2025-2026学年华东师大版数学八年级下册期末模拟卷

**基本信息** 以雄忻高铁、商场采购等真实情境为载体，覆盖分式、函数、特殊四边形等核心知识，通过基础题-提升题-探究题梯度设计，考查抽象能力、推理意识与创新应用，适配八年级下册期末综合测评。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|科学记数法、中位数、分式、平行四边形性质与判定|第7题高铁行程问题考查方程建模，第10题矩形动点综合考查空间观念| |填空题|6题/18分|一次函数交点、方差、平行四边形周长、分式方程增根|第16题矩形折叠坐标计算，融合几何直观与运算能力| |解答题|10题/72分|统计分析、特殊四边形证明、函数综合、折叠探究|25题矩形折叠探究，通过操作-判断-迁移，培养创新意识与推理能力|

2025-2026学年华东师大版数学八年级下册期末模拟卷 一．选择题（共10小题） 1．少年的一根头发的直径大约为0.0000412米，将数据“0.0000412”用科学记数法表示为（　　） A．0.412×10﹣4 B．4.12×10﹣4 C．4.12×10﹣5 D．4.12×10﹣6 2．一组数据3，5，1，4，5的中位数是（　　） A．1 B．3 C．4 D．5 3．若分式的值为零，则x的值等于（　　） A．﹣1 B．0 C．2 D．1 4．▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列与线段OB一定相等的是（　　） A．AB B．OA C．OC D．OD 5．已知正比例函数y＝kx（k≠0），当x＝2时，y＝6，下列哪个点在该函数图象上（　　） A．（1，﹣3） B．（3，﹣1） C．（6，2） D．（﹣2，﹣6） 6．已知四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD交于点O，下列条件中不能用作判定该四边形是平行四边形条件的是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AD∥BC D．OA＝OC 7．连接河北省雄安新区与山西省忻州的雄忻高铁将于2022年12月开上，全长342km，通过高速路里程为366km，建成后通过高铁出行将比高速路出行节省3个小时．已知该段高铁的平均运行速度为汽车在高速路上平均速度的3倍，设汽车在该段高速路上的速度为x km/h，则所列方程为（　　） A．3 B．3 C．3 D．3 8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　） A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形 C．当AC＝BD时，它是矩形 D．当∠ABC＝90°时，它是正方形 9．已知：如图，直线y＝x+b与x轴交于点A（2，0），P为y轴上B点下方一点，以AP为腰作等腰直角三角形APM，点M落在第四象限，若PB＝m（m＞0），用含m的代数式表示点M的坐标是（　　） A．（m﹣2，m+4） B．（m+2，m+4） C．（m+2，﹣m﹣4） D．（m﹣2，﹣m﹣4） 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，点E，F分别是边AB，BC上的动点，点E不与A，B重合，且EF＝AB，G是五边形AEFCD内满足GE＝GF且∠EGF＝90°的点．现给出以下结论： ①∠GEB与∠GFB一定互补；②点G到边AB，BC的距离一定相等；③点G到边AD，DC的距离可能相等；④点G到边AB的距离的最大值为2．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④ （第9题） （第10题） （第15题） （第16题） 二．填空题（共6小题） 11．一次函数y＝2x﹣4与x轴交点坐标为 　 　 ． 12．甲、乙两队队员（各50名）的身高情况为：平均身高（单位：cm）分别为：；方差分别为：．现要从甲、乙两队中选出身高比较整齐的一个队参加体操比赛，应该选择 　 　 ．（填写“甲”或“乙”） 13．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC＝14，BD＝8，AB＝10，则△OAB的周长为　 　 ． 14．若关于x的分式方程3有增根，那么m＝　 　 ． 15．如图，已知菱形ABCD和正方形DEBF，，连接AE，则线段AE长为 　 　 ． 16．如图，四边形ABCO是矩形，点A的坐标是（4，0），点C的坐标是（0，8），把矩形ABCO沿OB折叠．点A落在点D处，则点D的坐标是 　 　 ． 三．解答题（共10小题） 17．计算：（2017﹣π）0﹣（）﹣1+（﹣1）4． 18．解方程：． 19． 先化简，再求值：，其中． 20．在一次“爱心助学”捐款活动中，全校同学人人拿出自己的零花钱，踊跃捐款，学生捐款额有5元、10元、15元、20元四种情况，李老师在全校范围内随机抽取部分学生，对捐款金额进行了统计，根据统计结果，绘制出如下的统计图1和图2．解答下列问题： （1）本次抽取的学生人数为 　 　 ，图1中m的值为 　 　 ； （2）求统计的这组学生捐款数据的平均数、众数和中位数． 21．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE． （1）求证：四边形AEBD是矩形； （2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由． 22．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线． （1）尺规作图：求作▱ACED；（保留作图痕迹．不写作法） （2）在（1）的条件下，若AB＝8，AD＝5，点E到CD的距离． 23．某商场准备同时采购甲、乙两种商品进行销售．已知用5000元采购甲商品的件数与用4000元采购乙商品的件数相同，一件甲商品的进价比一件乙商品的进价多10元． （1）求一件甲、乙商品的进价分别为多少元？ （2）若该商场购进甲、乙两种商品共600件，其中甲商品的件数不超过乙商品件数的一半，且不少于100件．已知甲商品的售价为70元/件，乙商品的售价为80元/件，且甲、乙两种商品均能全部售出．试设计一个方案，使得某商场销售完甲、乙两种商品后，所获利润最大，并求出这个最大利润． 24．如图，点P是反比例函数y（x＞0）图象上的一点．过点P分别作x轴、y轴的平行线，分别与y轴、x轴交于点D，E，与经过点（2，5）的双曲线y（k≠0，x＞0）交于点A，B，连接AB． （1）求k的值； （2）连接OA，OB．若点P的横坐标为2，求△AOB的面积； （3）若直线AB分别与x轴，y轴交于点M，N，求证：AM＝BN． 25．数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在AD边上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM、BM． 根据以上操作，如图1，当点M在EF上时，连接AM，判断△ABM的形状并证明． （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片ABCD，且边长为8cm，继续探究，过程如下： ①将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．如图2，当点M在EF上时，求FQ的长； ②点P在边AD上，将△ABP沿直线BP翻折，使得点A落在正方形内的点M处，连接DM并延长交正方形ABCD一边于点G．当BG＝DP时，DP的长为 　 　 ． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D D D B A D C C 一．选择题（共10小题） 1．少年的一根头发的直径大约为0.0000412米，将数据“0.0000412”用科学记数法表示为（　　） A．0.412×10﹣4 B．4.12×10﹣4 C．4.12×10﹣5 D．4.12×10﹣6 【解答】解：0.0000412＝4.12×10﹣5． 故选：C． 2．一组数据3，5，1，4，5的中位数是（　　） A．1 B．3 C．4 D．5 【解答】解：把数据3，5，1，4，5从小到大排列得1，3，4，5，5， ∴数据3，5，1，4，5的中位数是4． 故选：C． 3．若分式的值为零，则x的值等于（　　） A．﹣1 B．0 C．2 D．1 【解答】解：∵x﹣1＝0，2x+2≠0， ∴x＝1． 故选：D． 4．▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列与线段OB一定相等的是（　　） A．AB B．OA C．OC D．OD 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， 故选：D． 5．已知正比例函数y＝kx（k≠0），当x＝2时，y＝6，下列哪个点在该函数图象上（　　） A．（1，﹣3） B．（3，﹣1） C．（6，2） D．（﹣2，﹣6） 【解答】解：把x＝2，y＝6代入y＝kx（k≠0）得，6＝2k， 解得k＝3， ∴正比例函数为y＝3k， A、∵当x＝1时，y＝3≠﹣3，∴此点不在函数图象上，故本选项错误； B、∵当x＝3时，y＝9≠﹣1，∴此点不在函数图象上，故本选项错误； C、∵当x＝6时，y＝18≠2，∴此点不在函数图象上，故本选项错误； D、∵当x＝﹣2时，y＝﹣6，∴此点在函数图象上，故本选项正确． 故选：D． 6．已知四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD交于点O，下列条件中不能用作判定该四边形是平行四边形条件的是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AD∥BC D．OA＝OC 【解答】解：A、由AB∥CD、AB＝CD可以判定该四边形是平行四边形，根据是“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，故本选项错误； B、由AB∥CD、AC＝BD不可以判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确； C、由AB∥CD、AD∥BC可以判定该四边形是平行四边形，根据是“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，故本选项错误； D、由AB∥CD得到：∠DAO＝∠BCO，在△DAO与△BCO中，，则△DAO≌△BCO（ASA）， 所以OD＝OB， 又OA＝OC， 所以四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误； 故选：B． 7．连接河北省雄安新区与山西省忻州的雄忻高铁将于2022年12月开上，全长342km，通过高速路里程为366km，建成后通过高铁出行将比高速路出行节省3个小时．已知该段高铁的平均运行速度为汽车在高速路上平均速度的3倍，设汽车在该段高速路上的速度为x km/h，则所列方程为（　　） A．3 B．3 C．3 D．3 【解答】解：由题意可得： 3． 故选：A． 8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　） A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形 C．当AC＝BD时，它是矩形 D．当∠ABC＝90°时，它是正方形 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意； 故选：D． 9．已知：如图，直线y＝x+b与x轴交于点A（2，0），P为y轴上B点下方一点，以AP为腰作等腰直角三角形APM，点M落在第四象限，若PB＝m（m＞0），用含m的代数式表示点M的坐标是（　　） A．（m﹣2，m+4） B．（m+2，m+4） C．（m+2，﹣m﹣4） D．（m﹣2，﹣m﹣4） 【解答】解：∵直线y＝x+b与x轴交于点A（2，0）， ∴2+b＝0， ∴b＝﹣2， ∴B（0，﹣2）， 作MN⊥y轴于N， ∵△APM为以AP为腰作等腰直角三角形， ∴∠APM＝90°． ∴∠OPA+∠NPM＝90°． ∵∠NMP+∠NPM＝90°， ∴∠OPA＝∠NMP． 在△PAO与△MPN中 ∴△PAO≌△MPN（AAS）． ∴OP＝NM，OA＝NP． ∵PB＝m（m＞0）， ∴ON＝2+m+2＝4+m MN＝OP＝2+m． ∵点M在第四象限， ∴点M的坐标为（m+2，﹣4﹣m）． 故选：C． 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，点E，F分别是边AB，BC上的动点，点E不与A，B重合，且EF＝AB，G是五边形AEFCD内满足GE＝GF且∠EGF＝90°的点．现给出以下结论： ①∠GEB与∠GFB一定互补； ②点G到边AB，BC的距离一定相等； ③点G到边AD，DC的距离可能相等； ④点G到边AB的距离的最大值为2． 其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④ 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， 又∵∠EGF＝90°，四边形内角和是360°， ∴∠GEB+∠GFB＝180°， 故①正确； 过G作GM⊥AB，GN⊥BC，分别交AB于M，交BC于N， ∵GE＝GF且∠EGF＝90°， ∴∠GEF＝∠GFE＝45°， 又∵∠B＝90°， ∴∠BEF+∠EFB＝90°，即∠BEF＝90°﹣∠EFB， ∵∠GEM＝180°﹣∠BEF﹣∠GEF＝180°﹣45°﹣（90°﹣∠EFB）＝45°+∠EFB， ∠GFN＝∠EFB+∠GFE＝∠EFB+45°， ∴∠GEM＝∠GFN， 在△GEM和△GFN中， ， ∴△GEM≌△GFN（AAS）， ∴GM＝GN， 故②正确； ∵AB＝4，AD＝5，并由②知， 点G到边AD，DC的距离不相等， 故③错误： 在直角三角形EMG中，MG≤EG，当点E、M重合时EG最大， ∵EF＝AB＝4， ∴GE＝EB＝BF＝FG＝42， 故④正确． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 11．一次函数y＝2x﹣4与x轴交点坐标为 　（2，0）　 ． 【解答】解：把y＝0代入y＝2x﹣4得：0＝2x﹣4， 解得：x＝2， 即一次函数y＝2x﹣4与x轴的交点坐标是（2，0）． 故答案为：（2，0）． 12．双十中学今年春季开展体操活动，家炜收集、整理了成绩突出的甲、乙两队队员（各50名）的身高情况，得到以下信息：平均身高（单位：cm）分别为：；方差分别为：．现要从甲、乙两队中选出身高比较整齐的一个队参加上一级的体操比赛，根据上述数据，应该选择 　甲　 ．（填写“甲”或“乙”） 【解答】解：∵S2甲＝1.5，S2乙＝2.6， ∴S2甲＜S2乙， ∴甲队身高比较整齐， 故答案为：甲． 13．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC＝14，BD＝8，AB＝10，则△OAB的周长为　21　 ． 【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，AC＝14，BD＝8，AB＝10， ∴AB＝BD＝8，OAAC＝7，OBBD＝4， ∴△OAB的周长为：AB+OB+OA＝10+7+4＝21． 故答案为：21． 14．若关于x的分式方程3有增根，那么m＝　1　 ． 【解答】解：方程两边都乘（x﹣2），得 x﹣1﹣3（x﹣2）＝m， ∵原方程增根为x＝2， ∴把x＝2代入整式方程，得m＝1． 故答案为1． 15．如图，已知菱形ABCD和正方形DEBF，，连接AE，则线段AE长为 　33　 ． 【解答】解：如图，连接EF，DB相交于点O， ∵DEBF是正方形， ∴EF⊥DB，EO＝DO， ∴△DEO是等腰直角三角形， ∵ED＝3， ∴EO2+DO2＝ED2， ∴EO＝DO＝3， 在直角三角形ADO中， ∵AD2＝AO2+DO2， ∵AD＝6，DO＝3， ∴AO＝3， ∴AE＝AO﹣EO＝33． 故答案为：33． 16．如图，四边形ABCO是矩形，点A的坐标是（4，0），点C的坐标是（0，8），把矩形ABCO沿OB折叠．点A落在点D处，则点D的坐标是 　（，）　 ． 【解答】解：过点D作DF⊥OC于F，设BD与OC交于点E， ∵点A的坐标是（4，0），点C的坐标是（0，8）， ∴OA＝4，OC＝8， 由折叠的性质可知：OD＝OA＝4，BD＝AB＝8，∠ABO＝∠DBO，∠BDO＝∠OAB＝90°， ∵OC∥AB， ∴∠ABO＝∠BOC， ∴∠DBO＝∠BOC， ∴OE＝BE， 设OE＝BE＝x，则CE＝8﹣x， 在Rt△BCE中，BC2+CE2＝BE2，即42+（8﹣x）2＝x2， 解得：x＝5， ∴DE＝8﹣5＝3， ∵S△ODEDE•ODOE•DF， ∴DF， ∴OF， ∴点D的坐标为（，）， 故答案为：（，）． 三．解答题（共9小题） 17．计算：（2017﹣π）0﹣（）﹣1+（﹣1）4． 【解答】解：原式＝1﹣3+1 ＝﹣1． 18．解方程：． 【解答】解：方程两边都乘以（x+1）（2x﹣1）将分式方程化为整式方程，得 4x﹣2＝3x+3．…（1分） 移项，得4x﹣3x＝3+2， 合并同类项得，x＝5．…（2分） 检验：当x＝5时，（x+1）（2x﹣1）＝（5+1）（2×5﹣1）＝54≠0， ∴x＝5是原方程的根．…（4分） 故原分式方程的根是x＝5． 19．先化简，再求值：，其中． 【解答】解：原式＝（） • ， 当x时， 原式2． 20．在一次“爱心助学”捐款活动中，全校同学人人拿出自己的零花钱，踊跃捐款，学生捐款额有5元、10元、15元、20元四种情况，李老师在全校范围内随机抽取部分学生，对捐款金额进行了统计，根据统计结果，绘制出如下的统计图1和图2．解答下列问题： （1）本次抽取的学生人数为 　50人　 ，图1中m的值为 　36%　 ； （2）求统计的这组学生捐款数据的平均数、众数和中位数． 【解答】解：（1）由统计图可知， 本次抽取的学生人数为：6+18+16+10＝50（人），∴， 故答案为：50人；36%． （2）由统计图可知， ∴这组学生捐款数据的平均数为：， ∵这组数据中10出现了18次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是10， ∵将这组数据从小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数都是15， ∴这组数据的中位数是：． 21．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE． （1）求证：四边形AEBD是矩形； （2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由． 【解答】（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴平行四边形AEBD是矩形； （2）当∠BAC＝90°时， 理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线， ∴AD＝BD＝CD， ∵由（1）得四边形AEBD是矩形， ∴矩形AEBD是正方形． 22．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线． （1）尺规作图：求作▱ACED；（保留作图痕迹．不写作法） （2）在（1）的条件下，若AB＝8，AD＝5，点E到CD的距离． 【解答】解：（1）如图，▱ACED为所作； （2）过E点作EH⊥BC于H点，如图， ∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线． ∴CD＝BD＝AD＝5， ∴AC6， ∴S△ACDS△ABC6×8＝12， ∵四边形ACED为平行四边形， ∴S△ECD＝S△ACD＝12， 即5×EH＝12， 解得EH， 即点E到CD的距离为． 23．某商场准备同时采购甲、乙两种商品进行销售．已知用5000元采购甲商品的件数与用4000元采购乙商品的件数相同，一件甲商品的进价比一件乙商品的进价多10元． （1）求一件甲、乙商品的进价分别为多少元？ （2）若该商场购进甲、乙两种商品共600件，其中甲商品的件数不超过乙商品件数的一半，且不少于100件．已知甲商品的售价为70元/件，乙商品的售价为80元/件，且甲、乙两种商品均能全部售出．试设计一个方案，使得某商场销售完甲、乙两种商品后，所获利润最大，并求出这个最大利润． 【解答】解：（1）设一件乙商品的进价为x元，则一件甲商品的进价为（x+10）元， 依题意，得， 解得：x＝40． 经检验，x＝40是原方程的解． 当x＝40时，x+10＝50， 答：一件甲商品的进价为50元，一件乙商品的进价为40元． （2）设商场购进甲商品m件，则购进乙商品（600﹣m）件，依题意，得m， 解得m≤200， 因为m≥100，所以100≤m≤200， 设所获利润为W元，依题意，得：W＝（70﹣50）m+（80﹣40）（600﹣m）＝﹣20m+24000， 因为k＝﹣20＜0，所以W随m的增大而减小， 所以当m＝100时，W最大＝22000， 当m＝100时，600﹣m＝600﹣100＝500． 所以获得利润最大的方案是：购进甲商品100件，购进乙商品500件，最大利润是22000元． 24．如图，点P是反比例函数y（x＞0）图象上的一点．过点P分别作x轴、y轴的平行线，分别与y轴、x轴交于点D，E，与经过点（2，5）的双曲线y（k≠0，x＞0）交于点A，B，连接AB． （1）求k的值； （2）连接OA，OB．若点P的横坐标为2，求△AOB的面积； （3）若直线AB分别与x轴，y轴交于点M，N，求证：AM＝BN． 【解答】解：（1）∵点（2，5）在双曲线上， ∴， 解得：k＝10； （2）过点A作AF⊥x轴于点F． ∵点P的横坐标为2， ∴， ∴点P的坐标为（2，1）， 同理可得A（10，1），B（2，5）， ∵点A，B都在反比例函数的图象上， ∴S△AOF＝S△BOE＝5， ∴S△AOB＝S四边形ABOF﹣S△AOF＝（S△BOE+S梯形BEFA）﹣S△AOF＝S梯形BEFA， （3）过点B作BG⊥y轴于点G． 设点P，则点A，B， 设直线AB的函数关系式为y＝k'x+b（k'≠0）． ∴， 解得：， ∴直线AB的函数关系式为， ∴M（6m，0），N， ∴OM＝6m，． ∴，FM＝OM﹣OF＝6m﹣5m＝m， ∴，GB＝FM＝m， ∵∠NGB＝∠AFM＝90°， ∴△NGB≌△AFM（SAS）， ∴AM＝BN． 25．数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在AD边上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM、BM． 根据以上操作，如图1，当点M在EF上时，连接AM，判断△ABM的形状并证明． （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片ABCD，且边长为8cm，继续探究，过程如下： ①将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．如图2，当点M在EF上时，求FQ的长； ②点P在边AD上，将△ABP沿直线BP翻折，使得点A落在正方形内的点M处，连接DM并延长交正方形ABCD一边于点G．当BG＝DP时，DP的长为 　4cm或（88）cm　 ． 【解答】解：（1）△ABM是等边三角形，理由如下： ∵对折矩形纸片ABCD， ∴AE＝BEAB，∠AEF＝∠BEF＝90°， ∵沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处， ∴AB＝BM，∠ABP＝∠PBM， ∵sin∠BME， ∴∠EMB＝30°， ∴∠MBE＝60°， ∴△ABM是等边三角形； （2）①同（1）可得∠PBC＝60°， ∵AD∥BC， ∴∠APB＝∠PBC＝60°， 由翻折可知， ∴∠APB＝∠MPB＝60°， ∴∠DPQ＝180°﹣∠APB﹣∠MPB＝60°， ∵AD∥EF， ∴∠DPQ＝∠FMQ＝60°， 由折叠可知BE＝4cm，BM＝8cm，∠BEM＝∠BMP＝∠CFE＝90°， ∵EM4（cm）， ∵BC＝EF＝8cm， ∴MF＝EF﹣EM＝（8﹣4）cm， 在Rt△QFM中，∠FMQ＝60°， ∴FQMF＝（8﹣4）（812）cm； ②如图3.1中，连接PB，AM交于点J， ∵BG＝PD，BG∥PD， ∴四边形BGDP是平行四边形， ∴PB∥DG， ∵△PBM是由△PBA翻折得到， ∴AJ＝JM， ∴AP＝PDAD＝4cm； 如图3.2中，连接AM，BP交于点O，过点M作MT⊥AD． ∵AB＝AD，BG＝DP， ∴AG＝AP， ∵∠BAP＝∠DAG＝90°， ∴△BAP≌△DAG（SAS）， ∴∠ABP＝∠ADG， ∵AM⊥PB， ∴∠ABP+∠BAO＝90°，∠BAO+∠PAO＝90°， ∴∠PAO＝∠ABP， ∴∠PAO＝∠ADG， ∴MA＝MD， ∵MT⊥AD， ∴AT＝DT＝4cm， 设TM＝x cm， ∵TM∥AG，AT＝TD， ∴MD＝MG， ∴AG＝2TM＝2x cm， ∴PA＝PM＝AG＝2x cm， ∴PTx（cm）， ∴2xx＝4， ∴x＝4（2）， ∴AP＝2x＝（16﹣8）cm， ∴PD＝AD﹣AP＝8﹣（16﹣8）＝（88）cm． 综上所述，PD的值为4cm或（88）cm． 故答案为：4cm或（88）cm． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/6/3 21:24:08；用户：李清林；邮箱：17350757713；学号：43655236 学科网（北京）股份有限公司 $