学易金卷：七年级数学下学期期末模拟卷（鲁教版新教材七下全部）

**基本信息** 立足鲁教版七年级下册全册，以傣族油纸伞非遗文化、高铁座位概率等真实情境为载体，通过反证法步骤排序、动态几何探究等题设计，考查抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形性质、全等判定、概率、方程组|第2题以非遗伞骨结构考全等判定，体现文化传承| |填空题|6/18|概率估计、角平分线、几何综合|第14题长方形内小长方形面积，考查几何直观| |解答题|8/72|方程不等式应用、动态几何、函数与坐标、综合探究|第24题“截长补短”构造全等，第23题购物方案设计，分别考查推理能力与模型意识|

可学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：鲁教版七年级下册全册。 第一部分（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1.下列说法正确的是() A.三角形不具有稳定性，四边形具有稳定性 B.三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心 C.小明任意写一个数，这个数是偶数的概率较大 D.掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为}，那么掷100次硬币，正面朝上的结果恰好等于50 次 2傣族油纸伞是傣家人引以为豪的传统手工艺之一，被列入第一批国家级非物质文化遗产保护名录，我县某 中学八年级同学在了解了傣族油纸伞后，即组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动.同学们依据全等 三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得AE=AF,请添加一个条件，使得 △AED≌△AFD( B G A.∠ADE=∠ADF B.∠AED=∠AFD C.∠BED=∠CFD D.DE=DF 3.李伟同学购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，则“李伟购买的车票座位刚好靠近 1/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 窗户”的概率是() 窗|AB|C|过道|DF|窗 A. 2 2 25 c D. 2x+y=3k+2 4.已知关于x,y的方程组 3x-2y=-k+5,若-3y=1,则的值为() A 8.、1 4 c.} 5.已知△ABC中，AB=AC,求证：∠B<90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①因此假设不成立..∠B<90° ②：∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和为180矛盾 ③假设在△ABC中，∠B≥90° ④由AB=AC,得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°. 这四个步骤正确的顺序应是() A.④③①②B.①②③④ c.③④②① D.③④①② 6.如图，△ABC中，AB=AC,D为BC边上一点，把△ABD沿AD翻折得到△AED,(点E与点B对应)， 若∠CAE=38°，则∠ADC的度数为() P A.52° B.62 C.71° D.72 7如图，AB∥CD,射线CE平分∠BCD,点F为CE的反向延长线上的一点，连接BF,且满足 ∠CBF=1∠ABC,若∠BFC=a,∠ABF=P,则u与B满足的关系式为() 3 A.a+B=90° B.u+2B=180° 2/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 C. D.B=4a 8.某商场销售某种商品，当按定价销售时、每件可获利45元：当按定价的八折销售时、销售8件所获利润 与将定价降低35元销售12件所获利润相同.若设该商品的进价为x元、定价为y元，则x,y满足的方程 是() x-y=45 [x-y=45 A. B. (0.8y-x)×8=(y-35-x)×12 (0.8x-y)×8=(x+35-y)×12 y-x=45 y-x=45 C.0.8y-x)×8=(y-35-x)×12 D. (0.8x-y)×8=(x-35-y)×12 2x-3≥3(K-2)恰好只有4个整数解，那么m的取值范围为) x-m>0 9.关于x的不等式组 A.-1≤m≤0 B.-1<<0 C.-1≤m<0 D.-1<m≤0 10.如图，∠AOB=120°，OC平分∠AOB,点D为OC上一点，且OD=2.将一个三角板的60°角的顶点与 点D重合，将三角板绕点D旋转，旋转过程中，三角板60°角的两边分别与OA,OB交于点E,F.下列结论： ①DE=DF;②EF的长不变：③OE+OF的值不变；④四边形OEDF的面积不变，其中正确的个数为 () D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分) 11.在一个不透明的口袋中，红色，黑色，白色的小球共有50个，这些小球除颜色外其它完全相同，小明每 次摸球前先将口袋里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回口袋，通过大量重复摸球试验后发现， 摸到红色球，黑色球的频率分别稳定在0.36和0.22，则可估计口袋中白色球的个数可能为个. 12.图1是一打孔器的实物图，图2是使用打孔器的侧面示意图，AD∥BC,使用打孔器时，AD,DE,DC 分别移动到AD'D'E',D'C.此时DE∥BC,DD'平分∠ADC,若∠DDE=62°，则∠DCB=°， 3/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 E D E D 图1 图2 2x-a≤1， 13.若关于x的不等式组 无解，则a的取值范围是 x+2 >1 3 14.如图，在长方形ABCD中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积是， D 7cm BR 19cm 15.如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°， 则∠A+∠P= A 20 50% B M C 16.己知：如图，△ABC、△CDE都是等腰三角形，且CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=,AD、BE 相交于点O,点M、N分别是线段AD、BE的中点.以下4个结论：①AD=BE;②∠DOB=180°-； ③△CMN是等边三角形：④连OC,则OC平分∠AOE.其中正确的有 M NO 4/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(6分)解方程组： 3(x+y)-4(x-y)=-9 x+y:x-Y=1 026 3(x+1)>5x-1 18.(6分)解不等式组x-12x-1，并把解集在数轴上表示出来。 23 -54-3-2-1012345→ 19.(8分)如图是一个可以自由转动的转盘，且转盘被分成面积相等的十个扇形.小颖和同伴利用这个转 盘做下面的游戏： 在转盘中如果转出较大的数就填 十位 个位 入“☐”，转出较小的数填入“☐”， 这样更容易获胜。 十位个位 ①自由转动转盘，每人分别将转出的数填入两个方格中的任意一个“ □” ②继续转动转盘，每人再将转出的数字填入剩下的方格中： ③转动两次转盘后，每人得到一个“两位数”： ④比较两人得到的“两位数”大小，谁的大谁就获胜 通过游戏经验的积累，小颖发现： (1)在一次游戏中，小颖第一次转出的数字是6，求她下一次转出的数字大于6的概率： (2)为了更有可能得到一个较大的两位数，你认为小颖应当把第一次转出的数字6放在（填“十位”或“个 位”)的方格中」 5/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 20.(8分)如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD,作DE⊥AB交AB于点E,DF⊥AC交AC于 点F,且AD平分∠BAC,连接EF. E (1)证明：AD垂直平分EF. (2)若△ABC的周长为18，面积为24，BC=6,求DE的长， 21.(10分)己知AB∥CD,点F是AB上一点，点E、N是CD上两点，连接CF、NF,过点E作EH∥NF 交CF于点H,∠EHF=∠BFH. B A B H D D E 图1 图2 (1)如图1，求证：CF平分∠AFN; (2)如图2，NK平分∠FND,过点F作FK⊥NK于点K,∠HEK+∠BFK=130°，求∠EKN的度数. 6/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 22.(10分)如图，在平面直角坐标系中，直线4=- 2+2分别与x轴、y轴交于点A,点8，直线为，=m-b 与直线相交于点C(2,m),与x轴相交于点D(1,0),与y轴相交于点E. B D (1)求直线y2的表达式： 2)根据图象，直接写出关于x的不等式x-b>-x+2的解集： B若点P是x拍上一动点，连结C即，当Scm8a时，请求出点P的坐标， 23.(12分)某体有用品店准备购进甲、乙两种品牌跳绳，若购买甲种跳绳10根，乙种跳绳5根，需要100 元，若购买甲种跳绳5根，乙种跳绳3根，需要55元 (1)求购进甲，乙两种跳绳每根各需多少元？ (2)若该体育用品店刚好用了500元购进这两种跳绳，且销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳 绳可获利润4元，考虑顾客需求，要求购进甲种跳绳的数量不少于乙种跳绳数量的3倍，且乙种跳绳数量 不少于18根，那么该文具店共有哪几种购买方案？各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多 少元？ (3)若体育用品店按(2)中利润最大方案去进货时，正值为促全民体育运动，两种跳绳每根各降价1元，体 育用品店将省下的钱全部再次购买这两种跳绳，则再次购进有哪几种方案. 7/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 24.(12分)“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特 征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下 数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习.如图，在四边形ABCD中， AB=AD,E,F分别是直线BC,CD上的点 G B< D A F D 图① 图② 如图①，若∠AC=∠ADC=90,Z,P分别在线段BC,CD上，且满足∠2A-4D,试探究线段 EF,BE,DF之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长CB到点G,使BG=DF,连接AG, 请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若∠ABC+∠ADC=180°，点E在CB的延长线上，且BE>CD,点F在CD的延长线上，若 EF=BE+DF,请探究∠EAF与∠BAD之间的数量关系，并说明理由. 8/8 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版七年级下册全册。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1.下列说法正确的是（    ） A．三角形不具有稳定性，四边形具有稳定性 B．三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心 C．小明任意写一个数，这个数是偶数的概率较大 D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，那么掷100次硬币，正面朝上的结果恰好等于50次 【答案】B 【详解】解：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，A选项说法错误； 根据三角形重心的定义，三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心，B选项说法正确； 小明任意写一个数，无法判断这个数是偶数的概率是否较大，C选项说法错误； 概率反映事件发生的可能性大小，掷100次质地均匀的硬币，正面朝上的次数是随机的，不一定恰好等于50次，D选项说法错误． 2.傣族油纸伞是傣家人引以为豪的传统手工艺之一，被列入第一批国家级非物质文化遗产保护名录，某中学八年级同学在了解了傣族油纸伞后，即组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．同学们依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，请添加一个条件，使得（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，据此结合全等三角形的判定定理逐一判断即可，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：根据题意可得， 添加条件时，结合，不可以利用证明，故A不符合题意； 添加条件时，结合，不可以利用证明，故B不符合题意； 添加条件时，则，即，结合，不可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件时，结合，可以利用证明，故D符合题意. 3.李伟同学购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，则“李伟购买的车票座位刚好靠近窗户”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：一共有5种等可能性，“李伟购买的车票座位刚好靠近窗户”的有2种可能， ∴“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是． 4.已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握相关知识点是解题的关键． 通过将方程组中的两个方程相减，可得，再结合题意可得，即可求解． 【详解】解：， 由，得， 又， ， ． 故选：C． 5.已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①因此假设不成立． ②，这与三角形内角和为矛盾 ③假设在中， ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．①②③④ C．③④②① D．③④①② 【答案】C 【分析】本题考查的是反证法．根据反证法的一般步骤判断即可． 【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤， ③假设在中，， ④由，得，即， ②，这与三角形内角和为矛盾， ①因此假设不成立．， 综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④②①． 故选：C． 6.如图，中，，为边上一点，把沿翻折得到，（点与点对应），若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，进而可得，再根据三角形外角定理可得的度数． 【详解】解：， ， 由翻折可知，又， ， ， ． 7.如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，过点作，根据平行线的性质分别表示出、，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作 ∵， ∴ ∵，， ∴， ∵ ∴ 又∵射线平分， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：D． 8.某商场销售某种商品，当按定价销售时、每件可获利45元；当按定价的八折销售时、销售8件所获利润与将定价降低35元销售12件所获利润相同．若设该商品的进价为x元、定价为y元，则x，y满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出代数式，正确列出方程是解题的关键．根据利润关系建立方程：按定价销售时每件利润为；按八折销售8件利润与降价35元销售12件利润相等． 【详解】解：∵按定价销售，每件获利45元， ∴. ∵按定价八折销售，每件利润为，销售8件利润为. ∵定价降低35元销售，每件利润为，销售12件利润为. ∵两者利润相同， ∴. ∴方程组为， 故选：C. 9.关于的不等式组恰好只有4个整数解，那么的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求解不等式组，根据一元一次不等式的整数解求参数的取值范围，掌握知识点是解题的关键． 先求解不等式组，得到解集为．由于恰好有4个整数解，且，整数解必为0，1，2，3．为确保恰好4个整数解，需满足在解集中而不在解集中，从而推导出的取值范围． 【详解】解：∵， ∴； ∵， 展开得， 移项得， 两边乘得． ∴不等式组的解集为． ∵解集恰好有4个整数解，且， ∴整数解为0，1，2，3． 为确保在解集中，需，即； 为确保不在解集中，需． ∴的取值范围为． 故选C． 10.如图，，平分，点为上一点，且．将一个三角板的角的顶点与点重合，将三角板绕点旋转，旋转过程中，三角板 角的两边分别与交于点．下列结论：①；②的长不变；③的值不变；④四边形的面积不变，其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】作于点M，于点N，连接，由角平分线的性质定理可得，再证，推出，，，可判断①；证明是等边三角形，可判断②；证明，可判断③；根据和可判断④． 【详解】解：如图，作于点M，于点N，连接， ， ，平分， ， ， ， ， 又， ， 平分，，， ， 在和中， ， ， ，，， 故①正确； ，， 是等边三角形， ， 旋转过程中的长是变化的， 的长也是变化的， 故②错误； 中，， ，， ． 在和中， ， ， 又， ， 故③正确； ，， 四边形的面积， 四边形的面积不变， 故④正确； 综上可知，正确的有①③④，共3个， 故选：C． 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.在一个不透明的口袋中，红色，黑色，白色的小球共有50个，这些小球除颜色外其它完全相同，小明每次摸球前先将口袋里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回口袋，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红色球，黑色球的频率分别稳定在0.36和0.22，则可估计口袋中白色球的个数可能为________个． 【答案】21 【分析】先根据频率之和为求出摸到白色球的频率，再根据“总数频率频数”计算白色球的个数． 【详解】解：摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在和， 摸到白色球的频率为. 口袋中白色球的个数为（个）． 12.图1是一打孔器的实物图，图2是使用打孔器的侧面示意图，，使用打孔器时，分别移动到．此时，平分，若，则 _______． 【答案】 【分析】根据平行于同一条直线的两条直线平行可得：，然后利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得，最后利用平行线的性质进行计算即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13.若关于的不等式组无解，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围. 【详解】解： 解不等式①得：； 解不等式②得：； 不等式组无解， ， 解得. 14.如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积是_____． 【答案】/67平方厘米 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图形中长和宽的构成列出二元一次方程组，求出a，b的值，再利用面积的和差关系计算阴影部分面积． 【详解】设小长方形的长为，宽为， 由图可知，， 解得， ∴长方形的宽为， ∴阴影部分面积为． 15.如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则___________． 【答案】 【分析】因为是的平分线，且，所以可求出的度数．因为是的平分线，且，所以可求出的度数，进而得到的度数和的度数，即可计算． 【详解】解：∵是的平分线，， ∴，． ∵是的平分线，， ∴，． 对，， ∴． 对，， ∴． ∴ ． 16.已知：如图，、都是等腰三角形，且，，，、相交于点O，点M、N分别是线段、的中点．以下4个结论：①；②；③是等边三角形；④连，则平分．其中正确的有__________． 【答案】①②④ 【分析】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是熟练掌握几何图形的性质． ①根据全等三角形的判定定理得到，由全等三角形的性质得到；故①正确； ②设与交于F，根据全等三角形的性质得到，得到，根据平角的定义得到，故②正确； ③根据全等三角形的性质得到，，根据线段的中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，得到，推出不一定是等边三角形，故③不符合题意； ④过C作于G，于H，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理即可得到平分，故④正确． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；故①正确； ②设与交于F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴ 又∵点M、N分别是线段的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴不一定是等边三角形，故③不符合题意； ④过C作于G，于H， ∵， ∴， ∴平分，故④正确， 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）解方程组： 【答案】 【详解】解：方程组化简为， 得：， 解得： ， 代入①中， 解得：， ∴方程组的解为：． 18.（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见解析 【分析】先分别解不等式①和②，然后求公共解，得到不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集是； 在数轴上表示为： ． 19.（8分）如图是一个可以自由转动的转盘，且转盘被分成面积相等的十个扇形．小颖和同伴利用这个转盘做下面的游戏： ①自由转动转盘，每人分别将转出的数填入两个方格中的任意一个； ②继续转动转盘，每人再将转出的数字填入剩下的方格中； ③转动两次转盘后，每人得到一个“两位数”； ④比较两人得到的“两位数”大小，谁的大谁就获胜． 通过游戏经验的积累，小颖发现： (1)在一次游戏中，小颖第一次转出的数字是，求她下一次转出的数字大于的概率； (2)为了更有可能得到一个较大的两位数，你认为小颖应当把第一次转出的数字6放在______（填“十位”或“个位”）的方格中． 【答案】(1) (2)十位 【分析】（1）根据转盘上一共有个数字，其中大于的数字有个，可知小颖下一次转出的数大于的概率为； （2）根据转盘上小于的数字有个，所以小颖下一次转出的数字小于的概率为，所以小颖下一次转出的数字小于的概率大，因为在十位上应该填入一个较大的数，所以数字应该放在十位上． 【详解】（1）解：转盘上一共有个数字，其中大于的数字有个， 她下一次转出的数字大于的概率为； （2）解：由第一问可知，她下一次转出的数字大于的概率为， 转盘上小于的数字有个， 小颖下一次转出的数字小于的概率为， ， 小颖下一次转出的数字小于的概率大， 在十位上应该填入一个较大的数， 数字应该放在十位上． 20.（8分）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得到，即可得证； （2）根据三角形的周长，求出，分割法求面积，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）解：∵，的周长为18， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 21.（10分）已知，点F是上一点，点E、N是上两点，连接、，过点E作交于点H，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，平分，过点F作于点K，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到、，进而得到，从而得出结论； （2）延长交于点，过点作交于点，根据平行线的性质得到，由角平分线定义得到，在中求出，进而得到，证明，进而得到和，根据得到，据此解答即可． 【详解】（1）证明：， 、， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：延长交于点，过点作交于点， 平分， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 、， ， ， ， ， ， ． 22.（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，点，直线与直线相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求直线的表达式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点是轴上一动点，连结，当时，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】先将点代入直线解析式求出，得到点坐标，再将、两点坐标代入，列方程组求解、即可； 不等式的几何意义为：直线的图像在直线图像 上方时的取值范围，结合两直线交点的横坐标直接判断； 先求出、坐标，计算，再根据面积关系得，结合三角形面积公式求出的长度，分点在左右两侧求解坐标． 【详解】（1）解：把代入， 得， ， 直线过点、， ， 解得， 直线的表达式为． （2）解：不等式即， 由图像可知：当时，直线在直线上方， 不等式的解集为． （3）解：在中，令，得， ， 在中，令，得， ， ， ， ， ． 设，，， ，的高为点纵坐标， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 23.（12分）某体有用品店准备购进甲、乙两种品牌跳绳，若购买甲种跳绳10根，乙种跳绳5根，需要100元，若购买甲种跳绳5根，乙种跳绳3根，需要55元． (1)求购进甲，乙两种跳绳每根各需多少元？ (2)若该体育用品店刚好用了500元购进这两种跳绳，且销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元，考虑顾客需求，要求购进甲种跳绳的数量不少于乙种跳绳数量的3倍，且乙种跳绳数量不少于18根，那么该文具店共有哪几种购买方案？各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ (3)若体育用品店按（2）中利润最大方案去进货时，正值为促全民体育运动，两种跳绳每根各降价1元，体育用品店将省下的钱全部再次购买这两种跳绳，则再次购进有哪几种方案． 【答案】(1)购进甲种跳绳每根需要5元，购进乙种跳绳每根需要10元 (2)该商店有3种进货方案：方案①购进甲种跳绳60根，乙种跳绳20根；方案②购进甲种跳绳62根，乙种跳绳19根；方案③购进甲种跳绳64根，乙种跳绳18根；其中方案③获利最大，最大利润是264元 (3)共有2种再次购进方案：方案①：再次购进甲种跳绳16根，乙种跳绳2根；方案②再次购进甲种跳绳7根，乙种跳绳6根． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键． （1）购进甲种跳绳每根需要5元，购进乙种跳绳每根需要10元； （2）有3种进货方案：方案①购进甲种跳绳60根，乙种跳绳20根；方案②购进甲种跳绳62根，乙种跳绳19根；方案③购进甲种跳绳64根，乙种跳绳18根；再分别求出每种方案的获利，比较即可求解； （3）设再次购进甲种跳绳m根，乙种跳绳n根．根据将省下的钱全部再次购买这两种跳绳，列二元一次方程，求整数解即可． 【详解】（1）解：设购进甲种跳绳每根需要元，购进乙种跳绳每根需要元，由题意得： ，解得：， 答：购进甲种跳绳每根需要元，购进乙种跳绳每根需要元． （2）解：设购进乙种跳绳a根，则购进甲种跳绳根，根据题意得， ， 解得：， ∵为正整数， ∴， 则=64，62，60， ∵销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元， 方案①：利润为（元）； 方案②：利润为（元）； 方案③：利润为（元）； ∵， 答：该商店有3种进货方案：方案①购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案②购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案③购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；其中方案③获利最大，最大利润是元． （3）解：设再次购进甲种跳绳m根，乙种跳绳n根． 根据题意可列方程： ∵m，n都是正整数 ∴或  ， 答：共有2种再次购进方案：方案①：再次购进甲种跳绳16根，乙种跳绳2根；方案②再次购进甲种跳绳7根，乙种跳绳6根． 24．（12分）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见详解； (2)，理由见详解 【分析】（1）延长到点，使，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到． （2）在的延长线上取一点，使得，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到，根据圆周角为，得到． 【详解】（1）解：线段之间的数量关系为：，理由： 如图，延长到点，使，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由： 如图，在的延长线上取一点，使得，连接， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 即， ． 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 2 3 5 6 <P 9 0 B D D C D D C C C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.21 12.56 13.a≤1 14./67平方厘米 15.90 16.①②④ 三、解答题：本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(6分) 7y-x=-9① 解：方程组化简为 y+2x=3②’ ②+①×2得：15y=-15, 解得：y=-1,…2分 代入①中， 解得：x=2,…4分 x=2 方程组的解为： …6分 y=-1 18.(6分) /3(x+1>5x-1① 解： x-1s2-1 2 3 解不等式①，得x<2,…1分 解不等式②，得x≥-1,3分 所以原不等式组的解集是-1≤x<2;…4分 1/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 在数轴上表示为： 5432-1012345→.6分 19.(8分)(1)解：“转盘上一共有10个数字，其中大于6的数字有3个， :她下一次转出的数字大于6的概率为P=3: 104分 (2)解：由第一问可知，她下一次转出的数字大于6的概率为 3 101 “转盘上小于6的数字有6个， ,63 ·小颗下一次转出的数字小于6的概率为10 3,3 105’ ·小颖下一次转出的数字小于6的概率大，…6分 :在十位上应该填入一个较大的数， 数字6应该放在十位上.…8分 20.(8分)(1)证明：：DF⊥AC,DE⊥AB, .∠AED=∠AFD, :AD平分∠BAC, ∠EAD=∠FAD,…1分 在△AED和△AFD中， ∠AED=∠AFD ∠EAD=∠FAD, AD=AD △AED≌△4FD(AAS), DE=DF,AE=AF,3分 点A和点D在EF的垂直平分线上， ·AD垂直平分EF;…4分 2/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)解：：BC=6,△ABC的周长为18， AB+AC=12,5分 由(1)得AADE≌△ADF, .∠AED=∠AFD=90°， Sm548Ds+号4C-F-n8+40=24. :1DE×12=24,7分 DE=4.…8分 21.(10分)(1)证明：：AB‖CD, ∠C=∠AFC、LC+∠BFH=180°， :EH‖NF, ∠CHE=∠HFN,…1分 :∠CHE+∠FHE=180°， ∠EHF=∠BFH, .∠C=∠CHE=∠AFC,…3分 .∠AFC=∠HFN, CF平分LAFN;…5分 (2)解：延长NK交AB于点G,过点E作EM∥CF交AB于点M, F M B A G H :NK平分∠FND, -D 图2 ∠FNK=∠DNK, AB I CD .∠AFN=∠FND=2LFNK 由(1)知，∠AFC=∠CFN, 3/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∠CFN=∠FNK, :FK⊥NK, .∠FKN=90°， .∠NFK=180°-∠FKN-∠FNK=180°-90°-∠FNK=90°-∠FNK, .∠CFK=∠CFN+∠NFK=∠FNK+90°-∠FNK=90°，…6分 :∠CFK+∠FKN=180°， .CF NK .CF EM, .CF‖EM‖NK, .∠CHE=∠HEM、∠KEM=∠EKN,…7分 :EH‖NF, ∠CHE=∠CFN, :∠HEK+∠BFK=130°， .∠HEM+∠KEM+∠NFK=130°， ∠CFN+∠EKN+∠NFK=130°，…8分 ∠EKN=130°-（∠CFN+∠NFK)=130°-∠CFK=130°-90°=40°.…10分 22.(10分)(1)解：把C(2,m)代入片=-2x+2, 1 得m=-。×2+2=1, 2 C(2,1,…1分 :直线y2=ax-b过点C(2,1、D(1,0), 2a-b=1 a-b=0' a=1 解得b=1' 直线的表达式为y2=x-1.3分 4/8 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 1 (2)解：不等式r-b>2+2即为>， 由图像可知：当x>2时，直线2在直线上方， ·不等式的解集为x>2.…5分 1 (3)解：在y,=-。x+2中，令x=0,得y=2, 2 .B0,2), 在y2=x-1中，令x=0,得y=-1, E(0,-1, .BE=2-（-1=3, SBCE=)x BExxc2】 _1×3x2=3, S.CDP=2 3 :.S.cDr=2 …7分 设P,0),D(1,0,DP=t-1, :C(2,1),aCDP的高为点C纵坐标1， .S.coe=x-1x1= 1 3 2 -=3, 解得t=4或t=-2,…9分 :点P的坐标为4,0或(-2,0).…10分 23.(12分)(1)解：设购进甲种跳绳每根需要x元，购进乙种跳绳每根需要y元，由题意得： 10x+5y=100 x=5 5.x+3y=55 ，解得： y=10 答：购进甲种跳绳每根需要5元，购进乙种跳绳每根需要10元.3分 5/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)解：设购进乙种跳绳a根，则购进甲种跳绳50,100=100-2)根，根据题意得， 5 100-2a≥3a a≥18 解得：18≤a≤20， :a为正整数， ∴a=18,19,20,…5分 则100-2a=64,62,60, :销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元， 方案①：利润为60×3+20×4=260（元）： 方案②：利润为62×3+19×4=262（元）： 方案③：利润为64×3+18×4=264（元）；…7分 :260<262<264, 答：该商店有3种进货方案：方案①购进甲种跳绳60根，乙种跳绳20根；方案②购进甲种跳绳62根，乙 种跳绳19根；方案③购进甲种跳绳64根，乙种跳绳18根；其中方案③获利最大，最大利润是264元. …8分 (3)解：设再次购进甲种跳绳m根，乙种跳绳n根， 根据题意可列方程： (5-1m+(10-1n=64×1+18×1 4m+9n=82…10分 :m,n都是正整数 m=16 m=7 或 (n=2 …11分 (n=6' 答：共有2种再次购进方案：方案①：再次购进甲种跳绳16根，乙种跳绳2根；方案②再次购进甲种跳绳 7根，乙种跳绳6根.…12分 24.(12分)(1)解：线段EF,BE,DF之间的数量关系为：EF=BE+DF,理由： 如图，延长CB到点G,使BG=DF,连接AG, 6/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 G B E FD :∠ABC=∠ADC=90°， .∠ABG=∠ADF=90°， 又：AB=AD,BG=DF, ABG≌ADF(SAS,…1分 .∠BAG=∠DAF,AF=AG, .∠FAG=∠DAB, ∠EAF=ZBAD 1 ∴.∠EAF=∠FAG, 2 ∠EAF=∠EAG,…2分 在△AEF和△AEG中， AE=AE ∠EAF=∠EAG, AF=AG ∴△AEF≌△AEG(SAS),…4分 .EF=EG BE BG, EF=BE+DF;5分 (2)解：∠EAF=180°-∠DAB,6分 2 理由：如图，在DC的延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG, G D :∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， F .∠ADC=∠ABE, 7/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ·AB=AD,DG=BE, ABE≌ADG(SAS), .AG=AE,∠DAG=∠BAE,…7分 EF =BE DF,DG=BE :EF=DG+DF=GF, 在△AEF和△AGF中， 「AE=AG FA=FA, EF=GF aAEF≌aAGF(SSS), ∠FAE=∠FAG,9分 :∠FAE+∠EAG+∠FAG=360°，∠EAG=LBAE+LBAG, 2∠FAE+LBAE+∠BAG)=360°，10分 :∠DAG=∠BAE, .2∠FAE+∠DAG+∠BAG)=360°， 即2LEAF+∠DAB=360°， ∠E4=号360-∠D1B)=180e-D1B.…12分 2 8/8 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.（3分）________________ 12.（3分）________________ 13.（3分）________________ 14.（3分）________________ 15.（3分）________________ 16.（3分）________________ 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6分） 19.（8分） (2)为了更有可能得到一个较大的两位数，你认为小颖应当把第一次转出的数字6放在______（填“十位”或“个位”）的方格中． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必 须用0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 第I卷（请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] [A][B][c][D] 2 [A][B][c][D] 6][B][G]D] 10 [A][B][c][D] 3[A][B][C][D] 7 [A][B][c][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][c][D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.(3分) 12.(3分) 13.(3分) 14.(3分) 15.（3分) 16.(3分) 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) 5-4-3-2-1012345→ 19.(8分) (2)为了更有可能得到一个较大的两位数，你认为小颖应当把第一次转出 的数字6放在一（填“十位”或“个位”）的方格中. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) ● D 21.(10分) A -D 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) B C D E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) G B B D A 图① 图② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 正确填涂■ 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 错误填涂凶][][/1 4.保持卡面清洁.不要折桑、不要弄破。 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题3分，共30分） 1.[A1[B1[C1ID1 5.[A][B][CJ[D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][CJ[D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B]IC][D] 8.[AJ[B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分)》 11 12 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(6分) 18.(6分) -5-4-3-2-1012345→ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) (2)为了更有可能得到一个较大的两位数，你认为小颖应当把第一次转出的数字6放在 (填“十 位”或“个位”)的方格中 20.(8分) E B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) A- A H H 图1 图2 22.(10分) y D E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) G E F D 图① 图② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[][][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题3分，共30分） 1HA][B][C][D] 5.[A][B][Cc][D] 9.A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][CJ[D] 4.AJ[B][C][D] 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 11 12 12. 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(6分) 18.(6分) 5432012345 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) (2)为了更有可能得到一个较大的两位数，你认为小颖应当把第一次转出的数字6放在（填“十 位”或“个位”)的方格中. 20.(8分) E B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) 图1 图2 22.(10分) yk B C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) G C B B E D C 图① 图② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效：2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 斯 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 O 4.测试范围：鲁教版七年级下册全册。 第一部分（选择题共30分） % 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1.下列说法正确的是() .: A.三角形不具有稳定性，四边形具有稳定性 B.三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心 O C.小明任意写一个数，这个数是偶数的概率较大 D.掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为号，那么掷100次硬币，正面朝上的结果恰好等于50次 2.傣族油纸伞是傣家人引以为豪的传统手工艺之一，被列入第一批国家级非物质文化遗产保护名录，我县 某中学八年级同学在了解了傣族油纸伞后，即组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动.同学们依据全 等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得AE=AF,请添加一个条件，使 : 得△AED≌△AFD( : : : : ,∠ADE=∠ADF B.∠AED=∠AFD K C.∠BED=∠CFD D.DE=DF 3.李伟同学购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，则“李伟购买的车票座位刚好靠近 窗户”的概率是( : 窗ABC过道DF窗 试题第1页（共8页） ©学科网·学易金卷做好装：敦限爱是” 2 1 1 A. B. 25 D. 20 C.0 2-5 4.己知关于x,y的方程组 3x-2y=-k+5,若x-3y=1,则k的值为() 2x+y=3k+2 A C. 5.己知△ABC中，AB=AC,求证：∠B<90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①因此假设不成立..B<90° ②.∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾 ③假设在△ABC中，∠B≥90° ④由AB=AC,得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°. 这四个步骤正确的顺序应是() A.④③①②B.①②③④ c.③④②① D.③④①② 6.如图，△ABC中，AB=AC,D为BC边上一点，把△ABD沿AD翻折得到△AED,(点E与点B对应)， 若∠CAE=38°，则∠ADC的度数为() A.52° B.629 C.71° D.72° B 第6题图 第7题图 7.如图，AB∥CD,射线CE平分∠BCD,点F为CE的反向延长线上的一点，连接BF,且满足 ∠CBP=∠ABC,若∠BPC=a,∠ABF=B,则a与B满足的关系式为（） 3 A.a+B=90° B.+2B=180° 2 C.a=B D.B=4a 3 8.某商场销售某种商品，当按定价销售时、每件可获利45元：当按定价的八折销售时、销售8件所获利润 与将定价降低35元销售12件所获利润相同.若设该商品的进价为x元、定价为y元，则x,y满足的方程 是() x-y=45 x-y=45 A. (0.8y-x)×8=（y-35-x)×12 B.1(0.8x-y)x8=(x+35-y)×12 试题第2页（共8页） 可学科网·学易金卷做将卷：限美是鲁幕 y-x=45 y-x=45 C.(0.8y-)x8=0y-35-刘×12 D (0.8x-y)×8=(x-35-y)×12 x-m>0 9.关于x的不等式组 2x-3≥3x-2)恰好只有4个整数解，那么m的取值范围为) A.-1≤m≤0 B.-1<<0 C.-1≤m<0 D.-1<≤0 10.如图，∠AOB=120°，OC平分∠AOB,点D为OC上一点，且OD=2.将一个三角板的60°角的顶点 与点D重合，将三角板绕点D旋转，旋转过程中，三角板60°角的两边分别与OA,OB交于点E,F.下列 结论： ①DE=DF;②EF的长不变；③OE+OF的值不变： ④四边形OEDF的面积不变，其中正确的个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C D 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.在一个不透明的口袋中，红色，黑色，白色的小球共有50个，这些小球除颜色外其它完全相同，小明 每次摸球前先将口袋里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回口袋，通过大量重复摸球试验后发现， 摸到红色球，黑色球的频率分别稳定在0.36和0.22，则可估计口袋中白色球的个数可能为 个. 12图1是一打孔器的实物图，图2是使用打孔器的侧面示意图，AD∥BC,使用打孔器时，AD,DE,DC 分别移动到AD',D'E',D'C.此时DE∥BC,DD'平分∠ADC,若∠DDE=62°，则∠DCB=°. 7cm 120 50 图1 图2 B 19cm 第12题图 第14题图 第15题图 试题第3页（共8页） 2x-a≤1， : 13.若关于x的不等式组 +2 无解，则a的取值范围是 : >1 3 14.如图，在长方形ABCD中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积是 15.如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°， 则∠A+∠P= I6.已知：如图，△ABC、△CDE都是等腰三角形，且CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=a,AD、BE 相交于点O,点MN分别是线段AD、BE的中点.以下4个结论： ①AD=BE; 张 ②∠DOB=180°-a: ③ACMN是等边三角形： B ④连OC,则OC平分∠AOE. NO 游 其中正确的有 游 三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(6分)解方程组： [3(x+y)-4(x-y)=-9 x+y+=y=1 26 世 3(x+1)>5x-1 18.(6分)解不等式组 X1≤2x-1，并把解集在数轴上表示出来. 2 3 -5-4-3-2-1012345→ :0 试题第4页（共8页） : :.O 19.(8分)如图是一个可以自由转动的转盘，且转盘被分成面积相等的十个扇形.小颖和同伴利用这个转 盘做下面的游戏： 在转盘中如果转出较大的数就 十位 个位 入“口”，转出较小的数填入“口”， 这样更容易获胜。 十位个位 ①自由转动转盘，每人分别将转出的数填入两个方格中的任意一个 “□ □”： ②继续转动转盘，每人再将转出的数字填入剩下的方格中； ③转动两次转盘后，每人得到一个“两位数”： % ④比较两人得到的“两位数”大小，谁的大谁就获胜. 通过游戏经验的积累，小颖发现： (1)在一次游戏中，小颖第一次转出的数字是6，求她下一次转出的数字大于6的概率： : (2)为了更有可能得到一个较大的两位数，你认为小颖应当把第一次转出的数字6放在 (填“十位”或 常 O “个位”)的方格中. 20.(8分)如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD,作DE⊥AB交AB于点E,DF⊥AC交AC 于点F,且AD平分∠BAC,连接EF. 拟 : : :: B (1)证明：AD垂直平分EF, (2)若△ABC的周长为18，面积为24，BC=6,求DE的长. o : 试题第5页（共8页） 可学科网·学易金卷费怒：限爱是” 21.(10分)己知AB∥CD,点F是AB上一点，点E、N是CD上两点，连接CF、NF,过点E作EH∥NF 交CF于点H,∠EHF=∠BFH. F -B B H D E 图1 图2 (1)如图1，求证：CF平分∠AFN: (2)如图2，NK平分∠FND,过点F作FK⊥NK于点K,∠HEK+∠BFK=130°，求∠EN的度数. 1 2.(10分)如图，在平面直角坐标系中，直线为=2x+2分别与x轴、y轴交于点4，点8，直线为=瓜-b 与直线y相交于点C(2,m),与x轴相交于点D(1,0),与y轴相交于点E. B D (1)求直线y2的表达式： 1 (2)根据图象，直接写出关于x的不等式ar-b>-二x+2的解集； 2 者点P是x轴上一动点，连结CP,当Sc0r,SBce时，请求出点P的坐标 试题第6页（共8页） 可学科网·学易金卷做将卷：限美是鲁普 23.(12分)某体有用品店准备购进甲、乙两种品牌跳绳，若购买甲种跳绳10根，乙种跳绳5根，需要100 元，若购买甲种跳绳5根，乙种跳绳3根，需要55元. (1)求购进甲，乙两种跳绳每根各需多少元？ (2)若该体育用品店刚好用了500元购进这两种跳绳，且销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳 绳可获利润4元，考虑顾客需求，要求购进甲种跳绳的数量不少于乙种跳绳数量的3倍，且乙种跳绳数量 不少于18根，那么该文具店共有哪几种购买方案？各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是 多少元？ (3)若体育用品店按(2)中利润最大方案去进货时，正值为促全民体育运动，两种跳绳每根各降价1元， 体育用品店将省下的钱全部再次购买这两种跳绳，则再次购进有哪几种方案. 试题第7页（共8页） 24.(12分)“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形 特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以 : 下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习.如图，在四边形ABCD中， AB=AD,E,F分别是直线BC,CD上的点. G B 兵 E D 张 图① 图② (1如图①，若∠ABC=∠ADC=90°，B,F分别在线段BC,CD上，且满足∠ZAP<BAD,试探究线 段EF,BE,DF之间的数量关系：数学小组探究此问题的方法是：延长CB到点G,使BG=DF,连接AG, 游 请你帮该数学小组完成解题过程： 游 (2)如图②，若∠ABC+∠ADC=180°，点E在CB的延长线上，且BE>CD,点F在CD的延长线上，若 EF=BE+DF,请探究∠EAF与∠BAD之间的数量关系，并说明理由. S 世 :0 试题第8页（共8页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版七年级下册全册。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1.下列说法正确的是（    ） A．三角形不具有稳定性，四边形具有稳定性 B．三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心 C．小明任意写一个数，这个数是偶数的概率较大 D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，那么掷100次硬币，正面朝上的结果恰好等于50次 2.傣族油纸伞是傣家人引以为豪的传统手工艺之一，被列入第一批国家级非物质文化遗产保护名录，我县某中学八年级同学在了解了傣族油纸伞后，即组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．同学们依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，请添加一个条件，使得（　　） A． B． C． D． 3.李伟同学购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，则“李伟购买的车票座位刚好靠近窗户”的概率是（     ） A． B． C． D． 4.已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（    ） A． B． C． D． 5.已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①因此假设不成立． ②，这与三角形内角和为矛盾 ③假设在中， ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．①②③④ C．③④②① D．③④①② 6.如图，中，，为边上一点，把沿翻折得到，（点与点对应），若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 第6题图 第7题图 7.如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 8.某商场销售某种商品，当按定价销售时、每件可获利45元；当按定价的八折销售时、销售8件所获利润与将定价降低35元销售12件所获利润相同．若设该商品的进价为x元、定价为y元，则x，y满足的方程是（   ） A． B． C． D． 9.关于的不等式组恰好只有4个整数解，那么的取值范围为（） A． B． C． D． 10.如图，，平分，点为上一点，且．将一个三角板的角的顶点与点重合，将三角板绕点旋转，旋转过程中，三角板 角的两边分别与交于点．下列结论： ①；②的长不变；③的值不变； ④四边形的面积不变，其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.在一个不透明的口袋中，红色，黑色，白色的小球共有50个，这些小球除颜色外其它完全相同，小明每次摸球前先将口袋里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回口袋，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红色球，黑色球的频率分别稳定在0.36和0.22，则可估计口袋中白色球的个数可能为________个． 12.图1是一打孔器的实物图，图2是使用打孔器的侧面示意图，，使用打孔器时，分别移动到．此时，平分，若，则 ______． 第12题图 第14题图 第15题图 13.若关于的不等式组无解，则的取值范围是_________． 14.如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积是_____． 15.如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则___________． 16. 已知：如图，、都是等腰三角形，且，，，、相交于点O，点M、N分别是线段、的中点．以下4个结论： ①； ②； ③是等边三角形； ④连，则平分． 其中正确的有__________． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）解方程组： 18.（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 19.（8分）如图是一个可以自由转动的转盘，且转盘被分成面积相等的十个扇形．小颖和同伴利用这个转盘做下面的游戏： ①自由转动转盘，每人分别将转出的数填入两个方格中的任意一个； ②继续转动转盘，每人再将转出的数字填入剩下的方格中； ③转动两次转盘后，每人得到一个“两位数”； ④比较两人得到的“两位数”大小，谁的大谁就获胜． 通过游戏经验的积累，小颖发现： (1)在一次游戏中，小颖第一次转出的数字是，求她下一次转出的数字大于的概率； (2)为了更有可能得到一个较大的两位数，你认为小颖应当把第一次转出的数字6放在______（填“十位”或“个位”）的方格中． 20.（8分）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 21.（10分）已知，点F是上一点，点E、N是上两点，连接、，过点E作交于点H，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，平分，过点F作于点K，，求的度数． 22.（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，点，直线与直线相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求直线的表达式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点是轴上一动点，连结，当时，请求出点的坐标． 23.（12分）某体有用品店准备购进甲、乙两种品牌跳绳，若购买甲种跳绳10根，乙种跳绳5根，需要100元，若购买甲种跳绳5根，乙种跳绳3根，需要55元． (1)求购进甲，乙两种跳绳每根各需多少元？ (2)若该体育用品店刚好用了500元购进这两种跳绳，且销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元，考虑顾客需求，要求购进甲种跳绳的数量不少于乙种跳绳数量的3倍，且乙种跳绳数量不少于18根，那么该文具店共有哪几种购买方案？各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ (3)若体育用品店按（2）中利润最大方案去进货时，正值为促全民体育运动，两种跳绳每根各降价1元，体育用品店将省下的钱全部再次购买这两种跳绳，则再次购进有哪几种方案． 24．（12分）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版七年级下册全册。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1.下列说法正确的是（    ） A．三角形不具有稳定性，四边形具有稳定性 B．三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心 C．小明任意写一个数，这个数是偶数的概率较大 D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，那么掷100次硬币，正面朝上的结果恰好等于50次 2.傣族油纸伞是傣家人引以为豪的传统手工艺之一，被列入第一批国家级非物质文化遗产保护名录，我县某中学八年级同学在了解了傣族油纸伞后，即组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．同学们依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，请添加一个条件，使得（　　） A． B． C． D． 3.李伟同学购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，则“李伟购买的车票座位刚好靠近窗户”的概率是（     ） A． B． C． D． 4.已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（    ） A． B． C． D． 5.已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①因此假设不成立． ②，这与三角形内角和为矛盾 ③假设在中， ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．①②③④ C．③④②① D．③④①② 6.如图，中，，为边上一点，把沿翻折得到，（点与点对应），若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7.如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 8.某商场销售某种商品，当按定价销售时、每件可获利45元；当按定价的八折销售时、销售8件所获利润与将定价降低35元销售12件所获利润相同．若设该商品的进价为x元、定价为y元，则x，y满足的方程是（   ） A． B． C． D． 9.关于的不等式组恰好只有4个整数解，那么的取值范围为（） A． B． C． D． 10.如图，，平分，点为上一点，且．将一个三角板的角的顶点与点重合，将三角板绕点旋转，旋转过程中，三角板 角的两边分别与交于点．下列结论：①；②的长不变；③的值不变；④四边形的面积不变，其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.在一个不透明的口袋中，红色，黑色，白色的小球共有50个，这些小球除颜色外其它完全相同，小明每次摸球前先将口袋里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回口袋，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红色球，黑色球的频率分别稳定在0.36和0.22，则可估计口袋中白色球的个数可能为________个． 12.图1是一打孔器的实物图，图2是使用打孔器的侧面示意图，，使用打孔器时，分别移动到．此时，平分，若，则 _______． 13.若关于的不等式组无解，则的取值范围是_________． 14.如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积是_____． 15.如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则___________． 16.已知：如图，、都是等腰三角形，且，，，、相交于点O，点M、N分别是线段、的中点．以下4个结论：①；②；③是等边三角形；④连，则平分．其中正确的有__________． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）解方程组： 18.（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 19.（8分）如图是一个可以自由转动的转盘，且转盘被分成面积相等的十个扇形．小颖和同伴利用这个转盘做下面的游戏： ①自由转动转盘，每人分别将转出的数填入两个方格中的任意一个； ②继续转动转盘，每人再将转出的数字填入剩下的方格中； ③转动两次转盘后，每人得到一个“两位数”； ④比较两人得到的“两位数”大小，谁的大谁就获胜． 通过游戏经验的积累，小颖发现： (1)在一次游戏中，小颖第一次转出的数字是，求她下一次转出的数字大于的概率； (2)为了更有可能得到一个较大的两位数，你认为小颖应当把第一次转出的数字6放在______（填“十位”或“个位”）的方格中． 20.（8分）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 21.（10分）已知，点F是上一点，点E、N是上两点，连接、，过点E作交于点H，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，平分，过点F作于点K，，求的度数． 22.（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，点，直线与直线相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求直线的表达式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点是轴上一动点，连结，当时，请求出点的坐标． 23.（12分）某体有用品店准备购进甲、乙两种品牌跳绳，若购买甲种跳绳10根，乙种跳绳5根，需要100元，若购买甲种跳绳5根，乙种跳绳3根，需要55元． (1)求购进甲，乙两种跳绳每根各需多少元？ (2)若该体育用品店刚好用了500元购进这两种跳绳，且销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元，考虑顾客需求，要求购进甲种跳绳的数量不少于乙种跳绳数量的3倍，且乙种跳绳数量不少于18根，那么该文具店共有哪几种购买方案？各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ (3)若体育用品店按（2）中利润最大方案去进货时，正值为促全民体育运动，两种跳绳每根各降价1元，体育用品店将省下的钱全部再次购买这两种跳绳，则再次购进有哪几种方案． 24．（12分）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $