1.2024年哈尔滨市中考真题(Word版)-【中考123·中考必备】2026年黑龙江地区专用数学试题精编

**基本信息** 2024年哈尔滨中考数学卷以“奋斗者”号潜水、剪纸艺术等真实情境为载体，通过基础题（如相反数、科学记数法）、能力题（函数应用、几何综合）、创新题（定义新运算、动态几何）的梯度设计，全面覆盖代数、几何、统计核心知识，体现数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相反数、科学记数法、三视图|结合剪纸艺术考查轴对称与中心对称，渗透文化传承| |填空题|10/30|函数自变量取值、因式分解、概率|以蓄电池电压为背景考查反比例函数，培养模型意识| |解答题|7/60|分式化简、统计图表、几何证明与计算|中国结编织问题融合方程与不等式，发展应用意识；圆与二次函数综合题考查推理能力与创新意识|

2024年哈尔滨市 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的相反数为（ ） A. B. C. D. 2. 剪纸是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2020年11月10日，中国万米载人潜水器“奋斗者”号在马里亚纳海沟成功坐底，下潜深度达，将10909用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 7. 如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第5个图形需要棋子（ ） A. 16枚 B. 20枚 C. 24枚 D. 25枚 8. 如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 3 C. 5 D. 9 9. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，当时，的值为（ ） A. 36 B. 38 C. 40 D. 42 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 12. 把多项式分解因式的结果是____________． 13. 如图，是的切线，点为切点，连接，，若，则________． 14. 一个不透明的袋子中装有7个小球，其中6个红球，1个黑球，这些小球除颜色外无其他差别．小峰同学从袋子中随机摸出1个小球，则摸出的小球是红球的概率是________． 15. 已知蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则蓄电池的电压________． 16. 不等式组，的解集是_______． 17. 若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径的长是________． 18. 定义新运算：，则的运算结果是_____． 19. 是直角三角形，，，则的长为________． 20. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长BC至点G，连接DG，，点E为DG的中点，连接OE交CD于点F，若，，则DF的长为______． 三、解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段的端点均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中将线段先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到线段（点的对应点为点，点的对应点为点），画出线段，，； （2）在方格纸中，画出以线段为斜边的等腰（点在小正方形的顶点上），且为钝角，，交于点，连接，直接写出的值． 23. 威杰中学开展以“我最喜欢的研学地点”为主题的调查活动，围绕“在科技馆、规划馆、博物馆、航天馆四个研学地点中，你最喜欢哪一个地点？（必选且只选一个地点）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢航天馆的学生人数占所调查人数的，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图； （3）若威杰中学共有800名学生，请你估计该中学最喜欢科技馆的学生共有多少名． 24. 四边形的对角线，相交于点O，，，． （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）如图2，，于点H，交于点E，连接，点G在上，连接交于点F，若，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段相等的线段（线段除外）． 25. 春浩中学在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织2个大号中国结和4个小号中国结，则需用绳20米；若编织1个大号中国结和3个小号中国结，则需用绳13米． （1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米； （2）春浩中学决定编织以上两种中国结共50个，这两种中国结所用绳长不超过165米，那么该中学最多编织多少个大号中国结？ 26. 在中，弦，相交于点，，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接并延长交于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，作于点，连接，点在上，连接，点在上，连接交于点，交于点，连接，若，，，，，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，与轴正半轴交于点，点的坐标为． （1）求、的值； （2）如图1，点为第二象限内抛物线上一点，连接，，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，，点在上，，交于点，，点在第二象限，连接，，连接，过点作的垂线，交过点且平行的直线于点，连接交于点，过点作轴的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，，连接并延长交抛物线于点，，点在内，连接，，，，交的长线于点，，求直线的解析式． 2024年哈尔滨市 一、选择题（每小题3分，共计30分） 【1题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数． 【详解】解：的相反数为． 故选：B． 【2题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，轴对称图形，掌握中心对称图形，轴对称图形的概念是关键． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 【详解】解：A、选项图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C、选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、选项图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 【3题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的正确表示方法是解题的关键． 根据科学记数法的定义，需将数值表示为的形式，其中，为整数． 【详解】解：将10909用科学记数法表示时，需将小数点左移四位，得到，此时，因此表示为．选项B、C、D中的均不满足的条件， 故选：A． 【4题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左边看，是一列两个相邻的正方形． 故选：D． 【5题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 先去分母，将分式方程转化为整式方程求解，解方程后进行检验即可． 【详解】解：原式去分母，方程两边乘以，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 经检验，是原分式方程的解， ， 故选：． 【6题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数顶点式的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的顶点式，直接判断最小值． 【详解】解：二次函数，顶点坐标为， ∵， ∴当时，有最小值 3 ， 故选： D． 【7题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察前3个图形可知每个图形需要的棋子数为序号的4倍，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图形需要枚棋子， 第2个图形需要枚棋子， 第3个图形需要枚棋子， ……， 以此类推，可知第5个图形需要枚棋子， 故选：B． 【8题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可解答． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：A． 【9题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，则，可得．由题意得，，再根据可得答案． 【详解】解：由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． 故选：C． 【10题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用．理解题意是关键．依据题意，先求出时的函数关系式，然后将代入计算可以得解． 【详解】解：设当时的直线解析式为：， 由条件可得． 解得． ∴直线解析式为． 令， ∴． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 【11题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得． 故答案为：． 【12题答案】 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因数2，然后在运用平方差公式即可. 【详解】解： = = = 故答案为. 【点睛】本题考查了分解因式，分解因式的一般步骤是：有公因式的先提取公因式，然后在考虑公式法. 【13题答案】 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查切线的性质与三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键，根据切线的性质得到，从而得到，再根据三角形内角和即可得到答案． 【详解】解：∵是的切线， ， ， ， ， 故答案为：． 【14题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．从袋中任意摸出一个球，共有7种等可能结果，其中是红球的有6种结果，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵从袋中任意摸出一个球，共有7种等可能结果，其中是红球的有6种结果， ∴从袋中任意摸出一个球，是红球的概率为， 故答案为：． 【15题答案】 【答案】36 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，先设出电流（单位：A）与电阻（单位：）的函数关系式为，利用待定系数法求出，即可得到答案． 【详解】解：设电流与电阻的函数关系式为． 把代入中，得， 解得， 故答案为：36． 【16题答案】 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握和运用一元一次不等式组的解法是解决本题的关键．首先解每一个不等式，求得每一个不等式的解集，据此再求不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 所以不等式的解集为：； 故答案为： 【17题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．设半径为，根据弧长公式得出，计算即可得到答案． 【详解】解：设半径为， 根据题意得， ∴， 故答案为：． 【18题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查定义新运算，整式的混合运算，根据定义新运算计算即可，解题的关键是掌握定义新运算的运算法则． 【详解】解：根据新定义可得： ， 故答案为：． 【19题答案】 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键根据直角三角形的性质，我们需要分情况讨论哪个角是直角，从而求出的长度． 【详解】解：在中，当，如图 ， ． ，， ， 解得或（舍去）； 在中，当， ，， ． 故答案为∶2或． 【20题答案】 【答案】 【解析】 【分析】连接，设，证明，得出成比例线段，求出，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如答图，连接，设， 在矩形中，， 则，． 是中点， ， ，． ， ， ， ． ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造相似三角形是关键． 三、解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分，共计60分） 【21题答案】 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值．先把原式括号里的式子通分，然后根据约分的方法和分式的性质进行化简，最后代入计算． 【详解】解： 原式. 【22题答案】 【答案】（1）见解析 （2）见解析， 【解析】 【分析】本题考查了平移变换，画图，涉及到平行四边形，等腰直角三角形的性质的应用，关键是能够利用小正方形格子的边长，求出，的长度，得到结果． （1）在图形中直接作图即可； （2）每个小正方形的边长均为1个单位长度，结合平移，得到相应线段的长度，从而得到结果． 【小问1详解】 解：所求图形，如图所示： 【小问2详解】 解：如图所示： 得到． ∵每个小正方形的边长均为1个单位长度， ∴等腰直角三角形中，， ∵O是平行四边形对角线的交点， ∴， ， ∴， ∴． 【23题答案】 【答案】（1）40名； （2）见解析； （3）280名 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图以及用样本估计总体，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据最喜欢航天馆的学生人数除以所占的百分比，即可求出调查总人数； （2）用总人数减去其它三个地点的人数，求出喜欢规划馆的人数，即可求出答案； （3）用全校总学生数乘样本中最喜欢科技馆学生所占的百分比，即可求出答案． 【小问1详解】 解：（名）， 答：在这次调查中，一共抽取了40名学生； 【小问2详解】 喜欢规划馆的人数为：（名），补全条形统计图如下： 【小问3详解】 （名）， 答：估计该中学最喜欢科技馆的学生共有280名． 【24题答案】 【答案】（1）见解析 （2），，， 【解析】 【分析】（1）首先证明出，得到，然后结合即可证明； （2）首先由菱形的对称性得到；然后证明出，是等边三角形，得到，求出，得到；然后求出， 得到；然后求出，得到，进而求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，对角线，相交于点O， ∴点A和点C关于所直线对称， ∴； ∵，， ∴， ∴，是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，与线段相等的线段有，，，． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练运用等腰三角形的性质是解题的关键． 【25题答案】 【答案】（1）编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳4米和3米 （2）该中学最多编织15个大号中国结 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用； （1）设编织1个大号中国结需用绳米，编织1个小号中国结需用绳米，根据编织2个大号中国结和4个小号中国结，则需用绳20米；若编织1个大号中国结和3个小号中国结，则需用绳13米，再建立方程组解题即可； （2）设春浩中学编织个大中国结，则编织个小中国结，根据编织这两种中国结的用绳长不超过165米，再建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设编织1个大号中国结需用绳米，编织1个小号中国结需用绳米， 根据题意，得， 解得， 答：编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳4米和3米． 【小问2详解】 解：设该中学编织个大号中国结． 根据题意，得， 解得：， 答：该中学最多编织15个大号中国结． 【26题答案】 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）可得出，，从而，从而； （2）连接，，可证得，从而得出； （3）先证明是等边三角形，是等边三角形，在上取一点，使，连接．得出，设．则，，求出，设．则，证明，得出，过作于点，则，．列方程得出，根据勾股定理得出，在中，，设与的交点为．证明，，得出，过作于点．则．设，，根据，得出进而可得出答案． 【小问1详解】 证明：， ． ， ． ， . 【小问2详解】 证明：． ， ， 连接，． 则． ． ． ． 【小问3详解】 解：． ． ， ． 在中， ． ， ． ， 为等边三角形． ，． ，． 为等边三角形， ． 在上取一点，使，连接． ，． ， ，． 设．则，． ，， ． ， ． 设．则． ． ． ． 过作于点，则，． ． ． 或． ，，． ． 在中， 设与的交点为． ， ． ， ． ， ， ． ． ，， ． ． ． ， 过作于点． 则． ． 设，， ， ， ． 在中，． ． ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的弧、弦、圆周角之间的关系，确定圆的条件，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 【27题答案】 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将，代入解析式计算即可得解； （2）由（1）得抛物线的解析式为，设，过作轴于点，则，再由三角形面积公式计算即可得解； （3）由题意可得，证明为等腰直角三角形，得出，证明四边形为正方形，连接，，证明点、、共线，得出，证明为等腰直角三角形，求出，过作于点，于点，延长至点，使，连接，则四边形为正方形得出，证明得出，过作于点，设，，证明得出，设，求出，，证明，得出，过作于点，则，求出代入抛物线得出，即可得出，在上取一点，使，连接，则为等腰直角三角形，设，则，，证明，求出，过作于点，则，求出，最后利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，与轴正半轴交于点，点的坐标为， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线的解析式为， ∵点为第二象限内抛物线上一点， ∴设， 如图：过作轴于点，则， ， ， ； 【小问3详解】 解：当时，，即， ， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由题意可得， ∴四边形为矩形，为等腰直角三角形， ∴， 四边形为正方形， 如图：连接， 设， ， ， 连接， ， ， ， ， 点、、共线，即， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 过作于点，于点，延长至点，使，连接， 则， ∴四边形为矩形，为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ， 过作于点， ， 设，， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 过作于点，则， ∴， ，， ， 点在抛物线上， ， 或（舍去）， ， ， 在上取一点，使，连接，则为等腰直角三角形，设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ， ， ， 或（舍去）. ， 过作于点，则， ， 设，， ， ， 或（舍去）， ，， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得， 直线的解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合—面积问题，相似三角形的判定与性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $