角形内心的性质，得到内心到轴的距离等于内切圆半径，然后利用双曲线的定义结合切线长定理可得的横坐标为定值，写出焦点、的坐标，根据斜率公式表示出和，结合建立方程，推导的关系，得出双曲线渐近线斜率为​，最后利用两直线夹角的正切公式计算渐近线夹角的正切值. 【详解】设双曲线焦点，内切圆与分别相切于点， 不妨设在双曲线右支，根据双曲线定义， 由三角形内切圆切线长性质可得： ，又因为， 解得，故​的内心的横坐标为，即， ​斜率​​，斜率​​，代入，约去得： ， 通分化简分子得，即， 由，代入得： ​​ ， 双曲线渐近线斜率为， 由两直线夹角正切公式： . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，． （1）证明：数列是等比数列，并求出通项公式； （2）设函数的导函数为，数列满足，求数列的前项和． 【答案】（1），，， 相减得，即，又， 所以数列是以4为公比的等比数列， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）利用和的关系结合等比数列的定义即可证明； （2）先求出的导数，再利用错位相减求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ， ， ， 相减得 ， 整理得． 16. 如图，在三棱柱中，平面，，，，是棱的中点，是棱上靠近的三等分点，在棱上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）等腰直角三角形中，是斜边的中点，． 平面，平面，， 平面，平面， 平面，， 平面，平面， 平面，，则，则， ，，，， ，可得， 在上取点，使，连接， 则，， 则，则， 又平面，平面，所以平面， 在上取点，使，取线段的中点，连， 则，则， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以，则， 又平面，平面，所以平面， 平面，平面平面， 平面，平面； （2） 【解析】 【分析】（1）在上取点，使，在上取点，使，先证明，再求证，，利用面面平行的判定定理求证平面平面即可；或以为原点建系，设，根据得出即可利用法向量求证. （2）以为原点建系，或取中点，以为原点建系，计算法向量夹角来求出. 【小问1详解】 法二：由题可知，，，两两垂直，则以为原点，所在直线为轴建系，设， 则，，，，， 则，， 由得，所以，所以 所以， 设平面的法向量． 则，即，令，则， 所以， 因为平面，所以平面． 【小问2详解】 同（1）中建系，易得，， ，， 设平面的法向量，平面的法向量， 则，， 得，， 令，则，， ， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 法二：取的中点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为， 由，得，令，得， 取平面的法向量， ， 所以平面与平面的所成锐二面角的余弦值为． 17. 随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，没售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品，现以（单位：吨，）表示下一个销售季度的市场需求量，（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润． （Ⅰ）视分布在各区间内的频率为相应的概率，求； （Ⅱ）将表示为的函数，求出该函数表达式； （Ⅲ）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如，则取的概率等于市场需求量落入的频率），求的分布列及数学期望． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 【解析】 【详解】分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图和互斥事件的概率公式求解．（Ⅱ）结合题意用分段函数的形式表示与的关系．（Ⅲ）先确定的所有可能取值为45,53,61,65，然后分别求出相应的概率，进而可得分布列，最后求出期望． 详解：（Ⅰ）根据频率分布直方图及互斥事件的概率公式可得： ． （Ⅱ）当时，， 当时，． 所以 （Ⅲ）由题意及（Ⅱ）可得： 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，． 所以的分布列为： 45 53 61 65 0.1 0.2 0.3 0.4 ∴万元． 点睛：（1）求随机变量及其分布列的一般步骤 ①明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②利用相应的概率求出随机变量取每个可能值的概率；③按规范形式写出随机变量的分布列，并用分布列的性质验证． （2）解答此类问题的关键是读懂题意，合理选择合适的概率公式求解． 18. 已知直角坐标系中满足，，，动点A的轨迹为曲线T． （1）求曲线T的方程； （2）若半径为的圆的圆心M在曲线T上运动，过原点O作圆M的两条切线，分别与曲线T交于E，F，射线，的斜率存在，并记为，． ①求证：为定值； ②求的最大值． 【答案】（1） （2）①设，则，即， 设过原点的圆的切线的方程为， 由得， 所以； ② 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后结合椭圆定义即可得； （2）①设，结合圆的切线的性质与点到直线距离公式计算即可得；②法一：结合①中所得，分别用表示出、，可得的值，再利用基本不等式计算即可得；法二设，，结合①中所得，可用表示出、，即可表示出，再利用基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 设点，因为，所以， 所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆（除去与直线的交点）， 所以，所以，，． 所以曲线的方程为； 【小问2详解】 ①略 ②法一：由①知，，，设，， 由，得，， 所以，同理， 所以 ， 所以（当且仅当时等号成立）. 法二：设，， 由①知，，所以， 由，， 所以 （当且仅当时等号成立）， 所以． 19. 已知， （1）求函数的极值； （2）正项数列满足，， ①若不等式对任意的正整数n成立，求实数m的取值范围； ②若，求实数λ的最小值． 【答案】（1）极大值为0，无极小值 （2）① ；②2 【解析】 【分析】（1）对函数求导，根据导数的正负判断函数在不同区间的单调性，进而求解函数的极值. （2）（i）对给定的递推关系变形，结合（1）中得到的时的结论，推导数列的单调性，结合首项得到的取值上界，即可确定实数的取值范围. （ii）将不等式变形后结合递推关系转化为关于的恒成立不等式，通过换元构造新函数，多次求导判断函数单调性，结合常用不等式验证临界值的充分性，最终求得的最小值. 【小问1详解】 ，， 函数在区间上递增，在区间上递减， 的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 由，得，由（1）知，当时，，即， ，，即， 所以数列是递减数列，即， 即实数的取值范围是. ，即， ，令， ， 令函数， ，，使函数在区间上递减， 即在恒成立， 又，，使函数在区间上递减， 令函数，即在恒成立， ． 现证明，即证明， 令，整理得， 构造函数，则， 易证，，即， 所以函数在区间上递增，即， 即成立，所以的最小值为2． 【点睛】方法归纳： 1. 本题为导数与数列结合的综合题型，前后设问关联性强，第一问的函数结论是第二问推导的重要工具，解题时需优先利用前面小问得到的不等式简化推导过程. 2. 处理数列中的参数恒成立问题时，可通过换元将离散的数列问题转化为连续的函数最值问题，借助导数研究函数单调性、最值求解参数范围. 3. 当一次求导无法直接判断符号时，可对导函数再次求导，逐步推导原函数的单调性，求解参数临界值后需进行充分性验证，保证逻辑严谨. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $