福建省厦门第一中学2025-2026学年第二学期高二第二次阶段性练习数学试题

厦门一中2025-2026学年第二学期高二年第二次阶段性练习 数学试题参考答案与评分标准 -、单选题：1.C2.D3.A4.B5.A6.A7.C8.C 8.【详解】因为x·(e+lhr+x)=1,y2nv+lh(lny)]=1, 所以e+hcx2+o)所以hur) 1 xX 设f(e+x且单调递增，且f)-了，所以=h>0, 1 乡=-时0)学满滋：401l0)}205069-0190, 所以，x<1,A选项错误：因为fx=e+x且在R单调递增，fn-fm(),所以n-1nm, 2 所以-，且x=n,所以+n=0,且+1r=0,设g(d)=x+r则g()在(0，+w)单调递增， y (1 所以8三 y =g),所以x=,所以=1，B选项错误： 因为x=1n1>0,所以e=1,所以y-x=e-x,设g(x)=e-x,g()=e-1, 因为兮回-=心-108（到单适，所e(的>目。-台 C选项正确； 因为-=士单调递减，且时<1，所以y-x<2一方D选项错误：放选：C 二、多选题：9.BD10.ABD11.ABD 11.【详解】对于A,曲线C过点耳(-1,0)，此时P+2PE=a=0+2×2=4,故A正确： 对于B,曲线C的方程为Vx+1)+y+2(x-1+y=4,联立单位圆x2+y2=1, 即√2+2x+2V2-2x=4,平方得10-6x+4V4-4x2=16=2W4-4x2=3+3x, 即44-4x2)=9+12x+9x2→25x2+18x-7,解得x=-1或x=25 7 由图可知=1时，商线C的点为R(-10,当x3时商线C上有2个点， 所以曲线C与单位圆有3个交点，故B正确： 设P=m,|P=n,∠P耳R=6,则m+2n=4,n=4-2n,日引=2， 在PR风中，0s0-+4时_心+44-2列-3+4， 4n 4n 4 n :cs日=-1，即∠PR月=0=元时，P=n取得最小值号 又P=m20,所以n≤2，即n [后0是R黑的中点，0P阳+限)： p网-+网++）-d+1-r7- 号以=为大为 即O的最小值为店，最大值为，故C错误，D正确：故选：ABD 5 第1页/共4页 三、镇空超：12+5以根45马 14.【详解】由AB⊥平面a,//面BCD,则AB⊥面BCD,BC,BDC面BCD, 所以AB⊥BC,AB⊥BD,又AB=BC=1且△BCD是以B为直角的等腰直角三角形， 故AB=BC=BD=1,则△ABC、△ABD都为等腰直角三角形， 将A-BCD补全为正方体如下图示，其中一个面在a上且棱长为1， 所以AC=AD=CD=V反，在等边△ACD中E是CD中点，故AB=6 21 过M作面ACD垂线交面&于N,且MN⊥面ACD,AEC面ACD,则MN⊥AE, 因为BG⊥CD,AB⊥面BCGD,CDC面BCGD,故AB⊥CD, 又BG∩AB=B,BG,ABC面ABGH,故CD⊥面ABGH,CDC面ACD, 所以，面ABGH⊥面ACD,面ABGH∩面ACD=AE,且M∈AE, 易知：过M作面ACD垂线在面ABGH内，即MNc面ABGH,而面ABGH∩a=AH, 综上，点V必在对角线AH上，且AB与a所成角为∠Bw,5 sin FAN=4B-Y5 4B=3,则cosBAN3 3 在RaMN中，令AM=xeo,由iw=Vs, COs EAN 故FN2=AF2+AN2-2AF.ANc0s45°=1+3x2√6， 所ucr-N1e--+--9+则ce喝，所以cw55 四、解答题： 15.解：(1)设等差数列{a}的公差为d 由题意可得： 4=4+d-3, S6=6g+15d=36,… 2分 解得☑=1，d=2, .5分 所以数列{}的通项公式An=1+2-1)=21-1.6分 （2)由b.-b,-1=422)可得： b-b=3,b3-b=5,b.-bn-1=21-1(n22）, 8分 通过累加可得久-么=3计5+.+32-1.仔+21-0-1少n21≥2），10分 2 又么=10，所以b=7+9(n≥2），12分 当n=1时，么=10=12+9符合b=1+9,故bn=+9.13分 16解：(1）由思意知1+号=子，…2分解得p气4分所以乃的方程为户=x5分 (2)因为A(1,%)(%>0)是E上的一点，所以后=1，解得=1，故A(1,1)6分 设直线BC的方程为x=y+nB(:,),C(5,2), 由 y产生t，得y-mg-n=0,所以A=m2+4n>0,y1十h=my2=-nan8分 [x=my+n 为ABL4C:所以ka:kas=1,即.h2=-1,9 x-1x2-1 化简得h乃+片+y+2=0,所以-n+m+2=0,即n=+2,11分 所以直线BC的方程可化为X=w+m+2,即x-2=m(y+1),12分 故直线BC过定点H(2,-l),又AH=√(1-2)2+(1+1)7=V5,14分 所以点A到直线BC的距离的最大值为√5 15分 17.解：(1)因为AB=2,AD=1,∠DAB=60°，E为AB中点， 所以AE=AD=BE=BC=1,∠ABC=120°，即△ADE为等边三角形，所以DE=1,2分 第2页/共4页 在ABCE中，EC2=BE2+BC2-2BE·BC.cos∠ABC=1+1-2×1× 2 =3,所以cg=5 ，3分 因为DE2十CE2=DC2,所以CE⊥DE,4分 又CE⊥AE,AEODE=E,AE,DEC平面ADE,所以CE⊥平面ADE: 5分 (2)由(1)可知，CB为三棱锥C-ADE的高，… 6分 84eAD4sm∠AE11号 .8分 24 所以Ac&Ag子9分 (3)由(1)可知，CE⊥DE,故以E为原点，ED为x轴，EC为y,垂直平面BCDE的直线为z轴，建 立如图空间直角坐标系， 49s9 j.c(.c.a10, V31 V3 2434 所以Dc=（W3,-1,0), 10分 。3V3 BM=0, 4’4 设平面ADC的法向量为i=(x,y,), [i.DC=√3x-y=0 则 2s0 令y=5,则x=z=1,即i=(1,3,1), 12分 设直线BM与平面ADC所成角为B,故sin8=cos(元，BM） 32W5 BM 5x3 5,14分 所以直线M与平面4DC所成角的正弦值为25 15分 18解：(1)小王答3道题后积分小于6，有两种情况：3题都答错：答对1题，答错2题 3题都答错的概率为 1)3 3 272分答对1题，答错2题的概率为：C×2×=2 1 33 -9 4分 所以小王答3道题后积分小于6的概率为： 1,27 279-27 5分 (2)解法一：设小王答对的题数为Y,则他答错的题数为4-Y,所以X=6+Y-(4-Y)=2+2…7分 由题意知了B4写)所以=4牧名名。 2 33’ 9分 所以E(K)=E(2Y+2）=2BY)+2=2×8+2=22 10分 3 解法二：X的可能取值为2,4,6,8,10.… .6分 则：Px=2)=()=PX=4=cx号x（⑤)°=品：Px=6)=c×③x()-=多 PX=8)=c4×佾×（周=：PX=10)=() …(错一个扣2分).… 9分 81 所以，W=2×立+4×品+6×普+8×普+10×9=号 81 10分 (3)当积分己为0时，游戏已停止，无法再达到12分，故=0： 当积分已为12时，游戏已停止，已是目标状态，故乃2=1… …11分 ①当小王的积分为(i=1,2,…,11)时， 若小王接下来一题答对，则积分变为i+1,若小王接下来一题答错，则积分变为-1 由全概率公式有-号+兮，即R:-多-，整理可得R。-月=-)。 1 又R-=月≠0，所以{P+1-P}(i=01,2,…,11)为等比数列… …13分 ②由@可得A:-月=A, 第3页/共4页 所neA-Pd+eu-P0t+e,-PD+n1=P,(信+点++与t)-型-= 1- 又3=1，所以=270 15分 所以B=(B-)+(B-P)++(B-)+乃 =,传+安叶号)-2-兴×号-二-装 13 2m1=65 17分 19.解：(1)a=0时，f(X）=e-b,1分 当b≤1时，∫(x)≥0，函数∫(x)单调递增，既无极大值也无极小值2分 当b>l时，x∈[0，lnb),f(x)<0,函数f(x)单调递减，x∈(nb,+o),f'(x)>0,函数f(x)单调递增， 函数∫(x)的极小值是b一blnb,无极大值.4分 (2)(i)当b=0时，因为函数f(x)存在零点，故e=a√有解， 若x=0,此时无解，所以x>0,8()=e-aG有解，g'()=e-a-2cG-4 5分 2vx 2vx ①若a≤0，g(x)单调递增，g(x)>g(0)=1此时不存在零点；6分 ②若a>0,令h(e)=2e'√-a,h0)=-a<0,ha2)=2eaa-a>0, 由零点存在定理可知存在X∈(0，)，h(x)=0, 8分 所以8(x)在(0，x)上为减函数，在(x,+n)上为增函数， 1 做8四=e”-a6三2a。≤0，解得之故a2e=2e .10分 (解法二：全分离略) (i)因为函数f(x)存在零点，所以f(x)=e-aWk-br有解，其中≥0， 若x=0,则1-ax0-b×0=0,该式不成立，故6>0… 11分 故a√+b-e=0,考虑直线xV,+%-e0=0, √a+b2表示原点与直线xVx+x-e0=0上的动点(a,b)之间的距离， 匠，所以d之。 V2+0 02+ ,>0时，要证+b2>2,只需证 >2,14分 02+ 解法一：即证e2o-2x-2x>0. 令g(c)=e2-2r-2x,x>0,则g'(x)=2e2-4r-2=2(e2x-2x-刂，l5分 令h(x)=(e2-2x-1),x>0,故(x)=2(e2-1)>0,h(x)在(0，+m)上为增函数，故h(x)>h(0)=0. 即g(x)>0,g(x)在(0，+o)上为增函数， 故g(x)>g(0)=1,故 e26 >2,即a2+b2>2成立17分 + 解法二：令p)=e +r>0),则ow e2x(2x2-1） …15分 (x2+x) 令p<0,得0<r< 2,()单调递减， 令p(>0,得x> ，p(x)单调递增， 2 2e5 所以p(x)≥p 2(W2+山=2 2厂1+21+V2 17分 第4页/共4页厦门一中2025-2026学年第二学期高二年第二次阶段性练习 数学试题 考试时长：120分钟 满分分值：150分命题教师：刘明钦审核教师：周翔、方颖 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的 “准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致、 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.(1+2x)°的展开式中第4项的系数是 A.20 B.15 C.160 D.120 2.设数列{a}的前n项和为S.若a=1,Sn=,则4= A.1 B.月 C.2 D.3 3.从4名男生和3名女生中选4人组成学习小组，要求男生甲和女生乙要么都选，要么都不选，则不同的 选法共有 A.15种 B.18种 C.24种 D.30种 4.己知空间向量PA=(1,5,0),PB=(0,2,3),PC=(,1,3),若点C在平面PAB内，则k= A青 B号 C.-1 D.0 5.己知f(x)是定义在R上可导的增函数，且f(x)<0,则函数g(x)=xf(x)的单调情况一定是 A.在(-o,0)上递增 B.在(-∞，0)上递减 C.在(0，+o)上递增 D.在(0+∞)上递减 6.己知变量x,y线性相关，其一组样本数据（任，y)=1,2,,9),满足∑x=33,用最小二乘法得到的经 验回归方程为y=2x-1.若增加一个数据(-3,3)后，得到修正后的回归直线的斜率为1.9，则修正后数据(4,8) 的残差为 A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 1.如图已知双由线等若-a~心力>0)的左指点为F,左、右顶点分别为4、：P点为双陆线左 支上一点且满足PF⊥x轴，点M为线段PF上一点，直线M4交y轴于点E,直线MA交y轴于点G,若 0=30G,则该双曲线的离心率为 A.√2 B.5 C.2 D.3 第1页/共4页 (第7题图) 8.若x(e+nx+x)=1,y2ny+ln(ny)=1,x,y∈R,其中e=2.71828,是自然对数的底数，则 (附：e2≈1.65，e2≈7.389，n2≈0.69，ln3≈1.0986) A.x>1 B.x=2 C.y-x>e-1 e D.y->3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知a,b,c,d成等比数列，则下列三个数一定可以构成等比数列的是 A.a+b,b+c,c+d B.ab,bc,cd C.a-b,b-c,c-d D.a2+b2,b2+c2,c2+d 10.下列说法正确的是 A随机交装x~NL2),则P心K>)号 B.随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=卫，则E(X)=p 心能机变量的分布列为P5=灯=(=12，则a-号 4 D.随机变量5,7满足25+7=4，且5~B6,号 则E()=0 11.如图，已知笛卡尔“鸡蛋”曲线C过点耳(-1,0)，且曲线C上任意一点P到耳和耳(1,0)的距离满足 |P+2P引=a,则 A.a=4 B.曲线C与单位圆有3个交点 c.o叫的最小值为号 D.1o的最大值为3 (第11题图) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若过点(0，-1)的直线1与圆x2+y2-6y+5=0只有一个公共点，则1的斜率为▲. 13.如图，某植物园的参观路径形如三叶草，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有▲种. (第13题图) (第14题图) 14.如图，三棱锥A-BCD的顶点A在平面a上，侧棱AB⊥平面a,底面BCD是以B为直角的等腰直角 三角形，且平面BCD与平面a平行.AB=BC=1,E是CD中点，M是线段AE上的动点，过点M作平 面ACD的垂线交平面C于点N,则点N到点C的距离的取值范围为▲一· 第2页/共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)1.已知等差数列{a}的前n项和为Sn,且4=3，S6=36. (1)求{a}的通项公式： (2)数列bn}满足b=10，b.-bn-1=a(n≥2)，求bn}的通项公式. 16(15分)已知抛物线Z:p-2孤(>0)上的一点A0%)03>0)到z的焦点的距离为}，点B,C是z上 不同的两点 (1)求E的方程： (2)若AB⊥AC,求点A到直线BC的距离的最大值 17.(15分)在平行四边形ABCD中，AB=2,AD=1,∠DAB=60°，E为AB中点，将△ADE沿直线DE翻折 至△ADE.设M是线段AC的中点，CE⊥AE. (I)证明：CE⊥平面ADE: (2)求三棱锥A-DEC的体积： (3)求直线BM与平面ADC所成角的正弦值. E B (第17题图) 第3页/共4页 18.(17分)厦门一中某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分， 2 每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为了，答错的概率为3，且每道题答对与否互不影响。 (1)求小王答3道题后积分小于6的概率： (2)设小王答4道题后积分为X,求E(X): (3)若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为(i=0,1,2,,12)时，最终积分为12的概 率为？，请直接写出和2的值，并求出的值. 19.(17分)已知a,b∈R,函数f(x)=e-aNR-br,x∈[0，+o). (1)当a=0时，讨论f(x)的极值； (2)若f(x)存在零点. (i)当b=0时，求a的取值范围； (ii)求证：a2+b2>2. 第4页/共4页