专题05 分式与分式方程（4大考点期末真题汇编，四川成都专用）八年级数学下学期北师大版

**基本信息** 成都各区八年级下期期末校考分式与分式方程专题汇编，覆盖分式性质、运算、方程及实际应用4大高频考点，以地方特色情境（如三星堆研学、成都地铁S5线）设计实际应用题，注重基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|19|分式定义、性质、方程解|结合字母参数考查分式值正负及无意义条件| |填空题|19|分式化简、求值、方程参数|通过已知条件求分式代数式值（如已知x-y=3求分式值）| |解答题|21|分式运算、方程求解、实际应用|含先化简再求值（选合适整数代入）、方案设计（如购买无人机数量），实际应用题融入榫卯结构、低碳出行等文化与时代元素|

专题05 分式与分式方程 4大高频考点概览 考点01分式及其基本性质 考点02分式的运算 考点03分式方程 考点04 分式方程的实际应用 ( 地 城 考点01 分式及其基本性质 )一、选择题 1．（24-25八年级下·四川成都金堂县·校考期末）下列各式是分式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川成都成华区·期末）若分式的值为正数，则的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 3．（24-25八年级下·四川成都新都区·校考期末）若分式无意义，则实数满足的条件是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·四川成都温江区·期末）分式有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·四川成都青羊区·校考期末）下列各式从左到右的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·四川成都金牛区·校考期末）如果把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小 C．扩大2倍 D．扩大4倍 7．（24-25八年级下·四川成都双流区·校考期末）分式可变形为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·四川成都龙泉驿区·校考期末）下列分式变形正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·四川成都天府新区·校考期末）已知分式，，其中为任意正整数，则，的大小关系为（   ） A． B．P=Q C． D．，的大小关系与的取值有关 二、填空题 10．（24-25八年级下·四川成都新津区·校考期末）当______时，分式的值为零． 11．（24-25八年级下·四川成都郫都区·期末）若，则的值为______． 12．（24-25八年级下·四川成都双流区·期末）若，则____________． 13．（24-25八年级下·四川成都锦江区·期末）已知，则的值为_________． 14．（24-25八年级下·四川成都成华区·期末）已知，则代数式的值是_____________． ( 地 城 考点02 分式的运算 )一、选择题 1．（24-25八年级下·四川成都青羊区·期末）若，则代数式的值为（   ）． A． B． C．2 D． 二、填空题 2．（24-25八年级下·四川成都双流区·期末）化简：____________． 3．（24-25八年级下·四川成都锦江区师一学校·期末）已知，，代数式的值为______． 4．（24-25八年级下·四川成都高新区·期末）已知，且，则代数式的值为_________． 5．（24-25八年级下·四川成都温江区·期末）已知：，则的值为____． 6．（24-25·八年级下·四川成都高新区·校考期末）化简：___________． 7．（24-25八年级下·四川成都铁路中学校·期末）已知实数x，y满足，则______． 8．（24-25八年级下·四川成都龙泉驿区·校考期末）我们知道，假分数可以化为带分数， 例如：．类似的一些分式也可以化为“带分式”，即整式与非零分式的和的形式， 例如：； ． 已知．当时，则y的最大值是__________；若存在整数x使的值为整数，则的整数值为__________ 三、解答题 9．（24-25八年级下·四川成都郫都区·期末）已知：，． (1)在混合运算中，“□”内可以任意填上“”或“”，“〇”内可以任意填上“+”或“-”，用列表法或画树状图求得到代数式的概率；(2)化简：． 10．（24-25八年级下·四川成都双流区·期末）先化简，再求值：，其中． 11．（24-25八年级下·四川成都市成华区嘉祥外国语学校·月考）先化简：，再从中选择一个满足题意的整数代入求值． 12．（24-25八年级下·四川成都温江区·期末）先化简：，再从，0，1中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 13．（24-25八年级下·四川成都成华区·期末）（1）解不等式组： （2）先化简：，然后在中选取一个合适的数作为代入求值． 14．（24-25八年级下·四川成都邛崃市·期末）先化简，再求值：，其中． 15．（24-25八年级下·四川成都金牛区·期末）先化简，再求值：，请从，，中，选一个合适的数作为的值，代入求值． ( 地 城 考点0 3 分式方程 )一、选择题 1．（24-25八年级下·四川成都新都区·校考期末）已知关于x的方程的解是，则a的值为（　　） A．2 B．1 C． D． 2．（24-25八年级下·四川成都天府新区·校考期末）将关于的分式方程去分母后所得整式方程正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·四川成都大邑县·校考期末）分式方程的解是（    ） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣1 D．x＝﹣2 4．（24-25八年级下·四川成都双流区·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．0或2 B．4 C．8 D．4或8 二、填空题 5．（24-25八年级下·四川成都都江堰市·校考期末）若分式的值为1，则的值为 ____． 6．（24-25八年级下·四川成都武侯区·期末）分式方程的解是____________． 7．（24-25八年级下·四川成都天府新区·期末）若关于x的分式方程的解为负数，则a的取值范围是______． 8．（24-25八年级下·四川成都金牛区·期末）关于分式方程的解是正数，则的取值范围是______． 9．（24-25八年级下·四川成都武侯区·期末）已知关于的分式方程的解为正整数，则的最小值是___________． 10．（24-25八年级下·四川成都彭州市·校考期末）定义一种新运算：对于任意的非零实数、，，若，则的值为______． 三、解答题 11．（24-25八年级下·四川成都成华区·期末）（1）解分式方程：； （2）先化简，再求值：，其中满足． 12．（24-25八年级下·四川成都成华区·期末）（1）求不等式的正整数解；     （2）解方程：． 13．（24-25八年级下·四川成都邛崃市·期末）（1）因式分解：； （2）解方程：． 14．（24-25八年级下·四川成都锦江区·期末）（1）解方程：； （2）解不等式组： ( 地 城 考点0 4 分式方程的实际应用 )一、选择题 1．（24-25八年级下·四川成都武侯区·期末）三星堆博物馆园区位于三星堆遗址东北角，占地面积约1000亩，以其文物、建筑、陈列、园林四大特色享誉中外．某校计划组织270名学生租车前往研学，若单独租用型客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用比型客车多15个座位的型客车，则可以少租1辆，且余30个空座位．若设每辆型客车有个座位，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川成都邛崃市·期末）为了丰富同学们的课外社团活动，某学校增购了一批数量相等的乒乓球拍和羽毛球拍，供参加这些社团的学生使用，其中购买乒乓球拍用了1000元，购买羽毛球拍用了600元，已知每副乒乓球拍比每副羽毛球拍贵20元，设每副羽毛球拍x元，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·四川成都锦江区·期末）某市为应对人口老龄化，计划在老旧社区改建养老服务中心，让老人真正感觉到“老有所依，幸福常伴”．现有甲、乙两个施工队，已知甲队单独完成所需时间比规定时间多10天，乙队单独完成所需时间是规定时间的倍．若两队合作，恰好按规定时间完成．求规定时间是多少天？设规定时间是天，依题意列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·四川成都温江区·期末）古代建筑中，榫卯结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多千克．已知用千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为千克，符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·四川成都金牛区·期末）某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨．小丽家去年月份的水费是元，而今年5月的水费则是元．已知小丽家今年5月的用水量比去年月的用水量多，求该市去年居民用水的价格．设去年居民用水价格为，根据题意列方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 6．（24-25八年级下·四川成都新都区·期末）智能机器人已广泛应用于各类工业生产领域，某化工厂要在规定时间内搬运2000千克化工原料，现有两种智能机器人可供选择，已知型机器人每小时完成的工作量是型机器人每小时完成的工作量的2.5倍，型机器人单独完成所需的时间比型机器人单独完成所需的时间少20小时，求型机器人每小时各搬运多少千克原料？ 7．（24-25八年级下·四川成都双流区天府第七中学·期末）某商场有A、两种商品，一件商品的售价比一件A商品的售价多元，若用元购进A种商品的数量恰好是用元购进种商品的数量的倍． (1)求A、两种商品每件售价各多少元； (2)商品每件的进价为元，按原售价销售，该商场每天可销售种商品件，假设销售单价每上涨一元，种商品每天的销售量就减少件，设一件商品售价元，种商品每天的销售利润为元，求种商品销售单价为多少元时，种商品每天的销售利润最大，最大利润是多少元？ 8．（24-25八年级下·四川成都天府新区·期末）成都市域铁路S5线，又称成都地铁眉山线，是连接成都天府新区与眉山市东坡区的重要轨道交通线路，其中某标段路基工程长度为米，由甲，乙两个工程队施工，已知甲队每天铺设路基长度比乙队多10米，甲队单独完成该标段需要的时间是乙队单独完成所需时间的(1)求甲、乙两队每天各铺设路基多少米？(2)为加快进度，甲乙两队决定先合作施工一段时间，剩下的由甲队单独完成，若工期要求不超过160天，求两队至少需合作多少天才能确保完成该标段． 9．（24-25八年级下·四川成都成都金苹果锦城第一中学·期末）某农场为了提高农作物产量和减少人力成本，计划引入，两种型号的自动化灌溉装置．已知每套型装置每天比每套型装置少灌溉亩地，且农场使用型装置灌溉亩地与使用型装置灌溉亩地所用天数相同． (1)每套型装置和每套型装置每天分别能灌溉多少亩地？ (2)每套型装置售价为万元，每套型装置售价为万元，农场计划购买，两种型号的装置共套，要求型装置的数量不超过型装置的．①设购买型装置台，购买金额万元，请写出与之间的函数关系式；②请为农场设计一个最经济的购买方案，并计算该方案下的最低购买总金额． 10．（24-25八年级下·四川成都双流区·期末）颖颖到商店购买某种工具用于数学综合与实践活动．该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款，已知按批发价购买300个与按零售价购买250个所付款相同．如果颖颖给学校八年级学生每人购买1个该工具，那么只能按零售价付款，需要花费3600元；如果多购买60个，就可以按批发价付款，需要花费3800元．问这个学校八年级有多少名学生？ 11．（24-25八年级下·四川成都高新区·期末）作为低空经济的核心载体，我国无人机产业规模正持续增长．某科研公司在售的A型，B型两种无人机，已知B型无人机单价是A型无人机单价的，用万元购买A型无人机比用万元购买B型无人机的数量多2架．(1)求A型无人机的单价是多少万元；(2)某商家计划用不超过10万元购买A、B两种型号的无人机，且购买A型无人机的数量比B型无人机的数量多2架，求该商家最多购买多少架A型架无人机？ 12．（24-25八年级下·四川成都成华区·期末）共享单车低碳环保，通过扫码开锁，循环共享．为适应共享单车出行市场需求，某共享单车公司准备购买A，B两种型号的共享单车．已知A型共享单车比B型共享单车单价少100元，用1200元购买A型共享单车的数量和用1600元购买B型共享单车的数量相同． (1)求A，B两种型号的共享单车的单价分别是多少元？(2)该公司计划购买A，B两种型号的共享单车共400辆，其中A型共享单车的数量不超过B型共享单车数量的且不低于B型共享单车数量的．问当购买A型共享单车多少辆时，所需的总费用最少？最少费用是多少元？ 13．（24-25八年级下·四川成都武侯区·期末）第十二届世界运动会将于年8月7日在成都正式开幕，其吉祥物“蜀宝”“锦仔”分别以大熊猫、川金丝猴为原型，展现了成都生态宜居、热情友好的城市形象．某商店计划购进一批“蜀宝”“锦仔”吉祥物商品，已知“蜀宝”的单价比“锦仔”的单件高元，且花费元购进“蜀宝”的数量是花费6000元购进“锦仔”的数量的． (1)分别求“蜀宝”“锦仔”两款吉祥物商品的单价；(2)根据网上预订的情况，该商店决定用不超过元的资金购进这两款吉祥物商品共个，求最多可购进“蜀宝”多少个？ 14．（24-25八年级下·四川成都青羊区·期末）从成都站到重庆北站铁路里程约为320千米．已知高铁平均速度是快车平均速度的1.5倍，乘坐高铁比乘坐快车所用时间少小时． (1)求高铁的平均速度；(2)成都市某校共有50名师生前往重庆参加春季研学活动，为了便于管理，所有人必须乘坐同一列高铁，已知高铁单程一等座位票价为280元，二等座位票价为150元，学校预计提供交通补助费单程不超过10100元，请问学校为师生最少购买多少张高铁二等座位的车票． 15．（24-25八年级下·四川成都锦江区·期末）“夏日炎炎，锦江波光潋滟”，成都某冷饮店为了对比两款特色冰粉的受欢迎程度，购进了一批数量相等的“玫瑰冰粉”和“桂花冰粉”供顾客品尝．已知购买“玫瑰冰粉”原料用了元，购买“桂花冰粉”原料用了元，且每千克“玫瑰冰粉”原料比“桂花冰粉”原料贵元． (1)每千克“玫瑰冰粉”和“桂花冰粉”原料的进价各是多少元？ (2)若该冷饮店决定再次采购“玫瑰冰粉”和“桂花冰粉”原料共千克，且总预算不超过元，同时“玫瑰冰粉”原料的进货量不低于“桂花冰粉”的2倍．若每千克“玫瑰冰粉”原料制作的产品售完后可获利润元，每千克“桂花冰粉”原料制作的产品售完后可获利润元，则该冷饮店应如何进货，才能使第二批冰粉售完后所获利润最大？最大利润是多少？ 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 分式与分式方程 4大高频考点概览 考点01分式及其基本性质 考点02分式的运算 考点03分式方程 考点04 分式方程的实际应用 ( 地 城 考点01 分式及其基本性质 )一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A A C D C A A B C 二、填空题 10．【答案】 11．【答案】/0.5 12．【答案】 13．【答案】４ 14．【答案】3 ( 地 城 考点02 分式的运算 ) 一、选择题 1 C 二、填空题 2．【答案】 3．【答案】/ 4．【答案】1 5．【答案】 6．【答案】 7．【答案】 8．【答案】 9 12或 三、解答题 9．【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图： 总共有 4 种等可能结果， 占 1 种，因此概率为： （2） ) 10．【答案】2 【详解】解：，，，，， 当时，原式． 11．【答案】， 【详解】解： ， ∵且，，且为整数，∴， ∴原式． 12．【答案】 【详解】解： ， ，，，， 当时，原式 13．【答案】（1）；（2），当时，原式． 【详解】解：（1）， 由①得，，由②得，，故不等式组的解集为：； （2） ， ∵，，∴，， ∴当时，原式． 14．【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 15．【答案】，当时，原式 【详解】解： ， ∵，∴，∴， ∴原式， ( 地 城 考点0 3 分式方程 ) 一、选择题 1 2 3 4 C B B D 二、填空题 5．【答案】 6．【答案】 7．【答案】 8．【答案】且 9．【答案】 10．【答案】12 三、解答题 11．【答案】（1）无解；（2），． 【详解】解：（） ， 检验：当时，， ∴原分式方程无解； （） ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴原式 ． 12．【答案】（1），（2） 【详解】解：（1）， 去分母得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴不等式的正整数解为：，； （2）， 等式两边同时乘以，去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为． 13．【答案】（1）（2） 【详解】（1） （2）将方程变形为； 然后，合并左边的分式，得到； 两边同乘去分母，得； 展开并整理可得，解得； 检验：当时，，所以是原方程的解． ∴原方程的解是． 14．【答案】（1）   （2） 【详解】解：（1） 两边同时乘以得，解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为； （2）解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为：． ( 地 城 考点0 4 分式方程的实际应用 ) 一、选择题 1 2 3 4 5 B A B A A 二、解答题 6．【答案】A型机器人每小时搬运60千克，B型机器人每小时搬运150千克． 【详解】解：设A型机器人每小时搬运x千克，则B型机器人每小时搬运千克， 根据题意得：，解得：， 经检验：为分式方程的解，则， 答：A型机器人每小时搬运60千克，B型机器人每小时搬运150千克． 7．【答案】(1)A种商品每件售价元，种商品每件售价元 (2)种商品销售单价为元时，种商品每天的销售利润最大，最大利润是元 【详解】（1）解：设A种商品每件售价元，则种商品每件售价元， 用元购进种商品的数量恰好是用元购进种商品的数量的倍， ，解得：， 经检验，是原方程的解，也符合题意，， 种商品每件售价元，种商品每件售价元； （2）解：根据题意得： ， ，当时，取最大值，最大值为元， 种商品销售单价为元时，种商品每天的销售利润最大，最大利润是元． 8．【答案】(1)甲队每天铺设路基50米，乙队每天铺设路基40米 (2)两队至少需合作50天才能确保完成该标段 【详解】（1）解：设甲队每天铺设路基x米，则乙队每天铺设路基米， 由题意得：，解得：，， 答：甲队每天铺设路基50米，乙队每天铺设路基40米； （2）设两队需合作y天才能确保完成该标段， 由题意得：，解得：， 答：两队至少需合作50天才能确保完成该标段． 9．【答案】(1)每套型装置每天能灌溉亩地，每套型装置每天能灌溉亩地(2)①；②当购买型装置套，型装置套时，购买总金额最少，最低购买总金额为万元 【详解】（1）解：设每套型装置每天能灌溉亩地，则每套型装置每天能灌溉亩地， 由题意得：，解得：；经检验是原方程的解，， 答：每套型装置每天能灌溉亩地，每套型装置每天能灌溉亩地； （2）①由题意可得：购买型装置为套， ，与之间的函数关系式为； ②由题意得：，解得， ，随的增大而减小，当时，有最小值，最小值为， 答：当购买型装置套，型装置套时，购买总金额最少，最低购买总金额为万元． 10．【答案】这个学校八年级有名学生 【详解】解：设该工具的零售价为元/个，则批发价为元/个，，这个学校八年级学生有名， 由题意可得：，解得：， 经检验，时原分式方程的解，且符合题意， ∴，∴这个学校八年级有名学生． 11．【答案】(1)A型无人机的单价为 万元(2)该商家最多购买 15 架A型架无人机 【详解】（1）解：设型无人机的单价是万元，则型无人机的单价是万元， 由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：A型无人机的单价为万元； （2）解：由（1）可知，B型无人机的单价为， 设该商家购买架型架无人机，则购买架型架无人机， 由题意得：，解得：， ∵为正整数，∴的最大值为 15 ， 答：该商家最多购买 15 架型架无人机． 12．【答案】(1)A种型号共享单车的单价是300元，B种型号共享单车的单价是400元； (2)当购买A型共享单车160辆时，所需的总费用最少，最少费用是144000元． 【详解】（1）解：设A种型号共享单车的单价是x元，则B种型号共享单车的单价是元， 由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：A种型号共享单车的单价是300元，B种型号共享单车的单价是400元； （2）解：设购买A种型号共享单车a辆，所需的总费用为w元，则购买B种型号共享单车辆， 由题意得，，解得：， ， ∵，∵w随a的增大而减小，∴当时，， 答：当购买A型共享单车160辆时，所需的总费用最少，最少费用是144000元． 13．【答案】(1)“锦仔”的单价为元；“蜀宝”的单价为元(2)最多可购进“蜀宝”个 【详解】（1）解：设 “锦仔”的单价为元，，则“蜀宝”的单价为元， 由题可得：整理得：解得：， 经经验，是原方程的解，∴， 答：“锦仔”的单价为元；“蜀宝”的单价为元． （2）解：设购买“蜀宝”个，则购进“锦仔”个， 由题可得：，整理得：解得：， ∵为整数，∴的最大值为，答：最多可购进“蜀宝”个． 14．【答案】(1)高铁的平均速度为240千米/小时；(2)学校为师生最少购买30张高铁二等座位的车票 【详解】（1）解：设快车的平均速度为x千米/小时，依题意，得 ，解得，∴（千米/小时）． 答：高铁的平均速度为240千米/小时． （2）设学校为师生购买m张高铁二等座位的车票，依题意，得，解得， 答：学校为师生最少购买30张高铁二等座位的车票． 15．【答案】(1)元，元(2)当购进“玫瑰冰粉”千克，“桂花冰粉”千克时，所获利润最大，最大利润是元 【详解】（1）解：设每千克“桂花冰粉”原料的进价为x元，则每千克“玫瑰冰粉”原料的进价为元， 根据题意得，解得，经检验是所列方程的解，且符合题意，∴． 答：每千克“玫瑰冰粉”原料的进价为元，每千克“桂花冰粉”原料的进价为元． （2）解：设再次采购“玫瑰冰粉”a千克，“桂花冰粉”千克， 则，解得． 设第二批售完后可获利y元，则， ∵，∴y随a的增大而增大，∴当时，y的值最大， ，此时． ∴当购进“玫瑰冰粉”千克，“桂花冰粉”千克时，所获利润最大，最大利润是元． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 分式与分式方程 4大高频考点概览 考点01分式及其基本性质 考点02分式的运算 考点03分式方程 考点04 分式方程的实际应用 ( 地 城 考点01 分式及其基本性质 )一、选择题 1．（24-25八年级下·四川成都金堂县·校考期末）下列各式是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，，分母中都不含有字母，都不是分式， 分母中含有字母，是分式，观察四个选项，选项A符合题意．故选：A． 2．（24-25八年级下·四川成都成华区·期末）若分式的值为正数，则的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【详解】解：分式的值为正数，，，只有A选项满足条件， B、C、D选项不满足， 故选：A． 3．（24-25八年级下·四川成都新都区·校考期末）若分式无意义，则实数满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵分式无意义，∴，∴故选：C 4．（24-25八年级下·四川成都温江区·期末）分式有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵分式有意义，∴，∴，故选：． 5．（24-25八年级下·四川成都青羊区·校考期末）下列各式从左到右的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A. ，故选项A不符合题意； B. ，故选项B不符合题意； C. ，故选项C符合题意； D. 的分子、分母没有公因式，不能约分，因此选项D不符合题意；故选：C 6．（24-25八年级下·四川成都金牛区·校考期末）如果把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小 C．扩大2倍 D．扩大4倍 【答案】A 【详解】解：把分式中的x和y都扩大2倍，即， 故分式的值不变．故选：A． 7．（24-25八年级下·四川成都双流区·校考期末）分式可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵==． 8．（24-25八年级下·四川成都龙泉驿区·校考期末）下列分式变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题意； B、，正确，故此选项符合题意；C、是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题意； D、，是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题意；故选：B． 9．（24-25八年级下·四川成都天府新区·校考期末）已知分式，，其中为任意正整数，则，的大小关系为（   ） A． B．P=Q C． D．，的大小关系与的取值有关 【答案】C 【详解】解：根据题意，得，， 由为任意正整数，故．故，故选：C． 二、填空题 10．（24-25八年级下·四川成都新津区·校考期末）当______时，分式的值为零． 【答案】 【详解】解：由分式的值为零，得，且，解得：，故答案为：． 11．（24-25八年级下·四川成都郫都区·期末）若，则的值为______． 【答案】/0.5 【详解】解：∵ ， ∴．故答案为：． 12．（24-25八年级下·四川成都双流区·期末）若，则____________． 【答案】 【详解】解：∵，∴，．故答案为：． 13．（24-25八年级下·四川成都锦江区·期末）已知，则的值为_________． 【答案】４ 【详解】解：设，，．故答案为：4． 14．（24-25八年级下·四川成都成华区·期末）已知，则代数式的值是_____________． 【答案】3 【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：3． ( 地 城 考点02 分式的运算 ) 一、选择题 1．（24-25八年级下·四川成都青羊区·期末）若，则代数式的值为（   ）． A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】解： ．故选C． 二、填空题 2．（24-25八年级下·四川成都双流区·期末）化简：____________． 【答案】 【详解】解： 故答案为： 3．（24-25八年级下·四川成都锦江区师一学校·期末）已知，，代数式的值为______． 【答案】/ 【详解】解：∵，， ．故答案是：． 4．（24-25八年级下·四川成都高新区·期末）已知，且，则代数式的值为_________． 【答案】1 【详解】解：， ∵，∴原式． 5．（24-25八年级下·四川成都温江区·期末）已知：，则的值为____． 【答案】 【详解】解：，，， ，，，，，， ，， ，故答案为： 6．（24-25·八年级下·四川成都高新区·校考期末）化简：___________． 【答案】 【详解】解：；故答案为：． 7．（24-25八年级下·四川成都铁路中学校·期末）已知实数x，y满足，则______． 【答案】 【详解】解：∵，∴，即， ∴．故答案为：． 8．（24-25八年级下·四川成都龙泉驿区·校考期末）我们知道，假分数可以化为带分数， 例如：．类似的一些分式也可以化为“带分式”，即整式与非零分式的和的形式， 例如：； ． 已知．当时，则y的最大值是__________；若存在整数x使的值为整数，则的整数值为__________ 【答案】 9 12或 【详解】解：， ∵，即，∴，∴，即y的最大值是9； ＝ ∵当有意义时，，0，4． 又存在整数x使的值为整数，∴，， 当时，原式；当时，原式； 即的整数值为12或．故答案为：9；12或． 三、解答题 9．（24-25八年级下·四川成都郫都区·期末）已知：，． (1)在混合运算中，“□”内可以任意填上“”或“”，“〇”内可以任意填上“+”或“-”，用列表法或画树状图求得到代数式的概率；(2)化简：． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图： 总共有 4 种等可能结果， 占 1 种，因此概率为： （2） ) 10．（24-25八年级下·四川成都双流区·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】2 【详解】解：，，，，， 当时，原式． 11．（24-25八年级下·四川成都市成华区嘉祥外国语学校·月考）先化简：，再从中选择一个满足题意的整数代入求值． 【答案】， 【详解】解： ， ∵且，，且为整数，∴， ∴原式． 12．（24-25八年级下·四川成都温江区·期末）先化简：，再从，0，1中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】 【详解】解： ， ，，，， 当时，原式 13．（24-25八年级下·四川成都成华区·期末）（1）解不等式组： （2）先化简：，然后在中选取一个合适的数作为代入求值． 【答案】（1）；（2），当时，原式． 【详解】解：（1）， 由①得，，由②得，，故不等式组的解集为：； （2） ， ∵，，∴，， ∴当时，原式． 14．（24-25八年级下·四川成都邛崃市·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 15．（24-25八年级下·四川成都金牛区·期末）先化简，再求值：，请从，，中，选一个合适的数作为的值，代入求值． 【答案】，当时，原式 【详解】解： ， ∵，∴，∴， ∴原式， ( 地 城 考点0 3 分式方程 ) 一、选择题 1．（24-25八年级下·四川成都新都区·校考期末）已知关于x的方程的解是，则a的值为（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴，解得，经检验是方程的解．故选：C． 2．（24-25八年级下·四川成都天府新区·校考期末）将关于的分式方程去分母后所得整式方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵分式方程，∴去分母后得出：，故选：B． 3．（24-25八年级下·四川成都大邑县·校考期末）分式方程的解是（    ） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣1 D．x＝﹣2 【答案】B 【详解】解：去分母得：，解得：， 检验：当时，，∴原方程的解为．故选：B 4．（24-25八年级下·四川成都双流区·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．0或2 B．4 C．8 D．4或8 【答案】D 【详解】解：原方程的最简公分母为，可能的增根为或， 两边同乘，得：，解得：， 若是增根，则，解得；若是增根，则，解得； 综上，的值为4或8，故选：D． 二、填空题 5．（24-25八年级下·四川成都都江堰市·校考期末）若分式的值为1，则的值为 ____． 【答案】 【详解】解：∵分式的值为1，∴，∴，∴， 检验，当时，，∴是原方程的解，故答案为：． 6．（24-25八年级下·四川成都武侯区·期末）分式方程的解是____________． 【答案】 【详解】解： 去分母得：， 整理得： 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：， 经检验：是原方程的解；故答案为． 7．（24-25八年级下·四川成都天府新区·期末）若关于x的分式方程的解为负数，则a的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：将分式方程的两边都乘以，得，解得， 由于分式方程的解为负数，所以，即， 又因为分式方程的增根，所以，即，综上所述，故答案为： 8．（24-25八年级下·四川成都金牛区·期末）关于分式方程的解是正数，则的取值范围是______． 【答案】且 【详解】解：去分母得：解得：. ∵方程的解是正数，∴且解得且 故答案为：且 9．（24-25八年级下·四川成都武侯区·期末）已知关于的分式方程的解为正整数，则的最小值是___________． 【答案】 【详解】解：将分式方程的两边都乘以，得，解得， 由于分式方程的增根是，所以，即， 因为分式方程的解是正整数，而，则x的最小值为2，所以，解得，故答案为：4． 10．（24-25八年级下·四川成都彭州市·校考期末）定义一种新运算：对于任意的非零实数、，，若，则的值为______． 【答案】12 【详解】解：根据题意得：， ∵，∴，去分母得：，解得：， 检验：当时，，∴原方程的解为．故答案为：12 三、解答题 11．（24-25八年级下·四川成都成华区·期末）（1）解分式方程：； （2）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】（1）无解；（2），． 【详解】解：（） ， 检验：当时，， ∴原分式方程无解； （） ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴原式 ． 12．（24-25八年级下·四川成都成华区·期末）（1）求不等式的正整数解；     （2）解方程：． 【答案】（1），（2） 【详解】解：（1）， 去分母得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴不等式的正整数解为：，； （2）， 等式两边同时乘以，去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为． 13．（24-25八年级下·四川成都邛崃市·期末）（1）因式分解：； （2）解方程：． 【答案】（1）（2） 【详解】（1） （2）将方程变形为； 然后，合并左边的分式，得到； 两边同乘去分母，得； 展开并整理可得，解得； 检验：当时，，所以是原方程的解． ∴原方程的解是． 14．（24-25八年级下·四川成都锦江区·期末）（1）解方程：； （2）解不等式组： 【答案】（1）   （2） 【详解】解：（1） 两边同时乘以得，解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为； （2）解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为：． ( 地 城 考点0 4 分式方程的实际应用 ) 一、选择题 1．（24-25八年级下·四川成都武侯区·期末）三星堆博物馆园区位于三星堆遗址东北角，占地面积约1000亩，以其文物、建筑、陈列、园林四大特色享誉中外．某校计划组织270名学生租车前往研学，若单独租用型客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用比型客车多15个座位的型客车，则可以少租1辆，且余30个空座位．若设每辆型客车有个座位，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设每辆型客车有个座位，则需租用A型客车辆，每辆B型客车座位数为个，根据题意得：．故选：B 2．（24-25八年级下·四川成都邛崃市·期末）为了丰富同学们的课外社团活动，某学校增购了一批数量相等的乒乓球拍和羽毛球拍，供参加这些社团的学生使用，其中购买乒乓球拍用了1000元，购买羽毛球拍用了600元，已知每副乒乓球拍比每副羽毛球拍贵20元，设每副羽毛球拍x元，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设每副羽毛球拍x元， ∵每副乒乓球拍比每副羽毛球拍贵20元，∴每副乒乓球拍元， ∵购买乒乓球拍用了1000元，∴乒乓球拍的数量为； ∵购买羽毛球拍用了600元，∴羽毛球拍的数量为； 又∵乒乓球拍和羽毛球拍数量相等，∴可列方程为：．故选：A ． 3．（24-25八年级下·四川成都锦江区·期末）某市为应对人口老龄化，计划在老旧社区改建养老服务中心，让老人真正感觉到“老有所依，幸福常伴”．现有甲、乙两个施工队，已知甲队单独完成所需时间比规定时间多10天，乙队单独完成所需时间是规定时间的倍．若两队合作，恰好按规定时间完成．求规定时间是多少天？设规定时间是天，依题意列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设规定时间为天，甲队单独完成需天，乙队单独完成需天． 由题意可得：．对应选项B．故选：B． 4．（24-25八年级下·四川成都温江区·期末）古代建筑中，榫卯结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多千克．已知用千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为千克，符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设制作个榫需要的木材为千克，则每个卯需要的木材为千克， 由题意可得，，故选：． 5．（24-25八年级下·四川成都金牛区·期末）某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨．小丽家去年月份的水费是元，而今年5月的水费则是元．已知小丽家今年5月的用水量比去年月的用水量多，求该市去年居民用水的价格．设去年居民用水价格为，根据题意列方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设去年水价为，今年水价上涨，即今年价格为． 根据题意，知去年12月用水量为，今年5月用水量为． 因为小丽家今年5月的用水量比去年月的用水量多，所以可列方程为．故选：A． 二、解答题 6．（24-25八年级下·四川成都新都区·期末）智能机器人已广泛应用于各类工业生产领域，某化工厂要在规定时间内搬运2000千克化工原料，现有两种智能机器人可供选择，已知型机器人每小时完成的工作量是型机器人每小时完成的工作量的2.5倍，型机器人单独完成所需的时间比型机器人单独完成所需的时间少20小时，求型机器人每小时各搬运多少千克原料？ 【答案】A型机器人每小时搬运60千克，B型机器人每小时搬运150千克． 【详解】解：设A型机器人每小时搬运x千克，则B型机器人每小时搬运千克， 根据题意得：，解得：， 经检验：为分式方程的解，则， 答：A型机器人每小时搬运60千克，B型机器人每小时搬运150千克． 7．（24-25八年级下·四川成都双流区天府第七中学·期末）某商场有A、两种商品，一件商品的售价比一件A商品的售价多元，若用元购进A种商品的数量恰好是用元购进种商品的数量的倍． (1)求A、两种商品每件售价各多少元； (2)商品每件的进价为元，按原售价销售，该商场每天可销售种商品件，假设销售单价每上涨一元，种商品每天的销售量就减少件，设一件商品售价元，种商品每天的销售利润为元，求种商品销售单价为多少元时，种商品每天的销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A种商品每件售价元，种商品每件售价元 (2)种商品销售单价为元时，种商品每天的销售利润最大，最大利润是元 【详解】（1）解：设A种商品每件售价元，则种商品每件售价元， 用元购进种商品的数量恰好是用元购进种商品的数量的倍， ，解得：， 经检验，是原方程的解，也符合题意，， 种商品每件售价元，种商品每件售价元； （2）解：根据题意得： ， ，当时，取最大值，最大值为元， 种商品销售单价为元时，种商品每天的销售利润最大，最大利润是元． 8．（24-25八年级下·四川成都天府新区·期末）成都市域铁路S5线，又称成都地铁眉山线，是连接成都天府新区与眉山市东坡区的重要轨道交通线路，其中某标段路基工程长度为米，由甲，乙两个工程队施工，已知甲队每天铺设路基长度比乙队多10米，甲队单独完成该标段需要的时间是乙队单独完成所需时间的(1)求甲、乙两队每天各铺设路基多少米？(2)为加快进度，甲乙两队决定先合作施工一段时间，剩下的由甲队单独完成，若工期要求不超过160天，求两队至少需合作多少天才能确保完成该标段． 【答案】(1)甲队每天铺设路基50米，乙队每天铺设路基40米 (2)两队至少需合作50天才能确保完成该标段 【详解】（1）解：设甲队每天铺设路基x米，则乙队每天铺设路基米， 由题意得：，解得：，， 答：甲队每天铺设路基50米，乙队每天铺设路基40米； （2）设两队需合作y天才能确保完成该标段， 由题意得：，解得：， 答：两队至少需合作50天才能确保完成该标段． 9．（24-25八年级下·四川成都成都金苹果锦城第一中学·期末）某农场为了提高农作物产量和减少人力成本，计划引入，两种型号的自动化灌溉装置．已知每套型装置每天比每套型装置少灌溉亩地，且农场使用型装置灌溉亩地与使用型装置灌溉亩地所用天数相同． (1)每套型装置和每套型装置每天分别能灌溉多少亩地？ (2)每套型装置售价为万元，每套型装置售价为万元，农场计划购买，两种型号的装置共套，要求型装置的数量不超过型装置的．①设购买型装置台，购买金额万元，请写出与之间的函数关系式；②请为农场设计一个最经济的购买方案，并计算该方案下的最低购买总金额． 【答案】(1)每套型装置每天能灌溉亩地，每套型装置每天能灌溉亩地(2)①；②当购买型装置套，型装置套时，购买总金额最少，最低购买总金额为万元 【详解】（1）解：设每套型装置每天能灌溉亩地，则每套型装置每天能灌溉亩地， 由题意得：，解得：；经检验是原方程的解，， 答：每套型装置每天能灌溉亩地，每套型装置每天能灌溉亩地； （2）①由题意可得：购买型装置为套， ，与之间的函数关系式为； ②由题意得：，解得， ，随的增大而减小，当时，有最小值，最小值为， 答：当购买型装置套，型装置套时，购买总金额最少，最低购买总金额为万元． 10．（24-25八年级下·四川成都双流区·期末）颖颖到商店购买某种工具用于数学综合与实践活动．该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款，已知按批发价购买300个与按零售价购买250个所付款相同．如果颖颖给学校八年级学生每人购买1个该工具，那么只能按零售价付款，需要花费3600元；如果多购买60个，就可以按批发价付款，需要花费3800元．问这个学校八年级有多少名学生？ 【答案】这个学校八年级有名学生 【详解】解：设该工具的零售价为元/个，则批发价为元/个，，这个学校八年级学生有名， 由题意可得：，解得：， 经检验，时原分式方程的解，且符合题意， ∴，∴这个学校八年级有名学生． 11．（24-25八年级下·四川成都高新区·期末）作为低空经济的核心载体，我国无人机产业规模正持续增长．某科研公司在售的A型，B型两种无人机，已知B型无人机单价是A型无人机单价的，用万元购买A型无人机比用万元购买B型无人机的数量多2架．(1)求A型无人机的单价是多少万元；(2)某商家计划用不超过10万元购买A、B两种型号的无人机，且购买A型无人机的数量比B型无人机的数量多2架，求该商家最多购买多少架A型架无人机？ 【答案】(1)A型无人机的单价为 万元(2)该商家最多购买 15 架A型架无人机 【详解】（1）解：设型无人机的单价是万元，则型无人机的单价是万元， 由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：A型无人机的单价为万元； （2）解：由（1）可知，B型无人机的单价为， 设该商家购买架型架无人机，则购买架型架无人机， 由题意得：，解得：， ∵为正整数，∴的最大值为 15 ， 答：该商家最多购买 15 架型架无人机． 12．（24-25八年级下·四川成都成华区·期末）共享单车低碳环保，通过扫码开锁，循环共享．为适应共享单车出行市场需求，某共享单车公司准备购买A，B两种型号的共享单车．已知A型共享单车比B型共享单车单价少100元，用1200元购买A型共享单车的数量和用1600元购买B型共享单车的数量相同． (1)求A，B两种型号的共享单车的单价分别是多少元？ (2)该公司计划购买A，B两种型号的共享单车共400辆，其中A型共享单车的数量不超过B型共享单车数量的且不低于B型共享单车数量的．问当购买A型共享单车多少辆时，所需的总费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】(1)A种型号共享单车的单价是300元，B种型号共享单车的单价是400元； (2)当购买A型共享单车160辆时，所需的总费用最少，最少费用是144000元． 【详解】（1）解：设A种型号共享单车的单价是x元，则B种型号共享单车的单价是元， 由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：A种型号共享单车的单价是300元，B种型号共享单车的单价是400元； （2）解：设购买A种型号共享单车a辆，所需的总费用为w元，则购买B种型号共享单车辆， 由题意得，，解得：， ， ∵，∵w随a的增大而减小，∴当时，， 答：当购买A型共享单车160辆时，所需的总费用最少，最少费用是144000元． 13．（24-25八年级下·四川成都武侯区·期末）第十二届世界运动会将于年8月7日在成都正式开幕，其吉祥物“蜀宝”“锦仔”分别以大熊猫、川金丝猴为原型，展现了成都生态宜居、热情友好的城市形象．某商店计划购进一批“蜀宝”“锦仔”吉祥物商品，已知“蜀宝”的单价比“锦仔”的单件高元，且花费元购进“蜀宝”的数量是花费6000元购进“锦仔”的数量的． (1)分别求“蜀宝”“锦仔”两款吉祥物商品的单价；(2)根据网上预订的情况，该商店决定用不超过元的资金购进这两款吉祥物商品共个，求最多可购进“蜀宝”多少个？ 【答案】(1)“锦仔”的单价为元；“蜀宝”的单价为元(2)最多可购进“蜀宝”个 【详解】（1）解：设 “锦仔”的单价为元，，则“蜀宝”的单价为元， 由题可得：整理得：解得：， 经经验，是原方程的解，∴， 答：“锦仔”的单价为元；“蜀宝”的单价为元． （2）解：设购买“蜀宝”个，则购进“锦仔”个， 由题可得：，整理得：解得：， ∵为整数，∴的最大值为，答：最多可购进“蜀宝”个． 14．（24-25八年级下·四川成都青羊区·期末）从成都站到重庆北站铁路里程约为320千米．已知高铁平均速度是快车平均速度的1.5倍，乘坐高铁比乘坐快车所用时间少小时． (1)求高铁的平均速度；(2)成都市某校共有50名师生前往重庆参加春季研学活动，为了便于管理，所有人必须乘坐同一列高铁，已知高铁单程一等座位票价为280元，二等座位票价为150元，学校预计提供交通补助费单程不超过10100元，请问学校为师生最少购买多少张高铁二等座位的车票． 【答案】(1)高铁的平均速度为240千米/小时；(2)学校为师生最少购买30张高铁二等座位的车票 【详解】（1）解：设快车的平均速度为x千米/小时，依题意，得 ，解得，∴（千米/小时）． 答：高铁的平均速度为240千米/小时． （2）设学校为师生购买m张高铁二等座位的车票，依题意，得，解得， 答：学校为师生最少购买30张高铁二等座位的车票． 15．（24-25八年级下·四川成都锦江区·期末）“夏日炎炎，锦江波光潋滟”，成都某冷饮店为了对比两款特色冰粉的受欢迎程度，购进了一批数量相等的“玫瑰冰粉”和“桂花冰粉”供顾客品尝．已知购买“玫瑰冰粉”原料用了元，购买“桂花冰粉”原料用了元，且每千克“玫瑰冰粉”原料比“桂花冰粉”原料贵元． (1)每千克“玫瑰冰粉”和“桂花冰粉”原料的进价各是多少元？ (2)若该冷饮店决定再次采购“玫瑰冰粉”和“桂花冰粉”原料共千克，且总预算不超过元，同时“玫瑰冰粉”原料的进货量不低于“桂花冰粉”的2倍．若每千克“玫瑰冰粉”原料制作的产品售完后可获利润元，每千克“桂花冰粉”原料制作的产品售完后可获利润元，则该冷饮店应如何进货，才能使第二批冰粉售完后所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)元，元(2)当购进“玫瑰冰粉”千克，“桂花冰粉”千克时，所获利润最大，最大利润是元 【详解】（1）解：设每千克“桂花冰粉”原料的进价为x元，则每千克“玫瑰冰粉”原料的进价为元， 根据题意得，解得，经检验是所列方程的解，且符合题意，∴． 答：每千克“玫瑰冰粉”原料的进价为元，每千克“桂花冰粉”原料的进价为元． （2）解：设再次采购“玫瑰冰粉”a千克，“桂花冰粉”千克， 则，解得． 设第二批售完后可获利y元，则， ∵，∴y随a的增大而增大，∴当时，y的值最大， ，此时． ∴当购进“玫瑰冰粉”千克，“桂花冰粉”千克时，所获利润最大，最大利润是元． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $