山西忻州市某校2025-2026学年高一5月阶段检测数学试题（人教A卷）

高一数学（人教A卷）参考答案 1．B 2．A 3．D 4．C 5．D 6．A 7．B 8．C 9．ABD 10．BCD 11．ACD 12．0 13．4 14． 15．解：（1）设（，）， 因为为实数， 所以，解得． （2分） 因为为纯虚数，所以，解得， （4分） 故． （6分） （2）由（1）可知，． （7分） ， （9分） 由题意可知， （11分） 解得， 故实数的取值范围为． （13分） 16．解：（1）， （2分） 所以该校男生成绩的平均分的估计值为80； （3分） ， （5分） 所以该校女生成绩平均分的估计值为80． （6分） （2）男生成绩的波动参数为 ． （10分） 女生成绩的波动参数为 ， （14分） 因为，所以男生成绩的波动性比女生成绩的波动性小． （15分） 17．解：（1）证明：连接，与交于点，连接， 因为为侧面的中心，所以为的中点， （1分） 连接，因为，，且，， 所以，且， 则四边形为平行四边形， （2分） 因为为的中点，易知， （3分） 又平面，平面，故平面． （4分） （2）连接，则，则， （5分） 易知四边形为平行四边形， 在正方体中，平面， 又平面，所以， （6分） 因为，故平面，即平面， 所以为直线与平面所成的角， （7分） 在中，易求，，所以， （8分） 则， 故直线与平面所成角的大小为． （9分） （3）设三棱锥的外接球的球心为，半径为， 因为的外接圆的圆心为，所以平面， （10分） 由（1）可知，，平面， 所以平面，因此球心在线段上， （11分） 易求，，由， （13分） 解得， （14分） 故三棱锥的外接球的表面积为． （15分） 18．解：（1）证明：由， 得， （1分） 由余弦定理，得， 所以， （2分） 因为，所以， （3分） 又，， 所以或， （4分） 因为，所以，所以． （5分） （2）由，得， （6分） 由正弦定理与余弦定理，得， （7分） 又，，所以， 整理得， 解得， （8分） 则， 所以， （9分） 故的面积为． （10分） （3）由题意可知， 即 解得， （12分） 由正弦定理得，则， （13分） 所以，， （14分） 则， （16分） 所以的周长的取值范围为． （17分） 19．解：（1）证明：在梯形中，，，，为的中点， 所以，且， 则四边形为菱形，所以， （1分） 则，所以为等边三角形，因此为等边三角形， 因为为的中点，所以． （2分） 易得，， 又，则， 所以， （3分） 因为，，平面， 所以平面， （4分） 又平面，故平面平面． （5分） （2）（ⅰ）． （6分） 理由如下： 连接，与，分别交于点，，连接，． 因为，分别为，的中点，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面． （7分） 因为为的中点，所以为的中位线，所以，则， （8分） 又，所以， 又平面，平面， 所以平面． 又，，平面， 所以平面平面， 综上可知，． （10分） （ⅱ）由（2）（ⅰ）可知，点的位置唯一确定，即为的中点． 由（1）可知，，，且，，平面， 所以平面， （11分） 又，所以平面， 又平面，则， 所以，则． （12分） 在中，，，则， 又，所以． 过作于点， 由等面积法可知，． （13分） 在中，，， 则边上的高为， （14分） 设点到平面的距离为， 则． （15分） 所以， 解得， （16分） 设二面角的大小为， 则． 故二面角的正弦值为． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学（人教A卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，，且，则 A． B． C． D． 2．已知为虚数单位，则 A． B．5 C． D． 3．为了解某校学生每天课外运动时长，按年级采用比例分配的分层随机抽样的方法从高一、高二、高三中共抽取130名学生进行调查，已知该校高一有1500名学生，高二有1200名学生，高三有1200名学生，则高一、高二共抽取 A．40名学生 B．50名学生 C．80名学生 D．90名学生 4．在中，为边上的中线上一点，且，若，则 A． B．2 C．3 D．4 5．已知，是两条不同的直线，平面，满足，则下列结论正确的是 A．若，则，共面 B．若，则与有公共点 C．若与无公共点，且，则 D．若存在平面，使得，，，则 6．在矩形中，，，点为线段（包含端点）上一动点，则的取值范围为 A． B． C． D． 7．如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，过点作与垂直的平面，且平面与该三棱柱的侧面的交线为线段，则 A．3 B． C． D．2 8．已知，是两个暗礁群，将其视为质点，相距．为保障航行安全，欲在一条东西方向的航道（视为直线）上选取，点建两座灯塔，其中选取在距比距近的地方，且在灯塔处测得在它的南偏东方向，测得在它的南偏东方向．从灯塔沿航道向正东行驶可到灯塔，在灯塔处测得在它的南偏西方向，则在处测得在它的 A．南偏西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知一组从小到大排列的数据2，3，4，4，5，，7，10的上四分位数为6，则 A． B．该组数据的众数为4和5 C．剔除该组数据中的后，剩下数据的平均数变小 D．剔除该组数据中的后，剩下数据的方差变大 10．已知复数，满足，其中为虚数单位，则 A． B． C． D． 11．如图，梯形为圆台的轴截面，已知，，且梯形的面积为，则 A．圆台的母线长为3 B．圆台的体积为 C．已知点为上靠近点的三等分点，则沿着圆台表面从到的最短路径的长度为 D．在该圆台内能放入一个可以绕正方体中心自由转动的正方体（圆台表面厚度忽略不计），则该正方体棱长的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知（，，为虚数单位），则__________． 13．已知用斜二测画法作出的直观图如图所示，，轴，，且的面积为，则的边上的高为__________． 14．已知平面向量，满足，在上的投影向量为．当时，的最小值为，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知复数满足为实数，为纯虚数，为虚数单位． （1）求； （2）若复数（）在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 16．（15分） 2026年春晚节目中机器人完美展示了中国武术，激发了同学们对人工智能的强烈兴趣．某校组织开展人工智能知识竞赛（满分100分），随机抽取了30名男生的成绩和30名女生的成绩，得到如下统计表： 竞赛成绩/分 男生人数/人 5 10 10 5 女生人数/人 6 9 9 6 （1）分别估计该校男生成绩的平均分与女生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）定义波动参数，其中表示区间的个数，表示第个区间中学生的成绩，取该区间的中点值为代表，表示学生成绩在第个区间的人数，表示样本的平均值，．参数越小，表示学生成绩的波动性越小．请通过计算，比较男生、女生成绩的波动性． 17．（15分） 如图，在棱长为2的正方体中，为侧面的中心． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求三棱锥的外接球的表面积． 18．（17分） 设的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）证明：； （2）若，，求的面积； （3）若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围． 19．（17分） 如图，在梯形中，，，，为的中点，将沿翻折至的位置，使点落在点的位置，且，，分别为，的中点． （1）证明：平面平面． （2）若线段上存在点，使得平面平面， （ⅰ）猜想的值，并说明理由； （ⅱ）求二面角的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $