江西九江市匡庐星瀚高级中学2025-2026学年高一下学期5月月考数学试卷

**基本信息** 高一数学月考卷聚焦三角函数、向量、解析几何等核心知识，以《易经》八卦模型（填空13题）、动物园场地设计（解答17题）及“k性质函数”创新定义（解答19题）为载体，融合文化传承、实际应用与创新探究，考查数学抽象、运算推理及模型构建能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|三角函数周期、向量夹角、抛物线准线|基础概念与图像变换结合，如第3题函数平移对称| |多选题|3/18|三角函数性质、向量变换|选项分层设计，如第11题向量变换多维度判断| |填空题|3/15|函数零点、正八边形向量数量积|文化情境融入，如第13题《易经》八卦模型应用| |解答题|5/77|三角化简、向量表示、面积最值、创新定义|实际问题与开放探究结合，如第17题场地面积优化、19题“k性质函数”概念迁移|

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D D B D B D BC BCD 题号 11 答案 BCD 1．D 【分析】由余弦函数的最小正周期公式即可得出答案. 【详解】的最小正周期为：. 故选：D. 2．C 【分析】利用平面向量的加法和减法运算求解. 【详解】解：由图形可知：. 故选：C. 3．D 【分析】根据函数的伸缩平移变换可得函数解析式，进而可得对称中心. 【详解】将函数图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再沿着轴向右平移个单位， 可得， 令，， 解得，， 即对称中心为，， 当时，对称中心为，令得k均为整数解. 故选：D. 4．D 【分析】把已知等式两边平方，得到、的关系及，然后利用向量的数量积公式求出量与的夹角． 【详解】解：， ， ， ， ， 设与的夹角为， ． ，， ． 故选：D． 5．B 【详解】∵抛物线的准线经过点， ∴， ∴该抛物线焦点坐标为． 选B. 6．D 【分析】以为原点，建立直角坐标系，求得，由题意得到，推得，，进而求得，得到，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】因为，以为原点，以分别为轴、轴建立平面直角坐标系， 如图所示，因为，且为等腰直角三角形， 可得， 又因为，可得， 所以， 所以，，所以， 所以，，， 所以点， 所以， 则， 所以直线与直线的夹角的余弦值为. 故选：D.    7．B 【分析】根据导数判断在和上各有1个零点，转化为当时，有2个零点，利用正弦型函数的性质建立不等式求解即可. 【详解】当时，，当时，单调递增； 当时，单调递减． 又，，，所以在和上各有1个零点． 又因为有4个根，所以当时，有2个零点， 因为，所以，即， 解得． 故选：B． 8．D 【分析】根据正余弦定理化简已知条件得，即可求得，由向量模的运算法则得，结合数量积定义及运算律，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 即，由余弦定理得，又，所以， 由知， 所以 ，当且仅当即时等号成立， 所以线段长度的最小值为. 故选：D 9．BC 【分析】根据点的坐标、象限角、三角函数的定义等知识确定正确答案. 【详解】由点在第二象限，可得是第二象限角，但不一定是钝角，B正确， A错误； ，C正确； 由，，则点在第二象限，D错误. 故选：BC. 10．BCD 【分析】由题图可得，根据三角恒等变换可得，再由余弦函数的对称性、单调性、值域逐项判断即可． 【详解】由题图可得，，解得． 又， 可得，解得． 因为，所以，所以． 所以 ． 对于A，当，， 所以不是的一个对称中心，故A错误； 对于B，令，可得， 故的对称轴方程为，故B正确； 对于C，时，，所以， 故在上的值域为，故C正确； 对于D，令，解得， 所以的单调递减区间为，故D正确． 故选：BCD． 11．BCD 【分析】利用变换规则，结合向量模长公式可判断A；根据变换规则，结合数量积的坐标运算判断B; 根据变换规则，结合平面向量的坐标运算以及向量的模长公式判断C；先求出，再依次化简即可判断D. 【详解】设单位向量，则，， 而，，所以不存在单位向量，使得，A选项错误; 已知，，则， 又，， 计算， 所以恒成立，B选项正确; 由，则，， ，， ，， 设，的夹角为，对平方得 ， 即当时，取得的最大值为，C选项正确; 已知，则， 即， 设，则， 所以， 所以，D选项正确 故选：BCD. 12． 【分析】根据是函数的零点，代入即可求出的值，然后再将代入即可求解. 【详解】因为是函数的一个零点， 所以，解得：， 所以函数， 则有， 故答案为：；. 13． 【分析】连接，，根据正八边形可知，，以，为基底表示，，在中，由余弦定理可得，求数量积即可. 【详解】 如图所示，连接，， 由为正八边形可知，且， 则， 所以，即， 且， 所以， 则， 在中，由余弦定理， 解得， 所以， 故答案为：. 14．10 【分析】直接利用平面向量数量积的运算法则求解即可. 【详解】因为向量的夹角为120°，且， 所以， 故答案为10. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算法则,属于中档题.数量积的运算主要注意两点：一是向量的平方等于向量模的平方；二是平面向量数量积公式. 15．(1) (2)2 【分析】（1）根据诱导公式即可结合特殊角的三角函数值即可求解， （2）根据对数的运算法则即可求解. 【详解】（1）原式 . （2）原式 . 16．(1) ;(2) . 【详解】试题分析：(1)由向量加法的运算法则可得 即可得结果；（2），换元后，利用基本不等式即可得结果. 试题解析：（1）. （2） . 17．(1)22.45米． (2)米时，活动室面积最大，最大面积为． 【分析】（1）由正弦定理求得后可得周长； （2）由正弦定理求得（用表示），然后计算面积，结合两角和与差的正弦公式、二倍角公式化简函数，利用正弦函数性质得最大值． 【详解】（1）由正弦定理，即，， ， 由得， 三角形周长为 （米）． 所以三角形周长约为22.45米． （2）由得， 又， 得， 所以， ， 因为，所以，即时，，此时， 此时三角形取得最大面积． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算求解； （2）由题意可得，结合数量积的定义以及运算律运算求解. 【详解】（1）由题意可得：. （2）因为， 由题意可得：， 可得， ， ， 即，所以， 故，夹角的余弦值为. 19．（1）；（2）不是，理由见解析；（3） 【分析】（1）解方程可得； （2）判断方程有无实数解，即可得； （3）由方程有解求的范围． 【详解】（1）由题意得：即 解得 （2）函数不是“性质函数”，理由如下： 假设存在且满足条件： 则，即： ∵，∴方程无实数根，与假设矛盾. ∴函数不是“性质函数 （3）∵且∴ 由题意得：存在，使得 ∴，即 整理得： ①当时，，满足题意 ②当时，由得即 解得 综上所述 【点睛】本题考查函数的新定义问题，解题关键是由新定义把问题转化为方程的解的问题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省九江市匡庐星瀚高级中学2025-2026学年度下学期5月月考 高一数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 1．已知，，则的周期为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是上一点，则（    ） A． B． C． D． 3．将函数图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再沿着轴向右平移个单位，得到的函数的图像的一个对称中心点可以是（   ） A． B． C． D． 4．若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的准线经过，则抛物线的焦点坐标为（    ）． A． B． C． D． 6．在等腰直角中，，，为内一点，，则直线与直线的夹角的余弦值为（  ）. A． B． C． D． 7．已知，若函数有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．在 中，角 所对的边分别为 ，已知 , ，若 ，则 的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分。 9．若角的终边经过点，则下列结论正确的是（ ） A．是钝角 B．是第二象限角 C． D．点在第四象限 10．已知函数的部分图象如图所示，令，则下列说法正确的有（    ）． A．的一个对称中心 B．的对称轴方程为 C．在上的值域为 D．的单调递减区间为 11．对于非零向量，定义变换以得到一个新的向量.现对于非零向量与，作如上变换，则下列说法正确的是（   ） A．存在单位向量，使得 B．对任意、，恒成立 C．若，则的最大值为 D．，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分, 12．若函数的一个零点为，则A=______；=______. 13．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）中的正八边形，其中为正八边形的中心，边长，则__________． 14．已知向量的夹角为120°，且，则为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．化简求值： (1)； (2).（为自然对数的底数） 16．在边长为1的正三角形中，设，，点满足. （1）试用表示； （2）若（，且），求的最大值. 17．某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天场所，地面形状如图所示.已知已有两面墙的夹角，墙的长度为8米，已有两面墙的可利用长度足够大，记. (1)若，求三角形的周长（结果精确到0.01）； (2)为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室面积尽可能大，问当边长如何设计时，该活动室面积最大？并求出最大面积. 18．如图，在中，已知，，，，，AM，BN相交于点P.设，. (1)用向量，表示； (2)求，夹角的余弦值. 19．定义：对函数对于给定的正整数，若在定义域内存在实数，使得，则称函数为“性质函数” （1）若函数为“2性质函数”，求； （2）判断函数是否是“性质函数”？若是，请求出；若不是，请说明理由. （3）若函数为“1性质函数”，求实数的取值范围. 第1页，共4页 第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $