2025-2026学年高二下学期数学期末复习训练卷（1）（人教A版选择性必修1-3）

**基本信息** 高二下学期数学期末复习卷覆盖选择性必修1-3，以数列、导数、立体几何、统计与圆锥曲线为核心，通过基础选择、综合解答题设计，体现数学眼光（空间观念、数据意识）、思维（逻辑推理、运算能力）与语言（模型表达）的素养融合，如统计案例分析与导数极值探究。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|直线垂直、二项式系数、等差数列等|基础概念辨析，如第3题等差数列奇偶项和求中间项| |选择题（多选）|3/18|百分位数、函数极值、数列性质|多维度能力考查，如第10题函数单调性与切线问题| |填空题|3/15|双曲线方程、三棱锥计数、不等式恒成立|空间想象与运算能力，如第13题正方体顶点连线组合计数| |解答题|5/67|统计案例、立体几何面面垂直与夹角、数列求和、抛物线综合、导数零点|综合应用与逻辑推理，如第15题独立性检验与分布列，第19题导数零点证明|

2025-2026学年高二下学期数学期末复习训练卷（1）（解析版） （试卷范围：人教A版选择性必修1-3） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若直线和直线互相垂直，则的值为（   ） A．1 B． C．或0 D．0 【答案】C 【分析】根据两条直线垂直的充要条件是，列方程求解即可，避免讨论斜率是否存在的情况. 【详解】因为直线和直线互相垂直， 所以，即， 解得或. 故选：C. 2．二项式的展开式中的系数为（    ） A．160 B．60 C． D． 【答案】B 【分析】由二项式定理的通项公式得，然后可直接计算系数. 【详解】由二项式定理的通项公式得， 令，解得，所以的系数为． 故选：B. 3．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，则此数列中间一项的值以及项数分别为（ ） A．29，19 B．31，18 C．29，20 D．27，19 【答案】A 【分析】利用等差数列奇数项和与偶数项和的差为中间项，和为项数与中间项的乘积，直接求出中间项和项数. 【详解】设该等差数列的项数为（），中间项为. 由等差数列性质，奇数项和，偶数项和. ，即，故中间项. 数列前项和，又， 代入得，解得，即项数为19. 4．若曲线在点处的切线也与曲线相切，则（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【分析】先求曲线的切线方程，并联立切线与曲线方程，由即可求. 【详解】由，得， 所以， 则曲线在点处的切线方程为即. 联立，整理得， 因为切线与曲线相切， 所以，解得. 故选：D 5．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据向量夹角的余弦公式计算线面夹角的正弦值即可. 【详解】设直线与平面所成角为，因为直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 所以. 所以，即直线与平面所成角为. 故选：A. 6．已知为等比数列的前n项和，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据与的关系，求出当时，，以及，.由等比数列的可得，求出的值，代入得出，. 【详解】由已知可得，， 当时，， 所以，，且. 由为等比数列，可知，解得. 所以，，. 故选：C. 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于，通过构造函数，求导确定单调性可判断，对于，通过构造，求导确定单调性可判断，进而可解题. 【详解】由，构造， 则，， 所以在上单调递增， 故，即，故. 由， 构造， 则，， 所以在上单调递增， 故，即，故. 综上，. 8．已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，与轴交于点.若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由三角形面积关系得出，再由勾股定理及椭圆的定义求出，利用余弦定理及求解即可. 【详解】设，由于与等高，， 所以， 又，，∴， 又，∴， 在中，， ∵， ， 在中，， 化简可得，解得， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（   ） A．数据1，3，3，5，5，5，7，9，11的第80百分位数为9 B．样本数据的相关系数越大，成对数据的相关程度也越强 C．随机变量，则方差 D．随机变量，则当变化时，为定值 【答案】ACD 【分析】计算出百分位数判断A，根据相关系数的性质判断B，由二项分布的方差公式及随机变量方差的性质计算后判断C，由正态分布的对称性判断D． 【详解】选项A，由于，已知数据是从小到大顺序排列的，第8个数是9，因此80百分位数为9，A正确； 选项B，样本数据的相关系数的绝对值越大，成对数据的相关程度也越强， 例如的数据比的数据的相关程度强，B错； 选项C，，则，，C正确； 选项D，，则，为定值，D正确． 10．已知函数，则（   ） A．当时，在R上单调递增 B．当时，有两个极值 C．过点且与曲线相切的直线恰有两条 D．恒成立 【答案】ABD 【分析】对于A，求导，利用导数确定单调性即可；对于B，时，易知有2个零点，再根据单调性可确定极值点个数；对于C，设切点，根据导数的几何意义写出切线方程，再代入点，得到方程，再确定方程解的个数即可判断；对于D，代入计算即可判断. 【详解】对于A，，， ，所以在R上单调递增，故A正确； 对于B，，，， 则有两个零点，不妨设为，， 所以当或时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以有两个极值，故B正确； 对于C，不妨设切点为，则 ， 切线方程为， 整理得，又过， 所以，即， 又，所以无根， 即只有一个解， 所以过点且与曲线相切的直线只有一条，故C错误； 对于D， ，故D正确. 故选：ABD. 11．已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据递推关系代入即可求解AC，根据递推关系可证明是首项为，公比为的等比数列，可得，即可利用分组求和法，结合等比求和公式求解判断BD. 【详解】当时，可得，又因为，所以，故A正确； 由，得， 所以，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； ，故C错误； 由B选项可得，所以， 所以 ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知双曲线C：的离心率为，且与椭圆有公共焦点则双曲线C的方程为_________． 【答案】 【分析】首先求，再根据离心率求，最后求，即可求得双曲线方程. 【详解】椭圆中，，，焦点坐标是 因为双曲线与椭圆有公共焦点，所以，即，， 所以双曲线C的方程为. 故答案为： 13．正方体的8个顶点中任意两点可以连线，则可以连成___________个三棱锥． 【答案】 【详解】从个顶点中任取个点， 如果个点共面，则它们来自正方体的6个面或6个对角面，此时它们不构成三棱锥， 故三棱锥的个数为. 14．已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】首先把原不等式变形为，然后分别分析的单调性和最值，得到恒在上方，所以有. 【详解】因为，原不等式等价于， 设，则，当时，单调递减， 当时，单调递增， 在上的最小值即为极小值； 设，则，当时，单调递增， 当时，单调递减， 在上的最大值即为极大值， 因为，所以在上恒成立， 所以等价于， 结合最值信息即有. 四、解答题 15．（13分）东风学校有甲乙两个食堂，学校后勤服务中心为了调查学生对两个食堂的满意度，随机调查300名学生.设表示事件“学生喜欢去甲食堂”，表示事件“调查的学生是男生”.若. 调查的是男生 调查的是女生 合计 喜欢去甲食堂 喜欢去乙食堂 合计 (1)完成上列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断学生喜欢去哪个食堂与性别是否有关？ (2)为了答谢参与调查的学生，学校后勤服务中心从参与调查的300名学生中按性别分层抽样的方法选15名幸运学生参与抽奖活动，并为他们准备了15张奖券，其中一等奖奖券有3张，二等奖奖券有5张，三等奖奖券有7张，每人抽取一张.设15名幸运学生中男生抽中一等奖的人数为，写出的分布列，并计算. 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，学生喜欢去哪个食堂与性别有关 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据概率求相应人数，完善列联表，求，并与临界值对比分析； （2）求男、女生人数，可知，结合超几何分布求分布列和期望. 【详解】（1）因为，即被调查的学生中男生有140人，女生有160人， 且，即男生中喜欢去乙食堂的有80人，喜欢去甲食堂的有60人， 又因为，则，，即被调查的学生中喜欢去甲食堂的有160人. 调查的是男生 调查的是女生 合计 喜欢去甲食堂 60 100 160 喜欢去乙食堂 80 60 140 合计 140 160 300 零假设：假设学生喜欢去哪个食堂与性别无关. ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生喜欢去哪个食堂与性别有关，此推断犯错误的概率不大0.001. （2）根据男女生人数之比可知，被抽取的15人中男生7人，女生8人， 且，则有： ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P . 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面 ,,，    (1)证明：平面平面 ； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由线面垂直的判定定理证明平面，再由面面垂直的定理证明结果即可； （2）建立如图所示坐标系，分别求出平面和平面的法向量，代入公式计算即可； 【详解】（1）证明：记， 因为，所以， 所以， 即， 又底面平面， 所以， 因为，且平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面． （2）取中点，连接，则，所以平面， 所以三条直线两两垂直， 分别以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 所以 设平面的法向量为， 则，可取， 同理设平面的一个法向量为， 则，可取 所以，， 所以，平面与平面的夹角的余弦值为． 17．（15分）已知数列中，，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）变形为，进而利用等比数列定义证明即可； （2）先求得，然后结合等比数列求和公式，利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 设，则， 又因为， 所以是以2为首项，4为公比的等比数列. （2）由（1）可知，是以2为首项，4为公比的等比数列， 则， 所以 . 18．（17分）设抛物线E：的焦点为F，过点的动直线l交抛物线E于，两点，点，当直线垂直于轴时，． (1)求抛物线E的标准方程； (2)若直线l过点T，求的面积； (3)若直线平分，求直线l的斜率． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据题意得到，解出即可； （2）首先计算出的方程：，再将其与抛物线方程联立得到韦达定理式，最后利用面积公式即可得到答案； （3）设直线，将其与抛物线方程联立得到韦达定理式，再利用，代入计算得，最后代入，以及韦达定理式即可得到方程，解出即可. 【详解】（1）由题意，当点横坐标为2时，点到准线的距离为3， 即，解得， 所以拋物线的标准方程为：． （2）点，设． 此时直线的斜率为，的方程可写为． 与抛物线方程联立得：． 由韦达定理，，， 此时面积为． （3）设直线的斜率为，显然，则设直线方程为：， 将其与抛物线方程联立得：． 由韦达定理，. 由题意：． 又，所以． 又因为，， 代入化简得：． 即． 又，故． 即，解得：．      19．（17分）已知函数，． (1)求的极值； (2)当时，证明：； (3)当恰有四个零点，，，时，证明：． 【答案】(1)，无极小值 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数分析单调性可得； （2）作差后构造函数，利用导数分析最值可得； （3）先由当时，，令，得到，再结合对数的单调性和运算性质以及与指数的关系可得. 【详解】（1）由题知， 令，则． 当时，，此时在上为减函数， 当时，，此时在上为增函数， 故，无极小值． （2）． 令， ，故在上为减函数． ，即． 由（1）可知在上为增函数，，， 即． （3）由（2）同理可证，当时，． 令，得， 由题意得直线与两条曲线，共有四个交点． 如图所示，，且． 由，得． ，，且在上为增函数， ，即．．同理：． 故，即，得证． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期数学期末复习训练卷（1）（原卷版） （试卷范围：人教A版选择性必修1-3） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若直线和直线互相垂直，则的值为（   ） A．1 B． C．或0 D．0 2．二项式的展开式中的系数为（    ） A．160 B．60 C． D． 3．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，则此数列中间一项的值以及项数分别为（ ） A．29，19 B．31，18 C．29，20 D．27，19 4．若曲线在点处的切线也与曲线相切，则（    ） A．4 B． C． D．2 5．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 6．已知为等比数列的前n项和，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，与轴交于点.若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（   ） A．数据1，3，3，5，5，5，7，9，11的第80百分位数为9 B．样本数据的相关系数越大，成对数据的相关程度也越强 C．随机变量，则方差 D．随机变量，则当变化时，为定值 10．已知函数，则（   ） A．当时，在R上单调递增 B．当时，有两个极值 C．过点且与曲线相切的直线恰有两条 D．恒成立 11．已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知双曲线C：的离心率为，且与椭圆有公共焦点则双曲线C的方程为_________． 13．正方体的8个顶点中任意两点可以连线，则可以连成___________个三棱锥． 14．已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 四、解答题 15．（13分）东风学校有甲乙两个食堂，学校后勤服务中心为了调查学生对两个食堂的满意度，随机调查300名学生.设表示事件“学生喜欢去甲食堂”，表示事件“调查的学生是男生”.若. 调查的是男生 调查的是女生 合计 喜欢去甲食堂 喜欢去乙食堂 合计 (1)完成上列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断学生喜欢去哪个食堂与性别是否有关？ (2)为了答谢参与调查的学生，学校后勤服务中心从参与调查的300名学生中按性别分层抽样的方法选15名幸运学生参与抽奖活动，并为他们准备了15张奖券，其中一等奖奖券有3张，二等奖奖券有5张，三等奖奖券有7张，每人抽取一张.设15名幸运学生中男生抽中一等奖的人数为，写出的分布列，并计算. 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面 ,,，    (1)证明：平面平面 ； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 17．（15分）已知数列中，，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 18．（17分）设抛物线E：的焦点为F，过点的动直线l交抛物线E于，两点，点，当直线垂直于轴时，． (1)求抛物线E的标准方程； (2)若直线l过点T，求的面积； (3)若直线平分，求直线l的斜率． 19．（17分）已知函数，． (1)求的极值； (2)当时，证明：； (3)当恰有四个零点，，，时，证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $