2026年山西省晋中市祁县二模数学试题

2026年初中学业水平第二次模拟测试题（卷） 九年级数学 注意事项： 1．本试卷闭卷作答，全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 选择题 （共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1．某气象站记录了四个观测点在一天中的气温（单位：），数据有正有负，呈起伏状态．其中气温最低的是 A． B． C． D． 2．巧桌的设计灵感源自宋代黄伯思的《燕几图》，由其演变的七巧板，在西方被称为“唐图”，也叫“东方魔板”，是古代智慧的体现．下图是一张七巧桌，可以看作一个六棱柱，其示意图的主视图是 A． B． C． D． 3．下列运算正确的是 A． B． C． D． 4．《科技之光》纪念卡片一套张；图案名称分别为“天宫空间站”、“蛟龙号深潜器”、“复兴号高铁”、“大飞机”．现将这张卡片背面朝上放在桌面，洗匀后从中随机抽取张，正好抽取的卡片图案为复兴号高铁的概率为 A． B． C． D． 5．随着课业负担加重和电子产品的普及，青少年近视问题日益突出．某地区教育部门连续多年对中学生近视人数进行了抽样统计，部分年份数据如下表（年份不连续）： 年份 近视人数（万人） 若设年到年近视人数的年平均增长率为，则下列方程正确的是 A． B． C． D． 6．如图，已知正方形对角线上有一点，连接，平分，则的度数是 A． B． C． D． 7．对于抛物线，下列说法正确的是 A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为（，） C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而增大 8．无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．目标线段的长度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则无人机镜头距地面的垂直高度为 A． B． C． D． 9．某智能电饭煲煮饭过程如下：先开机加热，锅内温度从匀速升至，加热时间为10分钟；然后自动转为恒温沸腾模式，保持持续2分钟；之后自动断电，温度开始自然下降．下降过程中，锅内温度（）与启动加热后通电时间（）成反比例函数关系（从断电时刻开始计为反比例的起点）．当温度降至时，自动启动保温功能．如图是开始启动加热过程中，锅内温度（）与通电时间（）的函数关系图象，则下列说法中错误的是 A．启动后5分钟时，锅内温度为 B．加热阶段，与的函数关系式为 C．启动后15分钟时，锅内温度为 D．从启动到启动保温功能，锅内温度不低于的总时长为8分钟 10．如图，在平面直角坐标系中，点，，若四边形是以为边的平行四边形，且的面积为，则下列说法正确的是 A．，为任意实数 B．，为任意实数 C．为任意实数， D．为任意实数， 第Ⅱ卷 非选择题 （共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11． ▲ ． 12．在学习了轴对称以后，小明同学设计了一个其外窗框为正六边形的轴对称窗格，下图为正六边形的外窗框示意图，连接，，交于点，则 ▲ °． 13．如图，将沿方向平移得到，点，，的对应点分别为，，．若，，则的长为 ▲ ． 14．某地理考察队在某地不同海拔处测量大气压和气温，得到如下近似线性规律：大气压（）是海拔（）的一次函数，海平面时，海拔每升高，气压下降；气温（）与海拔（）也满足一次函数关系，海平面气温为，海拔每升高，气温下降约．考察队使用的气压计存在系统误差，其读数（单位：）比真实大气压偏小．现测得某位置的气压计读数为，则该位置的气温为 ▲ ． 15．如图，在平行四边形中，，，，点，分别在边，上，，连接，交于点，，则的长为 ▲ ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题共个小题，每小题5分，共10分） （1）计算： （2）化简： 17．（本题8分）随着“双减”政策的深入推进，某校为了解学生参加课后服务社团活动的满意度，随机抽取了名学生进行评分（评分为整数，满分10分），所有学生的评分均在6分及以上．将评分数据整理成不完整的条形统计图，如图． 根据上述信息，回答下列问题： （1）补全条形统计图． （2）填空：这组数据的平均数是 ▲ 分，中位数是 ▲ 分，众数是 ▲ 分． （3）后来，该兴趣小组又随机抽取了一些学生，这些学生的评分完全相同，与之前的个数据合并后，发现众数变为8分和9分．那么第二次抽取了多少名学生？合并后的数据中，中位数是变大了还是变小了？简单说明理由． 18．（本题7分）如图，已知菱形，对角线，相交于点，，． （1）尺规作图：过点作于点，以点为圆心，长为半径作⊙，交于点．（不写画法，保留作图痕迹） （2）求扇形的面积．（结果保留π） 19．（本题8分）当前，低空经济快速崛起、应用场景不断拓展，某基建企业承接一批低空智能巡检基站建设任务，需建设甲、乙两类基站，计划共建座． 已知每座乙型基站的建设成本是甲型基站的倍，且企业计划投入万元专门用于修建甲型基站，投入万元专门用于修建乙型基站（资金恰好全部用完）． （1）求每座甲型基站的建设成本为多少万元． （2）基站建成后，每座甲型基站每天可完成次低空巡检任务，每座乙型基站每天可完成次低空巡检任务，则所有基站每天共可完成 ▲ 次巡检任务． 20．（本题9分）下面是勤学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 关于“正交四边形”的研究报告 研究对象：正交四边形 研究思路：类比特殊平行四边形的学习过程，按“定义—性质—判定”的路径，由一般到特殊展开研究． 概念理解：对角线互相垂直的凸四边形叫作正交四边形；有一条对角线平分另一条对角线的正交四边形是筝形．例如，如图，在凸四边形中，若，则四边形为正交四边形；若，，则四边形为筝形． 问题解决：问题：下列四边形中，是筝形的有 ▲ ； ①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形 问题：如图，分别以的边和为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，，，连接，交于点．求证：四边形是正交四边形． 证明：，． 又，， … 任务： （1）请写出问题中“▲”处空缺的内容为 ▲ ． （2）请补全问题的证明过程． （3）在图中，若，，，直接写出的长． 21．（本题8分）某校“综合与实践”小组的同学把“大树下的清凉——树荫与太阳高度的动态探究”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告． 课题 大树下的清凉——树荫与太阳高度的动态探究 项目背景 夏季，人们在大树下乘凉时发现，随着时间推移，树荫的长度会不断变化．某数学实践小组决定运用锐角三角函数，探究太阳高度角变化时树荫长度的动态规律，从而更科学地规划乘凉区域．（太阳高度角是指太阳光线与地平面之间的夹角，也叫太阳高度．） 调查方式 资料查阅、实地测量 调查内容及示意 活动一：利用不同时刻的影长求树高 实践小组在上午时测得太阳光线与地面的夹角为，此时树影完全落在地面上，影长为．上午11时，太阳光线与地面的夹角变为，树影长为．测得米… 活动二：利用树影计算休息区的长度 实践小组计划在一棵高为米的大树下设置一个矩形休息区．休息区从树根处开始，沿树影方向铺设．已知下午时太阳光线与地面的夹角为，此时树影顶端恰好落在休息区远端的边缘．一段时间后，太阳高度角变为，树影变长，超出了原休息区的范围．小组决定沿树影方向再新增一段休息区，使新树影的远端也恰好落在新增休息区的边缘． 请根据活动报告计算： （1）求活动一中树的高度． （2）求活动二中需要新增的休息区长度．（结果精确到米．参考数据：，，，，，，，，） 22．（本题12分）综合与实践 问题情境： 某游乐园上午点开园，一个热门过山车项目从开园起开始运行，游客陆续到达并排队．经研究发现，现场总人数（人）与过山车项目运行时间（分）之间满足关系式：．观众进场立即排队，在任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数．过山车每趟可载人，每2分钟发一趟，即平均每分钟服务人． 建立模型： （1）过山车项目的排队人数（单位：人）与运行时间（单位：分）的关系式为 ▲ ； 问题解决： （2）在过山车开始运行的同时，一名工作人员从门口出发，以米/分的速度沿队伍向末端匀速行走．门口位于第一名游客前方米处，假设排队游客每人间距为米，定义队伍长度（单位：米）为从门口到队伍末端（最后一名游客所在位置）的距离，则与排队人数的关系为． ①工作人员与门口的距离（单位：米）与运行时间（单位：分）的关系式为 ▲ ； ②当工作人员恰好走到队伍最末端时，求的值； （3）过山车项目附近有另一个热门项目“海盗船”（两个项目之间的距离忽略不计）．海盗船在分钟时开始运行，其排队人数（单位：人）与运行时间（从海盗船项目开始运行起算，单位：分钟）满足关系式．已知海盗船每趟可载人，每2分钟发一趟，即平均每分钟服务人．当两个项目同时存在排队，且两个项目的排队人数恰好相等时，直接写出的值，并说明此时游客应选择哪个项目排队能更早入场． 23．（本题13分）综合与探究 问题情境： 已知矩形，将矩形绕点顺时针旋转得到四边形，点，，的对应点分别是点，，． 猜想证明： （1）如图，当经过点时，连接并延长交的延长线于点，探究与的数量关系，并说明理由； （2）如图，当点落在边的延长线上时，延长交于点，连接证明：四边形是平行四边形； 拓展延伸： （3）若，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，当，，三点共线时，请你直接写出线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $