精品解析：江苏南通市如东县第一高级中学、宿迁市第一高级中学、徐州市徐州中学、宿迁市洋河高级中学2025-2026学年第二学期高二第一次阶段测试数学试卷

2025-2026学年度第二学期高二年级第一次阶段测试试卷 数学 2026.03 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请将自己的姓名、考试号（智学号）用0.5毫米黑色签字笔填涂在答题卡指定的位置． 3．选择题答案用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在每题对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效． 4．如需作图，必须用2B铅笔绘、写清楚．线条、符号等需加粗、加黑． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某人通过普通话二级测试的概率是，若他连续测试3次（各次测试互不影响），那么其中恰有一次通过的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%，35%，40%，次品率分别为5%，4%，2%，从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为（ ） A. 0.0123 B. 0.0234 C. 0.0345 D. 0.0456 4. 已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则（ ） A. B. 7 C. 21 D. 22 5. 二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：．用这样的方法，估计的近似值约为（ ） A. 2.015 B. 2.023 C. 2.031 D. 2.083 6. 若随机事件A在一次试验中发生的概率为，用随机变量X表示A在一次试验中发生的次数，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 7. 《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究．现给出一个同余问题：如果和除以所得的余数相同，那么称和对模同余，记为（mod）．若，（mod），则值可以是（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023 8. 托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有3个白球和2个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的是2个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 的展开式中的有理项有（ ） A. 1 B. C. D. 10. 将3颗质地均匀的骰子各抛掷一次，记事件A为“三个点数都不同”，事件B为“至少出现一个1点”，则（ ） A. “至少出现一个1点”的样本点数为 B. C. “三个点数都不同”的样本点数为 D. 11. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ） A. 第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B. 第2025行中第1013个数和第1014个数相等 C. 第34行中第15个数与第16个数之比为 D. 记“杨辉三角”第行的第个数为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合后出现红灯的概率为________. 13. 已知在展开式中含的项的系数为51，则正实数a的值为______． 14. 如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，则点Q移动次后仍在底面ABCD上的概率为______；点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， （1）求展开式的常数项； （2）求展开式中系数最大的项． 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，． （1）求线段的长； （2）线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17. 甲乙两人进行象棋比赛，约定谁先赢3局谁就直接获胜，并结束比赛.假设每局甲赢的概率为，和棋的概率为，各局比赛结果相互独立. （1）记为3局比赛中甲赢的局数，求的分布列和均值 （2）求乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率； （3）求比赛6局结束，且甲赢得比赛的概率 18. 人工智能是当前全球科技竞争的焦点，而高性能智能芯片是AI发展的核心基石.为加速突破关键核心技术，某人工智能创新中心举办了一场智能芯片设计攻关赛，比赛按逻辑设计、物理实现、流片与测试三个环节依次进行，参赛者只有通过当前环节，才能进入下一环节.已知老张、小李、小军三位工程师通过逻辑设计环节的概率分别为 ，通过物理实现环节的概率分别为 已知三人之间以及每人的不同环节之间互不影响. （1）当a为何值时，老张通过逻辑设计环节和物理实现环节的概率最大? （2）当 时，设老张、小李、小军三位工程师中能进入流片与测试环节的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望. 19. “三门问题”亦称为蒙提霍尔问题，问题名字来自1970年美国的一个电视游戏节目主持人蒙提·霍尔．游戏中，参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇门后面有一辆跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊，选中后面有车的那扇门可获奖赢得该跑车，主持人知道跑车在哪一扇门．当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊．主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门．当时大部分的观众和参与者都支持不换门，认为换不换门获奖概率是一样的．然而当时智商最高的玛丽莲·沃斯·莎凡特给出了正确答案：应该换门． （1）请用所学概率知识解释玛丽莲·沃斯·莎凡特给出的答案； （2）当跑车门数不变，山羊门数增加，即总共门数是，其中只有一扇门后面有一辆跑车，证明：游戏中的参与者在主持人打开一扇山羊门后，换门都比不换门中奖概率更高； （3）如果有扇门，其中一扇门后有1万奖金，其他门后什么都没有，主持人知道哪一扇门后面有奖金．当参与者选中一扇门后（未打开），主持人问参与者是否愿意投入500元，帮他在剩余的门中打开一扇没有奖金的门，并允许参与者换门．问当门数n满足什么条件时，参与者投入500元是值得的？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期高二年级第一次阶段测试试卷 数学 2026.03 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请将自己的姓名、考试号（智学号）用0.5毫米黑色签字笔填涂在答题卡指定的位置． 3．选择题答案用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在每题对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效． 4．如需作图，必须用2B铅笔绘、写清楚．线条、符号等需加粗、加黑． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某人通过普通话二级测试的概率是，若他连续测试3次（各次测试互不影响），那么其中恰有一次通过的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由次独立重复试验的概率计算公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，他连续测试3次其中恰有一次通过的概率是. 故选：D 2. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，可得出的值. 【详解】因为， 令可得. 故选：C. 3. 甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%，35%，40%，次品率分别为5%，4%，2%，从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为（ ） A. 0.0123 B. 0.0234 C. 0.0345 D. 0.0456 【答案】C 【解析】 【分析】用独立事件和互斥事件概率公式即可求得. 【详解】所求概率为：. 故选：C. 4. 已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则（ ） A. B. 7 C. 21 D. 22 【答案】C 【解析】 【详解】易知，可得； 又，可知，所以，解得， 因此； 所以. 5. 二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：．用这样的方法，估计的近似值约为（ ） A. 2.015 B. 2.023 C. 2.031 D. 2.083 【答案】C 【解析】 【分析】变形，然后根据题意，计算即可得解． 【详解】． 故选：C． 6. 若随机事件A在一次试验中发生的概率为，用随机变量X表示A在一次试验中发生的次数，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点分步的均值、方差计算公式，结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意可得随机变量的所有可能取值为，， 则，， 则，， 则， 当且仅当，即时取等号，故A正确. 故选：A. 7. 《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究．现给出一个同余问题：如果和除以所得的余数相同，那么称和对模同余，记为（mod）．若，（mod），则值可以是（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式定理求出除以所得的余数，再逐项验证即得. 【详解】 因能被整除， 故除以余数为， 所以除以余数为， 因为，所以，，， 又（mod），所以值可以是. 故选：C. 8. 托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有3个白球和2个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的是2个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助全概率公式及贝叶斯公式计算即可得. 【详解】设从甲袋中取出2个球，其中红球的个数为i个的事件为， 从乙袋中取出2个球，其中白球的个数为2个的事件为B， 由题意：①，； ②，； ③，. 根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球， 则从甲袋中取出的是2个红球的概率为： . 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 的展开式中的有理项有（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接由二项式的展开式的通项公式计算可得. 【详解】的展开式通项为， 由可得， 所以展开式中的有理项有：． 故选：ABD． 10. 将3颗质地均匀的骰子各抛掷一次，记事件A为“三个点数都不同”，事件B为“至少出现一个1点”，则（ ） A. “至少出现一个1点”的样本点数为 B. C. “三个点数都不同”的样本点数为 D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】选项A：抛掷3颗骰子总样本点数为，不含1点的样本点数为， 故至少出现一个1点的样本点数为，A正确. 选项B：条件概率，其中是“三个点数不同且至少含1个1点”的样本点数； 先选1颗骰子为1点有种，剩余2颗骰子从2~6中选2个不同数排列有种，共种，因此，B正确. 选项C：三个点数都不同，即从6个点数中选3个排列，样本点数为，C正确. 选项D：，D错误. 11. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ） A. 第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B. 第2025行中第1013个数和第1014个数相等 C. 第34行中第15个数与第16个数之比为 D. 记“杨辉三角”第行的第个数为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助杨辉三角与二项式系数的对应关系，利用组合数的性质、对称性及二项式赋值法进行逐项判断即可. 【详解】对于A：第6行的第7个数为1，第7行的第7个数为7，第8行的第7个数为28，其和为，第9行的第8个数是，故A正确； 对于B：第2025行中的数是二项式的展开式中各项的二项式系数，故第2025行中第1013个数是， 第1014个数为，根据二项式系数的性质知，，故B正确； 对于C：第34行中的数是二项式的展开式中各项的二项式系数，所以第15个数与第16个数之比为，故C错误； 对于D：“杨辉三角”第行中的数是二项式展开式中各项的二项式系数，所以第个数为， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合后出现红灯的概率为________. 【答案】. 【解析】 【分析】先记“第一次闭合后出现红灯”为事件，“第二次闭合后出现红灯”为事件，根据条件概率的计算公式，即可求出结果. 【详解】记“第一次闭合后出现红灯”为事件，“第二次闭合后出现红灯”为事件， 则，， 所以，在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合闭合后出现红灯的概率为 . 故答案为 【点睛】本题主要考查条件概率，熟记条件概率的计算公式即可，属于常考题型. 13. 已知在展开式中含的项的系数为51，则正实数a的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】利用三项式展开式原理，可得含的项为含的项的系数，即可求解参数. 【详解】由展开式中， 所以， 解得或（舍）． 故答案为： 14. 如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，则点Q移动次后仍在底面ABCD上的概率为______；点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据全概率公式对仍在底面上的概率进行计算，结合递推公式求通项公式的方法求得正确答案. 【详解】记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为. 在正方体中，每一个顶点有个相邻的点，其中两个在同一底面， 当点在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为； 当点在上底面时，随机移动一次在下底面的概率为. 所以，. 依题意可知， 所以， 所以是首项为为首项，公比为的等比数列， 所以， 所以. 故答案为：； 【点睛】本小题主要考查全概率公式的运用.在阅读题目的时候，要注意分析点的运动情况，结合题目中的关键词“概率”，联想到动点运动的可能性，对问题进行分析，从而找到问题的突破口.求解的过程中，需要用到数列中根据递推关系求数列的通项公式的方法. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， （1）求展开式的常数项； （2）求展开式中系数最大的项． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】先利用二项式系数相等的性质求出，再结合二项展开式的通项公式分别求解常数项和系数最大的项. 【小问1详解】 由第3项与第5项的二项式系数相等得， 根据组合数性质，解得。 易知展开式的通项为  ， 令，解得， 代入得常数项为  . 【小问2详解】 设第项的系数最大，系数为， 列不等式组 ，化简解得， 因为非负整数，故，代入通项得系数最大的项为. 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，． （1）求线段的长； （2）线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量数量积坐标运算可构造方程求得结果； （2）根据面面角的向量求法可构造方程求得长，进而得到结果. 【小问1详解】 以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，， ，即. 【小问2详解】 设，则，， 设平面的法向量， ，令，则，，； 轴平面，平面的一个法向量， ，即， 解得：或（舍），即， 当时，平面与平面夹角的余弦值为. 17. 甲乙两人进行象棋比赛，约定谁先赢3局谁就直接获胜，并结束比赛.假设每局甲赢的概率为，和棋的概率为，各局比赛结果相互独立. （1）记为3局比赛中甲赢的局数，求的分布列和均值 （2）求乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率； （3）求比赛6局结束，且甲赢得比赛的概率 【答案】（1）分布列见解析， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意甲每局赢的概率为，甲不赢的概率为，则，利用二项分布的概率公式得到分布列，从而求出期望； （2）分乙前局全胜和前局只有一局不胜两种情况讨论，利用相互独立事件及互斥事件的概率公式求解即可； （3）依题意局中前局甲只赢局且至少平一局，第六局甲赢，利用相互独立事件及互斥事件的概率公式求解即可． 【小问1详解】 由题知甲每局赢的概率为，甲不赢的概率为， 则，的可能取值为，，，， 所以，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 所以（或）； 【小问2详解】 由题知乙每局赢的概率为，乙不赢的概率为， 因为乙在4局以内（含4局）赢得比赛， 则分两种情况：乙前3局全胜和前3局只有一局不胜，第四局乙胜， 所以乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率； 【小问3详解】 由题知比赛局结束，且甲赢得比赛， 应要满足：前局甲只赢局且其他三局中至少和棋一局，第六局甲赢， 又每局甲赢的概率为，和棋的概率为，乙赢的概率为， 故所求概率为． 18. 人工智能是当前全球科技竞争的焦点，而高性能智能芯片是AI发展的核心基石.为加速突破关键核心技术，某人工智能创新中心举办了一场智能芯片设计攻关赛，比赛按逻辑设计、物理实现、流片与测试三个环节依次进行，参赛者只有通过当前环节，才能进入下一环节.已知老张、小李、小军三位工程师通过逻辑设计环节的概率分别为 ，通过物理实现环节的概率分别为 已知三人之间以及每人的不同环节之间互不影响. （1）当a为何值时，老张通过逻辑设计环节和物理实现环节的概率最大? （2）当 时，设老张、小李、小军三位工程师中能进入流片与测试环节的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， . 【解析】 【分析】（1）把老张通过两个环节的概率表示为关于a的函数，利用函数性质求概率最大时a的值； （2）求出三人能进入流片与测试环节的概率，由的可能取值求出对应的概率，列出分布列，由公式求数学期望. 【小问1详解】 老张通过两个环节的概率为， 因为，所以当时，取得最大值. 所以当时，老张通过两个环节的概率最大. 【小问2详解】 当 时，老张进入流片与测试环节的概率为， 小李进入的概率，小军进入的概率， 设为能进入的人数，则的可能取值为， ， ， ， . 分布列为： 0 1 2 3 P 数学期望为 . 19. “三门问题”亦称为蒙提霍尔问题，问题名字来自1970年美国的一个电视游戏节目主持人蒙提·霍尔．游戏中，参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇门后面有一辆跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊，选中后面有车的那扇门可获奖赢得该跑车，主持人知道跑车在哪一扇门．当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊．主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门．当时大部分的观众和参与者都支持不换门，认为换不换门获奖概率是一样的．然而当时智商最高的玛丽莲·沃斯·莎凡特给出了正确答案：应该换门． （1）请用所学概率知识解释玛丽莲·沃斯·莎凡特给出的答案； （2）当跑车门数不变，山羊门数增加，即总共门数是，其中只有一扇门后面有一辆跑车，证明：游戏中的参与者在主持人打开一扇山羊门后，换门都比不换门中奖概率更高； （3）如果有扇门，其中一扇门后有1万奖金，其他门后什么都没有，主持人知道哪一扇门后面有奖金．当参与者选中一扇门后（未打开），主持人问参与者是否愿意投入500元，帮他在剩余的门中打开一扇没有奖金的门，并允许参与者换门．问当门数n满足什么条件时，参与者投入500元是值得的？ 【答案】（1）如果不换门，则中奖的概率为，如果换门，则中奖的概率为，由于，所以换门中奖的概率大，所以玛丽莲·沃斯·莎凡特给出的答案是正确的，应该换门. （2）因为总共门数是，则山羊门数为，如果不换门，则中奖的概率为；如果换门，中奖的概率为.因为，所以换门都比不换门中奖概率更高. （3） 【解析】 【分析】（1）分别求出换门和不换门中奖的概率，进行比较即可； （2）分别求出换门和不换门中奖的概率，进行比较即可. （3）求出换门和不换门所得奖金的均值，列不等式，解出即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知不换门中奖的概率为，换门中奖的概率为.要想投入500元是值得的，须有：，整理得：， 结合，可得，即当时，参与者投入500元是值得的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $