精品解析：江西省九江市庐山外国语学校2024-2025学年高一下学期第一次月考测试数学试卷

第一次月考测试卷 一、单选题 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算得，进而得在复平面对应的点为，即可求解. 【详解】因为， 所以在复平面对应的点为，位于第二象限， 故选：B. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用坐标表示条件中两个向量，根据平行条件列方程求解 【详解】，. 因为，所以，解得. 故选：B 3. 已知为所在平面内的一点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形的几何性质分解向量即可得解. 【详解】如图所示， 由题意得. 故选：C. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式，以及切化弦可求得，的值，进而利用两角和的余弦公式可求值. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以，， 所以. 故选：A. 5. 唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺，它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱构成的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示，已知半球的半径为R，圆柱的高也为R，则银杯盛酒部分的容积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知，银杯盛酒部分的容积为半球的体积加圆柱的体积，将已知条件代入体积公式求解即可. 【详解】半球的体积为，圆柱的体积为， 因此银杯盛酒部分的容积为. 故选：A. 6. 正方体中，是AB的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等体积法，利用棱锥体积公式可求出点到平面的距离. 【详解】因为， 所以， 所以 ， 从而， 故选：C． 7. 将函数图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，再把所得的图像向右平移个单位长度，则所得新函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的伸缩、平移变换可得结果. 详解】由题可知：. 故选：B 8. 体操中有“后空翻转体720度”的动作，其中“720度”等于（ ） A. 弧度 B. 弧度 C. 弧度 D. 弧度 【答案】D 【解析】 【分析】根据角度制和弧度制换算关系即可得到答案. 【详解】因为，所以弧度, 因此“720度”即弧度. 故选：D． 9. 下列结论不正确的是（ ） A. 是第三象限角 B. 若圆心角为的扇形的面积为，则该扇形的弧长为 C. 若角的终边过点，则 D. 若角为锐角，则角为钝角 【答案】CD 【解析】 【分析】利用象限角判断A；利用扇形弧长、面积公式计算判断B；利用三角函数定义计算判断C；举例说明判断D. 【详解】对于A，是第三象限角，A正确； 对于B，令扇形所在圆半径为，则，解得，所以该扇形的弧长为，B正确； 对于C，角的终边过点，则，则，C错误； 对于D，当时，角为锐角，而是直角，D错误. 故选：CD 10. 下列各式的值等于1的有（ ） A. B. C D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据诱导公式以及同角关系即可结合选项逐一化简求解. 【详解】对于A,,故A正确， 对于B,，故B错误， 对于C,,故C错误， 对于D,，故D正确， 故选：AD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. MN与AD所成夹角为 B. C. D. 点C到平面ABM的距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由M，N都为中点，得出，将“MN与AD所成夹角”转化为“BD与AD所成夹角”，从而得解；对于B，利用线面垂直证明线线垂直，即可得证；对于C，利用平行证明线线垂直即可得证；对于D，等体积法即可求得点到平面的距离. 【详解】 对于A，如图，由于N是的中点，所以，N，D三点共线，则N是的中点， 由于M是的中点，所以，故异面直线MN与AD所成夹角为， ∵，，∴，即异面直线MN与AD所成夹角为，A选项正确； 对于B，由于平面ABCD，所以，又由A选项知，，所以，B选项正确； 对于C，由于，又由A选项知，，所以，C选项正确； 对于D，∵，M是的中点，， 根据正方体性质有：∵平面，平面，∴. 设点C到平面ABM的距离为h， ∴， 解得，故D错误， 故选：ABC. 二、填空题 12. 函数的最小正周期为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正切型函数周期公式求解. 【详解】函数的最小正周期为. 故答案为： 13. 已知复数满足，且，则＝______． 【答案】 【解析】 【分析】先设根据给定条件，结合复数相等和复数模公式计算作答. 【详解】设， 又，所以， 又，所以， 所以， 所以， 所以 ． 故答案为：. 14. 已知满足，则______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】利用诱导公式可求得，利用二倍角的正余弦公式可化为齐次式，即可求解. 【详解】由，可得，所以， 所以. 故答案为：. 三、解答题 15. 已知平面向量. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值； （3）若两向量的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； （2）首先求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可； （3）两个向量的数量积大于零且两向量不共线，求出范围即可. 【小问1详解】 因为且， 所以，解得. 【小问2详解】 因为，所以，又且， 所以，解得. 【小问3详解】 由两向量夹角为锐角，则，且与不共线， 由，得，解得， 由与共线，得， 所以向量与的夹角为锐角时，得取值范围为. 16. 已知分别为三个内角的对边，满足 （1）求; （2）若的周长为，面积为 求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，得到，再由辅助角公式求出答案； （2）根据题中条件得到的关系式，结合余弦定理解得的值 【小问1详解】 由正弦定理得， 其中， 故， 因为，所以，故， 即，所以， 因为，所以， 故，解得； 【小问2详解】 因为的周长为，面积为 所以，即 由余弦定理得，即 结合方程化简得，解得 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，且底面，，，分别为棱，，的中点. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直推得面面垂直； （2）利用定义找到二面角的平面角，在三角形中计算夹角的值； 【小问1详解】 ∵底面ABCD，平面ABCD， ∴. 如图，连接AC． ∵底面ABCD为正方形，∴， ∵M，N分别为棱AB，BC的中点， ∴，∴， 又平面PBD， ∴平面PBD， ∵平面MNE， ∴平面平面PBD． 【小问2详解】 如图，设，，连接FE，则F为线段OB的中点. 易知平面平面， 由（1）知，平面PBD，平面PBD ∴， ∴∠EFB为二面角的平面角， 又底面ABCD，，， ∴， ∴， 即二面角的大小为. 18. 已知函数的部分图像如图所示． （1）求函数的解析式； （2）函数的图像经过怎样的变换能得到函数的图像； （3）求函数的单调递减区间； （4）求不等式的解集． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据图像确定，从而可求出，再代入一点求即可； （2）依据函数平移和伸缩变换的原则按步骤变换即可； （3）根据整体代入法求的单调递减区间即可； （4）根据确定的范围，解出的范围即可. 【小问1详解】 由已知图象得， ，则，所以， 因为，所以， 又因为，所以，即． 【小问2详解】 先将函数的图像上所有的点向右平移个单位， 就可得到的图像， 把图像上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来2倍，就可得到的图像， 把图像上所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，就可得到的图像． 【小问3详解】 因为 所以 所以的单调递减区间为． 【小问4详解】 因为，所以， 所以， 解得：， 所以不等式的解集是． 19. 如图，在平行四边形中，，点为中点，点在线段上，满足，设. （1）用向量表示向量； （2）若，求； （3）若，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量基本定理，和图形的几何性质，用基底向量表示图形中的向量即可. （2）根据向量模长和向量数量积的关系，对向量进行平方运算，根据向量的模长，列出方程，求出结果. （3）根据向量夹角，求出向量数量积，根据向量模长和向量数量积的关系，对向量进行平方运算，进而求出向量的模长. 【小问1详解】 因点为中点，点在线段上，满足， 可得，， 故； 【小问2详解】 由（1）得，所以， 因为，所以， 解得. 【小问3详解】 由题意知， ， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考测试卷 一、单选题 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知为所在平面内的一点，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺，它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱构成的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示，已知半球的半径为R，圆柱的高也为R，则银杯盛酒部分的容积为（ ） A. B. C. D. 6. 正方体中，是AB的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 将函数图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，再把所得的图像向右平移个单位长度，则所得新函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 体操中有“后空翻转体720度”的动作，其中“720度”等于（ ） A. 弧度 B. 弧度 C. 弧度 D. 弧度 9. 下列结论不正确的是（ ） A. 是第三象限角 B. 若圆心角为的扇形的面积为，则该扇形的弧长为 C. 若角的终边过点，则 D. 若角为锐角，则角为钝角 10. 下列各式值等于1的有（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. MN与AD所成夹角为 B. C. D. 点C到平面ABM的距离为 二、填空题 12. 函数的最小正周期为______． 13. 已知复数满足，且，则＝______． 14. 已知满足，则______． 三、解答题 15. 已知平面向量. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值； （3）若两向量的夹角为锐角，求的取值范围. 16. 已知分别为三个内角的对边，满足 （1）求; （2）若的周长为，面积为 求. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，且底面，，，分别为棱，，中点. （1）求证：平面平面； （2）求二面角大小. 18. 已知函数部分图像如图所示． （1）求函数的解析式； （2）函数的图像经过怎样的变换能得到函数的图像； （3）求函数的单调递减区间； （4）求不等式的解集． 19. 如图，在平行四边形中，，点为中点，点在线段上，满足，设. （1）用向量表示向量； （2）若，求； （3）若，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $