精品解析：福建省龙岩市第二中学2025-2026学年高二第二学期第一次考试数学试题

龙岩二中2025～2026学年第二学期高二第一次月考数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 某班学生的考试成绩中，数学不及格的占，语文不及格的占，两门都不及格的占，已知一学生数学不及格，则他的语文也不及格的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四面体中，是棱上一点，且是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在长方体中，已知，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，满足（为的导函数），设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若构成空间的一个基底，则，，必共面 B. 若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若空间向量、满足，则与夹角为钝角 D. 点关于平面对称的点的坐标是 10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，则以为原点，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. C. 是平面的一个法向量 D. 点到平面的距离为 11. 已知函数，是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在区间上单调递减 C. 过点能作两条不同直线与相切 D. 函数恰有4个零点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分） 12. 曲线在处的切线的方程为_______ 13. 已知函数，则______． 14. 已知x，y为正实数，，则的取值范围是___________． 四、解答题 15. 设函数. （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 16. 已知空间三点，，．设，． （1）求，； （2）求与的夹角； （3）若向量与互相垂直，求实数k的值． 17. 已知函数，. （1）当时，求的极值点； （2）讨论的单调性； （3）若函数在上恒小于0，求a的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，为中点，点在上，且. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 19. 函数. （1）当时，恒成立，求的取值范围； （2）证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩二中2025～2026学年第二学期高二第一次月考数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中，点关于坐标轴对称的特征求解. 【详解】依题意，点关于轴的对称点为. 故选：D 2. 已知函数，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】通过函数求导代入即可求得参数值. 【详解】∵，∴，解得：. 故选：C. 3. 某班学生的考试成绩中，数学不及格的占，语文不及格的占，两门都不及格的占，已知一学生数学不及格，则他的语文也不及格的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率公式直接计算可得. 【详解】设为事件“数学不及格”，为事件“语文不及格”，则 由条件概率公式， 所以当数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为． 故选：A 4. 如图，在四面体中，是棱上一点，且是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的加减法进行计算. 【详解】由题意，得 ． 故选：D． 5. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，导函数在上恒非负，根据恒成立的问题的办法解决. 【详解】，又在上单调递增，故在上恒成立，而时，易见，只需要即可，故. 故选：B. 6. 如图，在长方体中，已知，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的求夹角的余弦值即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标， 因为，E为的中点， 所以， 所以， 假设异面直线与所成的角为， 则. 故选：D. 7. 已知函数的定义域为，满足（为的导函数），设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，判断函数单调性后即可求解. 【详解】令，则， 因为，所以， 所以函数在上单调递增， 因为，所以． 故选：B 8. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】函数有两个零点，等价于有两个根，即有两个根，转化为两个函数图象有两个交点，结合导数画出图象草图，即可得解. 【详解】函数有两个零点,等价于有两个根，即有两个根， 令，， 令，，所以在R上单调递增； 又， 所以当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值为， 当时，当时， 要想有两个根，只需要，即 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若构成空间的一个基底，则，，必共面 B. 若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若空间向量、满足，则与夹角为钝角 D. 点关于平面对称的点的坐标是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A利用空间向量基本定理即可判断，对于B由即可判断，对于C当时，则是钝角或即可判断，对于D关于平面对称的点，横坐标和竖坐标不变，纵坐标变为相反数，即可判断. 【详解】对于A，构成空间的一个基底，则，，不共面， 因为，则，，必共面，故A正确； 对于B，在中，所以P，A，B，C四点共面，故B正确； 对于C，当时，则是钝角或，故C错误； 对于D，关于平面对称的点，横坐标和竖坐标不变，纵坐标变为相反数， 所以点关于平面对称的点的坐标是，故D正确． 故选：ABD． 10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，则以为原点，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. C. 是平面的一个法向量 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由线面平行的判定定理证明即可；对于B，由空间向量判断异面直线垂直即可；对于C，由平面法向量求解即可；对于D，由点到平面的距离公式计算即可. 【详解】对于A，由于，分别是的中点， 所以平面平面， 所以平面，故A正确； 对于B，， 故，， 故与不垂直，进而可得与不垂直，故B错误； 对于C，由，所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的一个法向量，故C正确； 对于D，，点到平面的距离为，故D正确. 故选：ACD． 11. 已知函数，是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在区间上单调递减 C. 过点能作两条不同直线与相切 D. 函数恰有4个零点 【答案】AB 【解析】 【分析】求得，根据，可判定A正确；由，利用导数的符号求得函数的单调区间，可判定B错误；设过点且与函数相切的切点为，求得切线方程，列出方程求得的值，可判定C错误；令，作出函数的图象，得到，进而的函数零点的个数，可判定以D正确． 【详解】对于A中，由函数，可得， 因为 是函数的一个极值点，可得， 解得，经检验适合题意，所以A正确； 对于B中，由，令，解得或， 当时，；当时，；当时，， 故在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增，所以B正确； 对于C中，设过点且与函数相切的切点为， 则该切线方程为， 由于切点满足直线方程，则， 整理得，解得，所以只能作一条切线，所以C错误； 对于D中，令，则的根有三个，如图所示，， 所以方程有3个不同根，方程和均有1个根， 故有5个零点，所以D错误． 故选：AB． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分） 12. 曲线在处的切线的方程为_______ 【答案】 【解析】 【分析】利用求导得到导函数，代入得到切线斜率，再求出切点坐标，根据点斜式写出切线方程即可. 【详解】由题意，，所以，则， 因为当时，，所以在处的切线的方程为：，即. 故答案为：. 13. 已知函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由复合函数的求导法则求出导函数，即可求解. 【详解】令，则， 因此 ， 所以 . 14. 已知x，y为正实数，，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用构造一个函数，结合求导思想分析单调性，从而可得出，再由基本不等式求解. 【详解】由得：， 构造函数，则， 可知在上递增， 结合，得 ，即 由基本不等式可知：， 当且仅当时等号成立，所以. 故答案为：. 四、解答题 15. 设函数. （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）的单调递增区间为；单调递减区间为 （2）在区间上的最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用导数求解函数的单调性； （2）通过比较端点值和极值，得到函数的最值. 【小问1详解】 ， 令，得 ， 令，得 ; 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 由（1）知函数的极小值点为，极小值为， 因为，， 故在区间上的最大值为，最小值为. 16. 已知空间三点，，．设，． （1）求，； （2）求与的夹角； （3）若向量与互相垂直，求实数k的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量模的坐标运算公式即可求出结果； （2）由（1）可知的坐标，根据空间向量夹角的坐标运算公式，即可求出结果； （3）由（1）可求出，的坐标，由向量与互相垂直， 可得，再根据空间向量数量积的坐标运算公式建立方程，即可求出结果. 【小问1详解】 解：因为，，所以, 所以； 因为，，所以， 所以； 【小问2详解】 解：由（1）可知， 又，所以， 即与的夹角为. 【小问3详解】 解：由（1）可知，， 又向量与互相垂直， 所以，所以， 即，解得. 17. 已知函数，. （1）当时，求的极值点； （2）讨论的单调性； （3）若函数在上恒小于0，求a的取值范围. 【答案】（1）极大值点，无极小值点； （2）当时，函数单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减； （3）. 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数求得函数 的单调区间，进而得到极值． （2）求导得到，讨论和两种情况，计算得到答案. （3）讨论，，，四种情况，根据单调性得到函数最值得到答案. 【小问1详解】 当时，，定义域为. ， 令，得, 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 在时取得极大值，无极小值. 所以的极大值点是，无极小值点. 【小问2详解】 ，则，， 当时，恒成立，函数单调递减； 当时，， ，，函数单调递增， ，，函数单调递减. 综上所述：当时，函数单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 函数在上恒小于0，等价于. 由（2）知， 当时，函数单调递减，故恒成立，故符合题意； 当时，若，即，函数在上单调递减， 故，成立，故符合题意； 若，即，函数在上单调递增，在上单调递减， 故，即，解得，故； 若，即，函数在上单调递增， 故，解得， 故无解. 综上所述：. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，为中点，点在上，且. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）∵，，.∴，∴，即. 又∵，且，且直线均在平面内，∴平面 （2） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理证明，利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）由面面垂直的性质和线面垂直的性质可得，进而建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出该面面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵平面平面，平面平面. 又，平面，∴平面， 又因为平面，∴. 由（1）已证，且已知，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，， ∴，，，， ∵E为的中点，∴， 又∵，∴， 设平面的法向量为，则， 令，则，， ∴，由(1)可知，平面，∴平面即平面的法向量为， ∴， ∴由图可知，二面角为锐角，其余弦值为. 19. 函数. （1）当时，恒成立，求的取值范围； （2）证明：当时，. 【答案】（1） （2）时，要证，即. 设，则，.设，， 则在上恒成立.所以在上单调递增. 又，，则方程只有一解， 设为，且，.当时，当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 因为，所以，，，所以. 即.所以在上恒成立.从而原命题成立 【解析】 【分析】（1）分情况讨论，分离参数，可把问题转化为，恒成立的问题，设，，利用导数求函数的最小值即可. （2）问题转化为证明，设，，只需证的最小值大于0即可； 【小问1详解】 当时，. 当时，上式恒成立，即；当时，. 设，，则. 设，，则在上恒成立，即在上单调递增， 又，所以在上恒成立.所以由， 由.所以在上单调递减，在上单调递增. 所以.所以. 综上可知：的取值范围为：. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $