江苏苏州常熟市中学2025-2026学年高二下学期5月学习效果阶段调研数学试卷

常熟市中学高二下5月月考 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.随机变量X的方差是2，则随机变量Y=2X+1的方差是() A.2 B.8 C.5 D.9 【答案】B 【解析】由D(aX+b)=aD(X)知D(Y)=8. 2.(1-x)9展开式中x3的系数为() A.504 B.84 C.-84 D.-504 【答案】C 【解析】由二项式定理T+1=C(-x),令k=3,得系数为-84. 3.在空间直角坐标系内，已知平面α经过点A(1,2,-1),且平面α的一个法向量 元=(2，-1,1)，则下列各点中，位于平面a内的是() A.(0,2,-1) B.(0,2,1) C.(2,01) D.(1,1,1) 【答案】B 【解析】若点P在平面α内，A卫⊥元，计算知B选项正确 4.将2个完全相同的黑球和4个完全相同的白球排成一排的排法种数是() A.15 B.20 C.30 D.12 【答案】A 【解析】C名=15，A选项正确 5.函数f)=h2)++2x存在大于1的极值点，则实数a的取值范围是（） 5 A.a>3 B.a<3 C.a>2 D.a<2 【答案】A 【解析】由题意f(x)= 22+x-0,因此f()=0有>1的根，即a=22+x>3, A选项正确 6.有7件产品，其中3件是次品，从中每次取1件，不放回地任取3次，若X表示 取得次品的件数，则P(X>1)=() 数学试题第1页（共10页) D 3 35 83 35 C:4 ·35 【答案】B c+ 【解析】由题意X心H3,3,7),因此P(X>1)=P(X=2)+P(X=3)=C C3C9_13 B选项正确， C 35 7设AB为两个事件，已知P-号P回-P氏A团-，则PA)=() 2 1 C.10 【答案】D 【解折】由P-,特P同=1--号：则P利=P网P(用+PPA, 即号-PA网+号×行，所以PB)-言，D选项正确 1 55 8.苏州旅游局在中小学生春假期间选出6名学生去苏州博物馆、拙政园、虎丘做志愿 者，规定：每名学生只能去一个地方，每个地方至少安排一名志愿者，若甲、乙两 名学生去拙政园，则不同的安排方法的种数有() A.38 B.42 C.50 D.56 【答案】C 【解析】甲、乙已确定去拙政园，剩下4名学生分配到苏州博物馆、拙政园、虎丘，因 每个地方至少1人，而拙政园已有甲、乙，所以只需保证苏州博物馆和虎丘均至少有 1人，剩下4人每人有3种选择，共34种，去掉苏州博物馆无人或虎丘无人的情况有 34-2.24+1=81-32+1=50种，C选项正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知离散型随机变量X的分布列为： X -1012 P a 2a a b 1 且E(X)=2,则(） A.a=3 B.b= 4 C.D(X)= 9 DPIx≤)-号 【答案】BCD 【解析】由分布列得：a+2a+a+b=1,即4a+b=1. 又EX三1：心+020+0+2b=2b3，所以b3 队4a+h=1,得恤+1，所0 数学试题第2页（共10页） 因此： 1 A.a= 错误： B.b=4正确： C.E(x)=（-12a+022a+12a+2.b=2a+4h=号，故D(X)=E(x)-[E(X)P= 告() ，正确： 9 D.P(X|≤1)=a+2a+a=4a= 3 4，正确 综上，选BCD 10已知函数=则下列结论正确的是() A.x=e是函数f(x)定义域内的极小值点 B.f(x)的单调减区间是(0，e) C.若方程f(x)=m(m∈R)有两个不同的实根，则m>e D.f(x)在定义域内有最小值，无最大值 【答案】AC 【解析】函数定义域为(0,1)U(1,+o),fx)=血r- n录，故在0,1.(1，e上单调递减， 在(e,+oo)上单调递增. A.x=e左减右增，是函数f(x)定义域内的极小值点，正确： B.x=1不在定义域内，故单调减区间不是(0，e),错误. C.当x∈(0,1)时，f(x)<0;当x∈(1，+o∞)时，f(x)≥e·若方程f(x)=m有两个 不同实根，则m>e,正确. D.当x→1-时，f(x))-0,当x→十0时，f(x)→+0，故无最小值，也无最 大值，错误. 综上，选AC. 11.给定正整数n,(1≤k≤n-1),进行n次独立重复试验，每次试验成功的概率为 p(0<p<1),设事件A表示第1次试验成功，事件B表示前2次试验中恰有1次 成功，事件C表示n次试验中恰有k次成功，事件D表示次试验中至少成功k 次，下列说法正确的有() A.P(AB)= B.P(ACO=元 C.P(DA)<P(DA) D.对任意p∈(0,1)，事件A与事件D都不独立 【答案】ABD 数学试题第3页（共10页） 【解析】 A.事件B表示前2次试验中恰有1次成功 若A与B同时发生，则第1次成功，第2次失败，所以P(AB)=(1-p),又P(B)= 21-,所以PAB到-8-3- P(AB) 卡1-p=·故A正确 B.事件C表示n次试验中恰有k次成功. 有P(C)=Cp(1-p)”-k.若A与C同时发生，则第1次成功，剩下n-1次中 恰有k-1次成功，所以P(AC)=pC-D-1(1-p)m-k=C-D(1-p)m-k.因此 PACC51-p)n_C_.故B正确。 P(AIC)=P(C) Chp(1D)-k Ck m C.已知A发生，即第1次试验成功，则事件D发生等价于剩下n-1次试验中至少成 功k-1次. 已知A发生，即第1次试验失败，则事件D发生等价于剩下n一1次试验中至少成功k 次。 由于”至少成功k-1次”包含"至少成功k次”，且剩下n-1次中恰好成功k-1次 的概率大于0，所以P(DA)>P(DA)·故C错误. D.由C可知P(DA)>P(DA). 又由全概率公式，P(D)=P(A)P(DA)+P(A)P(DA)=pP(DA)+(1-P)P(DA). 因为0<p<1,所以P(D)严格介于P(DA)与P(DA)之间，因此P(DA)≠P(D)· 所以事件A与事件D不独立.故D正确。 综上，选ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知空间中的三个单位向量元石，c满足两两夹角是？，则：+方+可= 【答案】v 【解析】因为d,6c都是单位向量，且两两夹角为，所以a6=6c=ca=cos 1 3 于是la+b+=d2+b2+|d2+2a.b+2b.c+2c.a=6,所以a+b+d=v6. 13.甲乙兄弟二人与其他六位朋友以随机顺序排成一排照相，则两兄弟之间恰有三人 的概率是 【答案】月 【解析】将8个人排成一排，共有8！种等可能排法.若甲乙兄弟之间恰有3人，则甲乙 两人的位置相差4.可选的位置对为(1,5)，(2,6)，(3,7)，(4,8)，共4对.每一对位置中， 甲乙两人可以交换位置，有2种排法，其余6人任意排列，有6！种排法.所以满足条件 的排法数为4×2×61，所求概率为4×2×6二。8 81一=8x7= 数学试题第4页（共10页） 14.若一条直线经过曲线上一点P,且与曲线在P处的切线垂直，则称该直线为曲线 在P处的法线，已知存在一条直线，既是曲线y=x3++q(p,q∈R)的切线，又 是该曲线的法线，则测p的最大值是 【答案】- 【解析】设这条直线在点A(a,f(a)处是曲线的切线，在点B(b,f(b)处是曲线的法线， 其中f(x)=x3+px+q·因为同一点处的切线与法线互相垂直，不可能是同一条直线， 所以A,B不是同一个点，即a≠b。 由f'(x)=3x2+p,曲线在A处的切线方程为y=a3+pa+q+(3a2+p)(x-a).将 它与曲线方程y=x3+pz+q联立，得x3+pm+q=a3+pa+q+(3a2+p)(x-a), 化简得x3-3a2x+2a3=0,即(x-a)2(x+2a)=0.因此该切线与曲线除切点A外 的另一个交点横坐标为-2a. 若a=0,则上式化为x3=0,切线与曲线只有交点A,这与存在另一个点B≠A矛 盾，所以a≠0.又因为这条直线也是曲线在B处的法线，且A,B不是同一个点，所 以点B就是这条切线与曲线的另一个交点，从而b=-2a. 曲线在A处切线斜率为3a+p,曲线在B处切线斜率为3b2+p,所以B处法线斜 ，由于是同一条直线，斜率相等，所以2+刊(3+刊=-1.代入 率为一3形+P b=-2a,得(3a2+p）(12a2+p）=-1. 设t=a2,则t>0.上式化为(p+3)(p+12t)=-1,即36t2+15pt+p2+1=0. 这是一个关于的二次方程，且只有正根，所以必须满足△≥0，两根和>0，两根积 >0. 由A≥0，得1pP-4西(2+)≥0，即s2-14≥0，所以p≤-专或p≥ 4 义两根和为一车0，因此2区当》三时，列别式等于0，且此时 3 根t--15p -2=8>0,可以取到.所以p的最大值为一3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)己知(2x+1)”=a0+a1x+a2x2+·+anxn且满足各项的二项式系数之和 为256. (1)求a3的值： ②求号+器+尝++尝的值. 【答案】(1)448(2)255 【解析】 (1)因为各项的二项式系数之和为256，所以2”=256，所以n=8,二项式展开式的通 项为T+1=C(2x)8-k=28-C5x8-k,所以a3=23.Cg=448; 令父=0，得0=1，令=，得o+号+是+…+器=2，所以 2 28 号+器++器-25-1=25 数学试题第5页（共10页） 16.(15分)甲，乙两小朋友参加"欢乐六一"游戏比赛，记分规则如下：在一轮比赛 中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输乙赢，则甲得一1分；如果甲和乙同时 赢或同时输，则甲得0分，设一轮比赛中甲赢的概率为60%，乙赢的概率为50%， 设每轮比赛中甲、乙两人的胜负结果相互独立，且各轮比赛相互独立.求： (1)在一轮比赛中，甲的得分X的概率分布列（列表表示）： (2)在两轮比赛中，甲的得分Y的均值与方差 【答案】(1)略(2)0.2,0.98 【解析】 (1)X可能取值为-1,0,1由记分规则，得P(X=-1)=0.4×0.5=0.2, P(X=0)=0.6×0.5+0.4×0.5=0.5,P(X=1)=0.6×0.5=0.3 X的概率分布列用表格表示为 X -1 0 1 P 0.20.50.3 (2)Y可能取值为-2，-1,0,1,2，由两轮比赛的结果独立，得 P(Y=-2)=0.2×0.2=0.04,P(Y=-1)=0.2×0.5+0.5×0.2=0.2, P(Y=0)=2×0.2×0.3+0.5×0.5=0.37,P(Y=1)=2×0.3×0.5=0.3, P(Y=2)=0.3×0.3=0.09 Y的概率分布列用表格表示为 Y-2 -10 12 P0.040.20.370.30.09 所以有EY)=(-2)×0.04+(-1)×0.2+0×0.37+1×0.3+2×0.09=0.2, D(Y)=(-2)2×0.04+(-1)2×0.2+02×0.37+12×0.3+22×0.09-0.22=0.98 17.(15分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC,AB=AC=2, D为棱B1C1的中点，且AB⊥AC. (1)求证：AB⊥AC: 2)若平面ABD和平面ACD所成角为，求AA: (3)若三棱锥D-ABC的四个顶点均在球O的表面上，且AA1变化时，球O的体 积取到最小值，求此时直线AO与平面ACD所成角的正弦值 数学试题第6页（共10页） A1 D Bi 人A 【答案】()略216) 【解析】 (I)在直三棱柱中，AA1⊥平面ABC,又ABC平面ABC,可得AA1⊥AB 已知AB⊥AC1,且AA1∩AC1=A. 故AB⊥平面ACC1A1. 因为ACC平面ACC1A1,所以AB⊥AC (2)以A为原点，AB,AC,A4A1所在直线为x,,之轴建立空间直角坐标系。 设AA1=h(h>0),则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,h) 易求得平面ABD的一个法向量为元=(0，h,-1).平面ACD的一个法向量为元= (h,0,-1) 由题意： 1os(成，1=i列=11 m问=2+1=2 解得h2=1,因h>0,故h=1,即AA1=1. (3)直角△ABC的外接圆心为斜边BC中点M(1,1,0): 设外接球心O(1,1,0),半径为R 由OA2=OD2=R2可得： 2+号=(h-0)2 解得0=2、-2 2h 球半径=2+品当且仅当0=0时，R取得最小值，体积最小 此时h2=2→h=√2，且球心O(1,1,0).所以A0=(1,1,0),代入(2)中求出的法 向量可得平面ACD的法向量元=(V2,0,-1). 设所求角为0，则： im9=cos(4d,=A0.列。V2 V3 1AO1V2×V33 直线A0与平面ACD所成角的正弦值为3 数学试题第7页（共10页） 18.(17分)某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同.甲每道题自己有把握独 立答对的概率为)，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮 助，其亲友团每道题能答对的概率为p,假设每道题答对与否互不影响 四当p=号时， (①若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率： ()甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列 和数学期望E(X): (②乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题 目的个数比乙答对墨目的个数多的概率不低于D,求甲的亲友团每道题答对的概 率p的最小值 【答案】ω②@号@ 12 【解析】 (1)()记事件A为”甲答对了某道题"，事件B为"甲自己答对” 则PaB)=P-+(-)×多所以P)-Pa 2- P(A) (i)X可能取值为0,1,2,34，甲答对某道题的概率P(A)= 3 4-k 则X~B(4),PX=内=C ,k=0,1,2,3,4, 所以X的分布列为： 0 1 2 3 16 96 216 216 81 625625 625625625 数学明3E()=1x3-号 5 (2)记事件A:为”甲答对了元道题"， 事件B,为”乙答对了道题"，其中甲答对某道 题的概率为2+P=1+川，答错某道题的概率为1-1+)=1-P),则 P(4)=c吗1+·51-)=31-） P(A2) 21+=+ P(B)= () PB=4号} 所以甲答对题数比乙多的概率为： P(A1BoUA2BoUA2B1)=P(AiBo)+P(A2Bo)+P(A2B1) -号1-)日++6+0+p2号宽w+哪+≥品 解得力之所议以甲的亲友团助力的概率的最小值为号 数学试题第8页（共10页） 19.(17分)已知函数f(c)=ac+b-nc,其中a,b∈R (1)若b=0,求f(x)的单调区间； (2)设a>0,令g(x)=f(x)-∫'(x),已知g(x)满足对任意a>0都有两个不同的 零点x1<x2, (①求b的取值范围： ()若x1,1,x2成等差数列，证明a+b<1. 【答案】(1)略(2)（①）b<-1()略 【解析】 (①)此时fa)=aa-lnxf()=a- 若a≤0，则f'(x)<0,f(x)在(0，+o∞)递减 若a>0,令f'(x)=0, 则=且e 时f)<,(+o时 f'(x)>0. 因此f(x)的单调减区间是 单调增区间是 (2) 1 )由题意g(x)=a(x-1)+二-lnx+b. 11 1 g回=a-京正g四)=方+京>0因此g递增 为Q>0,且三之十在0，+o∞)上的值域是0，+o∞).因此9C)=0有唯 设为x0: 则x∈(0，o)时g(x)<0,x∈(o,+o∞)时g(x)>0,因此g(x)在(0，xo)上单调递减， 在(xo,+oo)上单调递增.且g(x)mn=g(o）) 由于x→0+和x→+o时g(x)→+o∞，因此g(c)有两个零点等价于g(o)<0,即 g(xo)<0对任意a>0恒成立. 又)=a,-1)+1-1mo十b,且0满足a-是-1=，将a代入g)得 9o）=-l血n+1-1 +1+6 由于a和x一一对应，因此g(co)<0对任意xo>0恒成立. 令三-hr+-+1+6则四=在+2e- 1 2,从而h(x)在(0,1)上 >0,在(1，+o∞)上<0，因此h(c)mx=h(1)=b+1.因此b+1<0.即b的取值范围是 b<-1 )由)知g(c)先减后增，且由于g(1)=1+b<0,因此c1<1<2,因此x1十2=2. 设x1=1-t,x2=1+t,则t∈(0,1)，代入g(c1)=g(x2)=0得 -at+ +b-1n1-t)=0 1-t at+ 1+t+b-(1+0=0. 解之得 2a= 1n(1+t) In(1-t) t t(1+t) t +t1-t) 2b=1+0-1++n1-0-1- 数学试题第9页（共10页) 相加得 2a+2b=1血1+t1+0-ln(1-t01-t) t 因此a+b<1等价于 1n(1+t)(1+t)-n(1-t)(1-t)-2t<0. 令p(t)=1n(1+t)(1+t)-1n(1-t)(1-t)-2t,p'(t)=n(1-2)<0,因此p(t)递减， 因此p(t)<p(0)=0成立. 数学试题第10页（共10页）2025~2026学年第二学期学习效果阶段调研卷（5月) 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.随机变量X的方差是2，则随机变量Y=2X+1的方差是() A.2 B.8 C.5 D.9 2.(1-x)°展开式中x3的系数为() A.504 B.84 C.-84 D.-504 3.在空间直角坐标系内，已知平面ax经过点A(1,2,-1)且平面ax的一个法向量n=(2,-1,1),， 则下列各点中，位于平面a内的是() A.(0,2,-1) B.(0,2,1) C.(2,0,1) D.(1,1,1) 4.将2个完全相同的黑球和4个完全相同的白球排成一排的排法种数是( A.15 B.20 C.30 D.12 5.函数f(x)=ln2x+a+2x存在大于1的极值点，则实数a的取值范围是（ A.a>3 B.a<3 5 C.a> 2 D.as 6.有7件产品，其中3件是次品，从中每次取1件，不放回地任取3次，若X表示取得 次品的件数，则P(x>1)=() A.2 c.14 35 35 D月 7.设A,B为两个事件，已知P(4=子，P(B)=号，P(4回)=3，则P(4B)=( ) A.2 B. c.0 1 D 8.苏州旅游局在中小学生春假期间选出6名学生去苏州博物馆、拙政园、虎丘做志愿者， 规定：每名学生只能去一个地方，每个地方至少安排一名志愿者，若甲、乙两名学生 去拙政园，则不同的安排方法的种数有() A.38 B.42 C.50 D.56 高二数学第1页（共4页） 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知离散型随机变量X的分布列为： 0 2 p a 2a b A.a=1 3 B.b=1 c.(x)-8 D.P(xls1)-3 10.已知函数四点，则下列结论正确的是（） A.x=e是函数f(x)定义域内的极小值点 B.f(x)的单调减区间是(0，e) C.若方程f(x)=m(m∈R)有两个不同的实根，则m>e D.f(x)在定义域内有最小值，无最大值 11.给定正整数m,k(1sk≤n-1),进行n次独立重复试验，每次试验成功的概率为 p(0<p<1),设事件A表示第1次试验成功，事件B表示前2次试验中恰有1次成功， 事件C表示n次试验中恰有k次成功，事件D表示n次试验中至少成功k次，下列说法 正确的有( A.P(4)=月 B. P4g)=片 C.P(D4)<P(D D.对任意p∈(O,1),事件A与事件D都不独立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知空间中的三个单位向量ā，6，c满足两两夹角是行，则a+6+- 13.甲乙兄弟二人与其他六位朋友以随机顺序排成一排照相，则两兄弟之间恰有三人的概 率是 14.若一条直线经过曲线上一点P,且与曲线在P处的切线垂直，则称该直线为曲线在P 处的法线，已知存在一条直线，既是曲线y=x+px+g(P,q∈R)的切线，又是该曲线 的法线，则p的最大值是 二数学第2页（共4页) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知(2x+1)”=a+ax+a2x2+…+a,x”且满足各项的二项式系数之和为256. (1)求a,的值： 2)*号+学+受+…+会的值. 16.(15分)甲，乙两小朋友参加“欢乐六一”游戏比赛，记分规则如下：在一轮比赛中， 如果甲赢而乙输，则甲得1分：如果甲输乙赢，则甲得-1分：如果甲和乙同时赢或同 时输，则甲得0分，设一轮比赛中甲赢的概率为60%，乙赢的概率为50%，设甲乙两 人胜负结果是独立的，且各轮比赛相互独立，求： (1)在一轮比赛中，甲的得分X的概率分布列（列表表示）： (2)在两轮比赛中，甲的得分Y的均值与方差， 17.(15分)如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，AA⊥平面ABC,AB=AC=2,D为 棱B,C的中点，且AB⊥AC· (1)求证：AB⊥AC: (2)若平面ABD和平面ACD所成角为等，求M: (3)若三棱锥D一ABC的四个顶点均在球O的表面上，且AA变化时，球O的体积取 到最小值，求此时直线AO与平面ACD所成角的正弦值 A D B 1 A B 高二数学第3页（共4页) 18.(17分)某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同.甲每道题自己有把握独 立答对的概率为}，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助， 其亲友团每道题能答对的概率为p,假设每道题答对与否互不彩响. (1)当p=时， (ⅰ)若甲答对了某道题，求该题是甲自已答对的概率： (ⅱ)甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列和 数学期望E(X): (2)乙答对每道题的概率为二（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题 3 目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于 ，求甲的亲友团每道题答对的 12 概率p的最小值. 19.(17分)已知函数f(x)=ax+b-lnx,其中a,beR. (1)若b=0,求f(x)的单调区间： (2)设a>0,令g(x)=f(x)-f'(x),已知g(x)满足对任意a>0都有两个不同的零 点x<x2’ (i)求b的取值范围： （ii)若x,1,x,成等差数列，证明a+b<1. 高二数学第4页（共4页）