第六节第1课时　向量法求空间角课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“空间向量求空间角”专题，覆盖异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面夹角三大高考核心考点，依据高考评价体系明确考查要求，通过真题分析归纳出解答题（占比60%）、选择题（30%）的常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题精讲+解题模板+素养提升”策略，如以2023全国甲卷线面角题为例，详解“建系—求向量—用公式”三步法，培养学生数学思维与空间观念。特设易错点警示（如法向量求法、公式绝对值），教师可依托此精准突破考点，助力学生高效掌握得分技巧，冲刺高考。

第六节 第七章 立体几何与空间向量 空间向量的应用 【目标要求】　1.能用向量方法解决直线与直线的夹角、直线与平面的夹角问题.2.能用向量方法解决两平面的夹角问题,体会向量法在研究空间角问题中的作用.3.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题,体会向量法在研究空间距离问题中的作用. 第1课时　向量法求空间角 第六节　空间向量的应用 1.异面直线所成的角 若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,则cos θ=|cos<u,v>| =_____________. [微点清]　两异面直线所成的角为锐角或直角,两不共线的向量的夹角的范围为(0,π),所以公式中要加绝对值. 2.直线与平面所成的角 如图所示,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与 平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α 的法向量为n,则sin θ=|cos<u,n>|==________. [微点清]　直线与平面所成角的取值范围为,而向量之间的夹角的取值范围为[0,π],所以公式中要加绝对值. 3.平面与平面的夹角 (1)平面与平面的夹角 如图①,平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角. 若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹 角为θ,则cos θ=|cos<n1,n2>|==_____________. (2)二面角:如图②所示,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,记为α-l-β.设二面角α-l-β的大小为φ,平面α的法向量n1与平面 β的法向量n2的夹角为θ,则|cos φ|=|cos θ|=_______________. [微点清]　二面角与两个平面的夹角的区别与联系:二面角的取值范围为[0,π],两个平面的夹角的取值范围为. 1.直线的方向向量和平面的法向量不是零向量,且不唯一. 2.确定平面的法向量的方法: (1)直接法:观察是否有垂直于平面的法向量,若有可直接确定; (2)待定系数法:取平面内两个不共线向量a,b,设法向量m=(x,y,z),由求得. 3.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量u与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值,即sin θ=|cos<u,n>|,不要误记为cos θ=|cos<u,n>|. 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.(　　) (2)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行,则a∥α.(　　) 若直线a的方向向量和平面α的法向量平行,则a⊥α. 解析 (3)若两个不同的平面α,β的法向量分别为u,v,且u=(1,2,-2),v=(-2,-4,4),则α∥β.(　　) (4)已知n为平面α的一个法向量,m为直线l的一个方向向量,若<n,m>=,则l与α所成角为.(　　) 2.(人A选一P36例7改编)已知直线l1的方向向量s1=(-1,0,-1),直线l2的方向向量s2=(1,2,2),则l1和l2夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 因为s1=(-1,0,-1),s2=(1,2,2),所以cos<s1,s2>===-,所以l1和l2夹角的余弦值为. 解析 3.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为(　　) A. B. C.或 D.或 因为m=(0,1,0),n=(0,1,1),所以m·n=1,|m|=1,|n|=,若两平面所成的二面角为θ,则|cos θ|=|cos<m,n>|==,所以两平面所成的二面角为.故选C. 解析 4.(人A选一P43T10改编)设M,N分别是正方体ABCD-A'B'C'D'的棱BB'和B'C'的中点,则直线MN与平面A'BCD'所成角的正弦值为_________. 建系如图,设AB=2,则M(2,2,1),N(1,2,2),B(2,2,0), A'(2,0,2),C(0,2,0),则=(-1,0,1),=(0,-2,2), =(-2,0,0).设平面A'BCD'的法向量为n=(x,y,z), 解析 故则x=0,令z=1,得y=1,所以n=(0,1,1),所以直线MN与平面A'BCD'所成角的正弦值为|cos<,n>|==. 解析 5.过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,则平面ABP与平面CDP夹角的大小为________. 45° 如图,建立空间直角坐标系,设AB=PA=1,则A(0,0, 0),D(0,1,0),P(0,0,1),由题意,AD⊥平面PAB,设E为 PD的中点,连接AE,则E,AE⊥PD,又CD⊥ 平面PAD,所以CD⊥AE,又PD∩CD=D,从而AE⊥ 解析 平面PCD.所以=(0,1,0),=分别是平面PAB,平面PCD的法向量.设所求夹角为θ,则cos θ=|cos<,>|===,故平面PAB与平面PCD夹角的大小为45°. 解析 (1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 考点一 异面直线所成的角………………自练自悟 建立如图所示的空间直角坐标系.设BC=CA=CC1=2,则A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,2),N(1,0,2),所以=(1,-1, 2),=(-1,0,2).设BM与AN所成的角为θ,则cos θ= |cos<,>|===.所以BM与AN所成角的余弦值为. 解析 (2)如图,两个相同的圆柱O1O2与圆柱O3O4中,四边形ABEF,BCDE分别为两个圆柱在同一平面上的轴截面,G,H分别为所在半圆弧的中点,若AB=AF,则异面直线AG与O4H所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 解法一:连接O1G,易知O1G,O1C,O1O2两两垂 直,故以O1为原点,分别以O1G,O1C,O1O2所在 直线为x,y,z轴建立如图①所示的空间直角 坐标系,不妨设AB=AF=2,则A(0,-1,0),G(1,0, 0),O4(0,2,2),H(-1,2,0),所以=(1,1,0),= (1,0,2),所以cos<,>==,所以异面直线AG与O4H所成角的余弦值为,故选A. 解析 解法二:如图②,连接HC,O4C,根据两个圆柱的位置关系与圆柱的对称性知,AG∥HC,所以∠O4HC为异面直线AG与O4H所成的角或其补角.不妨设AB=AF=2,则在△O4HC中,易知O4H=O4C==,HC=,所以cos∠O4HC===.故选A. 解析 (3)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形,侧棱长为2,D为B1B上的点,若直线A1C与直线DC1所成角的余弦值为,则BD的长为(　　) A.1 B. C. D. 以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(0,0,2),C1(0,2,2),C(0,2,0).设D(2,0,t),0≤t≤2,则=(0,2,-2),=(-2,2,2-t),所以|cos<,>|===,解得t=1(负值舍去).即BD=1. 解析 用向量法求异面直线所成角的一般步骤 1.建立空间直角坐标系; 2.用坐标表示两异面直线的方向向量; 3.利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值; 4.两异面直线所成角的范围是,即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 【例1】　(2025·北京高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,△ADC与△BAC均为等腰直角三角形,∠ADC=90°,∠BAC=90°,E为BC的中点. (1)若F,G分别为PD,PE的中点,求证:FG∥平面PAB; 考点二 直线与平面所成的角 取PA的中点N,PB的中点M,连接FN,MN,GM,因为△ACD与△ABC为等腰直角三角形且∠ADC=90°,∠BAC=90°,不妨设AD=CD=2,所以AC=AB=2.所以BC=4.因为E,F分别为BC,PD的中点,所以FN=AD=1,GM=BE=1,且FN∥AD,GM∥BC.因为∠DAC=45°,∠ACB=45°,所以AD∥BC,所以FN∥GM,所以四边形FGMN为平行四边形,所以FG∥MN,因为FG⊄平面PAB,MN⊂平面PAB,所以FG∥平面PAB. 证明 (2)若PA⊥平面ABCD,PA=AC,求直线AB与平面PCD所成角的正弦值. 因为PA⊥平面ABCD,所以以A为原点,AC,AB, AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空 间直角坐标系,设AD=CD=2,则A(0,0,0),B(0, 2,0),C(2,0,0),D(,-,0),P(0,0,2), 所以=(0,2,0),=(,,0),=(-2,0,2),设平面PCD的 解 一个法向量为n=(x,y,z),所以取x=1,所以y=-1,z=1,所以n=(1,-1,1).设AB与平面PCD所成角为θ,则sin θ=|cos<,n>|====,即AB与平面PCD所成角的正弦值为. 解 向量法求直线与平面所成角的主要方法 1.分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角). 2.通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角,取其余角就是斜线和平面所成的角. 【训练1】　(2023·全国甲卷)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°, AA1=2,A1到平面BCC1B1的距离为1. (1)证明:A1C=AC; 如图,过点A1作A1D⊥CC1,垂足为点D,因 为A1C⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以A1C⊥ BC,又∠ACB=90°,所以AC⊥BC,因为A1C,AC ⊂平面ACC1A1,且A1C∩AC=C,所以BC⊥平面 ACC1A1,因为A1D⊂平面ACC1A1,所以BC⊥ A1D,又CC1,BC⊂平面BCC1B1,且CC1∩BC=C,所以A1D⊥平面BCC1B1,所以A1D=1.由已知条件易证△CA1C1是直角三角形,又CC1=AA1=2,A1D=1,所以D为CC1的中点,又A1D⊥CC1,所以A1C=A1C1,又在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=A1C1,所以A1C=AC. 证明 如图,连接A1B,由(1)易证A1B=A1B1,故取BB1的 中点F,连接A1F,因为AA1与BB1的距离为2,所 以A1F=2,又A1D=1且A1C=AC,所以A1C=A1C1= AC=,AB=A1B1=,BC=.建立空间直角坐 标系Cxyz,则C(0,0,0),A(,0,0),B(0,,0),B1(-,,),C1(-,0, ),所以=(0,,0),=(-,0,),=(-2,,),设平面 解 (2)已知AA1与BB1的距离为2,求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值. BCC1B1的法向量为n=(x,y,z),则取x=1,则y=0,z=1,所以平面BCC1B1的一个法向量为n=(1,0,1).设AB1与平面BCC1B1所成的角为θ,则sin θ=|cos<n,>|==.所以AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为. 解 【例2】　(2024·新课标Ⅱ卷)如图,平面四边形ABCD中,AB=8,CD=3,AD=5, ∠ADC=90°,∠BAD=30°,点E,F满足=,=,将△AEF沿EF翻折至△PEF,使得PC=4. (1)证明:EF⊥PD; 考点三 平面与平面所成的角 由题可得AE=AD=2,AF=AB=4,又∠BAD=30°,所以由余弦定理,得EF2=AE2+AF2-2AE·AF·cos 30°=4,故EF=2.又EF2+AE2= AF2,所以EF⊥AE.由EF⊥AE及翻折的性质,知EF⊥PE,EF⊥ED,又ED∩PE=E,ED,PE⊂平面PED,所以EF⊥平面PED.又PD⊂平面PED,所以EF⊥PD. 证明 (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值. 如图,连接CE,由题可得DE=3,CD=3, ∠CDE=90°,故CE==6.又PE =AE=2,PC=4,所以PE2+CE2=PC2,故 PE⊥CE.又PE⊥EF,CE∩EF=E,CE,EF⊂ 平面ABCD,所以PE⊥平面ABCD.EF,ED,PE两两垂直,故以E为原点, EF,ED,PE所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则P(0, 解 0,2),D(0,3,0),F(2,0,0),A(0,-2,0),C(3,3,0),连接PA,则=(0,3,-2),=(3,0,0),=(0,2,2),=(2,2,0).设平面PCD的法向量为n1=(x1,y1,z1),则可取n1=(0,2,3).设平面PBF即平面PAF的法向量为n2=(x2,y2,z2).则 解 可取n2=(,-1,1).|cos<n1,n2>|= =.故平面PCD与平面PBF所成二面角的正弦值为=. 解 利用空间向量计算平面与平面夹角大小的常用方法 1.找法向量:分别求出两个平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到平面与平面夹角的大小. 2.找与棱垂直的方向向量:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,然后通过这两个向量的夹角可得到平面与平面夹角的大小. 【训练2】　(2025·天津高考节选)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,E,F分别为A1D1,C1B1 的中点,点G在棱CC1上,且CG=3GC1. (1)求证:GF⊥平面BEF; 解法一:在正方形BCC1B1中,由条件易知tan∠C1FG==== tan∠B1BF,所以∠C1FG=∠B1BF,则∠B1FB+∠B1BF==∠C1FG+∠B1FB,故∠BFG=π-(∠C1FG+∠B1FB)=,即FG⊥BF,在正方体中,易知D1C1⊥平面BCC1B1,且EF∥D1C1,所以EF⊥平面BCC1B1,又FG⊂平面BCC1B1,所以EF⊥FG,因为EF∩BF=F,EF,BF⊂平面BEF,所以GF⊥平面BEF; 解 解法二:如图以D为原点,建立空间直角坐标系,则 B(4,4,0),E(2,0,4),F(2,4,4),G(0,4,3),所以=(0,4,0), =(2,4,-4),=(-2,0,-1),设m=(a,b,c)是平面BEF的 一个法向量,则令a=2,则 b=0,c=1,所以m=(2,0,1),易知=-m,则也是平面BEF的一个法向量,所以GF⊥平面BEF; 解 (2)求平面BEF与平面BEG夹角的余弦值. 同上解法二建立的空间直角坐标系,所以=(-2,4,-1),=(-4,0,3),由(1)知是平面BEF的一个法向量,设平面BEG的一个法向量为n=(x,y,z),所以令x=6,则z=8,y=5,即n=(6,5,8),设平面BEF与平面BEG的夹角为α,则cos α=|cos<,n>|== =. 解 $