精品解析：2026年四川遂宁市第二中学校中考考前模拟数学试卷

遂宁二中教育集团初2023级2025-2026学年中考模拟（三）数学试卷 总分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数即可解答． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式乘法和加法的相关计算，根据完全平方公式、同底数幂的乘法积的乘方、和合并同类项可进行排除选项． 【详解】解：A、，原计算错误； B、，故原计算错误； C、，故原计算正确； D、，故原计算错误； 故选C． 3. 截至北京时间2022年6月11日全球新冠肺炎确诊病例超过5.32亿例，5.32亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用科学记数法的表示方法进行解题即可． 【详解】解：5.32亿=5.32 故选A． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法： ，其中． 4. 如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．连接，并延长与的延长线相交，交点坐标即为位似中心的坐标． 【详解】解：如图，连接，并延长与的延长线相交，交点即为位似中心， 由图可知，位似中心的坐标为， 故选：D． 5. 中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【详解】解：设苦果有个，甜果有个，由题意可得， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的有关知识，正确找到相等关系是解决本题的关键． 6. 如图是由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则组成该几何体的小正方体的个数为（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体．根据三视图可得出该几何体有2行，2列，2层，且第2列只有1个，从而得出答案． 【详解】解：根据三视图，在俯视图中，可标出小正方体的个数如图． 所以组成该几何体的小正方体的个数为（个）． 故选：C 7. 如图，游戏板正五边形中，点分别是的中点，假设飞镖击中游戏板中的每一处是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中阴影部分边界或没有击中游戏板，则重投一次），飞镖击中阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，先证明是的中位线，得到，再证明，得到，则由正五边形的对称性可得阴影部分的面积是正五边形的面积的，据此可得答案． 【详解】解；∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴由正五边形的对称性可得阴影部分的面积是正五边形的面积的， ∴飞镖击中阴影部分的概率是， 故选：C． 8. 若关于x的不等式组的整数解仅有1和2，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先求出不等式组的解集，再根据它的整数解仅有1和2求解即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组的整数解仅有1和2， ∴， 又∵关于的不等式组的整数解仅有1和2， ∴， 解得， 故选：C． 9. 如图1，在菱形中，，点为的中点，点从点处沿对角线运动，到达点后停止，连接，．设，，图2是点运动时随变化的关系图象，其中图象右端点到轴的距离为，则图象最低点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于点O，连接交于点P，则的最小值为的长，根据图象右端点到轴的距离为，可得当点P运动到点D时，，从而求得，再根据菱形的性质和可得是等边三角形，利用三角函数即可求解． 【详解】解：连接交于点O，连接交于点P，则的最小值为的长，如图， ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直平分， ∵图象右端点到轴的距离为， ∴当点P运动到点D时， ∵点为的中点， ∴，解得：， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴ ∴ ∵点为的中点， ∴ ∴，， ∴， ∵，， ∴图象最低点的坐标为 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，利用数形结合思想解答是解题的关键． 10. 已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③若，是抛物线上的两点，则有；④若m，n（）为方程的两个根，则且；以上说法正确的有（ ）个． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向，与y轴的交点位置，对称轴的位置可判断①和②；根据A，C两点与对称轴的距离大小，可判断点的位置高低，即可判断③；将m，n看作抛物线与直线的交点的横坐标，即可根据图象判断． 【详解】解：对于①，由图可知抛物线开口向下， ， 抛物线与y轴的交点位于正半轴， ， 抛物线的对称轴是直线， ， ， ， ①错误； 对于②， ， ， ， ， ， ②错误； 对于③，，且， ， ③错误； 对于④， ，n（）为方程的两个根， ，n可以看作抛物线与直线的交点的横坐标， ， ④正确． 二、填空题（每题4分，共20分） 11. 分解因式：_________________． 【答案】 【解析】 【分析】分解因式需先提取公因式，再利用平方差公式继续分解，直至因式不能再分解为止． 【详解】解：． 12. 等腰三角形的底边长为6，腰长是方程的一个根，则该等腰三角形的周长为 _______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的概念、三角形三边的关系、解一元二次方程的能力，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．利用因式分解法解方程求出x的值，再根据等腰三角形的概念和三角形三边关系确定出三角形三边长度，继而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 则或， 解得， ①若腰长为3，此时三角形三边长度为3、3、6，显然不能构成三角形，舍去； ②若腰长为5，此时三角形三边长度为5、5、6，可以构成三角形， 所以该等腰三角形的周长为， 故答案为：16． 13. 如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，、、…都是正方形，且、、…在AC边上，、、…在AB边上．则线段的长用含n的代数式表示为______________．（n为正整数） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出△BB1C1∽△BAC，进而求出B1C1=，同理可得出：B2C2=，B3C3=，…，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：B1C1//AC， ∴△BB1C1∽△BAC， ∴BC1：BC=B1C1：AC， ∵CC1=B1C1， ∴B1C1：2=（1−C1B1）：1， 解得：B1C1=， 故A1B1=，AA1=， 同理可得出：B2C2=，B3C3=，…， ∴线段BnCn的长用含n的代数式表示为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的综合应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质及归纳的思维方法是解题关键． 14. 如图，中，于点，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查作角平分线，角平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理如图，过点作于点．首先证明，利用勾股定理求出，再利用面积法求解． 【详解】解：如图，过点作于点． 平分， ， 设． ，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，正方形中，点、分别在线段、上运动，且满足，、分别与相交于点、，下列说法中：①；②点到线段的距离一定等于正方形的边长；③，，则；④若，，则．以上结论正确的有________（填入正确的序号即可） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到，故①正确；过A作于G，根据全等三角形的性质得到，于是得到点A到线段的距离一定等于正方形的边长，故②正确；求出，设，根据勾股定理即可得到，故③错误；把绕点A顺时针旋转得到，再证明，从而得，再证明，设，再由勾股定理求出，故④正确． 【详解】解：如图，把绕点A顺时针旋转得到， 由旋转的性质得，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； 过A作于G， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴点A到线段的距离一定等于正方形的边长，故②正确； ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴，故③错误； 如图，把绕点A顺时针旋转得到，连接， 由旋转的性质得，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴，故④正确． 三、解答题（10小题，共90分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据零次幂、负指数幂及特殊三角函数值可进行求解． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查零次幂、负指数幂及特殊三角函数值，熟练掌握各个运算是解题的关键． 17. 先化简，再求值：，再从、0、1、3中选择一个适合的m的值代入求值． 【答案】，时，原式；时，原式 【解析】 【分析】先计算分式的混合运算，再代入符合的数值计算． 【详解】解：原式 ∵且， ∴ 当时，原式； 或当时，原式． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，正确掌握分式混合运算的计算法则是解题的关键． 18. 已知关于的方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，试求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程判别式与根的个数的关系，列出不等式，求解即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，，代入可得关于的一元二次方程，求解并结合，舍去不符合条件的根即可． 【小问1详解】 解：∵方程有实数根， ∴， 整理，得， 解得； 【小问2详解】 解：， 根据根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得或， 由（1）可知，， ∴． 19. 如图，平行四边形的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，且，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明△ABE≌△CDF（AAS），可得AE＝CF，，求出，可得AECF，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得OE＝OF，OA＝OC，再根据△AEF是等腰直角三角形，得EA＝EF＝2OE＝6，然后由勾股定理求出OA的长即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，ABCD， ∴，， 在和中，， ∴（AAS）， ∴，， ∴，即， ∴AECF， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 20. 为促进师生身心全面健康发展，进一步推广“阳光体育”大课间活动，某学校就学生对A实心球，B立定跳远，C跑步，D跳绳四种体育活动项目喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题： （1）请计算本次被调查的学生总人数和喜欢“跑步”的学生人数； （2）将两个统计图补充完整； （3）随机抽取了4名喜欢“跑步”的学生，其中有2名女生，2名男生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到2名女生的概率． 【答案】（1）被调查的学生总人数为150，喜欢“跑步”的学生人数为60人； （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）用A的人数除以所占的百分比，即可求出调查的学生数，再用抽查的总人数减去A、B、D的人数，求出喜欢“跑步”的学生人数； （2）根据四个项目的百分比之和为1求出C对应的百分比，补全统计图即可； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与刚好抽到2名女生情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：由图形可知：A实心球的人数是15人，占学生总人数的， 被调查的学生总人数为（人）， 喜欢“跑步”的学生人数为（人）； 【小问2详解】 喜欢“跑步”的学生占学生总人数， 补全统计图如下： 【小问3详解】 画树状图得： 共有12种等可能的结果，刚好抽到2名女生的有2种情况， 刚好抽到2名女生的概率为＝． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，画树状图法求概率，解题的关键是读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息以及掌握概率=所求情况数与总情况数之比． 21. 如图，监控摄像头固定在墙壁上的支架上，在墙上的固定点为点，已知，，． （1）求点到地面的距离； （2）该摄像头的可监控视角（点，在地面上），平分，且． ①求的度数； ②求监控摄像头在地面上最远可视点到点的距离． （结果均精确到，参考数据：取，取） 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，得出四边形为矩形，，再得出，再根据含30度直角三角形的性质得出，进而可得出答案． （2）①根据角平分线的定义得出，即可得出，再根据四边形内角和定理求解即可． ②通过解直角三角形得出，，然后相加即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图1，过点作于点，过点作于点， 由题意得：， 四边形为矩形，． ， ． ． 【小问2详解】 解：①如图2， 为的平分线，， ． ， ． ． ． ②如图1，在中， ． ． ． 摄像头的最远可视点与点间的距离约为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，矩形的判定以及性质，角平分线的有关计算，四边形内角和定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润 素材1 某书店为了迎接“读书节”决定购进，两种新书，两种图书的进价分别是每本元、每本元． 素材2 已知种图书的标价是种图书标价的倍，若顾客用元按标价购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少本． 素材3 书店准备用不超过元购进，两种图书共本，且种图书不少于本．经市场调查后调整销售方案为：种图书按照标价的折销售，种图书按标价销售． 问题解决 任务1 探求图书的标价 请运用适当方法，求出，两种图书的标价． 任务2 探究进货方案 ，两种图书进货方案一共有多少种？ 任务3 确定如何获得最大利润 书店应怎样进货才能获得最大利润？ 【答案】任务：种图书标价元，种图书标价元；任务：，两种图书进货方案一共有种；任务：购进种图书本、种图书本才能获得最大利润 【解析】 【分析】本题考查一次函数，一元一次不等式组和分式方程的应用； 任务：设种图书标价元，则种图书标价元，根据题意列方程并求解即可； 任务：设购进种图书本，则购进种图书本，根据题意列关于的一元一次不等式并求解即可，取值的个数就是，两种图书进货方案的种数； 任务：设获得的总利润为元，根据总利润种图书的售价种图书的进价种图书的数量种图书的售价种图书的进价种图书的数量写出关于的关系式，根据该函数的增减性和的取值范围，确定当取何值的值最大，再求出此时的值即可． 【详解】解：任务：设种图书标价元，则种图书标价元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的根， 元， 种图书标价元，种图书标价元． 任务：设购进种图书本． 购进，两种图书共本， 购进种图书本． 根据进货总价种图书进价种图书数量种图书进价种图书数量，得进货总价为， 进货总价不超过元， ， ， 又， 且为整数， 可取个值， ，两种图书进货方案一共有种． 任务设获得的总利润为元，则， ， 随的减小而增大， 且为整数， 当时，取最大值，此时购进种图书本， 购进种图书本、种图书本才能获得最大利润． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，B，与x轴，y轴分别交于点C，D，已知点A的纵坐标为1． （1）求一次函数的表达式和B点的坐标； （2）直接写出时x的取值范围； （3）若点F是正半轴上一点，且，，求F点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出点坐标，进而求出一次函数的解析式，再联立两个函数解析式，求出点坐标即可； （2）直接利用图象法进行求解即可； （3）过F作于E，求出两点坐标，进而推出为等腰直角三角形，得到，设，得到，根据，推出，列出方程进行求解即可. 【小问1详解】 解：∵点的纵坐标为1，点在上， ∴，解得：， ∴， 将代入一次函数， ∴，解得：， ∴， 联立 解得：或； ∴； 【小问2详解】 解：根据函数图象可知，时的取值范围为或； 【小问3详解】 解：过F作于E，如图， 由（1）知：，， ∴当时，，当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴. 24. 如图为的直径，为圆上的一点，为劣弧的中点，过点作交的延长线于点，与的延长线交于点，与交于点． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的值． 【答案】（1）证明：连接， 为劣弧中点， ，． ， ， ， ． ， ． 又是半径， 是的切线． （2）证明：， ． ， ． ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）弧相等推出圆周角相等，利用等腰半径等边换角证明，结合证半径垂直切线； （2）同弧圆周角相等，两角对应相等证明，把比例式化为等积式； （3）先用等积式求出，再证明，利用相似对应边之比代入求值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，， ． 由（2），得，． 切于， ． 又， ． ． ． 25. 抛物线（）与轴交于点A（-3，0），B（1，0）两点，与轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值； （3）如图2，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，在抛物线上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点P的坐标为(2，-5) 或(-4，-5) 或(-2，3)． 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可 （2）由（1）知：y＝-x2﹣2x+3，令x=0，求出y的值，得到点C的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，设P（m，-m2-2m+3），则E（m，m+3），表示出PE，结合二次函数的性质可得PE的最大值，易知△AOC是等腰直角三角形，则∠ACO＝45°，由平行线的性质易得△PEF是等腰直角三角形，表示出S△PEF，据此求解； （3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，易证△PQG≌△ACO，得到PG＝AO＝3，由抛物线的表达式可得对称轴，设点P（x，y），则|x+1|＝3，求出x的值，据此可得点P的坐标；②当AC为平行四边形的对角线时，设AC的中点为M，易得点M的坐标，由点Q在对称轴上，可得点Q的横坐标为-1，设点P的横坐标为x，由中点坐标公式可得x的值，据此可得点P的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线（）与轴交于点A（-3，0），B（1，0）两点，与轴交于点C（0，3）， ∴设抛物线解析式为，将点C（0，3），代入 解得 【小问2详解】 设直线的解析式为，将A（-3，0），C（0，3），代入得， 解得 直线的解析式为 设，则 ， 的最大值为 的最大值为 【小问3详解】 解：①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC， 如图，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H， 则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG， 在△PQG和△ACO中， ， ∴△PQG≌△ACO(AAS)， ∴PG＝AO＝3， ∴点P到对称轴的距离为3， 又∵ ， ∴抛物线对称轴为直线x＝-1， 设点P(x，y)，则PG =|x+1|=3， 解得：x＝2或x＝-4， 当x＝2时，代入，得：y＝-5， 当x＝-4时，代入，y＝-5， ∴点P坐标为(2，-5)或(-4，-5)； ②当AC为平行四边形的对角线时， 如图，设AC的中点为M， ∵A(-3，0)，C(0，3)， ∴M(-，)， ∵点Q在对称轴上， ∴点Q的横坐标为-1，设点P的横坐标为x， 根据中点公式得：x+(-1)=2×(-)=-3， ∴x=-2，此时y=3， ∴P(-2，3)； 综上所述，点P的坐标为(2，-5) 或(-4，-5) 或(-2，3)． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查二次函数的对称轴、顶点式、最值，利用待定系数法求解析式等．利用数形结合和分类讨论的思想是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遂宁二中教育集团初2023级2025-2026学年中考模拟（三）数学试卷 总分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 截至北京时间2022年6月11日全球新冠肺炎确诊病例超过5.32亿例，5.32亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则组成该几何体的小正方体的个数为（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 7. 如图，游戏板正五边形中，点分别是的中点，假设飞镖击中游戏板中的每一处是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中阴影部分边界或没有击中游戏板，则重投一次），飞镖击中阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的不等式组的整数解仅有1和2，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，在菱形中，，点为的中点，点从点处沿对角线运动，到达点后停止，连接，．设，，图2是点运动时随变化的关系图象，其中图象右端点到轴的距离为，则图象最低点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③若，是抛物线上的两点，则有；④若m，n（）为方程的两个根，则且；以上说法正确的有（ ）个． A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共20分） 11. 分解因式：_________________． 12. 等腰三角形的底边长为6，腰长是方程的一个根，则该等腰三角形的周长为 _______． 13. 如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，、、…都是正方形，且、、…在AC边上，、、…在AB边上．则线段的长用含n的代数式表示为______________．（n为正整数） 14. 如图，中，于点，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．则的长为______． 15. 如图，正方形中，点、分别在线段、上运动，且满足，、分别与相交于点、，下列说法中：①；②点到线段的距离一定等于正方形的边长；③，，则；④若，，则．以上结论正确的有________（填入正确的序号即可） 三、解答题（10小题，共90分） 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，再从、0、1、3中选择一个适合的m的值代入求值． 18. 已知关于的方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，试求的值． 19. 如图，平行四边形的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，且，求线段的长． 20. 为促进师生身心全面健康发展，进一步推广“阳光体育”大课间活动，某学校就学生对A实心球，B立定跳远，C跑步，D跳绳四种体育活动项目喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题： （1）请计算本次被调查的学生总人数和喜欢“跑步”的学生人数； （2）将两个统计图补充完整； （3）随机抽取了4名喜欢“跑步”的学生，其中有2名女生，2名男生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到2名女生的概率． 21. 如图，监控摄像头固定在墙壁上的支架上，在墙上的固定点为点，已知，，． （1）求点到地面的距离； （2）该摄像头的可监控视角（点，在地面上），平分，且． ①求的度数； ②求监控摄像头在地面上最远可视点到点的距离． （结果均精确到，参考数据：取，取） 22. 根据以下素材，探索完成任务． 如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润 素材1 某书店为了迎接“读书节”决定购进，两种新书，两种图书的进价分别是每本元、每本元． 素材2 已知种图书的标价是种图书标价的倍，若顾客用元按标价购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少本． 素材3 书店准备用不超过元购进，两种图书共本，且种图书不少于本．经市场调查后调整销售方案为：种图书按照标价的折销售，种图书按标价销售． 问题解决 任务1 探求图书的标价 请运用适当方法，求出，两种图书的标价． 任务2 探究进货方案 ，两种图书进货方案一共有多少种？ 任务3 确定如何获得最大利润 书店应怎样进货才能获得最大利润？ 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，B，与x轴，y轴分别交于点C，D，已知点A的纵坐标为1． （1）求一次函数的表达式和B点的坐标； （2）直接写出时x的取值范围； （3）若点F是正半轴上一点，且，，求F点的坐标． 24. 如图为的直径，为圆上的一点，为劣弧的中点，过点作交的延长线于点，与的延长线交于点，与交于点． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的值． 25. 抛物线（）与轴交于点A（-3，0），B（1，0）两点，与轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值； （3）如图2，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，在抛物线上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $