精品解析：河南信阳高级中学北湖校区2026届普通高等学校招生全国统一考试模拟预测数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2026届普通高等学校招生全国统一考试模拟预测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知非零向量，，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子次，分别记录每次骰子出现的点数根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数的是（ ） A. 甲：平均数为，中位数为 B. 乙：中位数为，众数为 C. 丙：平均数为，方差为 D. 丁：中位数为，方差为 5. 内角，，所对边分别为，，，若，，，则的值为（ ） A. 2 B. 6 C. 4 D. 8 6. 下列各式中，不是的展开式中的项是（    ） A. B. C. D. 7. 已知点到同一直线的距离分别为7，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 人教版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线.现将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（    ） A. 为对立事件 B. C. D. 10. 如图所示，在正方体中，点是棱上的一个动点（不包括端点），平面交棱于点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得为直角 B. 对于任意点，都有直线平面 C. 对于任意点，都有平面平面 D. 三棱锥的体积为定值 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 在定义域内单调递增 B. 的对称中心为 C. 已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_______． 13. 已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________． 14. 已知，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立. （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列. 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.在数列中是否存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由. 17. 如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，． （1）证明：平面平面； （2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值． 18. 已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率和为，求证：过定点． 19. 已知函数f（x）x+alnx． （1）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程（用含a的式子表示） （2）讨论f（x）的单调性； （3）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2026届普通高等学校招生全国统一考试模拟预测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用并集的定义可得正确的选项. 【详解】， 故选：D. 2. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据除法运算整理，结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为， 其在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 3. 已知非零向量，，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的定义理解判断. 【详解】因为向量，，是非零向量， 则一定可以推出， 若成立，只表示在上的投影（或投影向量）相等，不能推出， 故是的充分不必要条件， 故选：A． 4. 甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子次，分别记录每次骰子出现的点数根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数的是（ ） A. 甲：平均数为，中位数为 B. 乙：中位数为，众数为 C. 丙：平均数为，方差为 D. 丁：中位数为，方差为 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、方差的定义，通过举例排除ABD，由假设推理判断C． 【详解】若甲的5个点数分别是，满足选项A； 若乙的5个点数分别是，满足选项B； 若丁的5个点数分别是，平均数为4，其方差为，满足选项D； 若丙的平均数为2，又有点数6，则方差，不可能满足C，因此丙不会出现点数6， 故选：C． 5. 内角，，所对边分别为，，，若，，，则的值为（ ） A. 2 B. 6 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】在中，由及正弦定理，得， 而，则，又，因此，而，， 由余弦定理得， 所以. 6. 下列各式中，不是的展开式中的项是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意多项式展开式中，选项A为有个因式选，个因式选，选项B为有个因式选，个因式选，选项C为有个因式选，个因式选，选项D为有个因式选，个因式选，个因式选，分别计算系数判断即可. 【详解】表示4个因式的乘积， 选项A为有个因式选，个因式选，所得的项为， 所以是的展开式中的项； 选项B为有个因式选，个因式选，所得的项为， 所以是的展开式中的项； 选项C为有个因式选，个因式选，所得的项为， 所以是的展开式中的项； 选项D为有个因式选，个因式选，个因式选，所得的项为， 所以不是的展开式中的项， 故选：D 7. 已知点到同一直线的距离分别为7，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】问题化为由圆与圆相交，求参数范围即可. 【详解】以为圆心，7为半径的圆为， 以为圆心，3为半径的圆为， 若符合题设的直线恰有2条，即上述两圆相交，而， 所以，即，可得， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 8. 人教版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线.现将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先确定的两条渐近线分别为，也为旋转前双曲线的渐近线，再设两条渐近线夹角（锐角）角平分线且，根据斜率与倾斜角关系、差角正切公式求双曲线渐近线斜率，进而求双曲线离心率. 【详解】由的两条渐近线分别为， 所以该函数对应的双曲线焦点在夹角（锐角）的角平分线上， 设且，若分别是，的倾斜角，故， 故为双曲线旋转后其中一条渐近线的倾斜角， 由，即， 整理得，可得（负值舍去）， 所以绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线一条渐近线斜率为， 故. 故选：D 【点睛】关键点点睛：求出的渐近线，利用正切差角公式求其旋转后渐近线斜率是关键. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（    ） A. 为对立事件 B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】分别由对立事件、条件概率定义结合古典概型和全概率公式逐项进行分析计算即可得解. 【详解】对于A，因为甲罐中只有红球和白球，即，所以为对立事件，故A正确； 对于B，当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时，故B正确； 对于CD，当发生时，乙罐中有2个红球，9个白球，此时， 所以，， 故C正确，D不正确. 故选：ABC 10. 如图所示，在正方体中，点是棱上的一个动点（不包括端点），平面交棱于点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得为直角 B. 对于任意点，都有直线平面 C. 对于任意点，都有平面平面 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】CD 【解析】 【分析】先证明，对于A：假设为直角，结合线面垂直判定定理证明平面，推出矛盾即可判断；B：根据线面平行的性质证明，推出矛盾即可判断；C：证明平面，再由面面垂直判定定理证明结论即可判断；D：先证明点到平面的距离为定值，由体积公式可判断即可． 【详解】因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，又，都为锐角， 所以，又，， 所以，故， 对于A，若为直角，则， 因为平面，平面， 所以，又相交，平面， 所以平面，又平面， 与过点有且只有一条直线与平面垂直矛盾，故A错误；        对于B，连接，则平面平面， 若平面，且平面，则， 又，，故四边形为平行四边形， 故相交，矛盾，故B错误； 对于C，连接，，，， 由平面，平面，得， 由为正方形，易知， 因为，平面，平面， 平面，，同理可证， ，平面， 平面，又平面， 平面平面，故C正确； 对于D， ，平面，平面， 平面， 所以点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 三棱锥的体积为定值， 故三棱锥的体积为定值，D正确． 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 在定义域内单调递增 B. 的对称中心为 C. 已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为 D. 若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用导函数判断单调性；B根据二阶导函数的零点求对称中心；C根据对称性和单调性以及韦达定理求出；D根据对称性和单调性以及基本不等式求解. 【详解】因为，所以， 则在定义域内单调递增，故A正确； ，得，故的对称中心为即，故B正确； 因为，为方程的两个不同根， 所以， 因为，所以，则， 故，得，故C错误； 因为， 所以， 则，即， 因为，所以， 等号成立时，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及逆用和角的正弦公式求解. 【详解】由，得， 则，所以. 故答案为：. 13. 已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形面积公式求出母线长,再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出结果. 【详解】因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为所以， 因为与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为， 因此圆锥的侧面积为． 【整体点评】根据三角形面积公式先求出母线长，再根据线面角求出底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出侧面积，思路直接自然，是该题的最优解． 14. 已知，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】将原不等式拆分为左右两个独立的不等式，对于拆分后的每个不等式，将参数分离出来，转化为或在上恒成立的形式，因此利用导数法求函数、在区间的最值即可 【详解】左侧不等式：，整理得  设，求导得 当时，，单调递减； 当时，，单调递增 的最大值在端点处取得，经计算​， 最大值为​，故 右侧不等式：，整理得：  设，求导得​ 当时，，单调递减； 当时，，单调递增 最小值在处：​，故 综上，的取值范围为 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立. （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列. 【答案】（1） （2） 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式，可以求出甲学校获得冠军的概率； （2）的可能取值为，利用随机变量的分布列，即可得X的分布列. 【小问1详解】 甲学校获得冠军,需要在3场比赛中至少获胜2场， 甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8， 甲学校3场全胜，概率为：， 甲学校3场获胜2场败1场，概率为：， 所以甲学校获得冠军的概率为：； 【小问2详解】 依题可知，的可能取值为，所以， , ， ， . 即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.在数列中是否存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）当时，求出的值，当时，由，得，两式推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）求得，假设存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列，可得出，整理得出，联立可得出结论. 【小问1详解】 当时，由①，得②. 由①②得，，即. 当时，，解得. 所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以. 【小问2详解】 不存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列.理由如下： 依题意得，即，解得. 假设存在项、、成等比数列（其中），则， 即，整理得. 联立，解得，这与已知条件矛盾. 所以不存项、、（其中、、成等差数列）成等比数列. 17. 如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，． （1）证明：平面平面； （2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】(1)结合已知条件证明，可得，结合为直角三角形确定直角顶点为，取中点，利用正三角形与等腰直角三角形的性质可得平面，进而得到平面平面； (2) 根据平面将四面体分为体积相等的两部分，即到平面的距离为到平面的距离的，可确定为的中点，建立空间直角坐标系，分别求解平面与平面的法向量，进而可得到二面角的余弦值. 【小问1详解】 由题设可得，，从而， 又是直角三角形，所以， 取的中点，连接，，则，． 又由于是正三角形，故， 所以为二面角的平面角， 在中，，又，所以， 故， 所以平面平面． 【小问2详解】 由题设及（1）知，，，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． 由题设知，四面体的体积为四面体的体积的，从而到平面的距离为到平面的距离的，即为的中点，得． 故，，． 设是平面的法向量，则， 即， 可取． 设是平面的法向量，则， 同理可得， 则． 观察可得，该二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 18. 已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率和为，求证：过定点． 【答案】（1）. （2）证明：当直线l的斜率不存在时，设其方程为， 由椭圆对称性知，直线l与C的两交点A，B关于x轴对称， 不妨令，则，直线与直线的斜率分别为，， 由，得，解得， 此时直线l：过椭圆C的右顶点，与椭圆C只有一个公共点，不满足题意； 直线l的斜率必存在，设其方程为，， 由消去y并整理得：， ，即， ，直线与直线的斜率分别为，， ， 整理得，当时，而，则有， 因此，当且仅当，即时，直线l方程为： ，直线l过定点， 所以不过点的直线l与C交于两点，且直线与直线的斜率和为时，直线l过定点. 【解析】 【详解】（1）由两点关于轴对称，得椭圆必过两点， 此时，因此椭圆不经过点，即点在上， 因此，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）略 19. 已知函数f（x）x+alnx． （1）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程（用含a的式子表示） （2）讨论f（x）的单调性； （3）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：． 【答案】（1）y＝（﹣2+a）x+2﹣a．（2）见解析（3）见解析 【解析】 【分析】 （1）求出切点坐标，根据导函数求出切线斜率，即可得到切线方程； （2）求出导函数，对g（x）＝﹣x2+ax﹣1，进行分类讨论即可得到原函数单调性； （3）结合（2）将问题转为证明1，根据韦达定理转化为考虑h（x）＝2lnx﹣x的单调性比较大小即可得证. 【详解】（1）∵f（x）x+alnx（x＞0） ∴f′（x）（x＞0） ∴当x＝1时，f（1）＝0，f′（1）＝﹣2+a， 设切线方程为y＝（﹣2+a）x+b，代入（1，0），得b＝2﹣a， ∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y＝（﹣2+a）x+2﹣a． （2）函数的定义域为（0，+∞）， 函数的导数f′（x）， 设g（x）＝﹣x2+ax﹣1，注意到g（0）＝﹣1， ①当a≤0时，g（x）＜0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数； ②当a＞0时，判别式△＝a2﹣4， （i）当0＜a≤2时，△≤0，即g（x）≤0，即f′（x）≤0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数； （ii）当a＞2时，令f′（x）＞0，得：x； 令f′（x）＜0，得：0＜x或x； ∴当a＞2时，f（x）在区间（，）单调递增，在（0，），（，+∞）单调递减； 综上所述，综上当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上是减函数， 当a＞2时，在（0，），（，+∞）上是减函数， 在区间（，）上是增函数． （3）由（2）知a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1x2＝1， 则f（x1）﹣f（x2）x1+alnx1﹣[x2+alnx2] ＝（x2﹣x1）（1）+a（lnx1﹣lnx2） ＝2（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2）， 则2， 则问题转为证明1即可， 即证明lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2， 则lnx1﹣lnx1， 即lnx1+lnx1＞x1， 即证2lnx1＞x1在（0，1）上恒成立， 设h（x）＝2lnx﹣x，（0＜x＜1），其中h（1）＝0， 求导得h′（x）10， 则h（x）在（0，1）上单调递减， ∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x0， 故2lnx＞x， 则a﹣2成立． 【点睛】此题考查导函数的应用，根据几何意义求切线斜率，讨论函数的单调性，证明不等式，解决双变量问题，综合性强. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $