精品解析：2026年河北省唐山市滦州市滦县滦州镇坨子头中学二模数学试题

2026年河北省唐山市滦州市滦州镇坨子头中学二模数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 4．必须保持答题卡的整洁，不要折叠答题卡． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设点表示的数为， 由图可知：， 观察各选项，只有选项B符合题意. 2. 如图是一个由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据俯视图是从上面看到的平面图形，进行判断即可． 【详解】解：该几何体的俯视图为： 3. 人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为，用科学记数法将数据表示为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 4. 一艘船从A点出发，沿东北方向航行至B点，再从B点出发沿南偏东方向航行至C点（自绘图形），则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据平行线的性质求出，然后利用角的和差即可求解． 【详解】解：由题意可得，，， ∵， ∴， ∴． 5. 约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”；如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用．掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 直接利用相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形性质得到：． 解得． 即蜡烛火焰的高度是． 故选：A． 6. 某烘焙店对蛋挞进行了A，B，C三个方案的改进，如图是10位顾客对每种方案的整体口感评分的折线图，随机抽取一位顾客，在这三个方案中最喜爱方案C的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察折线图，找出最喜爱方案C的人数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：由折线图知：最喜爱方案C的顾客为②、⑤、⑨，共3人， ∴最喜爱方案C的概率是． 7. 如图，在四边形中，，从①，②，③这三个条件中任意选取一个，能使四边形是平行四边形的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从①，②，③，这三个条件中任意选取一个，共有3种可能，由平行四边形的判定方法，可得①②共有2种可判定四边形是平行四边形．再根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵ 当①时，根据两组对边相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形； 当②时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形； 当③时，无法判定四边形是平行四边形． ∴在四边形中，，从①，②，③这三个条件中任意选取一个，能使四边形是平行四边形的概率为． 8. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题为分式化简求值题，先化简分子，再用平方差公式分解分母，约分后整体代入已知条件计算即可． 【详解】解： ∵ ∴原式 9. 已知方程，下列说法正确的是（ ） ①该方程没有实数根；②是该方程的一个根；③该方程的两个实数根的积为 A. 只有① B. 只有② C. 只有③ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【详解】解：原方程为 ，其中 ． 判断①：∵ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根，①说法错误． 判断②：将 代入方程左边，得 方程右边， ∴ 是该方程的一个根，②说法正确． 判断③：将原方程因式分解得 ，解得方程两个根为 ，两根的积为 ， ∴ ③说法正确． 综上，②③正确． 10. 如图，为等腰直角三角形，，点在上，为直角三角形，，，若．将绕点逆时针旋转得到，则点（ ） A. 在的内部 B. 在的外部 C. 在的边上 D. 以上均有可能 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质得出，根据旋转的性质得出，，过点作交于点，根据直角三角形的性质得出，结合等边对等角和直角三角形的性质求出，推得点与点重合，即可求解． 【详解】∵为直角三角形，，， ∴； 将绕点逆时针旋转得到，则，； 过点作交于点，如图： 在中，， ∵，， ∴， ∵， ∴点、、三点共线， ∵， 故点与点重合， 即点在上， 故在的边上． 11. 如图，边长为8的正六边形中，一束激光从的中点P出发，照射到边上的点Q处，经镜面反射后恰好经过顶点C，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长、交于点，作于点，于点，由正六边形的性质及等腰三角形的判定与性质得到，设，再由正六边形的性质得到相应边与角度，在中，由三角函数求出和长度，连接，证明是矩形，得到，过点作，由等腰三角形性质，解直角三角形得到，最后利用的性质列式求参数即可得到答案． 【详解】解：延长、交于点，作于点，于点，如图所示： 则， 在正六边形中，，则， 由反射光线的性质可知， ，即， ， ， ， 设，则， ， 六边形为正六边形， ， ， 是中点， ， 在中，，， ， 在正六边形中，，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 过点作，如图所示： 由等腰三角形三线合一性质可知平分，且是边上的中线， 在中，， ，， ， ，则， 解得， ， ． 【点睛】本题核心是光的反射的几何转化（等腰三角形）、正六边形的性质、相似三角形的应用，通过构造辅助线将反射问题转化为相似求解，关键是反射的对称性质与相似比例的应用． 12. 我国古代“律历合一”，黄钟为十二律之首，对应冬至，是古琴定音根基．三分损益法（最早见于《管子·地员篇》）为推演十二律的核心方法，规则如下：（1）三分损一：将律管长度三等分后去一份，余长为原长的，称“下生”，得纯五度高音；（2）三分益一：将律管长度三等分后增一份，新长为原长的，称“上生”，得纯四度低音；（3）以黄钟为基准律，其管长9寸，设基准律长，按“损一→益一”交替推演：第1次得林钟，第2次得太簇，第3次得南吕，第4次得姑洗，……第7次得大吕．按上述规则推演，下列结论不正确的是（ ） A. 太簇对应的律长8寸 B. C. 大吕律长在3寸与4寸之间 D. 的律长大于6寸 【答案】C 【解析】 【分析】依次计算各次律长，再验证各选项即可得到结论，用到有理数乘法运算知识． 【详解】解：根据规则，第次推演，为奇数时本次为损一，长度乘以，为偶数时本次为益一，长度乘以， 已知，依次计算得： ∵，， ∴选项A正确； ∵，， ∴，选项B正确； ∵， ∴ 选项D正确； 计算得： ，，， ∵，即不在寸与寸之间， ∴选项C错误． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若正比例函数的图象不经过第一象限，则整数k的值可以是_______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质，确定k的取值范围，在取值范围内写出一个符合要求的整数即可． 【详解】解：正比例函数中，， ∵该正比例函数的图象不经过第一象限， 根据正比例函数的性质可得， ∵k为整数，因此任意负整数都符合要求，例如（答案不唯一）． 14. 如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，M为边的中点．若，则的长为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得出点是中点，结合是中点，得出是的中位线，进而即可得解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，对角线与交于点O， ∴点是中点， ∵是中点， ∴是的中位线， ∵， ∴． 15. 若等腰三角形的两边长分别为和则该等腰三角形的周长为______（结果要求化简）． 【答案】## 【解析】 【分析】先将已知二次根式化简，分两种情况讨论等腰三角形的腰长与底边长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，计算可得符合条件的周长． 【详解】解： ，． 分两种情况讨论： 当腰长为，底边长为时 两腰长之和为． ，， ，不满足三角形两边之和大于第三边，该情况舍去． 当腰长为，底边长为时满足三角形三边关系， 此时周长为：． 故答案为：． 16. 如图，以为直径的半圆O上有一点C，且，M为直径上一点，点N与点M关于对称，于点M，交的延长线于点P．已知，当与半圆O相切时，的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】连接，与相交于，由直径所对的圆周角为直角得，由切线的性质得，由对称的性质得，设，则，，由正切函数得，，即可求解． 【详解】解：连接，与相交于， 为直径， ， ， ，， ， ， 是切线， ， ， ， 点N与点M关于对称， ，， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 在中，， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，解直角三角形等；掌握切线的性质，直径所对的圆周角为直角，能熟练利用解直角三角形有关知识进行求解是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 根据如图所示的运算程序，回答下列问题． （1）若输入，计算输出的值； （2）若输出的，求输入的最大整数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入程序框图求解； （2）根据题意列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：当时， ∴输出的值为； 【小问2详解】 解：根据题意得， 解得 ∴输入的最大整数的值为． 18. 在数学课上，老师出了一道题目，并展示了嘉嘉的解题过程． 化简： 原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 （1）嘉嘉的解题步骤中所有错误步骤是：_____； （2）请写出正确的解答过程，并从2，，1这三个数中选取一个合适的数代入化简结果中求值． 【答案】（1）第一步和第二步 （2）， 【解析】 【分析】（1）第一步加法运算出错，第二步因式分解出错； （2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代入一个使分式有意义的值计算即可． 【小问1详解】 解：第一步的加法运算，第二步的因式分解均出现错误； 【小问2详解】 解：原式 ； ∵， ∴， ∴当时，原式． 19. 如图1，油纸伞有着逾千年的历史，被列入国家非物质文化遗产名录．如图2，伞圈沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的，点固定不动，且到点的距离满足． （1）求证：； （2）如图3，当油纸伞撑开时，伞的边缘与点在同一直线上，且伞圈到点的距离，伞面宽，若点恰好是的中点，求伞骨的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（）根据题意可得，再根据“”证明，即可得出； （）由，，得，所以，通过勾股定理求得，最后根据直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，点恰好是的中点， ∴， 答：伞骨的长为． 20. 人工智能作为引领未来的战略性技术，正深刻影响着社会发展．为紧跟时代步伐，某校举办了“灵动数据”信息技术知识竞赛．赛后，学校随机抽取了部分学生的竞赛成绩（满分100分）作为样本进行统计分析，根据测试成绩分成四组（，，，），并绘制了如下不完整的统计图． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了_____名学生的竞赛成绩，请补全频数分布直方图： （2）本次调查的学生竞赛成绩的中位数落在_____组内（填、、或）； （3）若竞赛成绩在80分及以上可获得“灵动技术小达人”称号，请估计全校2000名学生中获得该称号的人数； （4）学校决定从组同学中随机选择两名同学参加进一步技术培训，若组同学中有2男3女，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为一男一女的概率． 【答案】（1）；作图见解析 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据组的人数和所占百分比可求出总人数，即可求出组的人数；（2）根据中位数的概念求解可得；（3）求出成绩在80分及以上人数所占百分比，即可得解；（4）根据画树状图求解即可； 【小问1详解】 解：组人数是人，所占百分比是， 总人数为（人）； 组人数为（人），补全图形如下： 【小问2详解】 解：由（1）可得，总共抽取了名学生，中位数是第、名学生的平均数， 组有人，组有人，组有人，组有人， 第、名在组， 中位数在组； 【小问3详解】 解：根据题意可得，成绩在分以上的人数所占百分比为， 全校2000名学生中获得该称号的人数为（人）； 【小问4详解】 解：标记个男的为，，个女的为，，，列表如下： 第一步 第二步 总共有20种情况，符合条件的有12种， 所选的两位同学恰为一男一女的概率为． 21. 如图，在平行四边形纸片中，点为边上一点（不与点重合），连接，作点关于的对称点，连接，． （1）当点恰好落在边上时， ①尺规作图：请在图中画出点和点的位置； ②直接写出四边形的形状； （2）当点恰好是边的中点时，连接，如图，若，，求线段的长． 【答案】（1）①画图见解析；②菱形 （2） 【解析】 【分析】（）①以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再作的角平分线，交于点，则点和点即为所求；②根据菱形的判定即可求解； （）证明即可求解． 【小问1详解】 解：①如图所示，点和点即为所求； ②四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点和点关于对称， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：由轴对称得，，， ∵点恰好是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了作一条线段等于已知线段，角平分线的画法，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，轴对称图形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，正确画出图形是解题的关键． 22. 情境 如图，在跷跷板（自重忽略不计）的左端有一个固定质量为千克的靠背，质量为千克的小孩紧贴靠背而坐，选定木板中点偏右的位置作为跷跷板的支点，支点与靠背的距离为米，选定支点右侧米处为零刻度线．质量为千克的大人坐在零刻度线的右侧，大人可以通过调整自己的位置使跷跷板两端离地保持平衡． 设大人与零刻度线的距离为米，根据物理学的杠杆原理可得：． 已知，，零刻度线与末刻度线的距离定为米． 操作 （1）①当跷跷板左端不坐小孩，且大人在零刻度线时，跷跷板两端离地平衡，则与的关系式为：______； ②当跷跷板左端坐上质量为千克的小孩，大人从零刻度线移动至末刻度线时，跷跷板两端离地平衡，则与的关系式为：______； （2）由（1）可得：______，______； 探究 （3）根据“操作”的结果， ①要使跷跷板两端离地保持平衡，写出关于的函数关系式；（不必写的取值范围） ②从零刻度线开始，跷跷板左端的质量每增加千克，大人坐在木板上移动一个刻度能使跷跷板两端离地保持平衡，直接写出相邻刻度线之间的距离． 【答案】（1）①，②；（2），；（3），米 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次方程；解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）①由题意可得：，，，，代入 可以得解；②由题意可得：，，，，代入即可求解； （2）联立，即可求解； （3）①将，，，代入，即可求解；②由可得：时，；当时，，即可判断． 【详解】（1）①由题意可得：，，，， ， ， 故答案为：； ②由题意可得：，，，， ， ， 故答案为：； （2）联立， 解得：， 故答案为：，； （3）①，，，， ， 整理得：； ②， 当时，；当时，； 相邻刻度线之间的距离为米． 23. 已知点，点，其中．一束光从点沿直线发出，形成的光线与线段交于点，若点为整数点（横、纵坐标都为整数的点），则光线穿过线段得到图1，否则光线在点处被反射得到射线（光线的反射符合反射定律），进而得到图2． （1）若点， ①求射线的表达式（不必写自变量的取值范围）； ②射线是否经过？请说明理由； （2）若，且上的整数点被点分为个数之比为的两部分，求的取值范围； （3）若光线穿过线段，且为正整数，点为的中点，直接写出此时满足条件的整数的个数． 【答案】（1）①；②不经过，见解析； （2）或； （3）满足条件的整数的个数为2． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何的综合应用，熟练掌握待定系数法求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）①根据待定系数法求出解析式即可；②设射线的表达式为，根据待定系数法求出解析式，再把代入看是否成立即可； （2）根据题意得到线段上的整数点有共9个，且点在和之间或在和之间，分别把，，，代入中求解，即可求出结果； （3）根据题意得出，将代入直线，得，解得．结合为正整数，且为整数，且点为整数点，求出结果即可． 【小问1详解】 解：①直线经过点，， 射线的表达式为． ②不经过． 根据光的反射定律，可知直线与直线关于直线对称， 点关于直线的对称点在射线上． 设射线的表达式为． 将，代入， 得解得 射线的表达式为． 当时，， 射线不经过点．； 【小问2详解】 解：时，点，点， 线段上的整数点有，，，，，，，，，共9个． 上的整数点被点分为个数之比为的两部分， 点在和之间或在和之间， 将代入，得， 将代入，得； 将代入，得， 将代入，得． 的取值范围为或； 【小问3详解】 点为线段的中点，． 将代入直线， 得，解得． 为正整数，且为整数，且点为整数点， 可列表如下： 1 2 5 10 11 6 3 2 5 2.5 1 0.5 3 4 7 12 综上所述，满足条件的整数的个数为2，分别是11和3． 24. 如图1至图3，在矩形中，，．点在上，且1，连接和，将绕点逆时针旋转，点A，B的对应点分别为点，，所在直线与相交于点，所在直线与射线相交于点，以，为边构造平行四边形，当射线与重合时，停止旋转． （1）求的长； （2）如图2，当点落在线段上时，探究，的数量关系，并说明理由； （3）当点落在平行四边形的边上时，求弧的长； （4）如图3，当点落在线段的延长线上时，连接，，，若的周长最小，直接写出此时的值．（参考数据：） 【答案】（1）； （2），见解析； （3）或； （4）3． 【解析】 【小问1详解】 解：在中，，， ； 【小问2详解】 解∶ ． 理由如下： ∵，，且， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 由旋转的性质，可得． ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解∶ 由（2）易得，平行四边形是矩形．当点落在平行四边形的边上时，有以下两种情况． 情况一：如图1，此时点C，N重合，点B，H重合． 四边形为矩形， ，，， ， ， ； 情况二：如图2，此时点在上． ，， ，，． ， ，解得， ， ， ． ， ， ， ， ， 综上， 弧的长为或； 【小问4详解】 解∶ 如图3，由（1）（2）知，，． 当点落在线段上时，． 同理可得当点落在线段的延长线上时，， ∴， ∴． 过点作于点，则，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴点在过点且垂直于的直线上运动． 延长至点，使得，连接， ∴垂直平分， ∴， ∴的周长， ∴当最小时，的周长最小， ∴当，，三点共线时，最小，如图3． 过点作于点． 在中，由面积法得， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省唐山市滦州市滦州镇坨子头中学二模数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 4．必须保持答题卡的整洁，不要折叠答题卡． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一个由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为，用科学记数法将数据表示为，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 一艘船从A点出发，沿东北方向航行至B点，再从B点出发沿南偏东方向航行至C点（自绘图形），则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”；如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. C. D. 6. 某烘焙店对蛋挞进行了A，B，C三个方案的改进，如图是10位顾客对每种方案的整体口感评分的折线图，随机抽取一位顾客，在这三个方案中最喜爱方案C的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形中，，从①，②，③这三个条件中任意选取一个，能使四边形是平行四边形的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知方程，下列说法正确的是（ ） ①该方程没有实数根；②是该方程的一个根；③该方程的两个实数根的积为 A. 只有① B. 只有② C. 只有③ D. ②③ 10. 如图，为等腰直角三角形，，点在上，为直角三角形，，，若．将绕点逆时针旋转得到，则点（ ） A. 在的内部 B. 在的外部 C. 在的边上 D. 以上均有可能 11. 如图，边长为8的正六边形中，一束激光从的中点P出发，照射到边上的点Q处，经镜面反射后恰好经过顶点C，则的长为（ ） A. B. C. D. 12. 我国古代“律历合一”，黄钟为十二律之首，对应冬至，是古琴定音根基．三分损益法（最早见于《管子·地员篇》）为推演十二律的核心方法，规则如下：（1）三分损一：将律管长度三等分后去一份，余长为原长的，称“下生”，得纯五度高音；（2）三分益一：将律管长度三等分后增一份，新长为原长的，称“上生”，得纯四度低音；（3）以黄钟为基准律，其管长9寸，设基准律长，按“损一→益一”交替推演：第1次得林钟，第2次得太簇，第3次得南吕，第4次得姑洗，……第7次得大吕．按上述规则推演，下列结论不正确的是（ ） A. 太簇对应的律长8寸 B. C. 大吕律长在3寸与4寸之间 D. 的律长大于6寸 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若正比例函数的图象不经过第一象限，则整数k的值可以是_______（写出一个即可）． 14. 如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，M为边的中点．若，则的长为_____． 15. 若等腰三角形的两边长分别为和则该等腰三角形的周长为______（结果要求化简）． 16. 如图，以为直径的半圆O上有一点C，且，M为直径上一点，点N与点M关于对称，于点M，交的延长线于点P．已知，当与半圆O相切时，的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 根据如图所示的运算程序，回答下列问题． （1）若输入，计算输出的值； （2）若输出的，求输入的最大整数的值． 18. 在数学课上，老师出了一道题目，并展示了嘉嘉的解题过程． 化简： 原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 （1）嘉嘉的解题步骤中所有错误步骤是：_____； （2）请写出正确的解答过程，并从2，，1这三个数中选取一个合适的数代入化简结果中求值． 19. 如图1，油纸伞有着逾千年的历史，被列入国家非物质文化遗产名录．如图2，伞圈沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的，点固定不动，且到点的距离满足． （1）求证：； （2）如图3，当油纸伞撑开时，伞的边缘与点在同一直线上，且伞圈到点的距离，伞面宽，若点恰好是的中点，求伞骨的长． 20. 人工智能作为引领未来的战略性技术，正深刻影响着社会发展．为紧跟时代步伐，某校举办了“灵动数据”信息技术知识竞赛．赛后，学校随机抽取了部分学生的竞赛成绩（满分100分）作为样本进行统计分析，根据测试成绩分成四组（，，，），并绘制了如下不完整的统计图． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了_____名学生的竞赛成绩，请补全频数分布直方图： （2）本次调查的学生竞赛成绩的中位数落在_____组内（填、、或）； （3）若竞赛成绩在80分及以上可获得“灵动技术小达人”称号，请估计全校2000名学生中获得该称号的人数； （4）学校决定从组同学中随机选择两名同学参加进一步技术培训，若组同学中有2男3女，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为一男一女的概率． 21. 如图，在平行四边形纸片中，点为边上一点（不与点重合），连接，作点关于的对称点，连接，． （1）当点恰好落在边上时， ①尺规作图：请在图中画出点和点的位置； ②直接写出四边形的形状； （2）当点恰好是边的中点时，连接，如图，若，，求线段的长． 22. 情境 如图，在跷跷板（自重忽略不计）的左端有一个固定质量为千克的靠背，质量为千克的小孩紧贴靠背而坐，选定木板中点偏右的位置作为跷跷板的支点，支点与靠背的距离为米，选定支点右侧米处为零刻度线．质量为千克的大人坐在零刻度线的右侧，大人可以通过调整自己的位置使跷跷板两端离地保持平衡． 设大人与零刻度线的距离为米，根据物理学的杠杆原理可得：． 已知，，零刻度线与末刻度线的距离定为米． 操作 （1）①当跷跷板左端不坐小孩，且大人在零刻度线时，跷跷板两端离地平衡，则与的关系式为：______； ②当跷跷板左端坐上质量为千克的小孩，大人从零刻度线移动至末刻度线时，跷跷板两端离地平衡，则与的关系式为：______； （2）由（1）可得：______，______； 探究 （3）根据“操作”的结果， ①要使跷跷板两端离地保持平衡，写出关于的函数关系式；（不必写的取值范围） ②从零刻度线开始，跷跷板左端的质量每增加千克，大人坐在木板上移动一个刻度能使跷跷板两端离地保持平衡，直接写出相邻刻度线之间的距离． 23. 已知点，点，其中．一束光从点沿直线发出，形成的光线与线段交于点，若点为整数点（横、纵坐标都为整数的点），则光线穿过线段得到图1，否则光线在点处被反射得到射线（光线的反射符合反射定律），进而得到图2． （1）若点， ①求射线的表达式（不必写自变量的取值范围）； ②射线是否经过？请说明理由； （2）若，且上的整数点被点分为个数之比为的两部分，求的取值范围； （3）若光线穿过线段，且为正整数，点为的中点，直接写出此时满足条件的整数的个数． 24. 如图1至图3，在矩形中，，．点在上，且1，连接和，将绕点逆时针旋转，点A，B的对应点分别为点，，所在直线与相交于点，所在直线与射线相交于点，以，为边构造平行四边形，当射线与重合时，停止旋转． （1）求的长； （2）如图2，当点落在线段上时，探究，的数量关系，并说明理由； （3）当点落在平行四边形的边上时，求弧的长； （4）如图3，当点落在线段的延长线上时，连接，，，若的周长最小，直接写出此时的值．（参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $