第3单元长方体和正方体（专项训练）-2025-2026学年数学五年级下册人教版

**基本信息** 聚焦长方体和正方体表面积、体积核心考点，通过典例提炼“实际场景面分析”“拼接优化”“体积不变”等解题方法，构建从概念到应用的知识逻辑链，培养空间观念与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例精讲|3个|无盖表面积计算（5面）、拼接最小表面积（最大面重叠）、连通器水面高度（整体体积法）|从基础表面积（含无盖）到体积（熔铸/拼接），再到实际应用（连通器/测量体积）递进| |跟踪训练|选择6/填空8/判断5/计算2/解答6|结合生活情境考查概念辨析（容积/体积）、公式灵活应用（棱长总和/表面积变化）|覆盖概念理解、公式应用、实际问题解决，强化几何直观与推理意识|

第3单元长方体和正方体检测卷-2025-2026学年数学五年级下册人教版 典例精讲 精讲一： 建一个长50米，宽40米，深2米的游泳池。如果在游泳池的四壁和底部抹水泥，每平方米需水泥8千克，一共需要多少水泥？ 【答案】18880千克 【分析】游泳池没有盖，抹水泥的地方只有底部和四壁，因此只需要计算5个面的面积，即1个底面和4个侧面。先计算需要抹水泥的5个面的总面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，再用总面积乘每平方米需要水泥的质量，即可求出需要水泥的总质量。 【详解】抹水泥的总面积： 50×40＋（50×2＋40×2）×2 ＝2000＋（100＋80）×2 ＝2000＋180×2 ＝2000＋360 ＝2360（平方米） 需要水泥的总质量： 2360×8＝18880（千克） 答：一共需要18880千克水泥。 精讲二： 要把3个同样的长10厘米，宽7厘米，高5厘米的长方体堆成一个大长方体，并使表面积最少，那么大长方体表面积最小为多少？ 【答案】 650平方厘米 【分析】两个长方体拼接时，拼接面的面积越大，减少的表面积越多，此时拼成的大长方体的表面积越小。长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出每个长方体的表面积，再乘3求出三个长方体的总表面积。算出单个长方体的三个不同面的面积，找到最大的面，拼接时，每两个长方体拼在一起，就会减少两个重叠面的面积，三个长方体拼接，一共会减少4个重叠面的面积。用三个长方体的总表面积，减去减少的这部分面积，就能得到大长方体的最小表面积。 【详解】（10×7＋10×5＋7×5）×2 ＝（70＋50＋35）×2 ＝（120＋35）×2 ＝155×2 ＝310（平方厘米） 310×3＝930（平方厘米） 10×7＝70（平方厘米） 10×5＝50（平方厘米） 7×5＝35（平方厘米） 70＞50＞35 70×4＝280（平方厘米） 930－280＝650（平方厘米） 答：大长方体表面积最小为650平方厘米。 精讲三： 连通器在生活中的应用很广泛，如茶壶，洗手间，下水道等都属于连通器。如图1。 聪聪用甲、乙两个长方体容器和一个细管道自制了一个连通器，如图2，甲容器是一个底面为正方形的长方体容器，底面边长是3分米，管道关闭时，给甲容器倒入45升水。乙容器是个长方体，底面的长宽分别是9分米，3分米，高是6分米。给乙容器倒入135升水，打开管道让水自由流动，等水静止后，两个容器中水的高度是相同的。那么此时甲容器内水的高度是多少分米？ 【答案】 5分米 【分析】甲、乙容器底部连通，静止时液面高度相同，所以可将两个容器视为一个整体来计算水面高度。先将两个容器中的水相加求出总水量，将升换算为立方分米（1升＝1立方分米）；然后分别算出甲、乙两个长方体容器的底面积（正方形面积＝边长×边长，长方形面积＝长×宽），再相加得到连通后水的总底面积；最后用总水量除以总底面积，即可得到最终的液面高度，也就是甲容器内水的高度。 【详解】 （分米） 答：此时甲容器内水的高度是5分米。 跟踪训练 一、选择题 1．求一个水池最多能装多少水，就是求它的（    ）。 A．底面积 B．表面积 C．容积 2．下面各图中，不能折成一个正方体的是（    ）。 A． B． C． 3．把一个棱长为4dm的正方体铁块熔铸成一个长是8dm、宽是4dm的长方体铁块，这个长方体铁块的高是（    ）dm。 A．1 B．2 C．6 4．一个能装32升水的长方体容器，从里面量得长5分米，宽4分米，高是（    ）分米。 A．16 B．1.6 C．0.16 5．挖一个长9米，宽7米，深3米的长方体蓄水池，这个蓄水池的占地面积是多少？列式为（    ）。 A．9×7 B．9×7×3 C．（9×7＋9×3＋7×3）×2 6．小华把棱长是1cm的小正方体积木靠墙角搭成了一个立体图形（如图），露在外面的面积是（    ）cm2。 A．20 B．21 C．24 二、填空题 7．在括号里填写恰当的单位名称。 (1)数学课本封面的面积约8( )； (2)一盒牛奶的体积约250( )； (3)一间教室的空间约180( )。 8．1680ml＝( )( )    850＝( ) 9．做一个长方体框架，长5分米，宽4分米，高2分米，要用铁丝( )米。 10．一个正方体的棱长是2cm，把它的棱长扩大到原来的2倍，现在它的表面积扩大到原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 11．一个长方体木块，长8分米，宽5分米，高6分米，把这个木块削成一个最大的正方体，削去部分的体积是( )立方分米。 12．把一个正方体切成两个完全一样的长方体：表面积增加了32平方厘米。这个正方体的体积是( )立方厘米。 13．把3个棱长是4cm的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是( )cm2。 14．一个正方体的棱长总和是60分米，它的体积是( )立方分米。 三、判断题 15．汽车油箱的体积不一定是汽车油箱的容积。( ) 16．18立方米比18平方米大。( ) 17．把表面积是12平方分米的两个正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是24平方分米。( ) 18．棱长为4cm的正方体，它的体积比它的表面积大。( ) 19．已知一个大正方体的棱长是一个小正方体棱长的3倍，王师傅给小正方体表面刷油漆正好用了2罐油漆，那么要给大正方体表面刷油漆需要准备油漆6罐。( ) 四、计算题 20．求下列长方体和正方体的表面积和体积。（单位：cm） （1）                      （2） 21．求立体图形的表面积和体积。（单位：厘米） 五、解答题 22．如下图，聪聪为妹妹准备了生日礼物，并用丝带把准备的礼物按照如图的方法捆扎，聪聪至少需要多少厘米的丝带？（接头处不计） 23．一个正方体礼品盒，棱长1.2dm，包装这个礼品盒至少需要多少平方分米的包装纸？ 24．一个棱长为6分米的正方体铁块，被锻造成一个长8分米，宽3分米的长方体铁块（锻造前后体积不变），这个长方体铁块的高是多少分米？ 25．乐乐家里买了一些土豆，乐乐尝试测量一个土豆的体积，他进行了如下实验。 ①准备一个长8厘米、宽8厘米、高15厘米的长方体玻璃缸，水平放在桌面上。 ②往缸里倒入适量水，此时水面高度为10厘米。 ③把一个土豆完全放入水中，水面上升到12厘米。 根据以上信息，求出这个土豆的体积。 26．学校六一汇演需要用到3级台阶，每级台阶等高等宽，形状和规格如下图。 (1)如果在一个3级台阶上（下图涂色部分）铺上红色地毯，至少需要多少平方分米的地毯？ (2)演出结束后，为减少占地面积，将两个相同的台阶叠起来摆放（如下图），这两个3级台阶的总体积是多少立方分米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第3单元长方体和正方体检测卷-2025-2026学年数学五年级下册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C B B A B 1．C 【分析】“最多能装多少水”，这里涉及到容器能容纳的液体体积，根据底面积、表面积和容积的概念，逐项进行分析。 【详解】A．底面积仅表示水池底部的面积，无法单独确定装水量，该选项不符合题意； B．表面积是水池所有面的总面积，与内部容纳的水量无关，该选项不符合题意； C．容积是容器内部可容纳的体积，直接对应装水的量，该选项符合题意。 故答案为：C 2．C 【分析】正方体展开图如下： （1）“141”型： （2）“231”型： （3）“222”型： （4）“33”型： 据此判断即可。 【详解】 A．是“141”型，能折成一个正方体。 B．是“141”型，能折成一个正方体。 C．不能折成一个正方体。 故答案为：C 3．B 【分析】把一个正方体铁块熔铸成一个长方体铁块，体积不变。根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据求出正方体铁块的体积，也是长方体铁块的体积，再根据长方体的体积＝长×宽×高，用长方体铁块的体积除以长和宽，即可求出它的高。 【详解】4×4×4＝64（dm3） 64÷8÷4＝2（dm） 则这个长方体铁块的高是2dm。 故答案为：B 4．B 【分析】1升＝1立方分米，先把容积单位转化为体积单位，由“长方体的容积＝长×宽×高”可知，高＝长方体的容积÷长÷宽，据此解答。 【详解】32升＝32立方分米 32÷5÷4 ＝6.4÷4 ＝1.6（分米） 所以，高是1.6分米。 故答案为：B 5．A 【分析】求蓄水池的占地面积就是求长方体的底面积，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可。 【详解】（平方米） 挖一个长9米，宽7米，深3米的长方体蓄水池，这个蓄水池的占地面积是多少？列式为9×7。 故答案为：A 6．B 【分析】每个小正方形的面积是1cm2，分别计算出立体图形的前、右、上三个面各有多少个小正方形，求出三者之和，即可知道露出的面积是多少。 【详解】1×1＝1（cm2） 前面露出6个小正方形，右面露出6个小正方形，上面露出9个小正方形。 6＋6＋9＝21（个） 21×1＝21（cm2） 露在外面的面积是21cm2。 故答案为：B 7．(1)平方分米/ (2)毫升/ (3)立方米/ 【分析】根据生活经验及对面积单位、体积单位及容积单位和数据大小的认识，结合实际情况可知： （1）一个手掌的面积大约是1平方分米，计量课本封面用平方分米作单位比较合适； （2）1毫升大概有十几滴水，计量一盒牛奶的体积用毫升作单位比较合适； （3）边长是1米的正方体的体积是1立方米，计量教室的空间用立方米作单位比较合适。 【详解】（1）数学课本封面的面积约8平方分米； （2）一盒牛奶的体积约250毫升； （3）一间教室的空间约180立方米。 8． 1 680 8.5 【分析】第一小题：将单名数改写为复名数（和）。 依据容积单位与体积单位的关系：，。 将看作，除以进率，商为的数，余数为的数。 第二小题：将复名数改写为单名数（）。 依据面积单位进率：。将除以进率化成，再与相加。 【详解】根据分析可知： 面积进率： ，， 因此。 9．4.4 【分析】用铁丝做一个长方体框架，那么铁丝的长度等于长方体的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出铁丝的长度。 【详解】（5＋4＋2）×4 ＝11×4 ＝44（分米） 44分米＝4.4米 10． 4 8 【分析】先求出扩大后正方体的棱长；再根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，分别求出扩大后正方体表面积和正方体体积，再用扩大后的正方体表面积和体积除以原来正方体的表面积和体积。 【详解】2×2＝4（cm） （4×4×6）÷（2×2×6） ＝（16×6）÷（4×6） ＝96÷24 ＝4 （4×4×4）÷（2×2×2） ＝（16×4）÷（4×2） ＝64÷8 ＝8 所以现在它的表面积扩大到原来的4倍，体积扩大到原来的8倍。 11．115 【分析】把一个长8分米，宽5分米，高6分米的长方体木块削成一个最大的正方体，则正方体的棱长是5dm，再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长求出正方体的体积，再根据长方体的体积＝长×宽×高求出长方体木块的体积，再用长方体木块的体积减去最大正方体的体积就是削去部分的体积。 【详解】8×5×6－5×5×5 ＝40×6－25×5 ＝240－125 ＝115（立方分米） 12．64 【分析】正方体切成两个长方体时，会增加2个和正方体面一样大的面，表面积增加的32平方厘米就是这2个面的面积和。先算出1个面的面积，再求出正方体的棱长，最后计算体积。 【详解】1个面的面积：32÷2＝16（平方厘米） 因为4×4＝16，所以棱长是4厘米， 体积：4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 13．224 【分析】 把3个正方体拼成一个长方体，如图，表面积减少了4个正方形的面，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，计算出1个正方体的表面积，正方体表面积×3－棱长×棱长×4＝长方体的表面积。 【详解】4×4×6×3－4×4×4 ＝288－64 ＝224（cm2） 14．125 【分析】已知正方体的棱长总和是60分米，根据正方体的棱长＝棱长总和÷12，求出它的棱长；根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出它的体积。 【详解】正方体的棱长： 60÷12＝5（分米） 正方体的体积： 5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方分米） 15．√ 【分析】物体的体积是指物体所占空间的大小，计算体积通常从物体的外面测量数据； 物体的容积通常是指木箱、油桶等所能容纳物体的体积，计算容积通常从物体的里面测量数据，木箱、油桶的容积要小于木箱、油桶的体积，据此解答。 【详解】根据分析可知，汽车油箱的体积不一定是汽车油箱的容积。 原题干说法正确。 故答案为：√ 16．× 【分析】体积是指物体所占空间的大小；物体的表面或封闭图形的大小，叫做它们的面积，据此分析。 【详解】18立方米说的是空间的大小，18平方米指的是封闭图形的大小，两者表示的是不同类型的量，无法进行比较，所以原题说法错误。 故答案为：× 17．× 【分析】正方体有6个面积相等的面，正方体的表面积是12平方分米，则一个面的面积是12÷6＝2（平方分米）。把表面积是12平方分米的两个正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积比两个正方体的表面积之和减少了2个正方形的面积，据此计算出拼成的长方体的表面积，再进行判断。 【详解】12÷6＝2（平方分米） 12×2－2×2 ＝24－4 ＝20（平方分米） 则这个长方体的表面积是20平方分米。原题说法错误。 故答案为：× 18．× 【分析】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，正方体表面积＝棱长×棱长×6，体积是指物体所占空间的大小，物体表面面积的总和，叫做物体的表面积，体积和表面积是不同的两种单位，无法进行比较，据此分析。 【详解】4×4×4＝64（cm3） 4×4×6＝96（cm2） 64cm3和96cm2无法进行比较，所以原题说法错误。 故答案为：× 19．× 【分析】将小正方体的棱长假设为1厘米，那么大正方体的棱长为3厘米。正方体表面积＝棱长×棱长×6，分别求出大正方体和小正方体的表面积。利用除法求出大正方体表面积是小正方体表面积的几倍，将给小正方体刷油漆的量乘这个倍数，求出给大正方体刷油漆需要准备几罐。 【详解】设小正方体的棱长是1厘米，那么大正方体的棱长是：1×3＝3（厘米） 小正方体的表面积：1×1×6＝6（平方厘米） 大正方体的表面积： 3×3×6 ＝9×6 ＝54（平方厘米） 54÷6＝9 2×9＝18（罐） 所以，要给大正方体表面刷油漆需要准备油漆18罐。 故答案为：× 20．（1）1312cm²；2688cm³；（2）150cm²；125cm³ 【分析】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高，正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。据此计算即可。 【详解】（28×8＋28×12＋8×12）×2 ＝（224＋336＋96）×2 ＝656×2 ＝1312（cm²） 28×8×12 ＝224×12 ＝2688（cm³） 5×5×6 ＝25×6 ＝150（cm²） 5×5×5 ＝25×5 ＝125（cm³） 因此长方体的表面积为1312cm²；体积为2688cm³；正方体的表面积为150cm²；体积为125cm³。 21．126平方厘米；81立方厘米 【分析】立体图形的表面积＝长方体表面积＋正方体侧面积，立体图形的体积＝长方体体积＋正方体体积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体侧面积＝棱长×棱长×4，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数值即可解答。 【详解】表面积：（6×3＋6×3＋3×3）×2＋3×3×4 ＝（18＋18＋9）×2＋36 ＝45×2＋36 ＝90＋36 ＝126（平方厘米） 体积：6×3×3＋3×3×3 ＝54＋27 ＝81（立方厘米） 22．300厘米 【分析】根据图片，已知长方体的长、宽、高分别是40厘米、15厘米、20厘米；丝带包括4个长，4个宽，4个高，计算即可。 【详解】4×40＋4×15＋4×20 ＝160＋60＋80 ＝300（厘米） 答：至少需要300厘米的丝带。 23．8.64平方分米 【分析】根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6计算即可。 【详解】1.2×1.2×6 ＝1.44×6 ＝8.64（平方分米） 答：包装这个礼品盒至少需要8.64平方分米的包装纸。 24． 9分米 【分析】根据题意可知，正方体铁块锻造成长方体铁块后，形状改变但体积不变。先利用正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，计算出铁块的总体积，再根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，推出用总体积除以长和宽的积，求出长方体的高。 【详解】 （分米） 答：这个长方体铁块的高是9分米。 25．128立方厘米 【分析】根据题意，土豆完全浸没在水中，水面上升部分的体积等于土豆的体积。玻璃缸的底面积不变，水面上升的高度为放入土豆后的高度减去放入前的高度。根据长方体体积＝底面积×高，用底面积乘水面上升的高度即可求出土豆的体积。 【详解】 （立方厘米） 答：这个土豆的体积是立方厘米。 26．(1)360平方分米 (2)2160立方分米 【分析】（1）利用平移法，将台阶的踏面（水平面）和踢面（垂直面）分别平移，地毯展开后是一个长方形。其长等于台阶的长，宽等于台阶的总宽与总高之和。据此利用长方形面积＝长×宽计算即可。 （2）先计算一个台阶的体积。将一个3级台阶看作由三个长方体叠加而成：最下面一层长方体：长20分米，宽9分米，高3分米；中间一层长方体：长20分米，宽9－3＝6分米， 高3分米；最上面一层长方体：长20分米，宽9－6＝3分米，高3分米。分别根据长方体体积＝长×宽×高，计算体积后求和，再将单个台阶体积乘2得到总体积。 【详解】（1）地毯展开后的总宽度为：9＋9＝18（分米） 地毯面积：20×18＝360（平方分米） 答：至少需要360平方分米的地毯。 （2）20×9×3＋20×（9－3）×3＋20×（9－6）×3 ＝20×9×3＋20×6×3＋20×3×3 ＝20×3×（9＋6＋3） ＝20×3×18 ＝60×18 ＝1080（立方分米） 1080×2＝2160（立方分米） 答：这两个3级台阶的总体积是2160立方分米。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $