2027届高考物理一轮复习讲义：专题四 曲线运动万有引力定律-2.平抛运动

该高中物理高考复习教案聚焦曲线运动中的平抛与斜抛运动核心考点，按定义性质、速度位移规律、运动特点及推论的逻辑层次梳理知识，通过考点精讲、典例分析、方法总结和分层练习，帮助学生构建平抛运动的分析框架，突破运动合成与分解的应用难点。 教案突出科学思维与模型建构，通过推导平抛运动速度位移关系及两个重要推论培养学生科学论证能力，设计类平抛运动分析等专题突破策略，结合分层练习和情境化典例，帮助学生在有限时间内掌握解题方法，提升应试能力，为教师把控复习节奏提供系统指导。

高中物理（一轮复习） 第四部分 曲线运动和万有引力 第二节 平抛运动 知识点一 平抛运动 1、定义:将物体用一定的初速度沿水平方向抛出,不考虑空气阻力,物体只在重力作用下所做的运动,叫做平抛运动. 2、性质:①水平方向:以初速度v0做匀速直线运动. ②竖直方向:以加速度a=g做初速度为零的匀变速直线运动,即自由落体运动. ③平抛运动是加速度为重力加速度(a=g)的匀变速曲线运动,轨迹是抛物线. 3、速度位移方程 以抛出点为坐标原点,以初速度v0方向为x正方向,竖直向下为y正方向,如图所示, 则有: ①水平方向:vx=v0, x=v0t. ②竖直方向:vy=gt,y=gt2. ③合速度 tanθ=, 合位移 s与水平方向夹角φ为：tanφ= 随着时间推移vy，逐渐增大，x位移和y位移及合速度v,合位移s均逐渐增大，并且夹角θ、φ也随之改变，且总有θ>φ. 注:合位移方向与合速度方向不一致. 知识拓展： 1、条件：（1）具有水平方向的初速度；（2）只受重力作用。 2、性质：（1）加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动； （2）平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，这两个分运动是相互独立的，其中每一个分运动都不会因另一个分运动的存在而受到影响。 3、处理方法： （1） 建立直角坐标系（一般以抛出点为坐标原点0，以初速度v0方向为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向）； （2）由两个分运动来处理。 4、平抛运动的轨道是抛物线，轨迹方程为：。运动时间为，取决于下落的高度，而与初速度大小无关。水平射程，取决于下落的高度和初速度。 典例1、在h=5 m的楼上，用枪水平瞄准树上的松鼠，设松鼠与枪口相距100 m，当子弹飞离枪口时，松鼠恰好自由下落，不计空气的阻力，求 （1）子弹的初速度多大才能击中松鼠？（2）若子弹的初速度为500 m/s，松鼠下落多高被击中？ 随堂练习：如图所示,为一小球作平抛运动的闪光照片的一部分,图中方格每边长为5cm,g=10m/s2,求小球的水平分速度和小球在B点时的竖直分速度. ( A B C ) 知识点二 平抛运动的特点 1、运动时间和水平射程 ①运动时间:由h和g决定，与v0无关. ②水平射程:,由v0、h、g共同决定. ③落地瞬时速度:由水平初速度v0及高度h决定. 2、平抛运动中速度的变化规律 水平方向分速度保持vx=v0;竖直方向,加速度恒为g,速度vy=gt,从抛出点起,每隔Δt时间的速度的矢量关系如图所示,这一矢量关系有两个特点: ①任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0;②任意相等时间间隔Δt内的速度改变量均竖直向下, 且Δv=Δvy=gΔt. 3、水平、竖直方向的位移 ①在连续相等的时间间隔内,水平方向的位移Ox1=x1x2=x2x3=…,即位移不变; ②在连续相等时间内,竖直方向上的位移Oy1,y1y2,y2y3,…,据Δy=a知,竖直方向上:Δy=gΔ,即位移差不变. 4、平抛运动的两个重要推论 推论1:做平抛(或类平抛)运动的物体在任意 一时刻任一位置处,设其末速度方向与水平方向的夹角为θ,位移与水平方向的夹角为φ,则tanθ=2tanφ. 证明:如图所示,由平抛运动规律得： ,所以tanθ=2tanφ. 推论2：做平抛（或类平抛）运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点.如图中A点和B点. 证明: 设平抛物体的初速度为v0,从原点O到A点的时间为t,A点坐标为(x,y),B点坐标为(x′,0), 则x=v0t,y=gt2,v⊥=gt, 又t 即末状态速度方向反向延长线与x轴的交点B必为此时水平位移x的中点. 知识拓展：平抛运动的飞行时间、水平位移和落地速度等方面的注意问题 （1）物体做平抛运动时在空中运动的时间，其值由高度h决定，与初速度无关。 （2）它的水平位移大小为x= v0，与水平速度v0及高度h都有关系。 （3）落地瞬时速度的大小==，由水平初速度v0及高度h决定。 （4）落地时速度与水平方向夹角为θ，tanθ= ，h越大空中运动时间就越大，θ就越大。 （5）落地速度与水平方向夹角θ，位移方向与水平方向夹角α，θ与α是不等的，不要混淆。 （6）平抛物体的运动中，任意两个相等的时间间隔的速度变化量△v=g△t，都相等且△v方向恒为竖直向下。 （7）平抛运动的偏角与水平位移和竖直位移之间的关系：如右图所示，平抛运动的偏角θ即为平抛运动的速度与水平方向的夹角，所以有：tanθ= tanθ=常称为平抛运动的偏角公式，在一些问答题中可直接应用该结论分析解答。 （8）以抛点为原点，取水平方向为x轴，正方向与初速度v0方向相同，竖直方向为y轴，正方向竖直向下，物体做平抛运动的轨迹上任意一点A（x，y）的速度方向的反向延长线交于x轴上的B点。B点的横坐标xB=。 （9）平抛运动中，任意两个连续相等时间间隔内在竖直方向上分位移之差△h=gt2都相等。 （10）平抛物体的位置坐标：以抛点为坐标原点，竖直向下为y轴正方向，沿初速度方向为x轴正方向，建立直角坐标系（如图所示），据平抛运动在水平方向上是匀速直线运动和在竖直方向上自由落体运动知： 水平分位移x= v0t， 竖直分位移，时间内合位移的大小 设合位移s与水平位移x的夹角为α，则tanα=== 典例2、如图所示，从高为h=5m，倾角θ=450的斜坡顶点水平抛出一小球，小球的初速度为v0，若不计空气阻力，求：（1）当v0=4m/s时，小球的落点离A点的位移大小？ ( A θ v 0 h )（2）当v0=8m/s时，小球的落点离A点的位移大小？（g取10m/s2） 随堂练习：从空中同一点沿水平方向同时抛出两个小球，它们的初速度的大小分别为v1和v2，初速度的方向相反，求经过多长时间两球速度之间的夹角为90°? 知识点三 斜抛运动 1、定义：将物体以速度v，沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动，称为斜抛运动。 ( θ O y x v v y v x ) 2、斜抛运动的处理方法：如右图所示，若被以速度v沿与水平方向成θ角斜向上方抛出，则其初速度可按图示方向分解为vx和vy。 vx=v0cosθ vy= v0sinθ 由于物体运动过程中只受重力作用，所以水平方向作匀速直线运动；而竖直方向因受重力作用，有竖直向下的重力加速度g，同时有竖直向上的初速度vy= v0sinθ，故作匀减速直线运动（竖直上抛运动，当初速度斜向下方时，竖直方向的分运动为竖直下抛运动）。因此斜抛运动可以看作水平方向的匀速直线运动和竖直方向的抛体运动的合运动。 在斜抛运动中，从物体被抛出的地点到落地点的水平距离X叫射程；物体到达的最大高度Y叫做射高。射程X= vxt= v0cosθ×= ； 射高Y= = 。 物体的水平坐标随时间变化的规律是x=（v0cosθ）t 物体在竖直方向的坐标随时间变化的规律是y=（ v0sinθ）t- 小球的位置是用它的坐标x、y描述的，由以上两式消去t，得y=xtanθ-。 因一次项和二次项的系数均为常数，此二次函数的图象是一条抛物线。 典例3、一炮弹以v0=1000m/s的速度与水平方向成300斜向上发射，不计空气阻力，其水平射程为多少？其射高为多大？炮弹在空中飞行时间为多少？（g=10m/s2） 随堂练习：一个棒球以38 m/s的速度被击出，仰角为37°，(g取10 m/s2，sin37°＝0.6)求： (1)该球上升达到的最大高度； (2)该球的飞行时间； (3)射程。 解题思路与方法 一、平抛运动规律的运用 处理平抛运动最基本的出发点，是将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动. 设平抛运动的初速度为v0，建立坐标系如图所示. （1）速度： vx=v0 v=gt 合速度大小 方向 （2）位移：x=v0t s=gt2 合位移大小 方向（注意：合位移与合速度方向不同）. （3）时间：由 (t由下落高度y决定）. （4）轨迹方程：（在未知时间情况下应用方便）. （5）可独立研究竖直方向的运动. 竖直方向为初速度为零的匀变速直线运动a=g. ①连续相等时间内竖直位移之比为:1：3： 5…（2n-1）（n=1，2，3…） ②连续相等时间内竖直位移之差Δy=g. （6）平抛运动是匀变速曲线运动，故相等时间内速度变化量相等，且必沿竖直方向（g=，如图 任意两时刻的速度与速度变化量Δv构成直角三角形，Δv沿竖直方向. 注：平抛运动的速度随时间是均匀变化的，但速率随时间并不均匀变化. 随堂练习：如图所示的是测量子弹离开枪口时速度的装置，子弹从枪口水平射出，在飞行途中穿过两块竖直平行放置的薄木板P、Q，两板相距为L，P距枪口为s，测出子弹穿过两块薄板时留下的弹孔C、D之间的高度差为h，不计空气及薄板的阻力.根据以上数据，求得的子弹离开枪口时的速度是多大？ 二、类平抛运动 类平抛运动的特点是物体所受的合力为恒力,且与初速度方向垂直,可以理解为恒定外力方向初速度为零,物体在此方向上做初速度为零的匀加速直线运动,处理类平抛运动的方法与处理平抛运动的方法类似,但要分析清楚其加速度的大小和方向如何. 注:类平抛运动的初速度v0的方向不一定是水平方向,合力的方向也不一定是竖直方向,加速度大小不一定等于重力加速度g. 随堂练习：光滑水平面上,一个质量为2 kg的物体从静止开始运动,在前5 s受到一个沿正东方向大小为4 N的水平恒力作用,从第5 s末开始改为正北方向大小为2 N的水平恒力作用10 s.求物体在15 s内的位移和15 s末的速度及方向. 课 堂 练 习 1、关于平抛运动，下列说法正确的是(　　) A．平抛运动是非匀变速运动 B．平抛运动是匀速运动 C．平抛运动是匀变速曲线运动 D．平抛运动的物体落地时的速度可能是竖直向下的 2、如图所示，在某次反恐演习中恐怖分子驾机在离地H高处发射一枚炸弹，炸弹以水平速度v1飞出欲轰炸地面目标P，反应灵敏的地面拦截系统同时以速度v2竖直向上发射炸弹进行拦截.设飞机发射炸弹时与拦截系统的水平距离为s，若拦截成功，不计空气阻力，则v1、v2的关系应满足( ) A.v1=v2 B.v1 C.v1 D.v1= 3、农民在精选谷种时，常用一种叫“风车”的农具进行分选.在同一风力作用下，谷种和瘪谷（空壳）。谷粒都从洞口水平飞出，结果谷种和瘪谷落地点不同，自然分开，如图所示.对这一现象，下列分析正确的是( ) A.N处是谷种，M处是瘪谷 B.谷种质量大，惯性大，飞得远些 C.谷种飞出洞口时的速度比瘪谷飞出洞口时的速度小些 D.谷种和瘪谷在竖直方向做自由落体运动 4、如图所示，光滑斜面长为l1,宽为l2，倾角为θ，一物体从斜面左上方P点水平射入，从斜面右下方Q点离开斜面，求入射初速度. 5、 如图所示，排球场总长18 m，设球网高度为2 m，运动员站在离网3 m的线上（图中虚线所示）正对网前跳起将球水平击出.（球飞行中阻力不计，g取10 m/s2) （1）设击球点在3 m线正上方高度为2.5 m，问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不出界？ （2）若击球点在3 m线正上方的高度小于某个值，那么无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度. 课 后 练 习 1、如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶沿水平方向抛出后落在斜面上.物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足( ) A.tanφ=sinθ B.tanφ=cosθ C.tanφ=tanθ D.tanφ=2tanθ 2、某同学对着墙壁练习打网球，假定球在墙面上以25 m/s的速度沿水平方向反弹，落地点到墙面的距离在10 m至15 m之间，忽略空气阻力，取g=10 m/s2.球在墙面上反弹点的高度范围是( ) A.0.8 m至1.8 m B.0.8 m至1.6 m C.1.0 m至1.6 m D.1.0 m至1.8 m 3、（多选）雨滴由静止开始下落遇到水平方向吹来的风，下述说法中正确的是( ) A.风速越大，雨滴下落时间越长 B.风速越大，雨滴着地时速度越大 C.雨滴下落时间与风速无关 D.雨滴着地速度与风速无关 4、（多选）一物体做竖直上抛运动（不计空气阻力），初速度为30 m/s，当它的位移为25 m时，经历时间为（取g=10 m/s2）( ) A.1 s B.2 s C.5 s D.3 s 5、（多选）如图所示，AB为斜面，BC为水平面.从A点以水平速度v向右抛出小球时，其落点与A点的水平距离为x1；从A点以水平速度2v向右抛出小球时，其落点与A点的水平距离为x2.不计空气阻力，则x1x2可能为( ) A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.1：5 6、（多选）在交通事故中，测定碰撞瞬间汽车速度对于事故责任的认定具有重要作用，《中国汽车驾驶员》杂志曾给出一个估算碰撞瞬间车辆速度的公式式中ΔL是被水平抛出的散落在事故现场路面上的两个物体A、B沿公路方向上的水平距离，h1、h2分别是散落物A、B在同一辆车上时距离落点的高度.只要用米尺测量出事故现场的ΔL、h1、h2三个量，根据上述公式就能够估计出碰撞瞬间车辆的速度，则下列叙述正确的是( ) A.A、B落地时间相同 B.落地时间差与车辆速度无关 C.落地时间与车辆速度成正比 D.A、B落地时间差和车辆碰撞瞬间速度的乘积等于ΔL 7、如图是小球做平抛运动的闪光照片，图中每个小方格的边长都是0.54 cm.已知闪光频率是30Hz，那么重力加速度g是______ m/s2，小球的初速度是______ m/s. 8、跳台滑雪是勇敢者的运动，它是利用山势特别建造的跳台.运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上获得高速后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆，这项运动极为壮观.设一位运动员由山坡顶的A点沿水平方向飞出，到山坡上的B点着陆.如图所示，已知运动员水平飞出的速度为v0=20 m/s，山坡倾角为θ=37°，山坡可以看成一个斜面.（g=10 m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8）求： （1）运动员在空中飞行的时间t； （2）AB间的距离s. 提 高 练 习 1、斜抛运动与平抛运动相比较,正确的是(　　) A.斜抛运动是曲线运动,它的速度方向不断改变,不可能是匀变速运动 B.都是加速度逐渐增大的曲线运动 C.平抛运动是速度一直增大的运动,而斜抛运动是速度一直减小的运动 D.都是任意两段相等时间内的速度变化大小相等的运动 2、做平抛运动的物体,落地过程在水平方向通过的距离取决于(　　) A.物体的初始高度和所受重力 B.物体的初始高度和初速度 C.物体所受的重力和初速度 D.物体所受的重力、初始高度和初速度 3、如图所示,在同一竖直平面内,小球a、b从高度不同的两点分别以初速度va和vb沿水平方向抛出,经过时间ta和tb后落到与两抛出点水平距离相等的P点。若不计空气阻力,下列关系正确的是(　　) A.ta>tb,va<vb B.ta>tb,va>vb C.ta<tb,va<vb D.ta<tb,va>vb 4、(多选)滑雪者从山上M处以水平速度飞出,经t0时间落在山坡上N处时速度方向刚好沿斜坡向下,接着从N沿直线自由滑下,又经t0时间到达坡上的P处。斜坡NP与水平面夹角为30°,不计摩擦阻力和空气阻力,则从M到P的过程中水平、竖直两方向的分速度vx、vy随时间变化的图像是(　　) 5、如图所示,一小球从平台上水平抛出,恰好落在平台前一倾角为α=53°的斜面顶端,并刚好沿斜面下滑,已知平台到斜面顶端的高度为h=0.8m,则小球水平抛出的初速度v0和斜面与平台边缘的水平距离x各为多少?(sin53°=0.8,cos53°=0.6,g取10m/s2) 6、“抛石机”是古代战争中常用的一种设备，它实际上是一个费力杠杆．如图所示，某研究小组用自制的抛石机演练抛石过程．所用抛石机长臂的长度L＝4.8 m，质量m＝10.0 kg的石块装在长臂末端的口袋中．开始时长臂与水平面间的夹角α＝30°，对短臂施力，使石块经较长路径获得较大的速度，当长臂转到竖直位置时立即停止转动，石块被水平抛出．石块落地位置与抛出位置间的水平距离s＝19.2 m．不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.求： (1)石块刚被抛出时的速度大小v0；(2)石块刚落地时的速度vt的大小和方向． 7、如图所示，墙壁上落有两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的，飞镖A与竖直墙壁成53°角，飞镖B与竖直墙壁成37°角，两者相距为d，假设飞镖的运动是平抛运动， 求射出点离墙壁的水平距离.（sin37°=0.6,cos37°=0.8) 8、如图所示，一高度为h=0.2 m的水平面在A点处与一倾角θ＝３０°的斜面连接，一小球以v0=5 m/s的速度在平面上向右运动.求小球从A点运动到地面所需的时间（平面与斜面均光滑，取g=10 m/s2）.某同学对此题的解法为：小球沿斜面运动，则由此可求得落地的时间t. 问：你同意上述解法吗？若同意，求出所需的时间；若不同意，则说明理由并求出你认为正确的结果. ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中物理（一轮复习） 第四部分 曲线运动和万有引力 第二节 平抛运动 知识点一 平抛运动 1、定义:将物体用一定的初速度沿水平方向抛出,不考虑空气阻力,物体只在重力作用下所做的运动,叫做平抛运动. 2、性质:①水平方向:以初速度v0做匀速直线运动. ②竖直方向:以加速度a=g做初速度为零的匀变速直线运动,即自由落体运动. ③平抛运动是加速度为重力加速度(a=g)的匀变速曲线运动,轨迹是抛物线. 3、速度位移方程 以抛出点为坐标原点,以初速度v0方向为x正方向,竖直向下为y正方向,如图所示, 则有: ①水平方向:vx=v0, x=v0t. ②竖直方向:vy=gt,y=gt2. ③合速度 tanθ=, 合位移 s与水平方向夹角φ为：tanφ= 随着时间推移vy，逐渐增大，x位移和y位移及合速度v,合位移s均逐渐增大，并且夹角θ、φ也随之改变，且总有θ>φ. 注:合位移方向与合速度方向不一致. 知识拓展： 1、条件：（1）具有水平方向的初速度；（2）只受重力作用。 2、性质：（1）加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动； （2）平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，这两个分运动是相互独立的，其中每一个分运动都不会因另一个分运动的存在而受到影响。 3、处理方法： （1） 建立直角坐标系（一般以抛出点为坐标原点0，以初速度v0方向为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向）； （2）由两个分运动来处理。 4、平抛运动的轨道是抛物线，轨迹方程为：。运动时间为，取决于下落的高度，而与初速度大小无关。水平射程，取决于下落的高度和初速度。 典例1、在h=5 m的楼上，用枪水平瞄准树上的松鼠，设松鼠与枪口相距100 m，当子弹飞离枪口时，松鼠恰好自由下落，不计空气的阻力，求 （1）子弹的初速度多大才能击中松鼠？（2）若子弹的初速度为500 m/s，松鼠下落多高被击中？ 答案：（1）100 m/s (2)0.2 m 解:（1）子弹做平抛运动，要击中松鼠，必须在子弹落地前让子弹与松鼠相遇， 故为竖直方向受限 （2）松鼠未落地前被击中，即子弹水平方向运动受限： 所以=0.2 m 随堂练习：如图所示,为一小球作平抛运动的闪光照片的一部分,图中方格每边长为5cm,g=10m/s2,求小球的水平分速度和小球在B点时的竖直分速度. ( A B C ) 解：据闪光照片时,闪光周期T是不变的,即小球由A到B到C用的时间tAB=tBC=T.因为小球在竖直方向为a=g的匀变速运动,又tAB=tBC,在竖直方向有△y=yBC-yAB=gT2,而yAB =5cm/格×5格25cm;yBC=5cm/格×7格=35cm代入△y=gT2 公式得出闪光周期T=0.1s.小球在抛出时初速度为V0=XAB/T=2m/s,小球在B点时的竖直分速度VBy 等于小球通过A、C两位置的竖直距离的时间中点的平均速度， 即：VBy=yAC/2T=3m/s 知识点二 平抛运动的特点 1、运动时间和水平射程 ①运动时间:由h和g决定，与v0无关. ②水平射程:,由v0、h、g共同决定. ③落地瞬时速度:由水平初速度v0及高度h决定. 2、平抛运动中速度的变化规律 水平方向分速度保持vx=v0;竖直方向,加速度恒为g,速度vy=gt,从抛出点起,每隔Δt时间的速度的矢量关系如图所示,这一矢量关系有两个特点: ①任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0;②任意相等时间间隔Δt内的速度改变量均竖直向下, 且Δv=Δvy=gΔt. 3、水平、竖直方向的位移 ①在连续相等的时间间隔内,水平方向的位移Ox1=x1x2=x2x3=…,即位移不变; ②在连续相等时间内,竖直方向上的位移Oy1,y1y2,y2y3,…,据Δy=a知,竖直方向上:Δy=gΔ,即位移差不变. 4、平抛运动的两个重要推论 推论1:做平抛(或类平抛)运动的物体在任意 一时刻任一位置处,设其末速度方向与水平方向的夹角为θ,位移与水平方向的夹角为φ,则tanθ=2tanφ. 证明:如图所示,由平抛运动规律得： ,所以tanθ=2tanφ. 推论2：做平抛（或类平抛）运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点.如图中A点和B点. 证明: 设平抛物体的初速度为v0,从原点O到A点的时间为t,A点坐标为(x,y),B点坐标为(x′,0), 则x=v0t,y=gt2,v⊥=gt, 又t 即末状态速度方向反向延长线与x轴的交点B必为此时水平位移x的中点. 知识拓展：平抛运动的飞行时间、水平位移和落地速度等方面的注意问题 （1）物体做平抛运动时在空中运动的时间，其值由高度h决定，与初速度无关。 （2）它的水平位移大小为x= v0，与水平速度v0及高度h都有关系。 （3）落地瞬时速度的大小==，由水平初速度v0及高度h决定。 （4）落地时速度与水平方向夹角为θ，tanθ= ，h越大空中运动时间就越大，θ就越大。 （5）落地速度与水平方向夹角θ，位移方向与水平方向夹角α，θ与α是不等的，不要混淆。 （6）平抛物体的运动中，任意两个相等的时间间隔的速度变化量△v=g△t，都相等且△v方向恒为竖直向下。 （7）平抛运动的偏角与水平位移和竖直位移之间的关系：如右图所示，平抛运动的偏角θ即为平抛运动的速度与水平方向的夹角，所以有：tanθ= tanθ=常称为平抛运动的偏角公式，在一些问答题中可直接应用该结论分析解答。 （8）以抛点为原点，取水平方向为x轴，正方向与初速度v0方向相同，竖直方向为y轴，正方向竖直向下，物体做平抛运动的轨迹上任意一点A（x，y）的速度方向的反向延长线交于x轴上的B点。B点的横坐标xB=。 （9）平抛运动中，任意两个连续相等时间间隔内在竖直方向上分位移之差△h=gt2都相等。 （10）平抛物体的位置坐标：以抛点为坐标原点，竖直向下为y轴正方向，沿初速度方向为x轴正方向，建立直角坐标系（如图所示），据平抛运动在水平方向上是匀速直线运动和在竖直方向上自由落体运动知： 水平分位移x= v0t， 竖直分位移，时间内合位移的大小 设合位移s与水平位移x的夹角为α，则tanα=== 典例2、如图所示，从高为h=5m，倾角θ=450的斜坡顶点水平抛出一小球，小球的初速度为v0，若不计空气阻力，求：（1）当v0=4m/s时，小球的落点离A点的位移大小？ ( A θ v 0 h )（2）当v0=8m/s时，小球的落点离A点的位移大小？（g取10m/s2） 答案：（1）4.5m （2）9.4m 分析：小球水平抛出后的落点在斜面上，还是在水平面上，这由初速度的大小来决定。设临界的水平初速度为v，小球恰好落在斜面的底端，则水平方向的位移为x=h=5m，落地时间为 =1s， 求得v=h/t=5m/s 解：（1）若v0<v，小球一定落在斜面上，则x= v0t，y=gt2/2，y=x 位移≈4.5m （2）若v0>v，小球一定落在水平面上，则t=1s，y=h，x= v0t， 位移≈9.4m 随堂练习：从空中同一点沿水平方向同时抛出两个小球，它们的初速度的大小分别为v1和v2，初速度的方向相反，求经过多长时间两球速度之间的夹角为90°? 答案： 解:设两球抛出后经时间t它们速度之间的夹角为90°，与竖直方向的夹角分别为α和β，对两球分别构建速度矢量直角三角形如右图所示， 由图可得：① tanβ＝② 由α+β=90°得cotα=tanβ③ 由①、②、③式得gtv1＝v2gt，整理得 知识点三 斜抛运动 1、定义：将物体以速度v，沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动，称为斜抛运动。 ( θ O y x v v y v x ) 2、斜抛运动的处理方法：如右图所示，若被以速度v沿与水平方向成θ角斜向上方抛出，则其初速度可按图示方向分解为vx和vy。 vx=v0cosθ vy= v0sinθ 由于物体运动过程中只受重力作用，所以水平方向作匀速直线运动；而竖直方向因受重力作用，有竖直向下的重力加速度g，同时有竖直向上的初速度vy= v0sinθ，故作匀减速直线运动（竖直上抛运动，当初速度斜向下方时，竖直方向的分运动为竖直下抛运动）。因此斜抛运动可以看作水平方向的匀速直线运动和竖直方向的抛体运动的合运动。 在斜抛运动中，从物体被抛出的地点到落地点的水平距离X叫射程；物体到达的最大高度Y叫做射高。射程X= vxt= v0cosθ×= ； 射高Y= = 。 物体的水平坐标随时间变化的规律是x=（v0cosθ）t 物体在竖直方向的坐标随时间变化的规律是y=（ v0sinθ）t- 小球的位置是用它的坐标x、y描述的，由以上两式消去t，得y=xtanθ-。 因一次项和二次项的系数均为常数，此二次函数的图象是一条抛物线。 典例3、一炮弹以v0=1000m/s的速度与水平方向成300斜向上发射，不计空气阻力，其水平射程为多少？其射高为多大？炮弹在空中飞行时间为多少？（g=10m/s2） 答案：水平射程为8。67×104m； 射高为1。25×104m； 飞行时间为100s 解：水平射程X=（v0cosθ）t=v0cosθ×2v0sinθ/g= v02sin2θ/g=8.67×104m； 射高H= v02sin2θ/2g=1。25×104m 炮弹飞行时间t=2v0sinθ/g=100s 随堂练习：一个棒球以38 m/s的速度被击出，仰角为37°，(g取10 m/s2，sin37°＝0.6)求： (1)该球上升达到的最大高度； (2)该球的飞行时间； (3)射程。 解：斜抛运动水平方向分运动为匀速直线运动，竖直方向为竖直上抛运动。 (1)H＝，解出H＝25.992 m。 (2)竖直方向上时间具有对称性，则飞行时间为： t＝2·，得出t＝4.56 s。 (3)x＝v0tcosθ，得出：x＝138.624 m。 答案：(1)25.992 m　(2)4.56 s (3)138.624 m 解题思路与方法 一、平抛运动规律的运用 处理平抛运动最基本的出发点，是将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动. 设平抛运动的初速度为v0，建立坐标系如图所示. （1）速度： vx=v0 v=gt 合速度大小 方向 （2）位移：x=v0t s=gt2 合位移大小 方向（注意：合位移与合速度方向不同）. （3）时间：由 (t由下落高度y决定）. （4）轨迹方程：（在未知时间情况下应用方便）. （5）可独立研究竖直方向的运动. 竖直方向为初速度为零的匀变速直线运动a=g. ①连续相等时间内竖直位移之比为:1：3： 5…（2n-1）（n=1，2，3…） ②连续相等时间内竖直位移之差Δy=g. （6）平抛运动是匀变速曲线运动，故相等时间内速度变化量相等，且必沿竖直方向（g=，如图所示. 任意两时刻的速度与速度变化量Δv构成直角三角形，Δv沿竖直方向. 注：平抛运动的速度随时间是均匀变化的，但速率随时间并不均匀变化. 随堂练习：如图所示的是测量子弹离开枪口时速度的装置，子弹从枪口水平射出，在飞行途中穿过两块竖直平行放置的薄木板P、Q，两板相距为L，P距枪口为s，测出子弹穿过两块薄板时留下的弹孔C、D之间的高度差为h，不计空气及薄板的阻力.根据以上数据，求得的子弹离开枪口时的速度是多大？ 解：设子弹离开枪口时的速度为v0，子弹从射出到到达C点的时间为t1， 从C点到D点的时间为t2，则： 子弹飞行到C点时的竖直分速度：vy=gt1③ 子弹从C点到D点竖直下降的高度：： 将①②③代入④式得：. 二、类平抛运动 类平抛运动的特点是物体所受的合力为恒力,且与初速度方向垂直,可以理解为恒定外力方向初速度为零,物体在此方向上做初速度为零的匀加速直线运动,处理类平抛运动的方法与处理平抛运动的方法类似,但要分析清楚其加速度的大小和方向如何. 注:类平抛运动的初速度v0的方向不一定是水平方向,合力的方向也不一定是竖直方向,加速度大小不一定等于重力加速度g. 随堂练习：光滑水平面上,一个质量为2 kg的物体从静止开始运动,在前5 s受到一个沿正东方向大小为4 N的水平恒力作用,从第5 s末开始改为正北方向大小为2 N的水平恒力作用10 s.求物体在15 s内的位移和15 s末的速度及方向. 解：如图,物体在前5s内由坐标原点起向东沿x轴正方向做初速度为零的匀加速运动, 其加速度为: 方向沿x轴正方向. 5 s末物体沿x轴方向的位移=25 m,到达P点, 5 s末速度vx=axt1=2×5 m/s=10 m/s.从第5 s末开始, 物体参与两个分运动:一是沿x轴正方向做速度为10 m/s的匀速运动, 经10 s其位移: 二是沿y轴正方向(正北方向)做初速度为零的匀加速直线运动,其加速度为: 经10s沿y轴正方向的位移: 沿y轴正方向的速度:s 设15 s末物体到达Q点: 方向为东偏北 15 s末的速度为 方向为东偏北α=arctan=45°. 课 堂 练 习 1、关于平抛运动，下列说法正确的是(　　) A．平抛运动是非匀变速运动 B．平抛运动是匀速运动 C．平抛运动是匀变速曲线运动 D．平抛运动的物体落地时的速度可能是竖直向下的 答案　C 解：做平抛运动的物体只受重力作用，产生恒定的加速度，是匀变速运动，其初速度与合外力不共线，是曲线运动，故平抛运动是匀变速曲线运动，A、B错误，C正确；平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，故落地时的速度是水平方向的分速度和竖直方向的分速度的合速度，其方向一定与竖直方向(或水平方向)有夹角，D错误。 2、 如图所示，在某次反恐演习中恐怖分子驾机在离地H高处发射一枚炸弹，炸弹以水平速度v1飞出欲轰炸地面目标P，反应灵敏的地面拦截系统同时以速度v2竖直向上发射炸弹进行拦截.设飞机发射炸弹时与拦截系统的水平距离为s，若拦截成功，不计空气阻力，则v1、v2的关系应满足( ) A.v1=v2 B.v1 C.v1 D.v1= 答案：B 解：当地面发射的拦截炮弹击中飞机上发射的炸弹时所用的时间，在竖直方向上两个炮弹的位移之和为H,则 3、农民在精选谷种时，常用一种叫“风车”的农具进行分选.在同一风力作用下，谷种和瘪谷（空壳）。谷粒都从洞口水平飞出，结果谷种和瘪谷落地点不同，自然分开，如图所示.对这一现象，下列分析正确的是( ) A.N处是谷种，M处是瘪谷 B.谷种质量大，惯性大，飞得远些 C.谷种飞出洞口时的速度比瘪谷飞出洞口时的速度小些 D.谷种和瘪谷在竖直方向做自由落体运动 答案：C 解：由于空气阻力的影响，谷种和瘪谷在竖直方向都不是自由落体运动，瘪谷落地所用时间较长.瘪谷质量小，在同一风力作用下，从洞口水平飞出时的速度较大，因而瘪谷飞得远些.正确选项C. 4、如图所示，光滑斜面长为l1,宽为l2，倾角为θ，一物体从斜面左上方P点水平射入，从斜面右下方Q点离开斜面，求入射初速度. 答案 解：物体的运动可分解为水平方向的速度为v0的匀速直线运动和沿斜面向下的初速度为零、加速度a=gsinθ的匀加速直线运动. 水平方向上有l2=v0t 沿斜面向下的方向上有l1=at2 求得v 5、如图所示，排球场总长18 m，设球网高度为2 m，运动员站在离网3 m的线上（图中虚线所示）正对网前跳起将球水平击出.（球飞行中阻力不计，g取10 m/s2) （1）设击球点在3 m线正上方高度为2.5 m，问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不出界？ （2）若击球点在3 m线正上方的高度小于某个值，那么无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度. 答案：（1）m/s<v< m/s. （2）H< m. 解：(1)如图，设球刚好触网而过，水平射程s1=3 m,飞行时间 下限速度v1= 3 m/s. 设球恰好打在对方端线上，水平射程s2=12 m,飞行时间上限速度 要使球既不触网也不越界，则球初速度应满足m/s<v< m/s. (2)设击球点高度为H时，临界状态为球恰能触网又压线，则有 若v<v1，则触网；若v1>v2，则无论v多大，球不是触网就会出界. 由v1>v2及①②解得H< m. 即H< m，无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界. 课 后 练 习 1、如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶沿水平方向抛出后落在斜面上.物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足( ) A.tanφ=sinθ B.tanφ=cosθ C.tanφ=tanθ D.tanφ=2tanθ 答案:D 解析:如图可得 2、某同学对着墙壁练习打网球，假定球在墙面上以25 m/s的速度沿水平方向反弹，落地点到墙面的距离在10 m至15 m之间，忽略空气阻力，取g=10 m/s2.球在墙面上反弹点的高度范围是( ) A.0.8 m至1.8 m B.0.8 m至1.6 m C.1.0 m至1.6 m D.1.0 m至1.8 m 答案:A 解:如图，反弹后的网球做平抛运动，故水平方向s=v0t，竖直方向h=，联立可得h，当s分别取10 m和15 m时，对应的h分别为0.8 m和1.8 m,故A正确. 3、（多选）雨滴由静止开始下落遇到水平方向吹来的风，下述说法中正确的是( ) A.风速越大，雨滴下落时间越长 B.风速越大，雨滴着地时速度越大 C.雨滴下落时间与风速无关 D.雨滴着地速度与风速无关 答案:BC 解:因为雨滴下落时间只和竖直方向的力有关，所以水平方向的风对下落时间没有影响.C正确；雨滴落地的速度是水平速度和竖直速度的矢量和，所以D错B正确. 4、（多选）一物体做竖直上抛运动（不计空气阻力），初速度为30 m/s，当它的位移为25 m时，经历时间为（取g=10 m/s2）( ) A.1 s B.2 s C.5 s D.3 s 答案:AC 解:设初速方向为正方向，则v0=30 m/s,当位移为x=25 m时，由x=v0t-gt2,代入解得t1=1 s,t2=5 s. 5、（多选）如图所示，AB为斜面，BC为水平面.从A点以水平速度v向右抛出小球时，其落点与A点的水平距离为x1；从A点以水平速度2v向右抛出小球时，其落点与A点的水平距离为x2.不计空气阻力，则x1x2可能为( ) A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.1：5 答案:ABC 解:如果两球都落在斜面上，则 ;如果两球都落在水平面上，则; 如果一个球落在水平面上，另一个球落在斜面上，则. 6、（多选）在交通事故中，测定碰撞瞬间汽车速度对于事故责任的认定具有重要作用，《中国汽车驾驶员》杂志曾给出一个估算碰撞瞬间车辆速度的公式式中ΔL是被水平抛出的散落在事故现场路面上的两个物体A、B沿公路方向上的水平距离，h1、h2分别是散落物A、B在同一辆车上时距离落点的高度.只要用米尺测量出事故现场的ΔL、h1、h2三个量，根据上述公式就能够估计出碰撞瞬间车辆的速度，则下列叙述正确的是( ) A.A、B落地时间相同 B.落地时间差与车辆速度无关 C.落地时间与车辆速度成正比 D.A、B落地时间差和车辆碰撞瞬间速度的乘积等于ΔL 答案:BD 解:A、B都做平抛运动， 由此可知，A、B落地时间不相同，时间差与车辆速度无关，且和车辆碰撞瞬间速度的乘积等于ΔL. 7、如图是小球做平抛运动的闪光照片，图中每个小方格的边长都是0.54 cm.已知闪光频率是30Hz，那么重力加速度g是______ m/s2，小球的初速度是______ m/s. 答案:9.72 0.486 解:在竖直方向上小球做自由落体运动，Δh=gT2, 小球的水平速度： 8、跳台滑雪是勇敢者的运动，它是利用山势特别建造的跳台.运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上获得高速后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆，这项运动极为壮观.设一位运动员由山坡顶的A点沿水平方向飞出，到山坡上的B点着陆.如图所示，已知运动员水平飞出的速度为v0=20 m/s，山坡倾角为θ=37°，山坡可以看成一个斜面.（g=10 m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8）求： （1）运动员在空中飞行的时间t； （2）AB间的距离s. 答案：(1)3 s (2)75 m 解:（1）运动员由A到B做平抛运动水平方向的位移为x=v0t① 竖直方向的位移为y=g② 由①②可得t= =3s③ (2)由题意可知sin37°=④ 联立②④得 将t=3s代入上式得s=75 m. 提 高 练 习 1、斜抛运动与平抛运动相比较,正确的是(　　) A.斜抛运动是曲线运动,它的速度方向不断改变,不可能是匀变速运动 B.都是加速度逐渐增大的曲线运动 C.平抛运动是速度一直增大的运动,而斜抛运动是速度一直减小的运动 D.都是任意两段相等时间内的速度变化大小相等的运动 答案：D 解：斜抛和平抛都是只受重力作用,加速度恒为g的匀变速曲线运动,A、B错;斜抛运动的速度是增大还是减小,要看速度与重力的夹角。成锐角,速度增大,成钝角,速度减小。C错;由Δv=gΔt知D对。 2、做平抛运动的物体,落地过程在水平方向通过的距离取决于(　　) A.物体的初始高度和所受重力 B.物体的初始高度和初速度 C.物体所受的重力和初速度 D.物体所受的重力、初始高度和初速度 答案：B 解：水平方向通过的距离x=v0t,由h=gt2得t=,所以时间t由高度h决定, 又x=v0t=v0,故x由初始高度h和初速度v0共同决定,B正确。 3、如图所示,在同一竖直平面内,小球a、b从高度不同的两点分别以初速度va和vb沿水平方向抛出,经过时间ta和tb后落到与两抛出点水平距离相等的P点。若不计空气阻力,下列关系正确的是(　　) A.ta>tb,va<vb B.ta>tb,va>vb C.ta<tb,va<vb D.ta<tb,va>vb 答案：A 解：设小球a、b高度为ha、hb,则ha=g,hb=g,解得ta=,tb=,由ha>hb,得ta>tb,C、D错误;由落点与两抛出点水平距离相等得vata=vbtb,所以va<vb,A正确,B错误。 4、(多选)滑雪者从山上M处以水平速度飞出,经t0时间落在山坡上N处时速度方向刚好沿斜坡向下,接着从N沿直线自由滑下,又经t0时间到达坡上的P处。斜坡NP与水平面夹角为30°,不计摩擦阻力和空气阻力,则从M到P的过程中水平、竖直两方向的分速度vx、vy随时间变化的图像是(　　) 答案：BD 解：滑雪者先做平抛运动,再沿斜坡向下做匀加速运动,故水平方向的速度先不变,再增大;竖直方向的速度一直增大,但开始的加速度大于在斜坡上的加速度,定量计算可求得B、D正确。 5、如图所示,一小球从平台上水平抛出,恰好落在平台前一倾角为α=53°的斜面顶端,并刚好沿斜面下滑,已知平台到斜面顶端的高度为h=0.8m,则小球水平抛出的初速度v0和斜面与平台边缘的水平距离x各为多少?(sin53°=0.8,cos53°=0.6,g取10m/s2) 解：小球从平台到斜面顶端的过程中做平抛运动,由平抛运动规律有:x=v0t,h=gt2,vy=gt,由题图可知:tanα==,代入数据解得:v0=3m/s,x=1.2m。 答案:3m/s　1.2 m 6、“抛石机”是古代战争中常用的一种设备，它实际上是一个费力杠杆．如图所示，某研究小组用自制的抛石机演练抛石过程．所用抛石机长臂的长度L＝4.8 m，质量m＝10.0 kg的石块装在长臂末端的口袋中．开始时长臂与水平面间的夹角α＝30°，对短臂施力，使石块经较长路径获得较大的速度，当长臂转到竖直位置时立即停止转动，石块被水平抛出．石块落地位置与抛出位置间的水平距离s＝19.2 m．不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.求： (1)石块刚被抛出时的速度大小v0；(2)石块刚落地时的速度vt的大小和方向． 解：(1)石块被抛出后做平抛运动 水平方向s＝v0t， 竖直方向h＝gt2， h＝L＋L·sin α， 解得v0＝16 m/s. (2)落地时，石块竖直方向的速度：vy＝gt＝12 m/s， 落地速度vt＝＝20 m/s 7、如图所示，墙壁上落有两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的，飞镖A与竖直墙壁成53°角，飞镖B与竖直墙壁成37°角，两者相距为d，假设飞镖的运动是平抛运动， 求射出点离墙壁的水平距离.（sin37°=0.6,cos37°=0.8) 答案: 解:设射出点离墙壁的水平距离为x，A下降的高度为h1，B下降的高度为h2， 根据平抛运动规律可知：,而h2-h1=d, 取立解得 8、如图所示，一高度为h=0.2 m的水平面在A点处与一倾角θ＝３０°的斜面连接，一小球以v0=5 m/s的速度在平面上向右运动.求小球从A点运动到地面所需的时间（平面与斜面均光滑，取g=10 m/s2）.某同学对此题的解法为：小球沿斜面运动，则由此可求得落地的时间t. 问：你同意上述解法吗？若同意，求出所需的时间；若不同意，则说明理由并求出你认为正确的结果. 解:不同意.小球应在A点离开平面做平抛运动，而不是沿斜面下滑，正确做法为： 落地点与A点的水平距离而斜面底宽l=hcotθ=0.35 m,x＞l，小球离开A点后不会落到斜面上，因此落地时间即为平抛运动时间， ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $