第11节　函数的零点与方程的解 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的零点与方程的解”专题，依据课标要求梳理了零点概念、存在定理、二分法及零点应用等核心考点，对接高考评价体系，分析近五年真题中零点所在区间判定、零点个数、由零点求参数等高频题型的权重分布，构建了系统的考点突破体系。 课件亮点在于“真题实战+方法建模+素养渗透”的备考策略，如以天津高考题为例，通过零点存在定理结合单调性判定零点区间，培养数学思维；用数形结合法解析分段函数零点个数问题，强化数学语言表达。特设“规律方法库”和“易错陷阱警示”，助力学生掌握解题技巧，教师可据此精准把握学情，实现高效复习教学。

第11节　函数的零点与方程的解 课标要求 1. 了解函数的零点与方程的解的关系. 2. 了解函数零点存在定理，并能简单应用. 3. 了解用二分法求方程的近似解. 目录/ CONTENTS 考点一 函数的零点 01 考点二 二分法 （求函数零点近似值） 02 提能点 函数零点的应用 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 函数的零点 目 录 1. 概念 对于一般函数y＝f（x），我们把使 的实数x叫做函数y＝ f（x）的零点. f（x）＝0　 2. 函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系 高中总复习·数学（创新版） 目 录 3. 函数零点存在定理 如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且 有 ，那么，函数y＝f（x）在区间 ⁠ 内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得 ，这个c 也就是方程f（x）＝0的解. 提醒：若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多 有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f（x）＝0的实根. f（a）f（b）＜0　 （a，b）　 f（c）＝0　 高中总复习·数学（创新版） 目 录 角度1　函数零点所在区间的判定 （1）（2025·天津高考7题）函数f（x）＝0.3x－ 的零点所在区间 是（　B　） A. （0，0.3） B. （0.3，0.5） C. （0.5，1） D. （1，2） 解析： 易知f（x）单调递减，又f（0）＝1＞0，f（0.3）＝0.30.3－ ＝0.30.3－0.30.5＞0，f（0.5）＝0.30.5－ ＝ － ＜0，所以f （x）的零点所在区间是（0.3，0.5），故选B. B 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x－a）（x－b）＋（x－b）（x －c）＋（x－c）（x－a）的两个零点分别位于区间（　A　） A. （a，b）和（b，c）内 B. （－∞，a）和（a，b）内 C. （b，c）和（c，＋∞）内 D. （－∞，a）和（c，＋∞）内 A 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：函数y＝f（x）是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由 于a＜b＜c，则a－b＜0，a－c＜0，b－c＜0，因此f（a）＝（a－ b）（a－c）＞0，f（b）＝（b－c）（b－a）＜0，f（c）＝（c－ a）（c－b）＞0.所以f（a）f（b）＜0，f（b）f（c）＜0，即f （x）在区间（a，b）和区间（b，c）内各有一个零点. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 1. 确定函数的零点所在区间的常用方法 （1）利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f（x）在区间[a，b]上的 图象是否连续，再看是否有f（a）·f（b）＜0.若有，则函数y＝f（x） 在区间（a，b）内必有零点； （2）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有 交点来判断. 2. 函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件 时，一定要结合函数性质进行分析判断. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 角度2　函数零点个数 （1）函数f（x）＝ 的零点个数为（　D　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 解析： 当x≤0时，由x2－1＝0，解得x＝－1；当x＞0时，f（x）＝x－ 2＋ln x在（0，＋∞）上单调递增，并且f（1）＝1－2＋ln 1＝－1＜0，f （2）＝2－2＋ln 2＝ln 2＞0，即f（1）f（2）＜0，所以函数f（x）在区 间（1，2）内必有一个零点，综上，函数f（x）的零点个数为2. D 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）函数f（x）＝2x｜log2x｜－1的零点个数为（　C　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 解析：令f（x）＝0，得｜log2x｜＝ ，在同一平 面直角坐标系中分别作出函数y＝｜log2x｜与y＝ 的图象如图所示，由图可知，函数y＝｜log2x｜与y＝ 的图象有2个交点，即函数f（x）有2个零点.故选C. C 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 函数零点个数的判定方法 直接求零点 令f（x）＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点 利用函数 零点存在 定理 利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线， 且f（a）f（b）＜0，还必须结合函数的图象和性质（如单 调性）才能确定函数有多少个零点 图象法 画两个函数的图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横 坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练1 （1）〔一题多解〕函数f（x）＝2x＋x3－2在区间（0，1）内的零点 个数是（　B　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 B 解析： 法一　因为f（0）·f（1）＝（－1）×1＝－1＜0，函数在定 义域上单调递增且连续，所以函数f（x）在区间（0，1）内有且只有1个 零点.故选B. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 法二　设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一平面直角坐标系中 画出两函数的图象如图所示，在区间（0，1）内，两图 象的交点个数即为f（x）的零点个数.故函数f（x）在 区间（0，1）内有且只有1个零点.故选B. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）已知x0是函数f（x）＝ ＋ln x的一个零点，若x1∈（1，x0）， x2∈（x0，＋∞），则（　D　） A. f（x1）＜0，f（x2）＜0 B. f（x1）＞0，f（x2）＞0 C. f（x1）＞0，f（x2）＜0 D. f（x1）＜0，f（x2）＞0 D 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：在同一坐标系中作出函数y＝ln x与y＝ 的图 象，如图所示.由图象易知， ＞ln x1，从而ln x1－ ＜0，故ln x1＋ ＜0，即f（x1）＜0.同理f（x2）＞0. 故选D. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 02 PART 考点二 二分法 （求函数零 点近似值） 目 录 1. 定义 对于在区间[a，b]如图象连续不断且f（a）f（b）＜0的函数y＝f （x），通过不断地把它的零点所在区间 ，使所得区间的两 个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 2. 用二分法求函数y＝f（x）零点x0的近似值的一般步骤 （1）确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f（a）f（b）＜0； （2）求区间（a，b）的中点c； 一分为二　 高中总复习·数学（创新版） 目 录 ①若f（c）＝0（此时x0＝c），则c就是函数的零点； ②若f（a）f（c）＜0（此时x0∈（a，c）），则令b＝c； ③若f（c）f（b）＜0（此时x0∈（c，b）），则令a＝c. （3）计算f（c），并进一步确定零点所在的区间： （4）判断是否达到精确度ε：若｜a－b｜＜ε，则得到零点近似值a（或 b）；否则重复步骤（2）～（4）. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 用二分法求方程 － ＋1＝0在区间（2，3）内的根的近似值，至少 经过 次二分后精确度达到0.1. 解析：∵开区间（2，3）的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为 原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为 ，故有 ＜0.1，解得 n≥4，∴至少经过4次二分后精确度达到0.1. 4 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 二分法求函数零点的关注点 （1）验证零点所在的区间是否符合精确度要求； （2）区间内的任一值都可以作为零点的近似值，一般取端点作为零点的 近似值. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练2 已知函数f（x）＝x－e－x的部分函数值如表所示，那么函数f（x） 的零点的一个近似值（精确度为0.1）为（　　） x 1 0.5 0.75 0.625 0.562 5 f（x） 0.632 1 －0.106 5 0.277 6 0.089 7 －0.007 A. 0.55 B. 0.57 C. 0.65 D. 0.7 √ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 　易知f（x）在[0，1]上单调递增，由表格得f（0.562 5）f （0.625）＜0，且｜0.625－0.562 5｜＝0.062 5＜0.1，∴函数零点在 （0.562 5，0.625）内，∴根据选项可知，函数f（x）的零点的一个近似 值为0.57. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 03 PART 提能点 函数零点的应用 目 录 角度1　由零点个数求参数 已知函数f（x）＝ 若函数y＝f（x）－2只有 两个零点，则实数a的取值范围是（　　） A. （－∞，2） B. （－3，4） C. （－3，6） D. （－∞，－3]∪{6} √ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 　当x≥1时，由f（x）－2＝ln x－1＝0，得 x＝e，此时函数有一个零点，所以当x＜1时，y＝f （x）－2＝x2＋4x＋a－2有且仅有一个零点，即a＝ －x2－4x＋2在（－∞，1）上有唯一解，即y＝－x2 －4x＋2（x＜1）的图象与直线y＝a有且仅有一个交点.作出y＝－x2－4x＋2（x＜1）的图象如图所示，由图象可知：当a≤－3或a＝6时，y＝－x2－4x＋2（x＜1）的图象与直线y＝a有且仅有一个交点，所以实数a的取值范围为（－∞，－3]∪{6}. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 角度2　由零点的范围求参数 函数f（x）＝log2x＋x2＋m在区间（1，2）内存在零点，则实数m 的取值范围是（　　） A. （－∞，－5） B. （－5，－1） C. （1，5） D. （5，＋∞） √ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 　由y1＝log2x在（0，＋∞）上单调递增，y2＝x2＋m在（0，＋ ∞）上单调递增，得函数f（x）＝log2x＋x2＋m在区间（0，＋∞）上单 调递增.因为函数f（x）＝log2x＋x2＋m在区间（1，2）内存在零点，所 以 即 解得－5＜m＜－1，所以实数 m的取值范围是（－5，－1）. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过 解不等式（组）确定参数（范围）； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数 的图象，然后利用数形结合法求解. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练3 （1）（2026·山东齐鲁名校大联考模拟）已知函数f（x）＝3x－ .若存在x0∈（－∞，－1），使得f（x0）＝0，则实数a的取值范围 是（　B　） A. （－∞， ） B. （0， ） C. （－∞，0） D. （ ，＋∞） B 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 由f（x）＝3x－ ＝0，可得a＝3x－ ，令g（x）＝3x － ，其中x∈（－∞，－1），由于存在x0∈（－∞，－1），使得f （x0）＝0，则实数a的取值范围即为函数g（x）在（－∞，－1）上的值 域.由于函数y＝3x，y＝－ 在区间（－∞，－1）上均单调递增，所以函 数g（x）在（－∞，－1）上单调递增.当x∈（－∞，－1）时，g（x） ＝3x－ ＜g（－1）＝3－1＋1＝ ，又g（x）＝3x－ ＞0，所以函数g （x）在（－∞，－1）上的值域为（0， ）.因此，实数a的取值范围是 （0， ）. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）设c∈R，函数f（x）＝ 若f（x）恰有一个零点， 则c的取值范围是（　C　） A. ［－ ，0） B. ［ ，＋∞） C. {0}∪［ ，＋∞） D. [0，＋∞） C 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：画出函数g（x）＝ 的图象如图所示， 函数f（x）＝ 可由g（x）＝ 分段平移得到，易知当c＝0时，函数f（x）恰有一个零点，满足题意；当c＜0时，代表图象向上平移，显然没有零点，不符合题意；当c＞0时，图象向下平移，当0＜2c＜1时，函数有两个零点；当2c≥1时，f（x）恰有一个零点，满足题意，即c≥ .综上，c的取值范围是{0}∪ . 高中总复习·数学（创新版） 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：91分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是 （　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 　根据二分法的概念可知A不能用二分法求零点. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 2. 函数y＝（x－2）（2x＋1）的零点是（　　） A. 2 B. （2，0） C. －2 D. 2或－1 √ 解析： 　由题意令y＝（x－2）（2x＋1）＝0，因为2x＋1＞1＞0，所以 x－2＝0，即x＝2.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 3. （2026·陕西安康模拟）函数f（x）＝e2x＋5x－2的零点所在区间为 （　　） A. （－1，0） B. （0， ） C. （ ， ） D. （ ，1） √ 解析： 　∵f（0）＝－1＜0，f（ ）＝ － ＞0，且f（x）＝e2x＋ 5x－2为增函数，∴f（x）＝e2x＋5x－2的零点所在区间为（0， ）.故 选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 4. 函数f（x）＝ 的零点的个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 √ 解析： 　当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，则（x－1）·（x＋3）＝0，解得 x＝1（舍去）或x＝－3.当x＞0时，令ex－2＝0，解得x＝ln 2，所以f （x）的零点个数为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 5. 设函数f（x）＝x＋log2x－m，若函数f（x）在（ ，8）上存在零 点，则实数m的取值范围是（　　） A. （－ ，5） B. （－ ，11） C. （ ，5） D. （ ，11） √ 解析： 　由函数f（x）＝x＋log2x－m在（ ，8）上单调递增，且函数 f（x）在（ ，8）上存在零点，则 解得 － ＜m＜11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 6. 〔多选〕（2026·江苏徐州质检）已知函数y＝f（x）的图象是一条连 续不断的曲线，它的部分函数值如表所示，则（　　） x 1 2 3 y 202.301 52.013 －10.581 x 4 5 6 y 3.273 －10.733 －156.314 A. f（x）在区间（2，3）内不一定单调 B. f（x）在区间（5，6）内可能存在零点 C. f（x）在区间（5，6）内一定不存在零点 D. f（x）至少有3个零点 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 　由题表可知f（2）＞0，f（3）＜0，f（4）＞0，f（5）＜ 0，所以f（2）f（3）＜0，f（3）f（4）＜0，f（4）f（5）＜0，因为函 数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，所以函数f（x）在区间 （2，3），（3，4），（4，5）均存在零点，即f（x）至少有3个零点， 故D正确；对于A，由于只知道f（2），f（3）的函数值，故无法判断f （x）在区间（2，3）内的单调性，故A正确；对于B、C，虽然f（5）＜ 0，f（6）＜0，但是函数f（x）在（5，6）内的取值情况未知，所以函数 f（x）在（5，6）内可能存在零点，故B正确，C错误.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 7. 〔多选〕（2026·广东湛江调研）已知函数f（x）＝｜2x－1｜－a，g （x）＝x2－4｜x｜＋2－a，则（　　） A. 当g（x）有2个零点时，f（x）只有1个零点 B. 当g（x）有3个零点时，f（x）只有1个零点 C. 当f（x）有2个零点时，g（x）有2个零点 D. 当f（x）有2个零点时，g（x）有4个零点 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 　作出y＝｜2x－1｜，y＝x2－4｜x｜＋2的 大致图象，如图所示.由图可知，当g（x）有2个零点 时，f（x）无零点或只有1个零点；当g（x）有3个零 点时，f（x）只有1个零点；当f（x）有2个零点时，g（x）有4个零点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 8. 已知函数f（x）＝ （a∈R）在R上没有零 点，则实数a的取值范围是 ⁠. （－∞，－1）∪{0} 解析：设g（x）＝ g （x）的图象如图所示.问题转化为g（x）与 函数y＝－a的图象没有交点，所以－a＝0或 －a＞1，解得a＝0或a＜－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 9. 函数f（x）＝ · cos x的零点个数为 ⁠. 解析：令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，∴f（x）的定义域为[－6，6].令f （x）＝0得36－x2＝0或 cos x＝0，由36－x2＝0得x＝±6，由 cos x＝0得 x＝ ＋kπ，k∈Z，又x∈[－6，6]，∴x为－ ，－ ， ， .故f （x）共有6个零点. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 10. （13分）函数f（x）＝x2＋bx＋c的两个零点为2，3. （1）求b，c的值； 解： 由题意知2，3为方程x2＋bx＋c＝0的两根，∴ ∴ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）若函数g（x）＝f（x）＋mx的两个零点分别在区间（1，2）， （2，4）内，求m的取值范围. 解： 由（1）知f（x）＝x2－5x＋6. ∴g（x）＝x2＋（m－5）x＋6， 依题意得 解得－ ＜m＜0， 故实数m的取值范围是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 11. “a≤0”是“函数f（x）＝ 有且只有一个零点”的 （　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 　当x＞0时，令f（x）＝0，则ln x＝0，∴x＝1，∴当x＞0时， f（x）有一个零点为1，∵函数f（x）只有一个零点，∴当x≤0时，f （x）＝－2x＋a无零点，即a＞2x或a＜2x，∵当x≤0时，2x∈（0， 1]，∴a＞1或a≤0，∴“a≤0”是“函数f（x）＝ 有 且只有一个零点”的充分不必要条件.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 12. 已知函数f（x）＝ 则函数y＝f（f（x）＋1）的 零点个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 令t＝f（x）＋1＝ ① 当t＞0时，f（t）＝ln t－ ，易知函数f（t）在（0， ＋∞）上单调递增，因为f（1）＝－1＜0，f（2）＝ln 2－ ＞0，所以由零点存在定理可知，存在t1∈（1，2），使得f（t1）＝0；②当t≤0时，f（t）＝t2＋2t，由f（t）＝t2＋2t＝0，解得t2＝－2，t3＝0.作出函数t＝f（x）＋1的图象，直线t＝t1、t＝－2、t＝0，如图 所示.由图象可知：直线t＝t1与函数t＝f（x）＋1的图象有两个交点；直线t＝0与函数t＝f（x）＋1的图象有两个交点；直线t＝－2与函数t＝f（x）＋1的图象有一个交点.综上所述，函数y＝f（f（x）＋1）的零 点个数为5.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 13. 〔多选〕已知函数y＝x＋ex的零点为x1，y＝x＋ln x的零点为x2，则 （　　） A. x1＋x2＞0 B. x1x2＜0 C. ＋ln x2＝0 D. x1x2－x1＋x2＞1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 　依题意，x1＋ ＝0⇔ ＝－x1，x2＋ln x2＝ 0⇔ln x2＝－x2，则x1，x2分别是直线y＝－x与函数y＝ ex，y＝ln x的图象交点的横坐标，而函数y＝ex与y＝ ln x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称，又直 线y＝－x垂直于直线y＝x，则点（x1， ）与点（x2，ln x2）关于 直线y＝x对称，则x2＝ ＝－x1＞0，于是x1＋x2＝0，x1x2＜0， ＋ln x2＝0，B、C正确，A错误；易知－1＜x1＜0，0＜x2＜1，则x1x2－x1＋x2 －1＝（x1＋1）（x2－1）＜0，即x1x2－x1＋x2＜1，D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 14. （15分）（2026·甘肃天水模拟）已知函数f（x）＝log2（2＋x）－ log2（2－x）. （1）判断f（x）的奇偶性； 解： f（x）为奇函数，理由如下： 由题意得 解得－2＜x＜2，即函数f（x）的定义域为（－2， 2），故定义域关于原点对称. 又f（－x）＝log2（2－x）－log2（2＋x）＝－f（x）， 故f（x）为奇函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）若关于x的方程f（x）＝log2（a＋x）有两个不同的实数根，求实 数a的取值范围. 解： 由f（x）＝log2（a＋x）， 得log2（2＋x）－log2（2－x）＝log2（a＋x）， 所以 ＝a＋x，所以a＝ －x＝ －x ＝ ＋（2－x）－3， 故方程f（x）＝log2（a＋x）有两个不同的实数根可转化为方程a＝ ＋（2－x）－3在区间（－2，2）上有两个不同的实数根， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 即函数y＝a与y＝ ＋（2－x）－3在区间（－2， 2）上的图象有两个交点. 设t＝2－x，x∈（－2，2），则y＝ ＋t－3，t∈ （0，4）. 作出函数y＝ ＋t－3，t∈（0，4）的图象，如图所示. 当1＜a＜2时，函数y＝a与y＝ ＋t－3，t∈（0，4）的图象有两个交点，即关于x的方程f（x）＝log2（a＋x）有两个不同的实数根，故实数a的取值范围是（1，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $