精品解析：2026年山东省德州市庆云县渤海中学九年级中考第三次学情自测数学试题

渤海中学三模试题 一、选择题（每题4分，12小题，共40分） 1. 实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，实数与数轴，先理解题意，得与是符号不相同，再由数轴得 ，则，得，故表示1的点可能是，即可作答． 【详解】解：依题意，，且与是符号不相同， 观察数轴，得， ∴， 则， ∴在和之间， ∴表示1的点可能是， 故选：C 2. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图的形状特征，运用空间想象力，即可判断答案． 【详解】解：∵主视图和左视图为上面图形是圆，下面图形是长方形， ∴这个几何体的上面是球，下面是柱体， ∵俯视图是圆环， ∴这个几何体的下面部分是圆柱． 结合四个选项，符合题意的是 3. 人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 根据原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所确定n即可解答． 【详解】解：， 故选：D． 4. 国庆假期，嘉嘉和琪琪准备乘坐高铁去北京旅游，高铁座位安排如图所示，这两位同学从这五个座位中依次随机选取1个座位，他们选取到相邻座位（不能间隔过道）的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出树状图，得出共有20种等可能的结果数，相邻座位（不能间隔过道）的情况有6种，根据概率公式可得结论． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图得总共有20种等可能的结果数，相邻座位（不能间隔过道）的情况有6种， ∴ 他们选取到相邻座位的概率． 5. 下列运算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，涉及有理数幂的概念，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方等知识，根据这些运算进行即可． 【详解】解：；；； ； 故选：D． 6. 《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”题目大意为：现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？设客人有人，盘子有个，根据题意，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：设客人有x人，盘子有y个， ∵2人共用1个盘子时少2个盘子，说明需要的盘子总数比现有盘子数多2，∴可得方程， ∵3人共用1个盘子时多3个盘子，说明需要的盘子总数比现有盘子数少3，∴可得方程 因此所列方程组为． 7. 如图，已知．现按如下步骤作图：①以为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于，；②分别以，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于；③以为圆心，长为半径画弧，交于点；④以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点；⑤作射线交OA于点I．若测得，则点E到的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，过点作交的延长线于点，根据作图得出，则，进而根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据平行线间的距离处处相等，即可求解． 【详解】根据作图可知为的角平分线，， ∴ 如图所示，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴点E到的距离为 故选：B． 【点睛】本题考查了基本作图，作角平分线，作一个角等于已知角，平行线的判定，平行线之间的距离，含30度角的直角三角形的性质，证明是解题的关键． 8. 在边长为3的正六边形中，将四边形绕顶点A顺时针旋转到四边形处，如图，此时边与对角线重叠，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，旋转的性质，扇形的面积的计算．根据正六边形的性质和旋转的性质以及扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵在边长为3的正六边形中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的面积， ∵将四边形绕顶点A顺时针旋转到四边形处， ∴， ∴图中阴影部分的面积 故选：B． 9. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，，点E在边上，且，连接并延长与的延长线相交于点F，则的长为（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质．取的中点，连接，证得是的中位线，求得，，再求得，推出，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接， ∵四边形是平行四边形，对角线，相交于点O， ∴， ∴是的中位线， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 二次函数的图象过点，，．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，容易求得，结合，分两种情况讨论：当时和当时． 【详解】根据题意可得，二次函数的对称轴为，且开口向下，所以． （Ⅰ）当时，可得 解不等式，得 （不符合题意，舍去）． （Ⅱ）当时，可知且，可得 解不等式组，得 ． 二、填空题（每题4分，5小题，共20分） 11. 在平面直角坐标系中，已知点与点 关于轴对称，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征，可得两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此求出，的值，再计算即可． 【详解】解：点与点关于轴对称， ， ， 解得， ． 12. 设，是关于的方程的两个根，且，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，结合已知，先求出方程两个根的值，再计算得到的值． 【详解】解：，是方程的两个根， ∴，， 又， ， 解得， 则， ． 13. 如图，在中，，分别以点、点为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线交于点，交于点，连接，，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由作图可知垂直平分，则，，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知，再求出，最后通过等边对等角和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由作图可知垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数的图象上一点，连接并延长到点B，使，将点向下平移个单位长度得到点，点恰好在反比例函数的图象上，连接并延长交轴于点，连接．已知的面积为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点，，可得，可得，根据题意可得，可得，代入的面积，即可得的长． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵点，点在反比例函数的图象上，的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点向下平移个单位长度得到点， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴． 15. 如图正方形，点为边上一个动点，连接，作于点，连接，以长为横坐标，以长为纵坐标，绘制图象如图所示，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由图象可知，当时，，容易判断此时是等腰直角三角形，由勾股定理可得．取的中点，连接、，根据直角三角形的性质和勾股定理可得，，，结合，因此当、、三点共线时，取得最小值． 【详解】解：由图可知，当时，， 如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 如图，取的中点，连接、， 在中，点为斜边的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值． 三、解答题（8道大题，共90分） 16. 计算： （1）； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据负整数指数幂、立方根、零指数幂分别计算即可； （2）根据分式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 年月4日是第十二个国家宪法日．为进一步增强学生的宪法意识，弘扬宪法精神，维护宪法权威，某校开展了一次宪法知识竞赛（百分制）．七、八年级各有名学生参赛，对他们的成绩进行整理、描述和分析．将成绩（均为整数，单位：分）分为5组：①；②；③；④；⑤．部分信息如下： a．七年级②组的学生人数占七年级参赛人数的； 八年级③组中最低的个成绩分别为． b．七、八年级成绩统计图如下： c．七、八年级成绩的平均数，中位数，众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 八 根据以上情况回答下列问题： （1）____________，____________； （2）请补全条形统计图； （3）这次竞赛中，甲、乙两名同学的成绩均为分，但甲的成绩在其所在年级中排名更靠前，可知甲是____________（填“七”或“八”）年级的学生； （4）综合上表中的统计量，在此次竞赛中，哪个年级的学生对宪法知识掌握得更好？请说明理由． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）七 （4）八年级的学生对宪法知识掌握得更好，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图、条形统计图、中位数、数据统计应用等知识，通过扇形统计图和条形统计图获得所需信息是解题关键． （1）根据扇形统计图中信息求解即可；将八年级人成绩从小到大排列，根据中位数的定义求解即可； （2）分别求得七年级组、组的学生人数，即可补画条形统计图； （3）根据八年级和七年级成绩的中位数分析判断即可； （4）根据两个年级学生成绩的平均数、众数和中位数进行分析即可． 【小问1详解】 解： ， 八年级组的人数之和是（人）， 结合题意可知，将八年级参赛的名学生成绩按从小到大的顺序排列后， 第，个数据分别为， ， 所以中位数为 (分)，即． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：七年级组的学生人数为 (人)， 组的学生人数为 (人)， 补全条形统计图如答图所示． 【小问3详解】 解：这次竞赛中，甲、乙两名同学的成绩均为分，但甲的成绩在其所在的年级中排名更靠前，根据八年级成绩的中位数为，故分在年级中排名在第名之后，而七年级成绩的中位数为，故分在年级中排名在第名之前，可知甲是七年级的学生． 故答案为∶七； 【小问4详解】 解：八年级的学生对宪法知识掌握得更好． 理由：在所抽取的样本中，七、八年级成绩的平均数相同，但八年级成绩的中位数、众数均比七年级高， 因此八年级学生对宪法知识掌握得更好． 18. 如图，在中，，点分别是的中点．连接并延长至点，使得．连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若与的周长差为7，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）30 【解析】 【分析】（1）根据．，先求证四边形是平行四边形；结合即可得到结论； （2）根据与的周长差为7结合勾股定理可得，证明四边形是平行四边形，得到，再根据菱形面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵点E是的中点， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵在中，，点D是的中点， ∴． ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵与的周长差为7， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴菱形的面积． 19. 跳台滑雪要想取得好成绩，就必须在第一阶段达到高速度，所以大跳台必须达到一定的高度．如图1是首钢滑雪大跳台，是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，是世界首例永久性保留和使用的滑雪大跳台场馆，跳台造型设计融入了中国知名的世界文化遗产——敦煌壁画中的“飞天”元素．图2是其示意图，为登台梯，C为大跳台最高点，赛道由三段组成（平行于地面）． （1）数学兴趣一组已测得，，求平台与地面之间的距离．（，结果保留到个位）． （2）数学兴趣二组通过测量得到，，从E处看C的仰角为（即），并由计算器查得，，请问能否根据两个兴趣小组获得的这些数据求出大跳台最高点的高度？若能，请求出来；若不能，请说明理由．（结果保留到个位） 【答案】（1）平台与地面之间的距离约为 （2）大跳台最高点的高度约为． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）过点E作于点N，在中，由，即可得出答案； （2）连接．过点C作于点M，延长ED交CM于点P，先证明四边形是矩形．得出，设，在中，由，得，列出，求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点E作于点N， 在中，由， 得． 答：平台与地面之间的距离约为． 【小问2详解】 解：能求出大跳台最高点的高度． 如图，在第（1）题答图的基础上连接．过点C作于点M，延长ED交CM于点P， ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴，． ∴， ∴四边形是矩形． ∴， 设， 在中，由， 得， 在中，由， 得， ∵， 即， 解得． ． 答：大跳台最高点的高度约为． 20. 2026年春晚舞台上，人形机器人表演再次惊艳全球，展现了“中国智造”的无限活力和广阔未来，点燃了全世界对人形机器人赛道的憧憬，向全世界传递了中国科技自立自强的最强声音．某公司计划采购甲、乙两种机器人，已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花费1200万元购进甲种机器人的数量是花费650万元购进乙种机器人数量的2倍． （1）求甲种机器人和乙种机器人的单价分别是多少万元？ （2）该公司计划购进甲，乙两种机器人共40台，且甲种机器人的购买数量不超过乙种机器人购买数量的2倍，该公司购进甲种机器人多少台时花费最少？最少费用是多少万元？ 【答案】（1）一台甲种机器人需60万元，一台乙种机器人需65万元 （2）购进26台甲种机器人花费最少，最少费用是2470万元 【解析】 【分析】（1）设购买一个乙种机器人需万元，则购买一台甲种机器人需万元，根据“花费1200万元购进甲种机器人的数量是花费650万元购进乙种机器人数量的2倍”列分式方程求解即可； （2）设该公司购进甲种机器人台，总花费为万元，先求出a的取值范围，再求出的函数解析式，根据一次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：设购买一个乙种机器人需万元，则购买一台甲种机器人需万元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：购买一台甲种机器人需60万元，一台乙种机器人需65万元； 【小问2详解】 解：设该公司购进甲种机器人台，总花费为万元， 根据题意，得：， 解得，， ， ， 随的增大而减小， ∵，a为整数， 当时，取得最小值， 此时（万元）， 答：购进26台甲种机器人花费最少，最少费用是2470万元． 21. 如图，是直径，点D是上一点，是切线，连接交于点E，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）切线的性质，得到，进而得到，圆周角定理结合已知条件推出，进而得到，即可； （2）解，求出的长，进而求出的长，连接，圆周角定理得到，根据，求出的长即可． 【小问1详解】 证明：∵是切线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接，则：， ∴， ∴． 22. 已知关于x的二次函数． （1）当函数图象经过点时． ①求该二次函数的表达式． ②若将平面内一点向右平移个单位或向左平移个单位，都恰好落在函数的图象上，求的值． （2）设点，是该函数图象上的两点，且．求证：． 【答案】（1）①；② （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）①把代入，得出关于的一元一次方程，解方程求出的值即可；②根据平移方式求出平移后的两点坐标，代入①中所求关系式，得出关于的一元一次方程，解方程求出的值即可； （2）把点，分别代入，结合得出，根据平方的非负数性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：①∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴该二次函数的表达式为． ②∵， ∴点向右平移个单位的坐标为，向左平移个单位的坐标为， ∵点向右平移个单位或向左平移个单位，都恰好落在函数的图象上， ∴， 解得：． 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵点，是该函数图象上的两点， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴． 23. 【基础巩固】 （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，．求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形中，E是上一点，F是内一点，，，．，，请直接写出菱形的边长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）菱形的边长为 【解析】 【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质即可完成； （2）证明，利用相似三角形的性质即可完成； （3）分别延长相交于点G，则由菱形的性质及已知可得四边形为平行四边形，得，，；再由已知得，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，分别延长相交于点G， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴菱形的边长为． 【点睛】本题是四边形与相似三角形的综合，考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，相似三角形的判定与性质是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渤海中学三模试题 一、选择题（每题4分，12小题，共40分） 1. 实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（ ） A. B. C. D. 2. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A. B. C. D. 3. 人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 4. 国庆假期，嘉嘉和琪琪准备乘坐高铁去北京旅游，高铁座位安排如图所示，这两位同学从这五个座位中依次随机选取1个座位，他们选取到相邻座位（不能间隔过道）的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 6. 《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”题目大意为：现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？设客人有人，盘子有个，根据题意，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知．现按如下步骤作图：①以为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于，；②分别以，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于；③以为圆心，长为半径画弧，交于点；④以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点；⑤作射线交OA于点I．若测得，则点E到的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 8. 在边长为3的正六边形中，将四边形绕顶点A顺时针旋转到四边形处，如图，此时边与对角线重叠，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，，点E在边上，且，连接并延长与的延长线相交于点F，则的长为（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 二次函数的图象过点，，．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，5小题，共20分） 11. 在平面直角坐标系中，已知点与点 关于轴对称，则__________． 12. 设，是关于的方程的两个根，且，则__________． 13. 如图，在中，，分别以点、点为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线交于点，交于点，连接，，则的度数为__________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数的图象上一点，连接并延长到点B，使，将点向下平移个单位长度得到点，点恰好在反比例函数的图象上，连接并延长交轴于点，连接．已知的面积为，则的长为______． 15. 如图正方形，点为边上一个动点，连接，作于点，连接，以长为横坐标，以长为纵坐标，绘制图象如图所示，则的最小值为______． 三、解答题（8道大题，共90分） 16. 计算： （1）； （2）化简：． 17. 年月4日是第十二个国家宪法日．为进一步增强学生的宪法意识，弘扬宪法精神，维护宪法权威，某校开展了一次宪法知识竞赛（百分制）．七、八年级各有名学生参赛，对他们的成绩进行整理、描述和分析．将成绩（均为整数，单位：分）分为5组：①；②；③；④；⑤．部分信息如下： a．七年级②组的学生人数占七年级参赛人数的； 八年级③组中最低的个成绩分别为． b．七、八年级成绩统计图如下： c．七、八年级成绩的平均数，中位数，众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 八 根据以上情况回答下列问题： （1）____________，____________； （2）请补全条形统计图； （3）这次竞赛中，甲、乙两名同学的成绩均为分，但甲的成绩在其所在年级中排名更靠前，可知甲是____________（填“七”或“八”）年级的学生； （4）综合上表中的统计量，在此次竞赛中，哪个年级的学生对宪法知识掌握得更好？请说明理由． 18. 如图，在中，，点分别是的中点．连接并延长至点，使得．连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若与的周长差为7，，求菱形的面积． 19. 跳台滑雪要想取得好成绩，就必须在第一阶段达到高速度，所以大跳台必须达到一定的高度．如图1是首钢滑雪大跳台，是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，是世界首例永久性保留和使用的滑雪大跳台场馆，跳台造型设计融入了中国知名的世界文化遗产——敦煌壁画中的“飞天”元素．图2是其示意图，为登台梯，C为大跳台最高点，赛道由三段组成（平行于地面）． （1）数学兴趣一组已测得，，求平台与地面之间的距离．（，结果保留到个位）． （2）数学兴趣二组通过测量得到，，从E处看C的仰角为（即），并由计算器查得，，请问能否根据两个兴趣小组获得的这些数据求出大跳台最高点的高度？若能，请求出来；若不能，请说明理由．（结果保留到个位） 20. 2026年春晚舞台上，人形机器人表演再次惊艳全球，展现了“中国智造”的无限活力和广阔未来，点燃了全世界对人形机器人赛道的憧憬，向全世界传递了中国科技自立自强的最强声音．某公司计划采购甲、乙两种机器人，已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花费1200万元购进甲种机器人的数量是花费650万元购进乙种机器人数量的2倍． （1）求甲种机器人和乙种机器人的单价分别是多少万元？ （2）该公司计划购进甲，乙两种机器人共40台，且甲种机器人的购买数量不超过乙种机器人购买数量的2倍，该公司购进甲种机器人多少台时花费最少？最少费用是多少万元？ 21. 如图，是直径，点D是上一点，是切线，连接交于点E，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 已知关于x的二次函数． （1）当函数图象经过点时． ①求该二次函数的表达式． ②若将平面内一点向右平移个单位或向左平移个单位，都恰好落在函数的图象上，求的值． （2）设点，是该函数图象上的两点，且．求证：． 23. 【基础巩固】 （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，．求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形中，E是上一点，F是内一点，，，．，，请直接写出菱形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $