精品解析：2026年安徽滁州市定远县育才学校第三次阶段测试数学试题

定远育才学校2026年中考第三次模拟检测 数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在1，0，，四个数中，绝对值最大的数是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据绝对值的定义求出四个数各自的绝对值，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：∵ ，，，， ∴ ∴ 绝对值最大的数是． 2. 据统计，2026年2月1日至20日，港珠澳大桥日均车流量超17800次，数据17800用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：. 3. 明式家具中用到许多榫卯结构，比如燕尾榫．如图是燕尾榫的带榫头部分，下列图形是其俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据立体图形的特征判断俯视图的轮廓线及虚实情况，即可解题． 【详解】解：∵该几何体是燕尾榫的带榫头部分，其上部榫头为燕尾形（上宽下窄），下部为长方体底座，且底座宽度大于榫头顶部宽度， ∴从上面看（俯视图），能看到底座的外轮廓（实线长方形）和榫头的顶面（实线长方形）， ∵榫头侧面倾斜，且顶部宽于根部 ∴榫头与底座连接的根部棱线被榫头顶部遮挡，不可见，应画为虚线 ∴俯视图应为 4. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方的运算法则，逐一计算即可． 【详解】解：，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 5. 将一元二次方程转化为的形式，则的值为（ ） A. 2027 B. 2026 C. 2025 D. 2024 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，完全平方公式的应用， 通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，确定参数a和b的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵ ∴ 即， 与比较，得, ， ∴． 故选：C． 6. 如图，把一张长方形纸片沿折叠，使点落在点处．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得出，根据折叠得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵长方形纸条中， ∴， 根据折叠可得：． 7. 如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，点为轴上一点，若的面积为2，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接、，根据轴可知轴，利用平行线间的距离相等可得，再根据反比例函数系数的几何意义，利用建立方程求解即可． 【详解】解：如图，连接、， 轴，为轴上一点， 轴， 点、点到直线的距离相等， ， ， ， 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且图象在第四象限， ，， 由图可知， ， 解得．  8. 如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点不与，重合，且，是五边形内满足且的点，连接，的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，分别交于点M，交于点N，证明是等腰直角三角形，，证明，得，得出的最大值为2，当且仅当与重合时取等号，四边形是正方形，且最大，最小，得出是直角三角形，由勾股定理得：． 【详解】解：如图，过点作，分别交于点M，交于点N， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴点在的角平分线上， ∵，是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得， 又， ∴，解得 ∵在中，， ∴的最大值为2，当且仅当与重合时取等号， 当时，，且，即与重合，与重合,此时，四边形是正方形，且最大， ∵点在的角平分线上， ∴最大时，最小， 如图，当时，延长交于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴,, ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形， 由勾股定理得：． 9. 如图，在中，由尺规作图得射线，与边相交于点，过作， ，垂足分别是点，，其中，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明四边形是正方形，可得，然后证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：，， ∴四边形是矩形， 由作图可知，平分， ， ∴四边形是正方形， ， ， ， ， ． 10. 如图，在中，，，点是上一点，以为直角边在的右侧作等腰，其中与交于点．连接，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. 周长的最小值 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，均为等腰直角三角形，得到，可知点四点共圆，得到，，从而得到，推出，即可判断A正确；由，得到与同底等高，，即可判断B正确；过点作BQ的对称点，连接，则，当点三点共线时，的周长取得最小值为，根据，点关于BQ的对称点为，得到，，可求得周长的最小值为，可判断C错误；分别过点C，B作CP，AB的垂线交于点，连接，证明，得到，证明，得到，在Rt中，，可判断D正确． 【详解】解：由题意得，，均为等腰直角三角形， ， ∴点四点共圆，如图1， ， ， ， ，故A正确，不符合题意； ， 与同底等高， ，故B正确，不符合题意； 如图1，过点作的对称点，连接，则， 的周长， ∴当点三点共线时，的周长取得最小值为， ，点关于BQ的对称点为 ， ， 周长的最小值为，故C错误，符合题意； 如图2，分别过点C，B作，的垂线交于点，连接， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵在Rt中，， ，故D正确，不符合题意． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 分解因式：x3y+2x2y+xy=___________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 12. 如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交于点．若的周长为12，则的长为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查切线长定理．解题的关键在于利用切线长定理得出线段间的等量关系，进而将△的周长转化为与相关的表达式来求解．本题可根据切线长定理，将△的周长转化为与、有关的线段长度，再结合与的关系求解的长． 【详解】解：由题意可得：．． 同理，，是的切线，切点分别为，， ． ． ． 又， ． △的周长为12，即， ，可得， 解得． 故答案为：6 13. 已知，在中，，，，点是边上一点，，交边于点，沿着直线翻折，点落在边上的点处．如图所示，连接，当是等腰三角形时，则的长为_____． 【答案】5或或 【解析】 【分析】由翻折得：，再分三种情况分别讨论，若；则，即可求值，若；则即可求值；若；根据，求得，再，即可求值. 【详解】解：由翻折得： 若，则 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 若 ∴ ∴ 若 作辅助线于点，则， ∵ ∴ 解得： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 综上所述，的长为：5或或. 【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，根据面积等式求线段的长度等知识与方法，根据等腰三角形的两边相等正确的进行分类讨论是解题的关键. 14. 如图，在正方形中，对角线交于点，将绕点逆时针旋转到，连接． （）若，则点到的距离为______； （）______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（）过作于点，由旋转知，，得，再利用正方形的性质和勾股定理求出即可求解； （）证明四边形是矩形，得，设，则，可得，，即得，再根据正切的定义解答即可求解； 本题考查了正方形的性质，旋转的性质，正切的定义等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：（）如图，过作于点， 由旋转知，， ， ∵四边形为正方形，， ∴， ， ∴点到的距离为， 故答案为：； （）由（）知，，，， ∴， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， ， 设，则， ∴，， ， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ； 16. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点），仅用无刻度直尺完成下列作图． （1）在图中，将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，画出平移后的图形为； （2）在图中，将绕格点逆时针旋转得； （3）在图中，已知点是格点，线段所在直线是的对称轴，点是边上任意一点，在边上找点使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，，再顺次连接即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，，再顺次连接即可； （3）在边上取任意一点，连接交于点，连接并延长交于点，点即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，在边上取任意一点，连接交于点，连接并延长交于点，点即为所求，使得． 线段所在直线是的对称轴， ，， ，， ，即， ，，， ， ． 17. 2026年1月1日起，某市持续实施新一轮消费补贴政策，涵盖汽车、家电、数码等领域．王叔叔家有一辆符合条件的旧车报废，根据政策，其购买新车可享受以下以旧换新补贴标准： 购买新车类型 补贴标准 最高补贴 新能源乘用车 新车售价的12% 20000元 2.0L及以下排量燃油乘用车 新车售价的10% 15000元 （1）按照以旧换新补贴标准，购买以下______车价格更低（填序号），并说明理由； ①售价16万元的新能源乘用车 ②售价16万元的2.0L排量燃油乘用车 （2）王叔叔计划在新能源乘用车A和2.0L排量燃油乘用车B之间选择一辆购买，计算后发现，购买其中任意一辆车可享受的补贴均未达到最高补贴，且补贴后的实际花费相等，若A车的售价比B车高3千元，请你求出A车和B车的售价各是多少万元？ 【答案】（1）①；理由见解析 （2）A车的售价是13.5万元，B车的售价是13.2万元 【解析】 【分析】（1）根据购买新车可享受的以旧换新补贴标准分别计算，比较后即可得到答案； （2）设A车的销售价格为x万元，则B车的销售价格为万元，根据题意列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：①； 理由如下： ∵（万元），1.92万元2万元， （万元），1.6万元1.5万元， ∴售价16万元的新能源乘用车补贴后实际花费为（万元）, 售价16万元的2.0L排量燃油乘用车补贴后实际花费为（万元）， ∵14.08万元14.5万元， ∴购买①车价格更低； 【小问2详解】 设A车的售价为x万元，则B车的售价为万元． 根据题意可列方程为， 解得， ∴（万元）， 答：A车的售价是13.5万元，B车的售价是13.2万元． 18. “代数推理”是初中数学核心素养关于推理能力的重要体现，其核心是用符号表达规律、基于运算进行论证，强调“从特殊到一般归纳、从一般到特殊演绎”．观察下列等式： ；； ； 你能发现什么? （1）利用以上规律直接写出结果：________； （2）我们观察上述等式，猜想一般结论：对任意两个相邻整数，不妨设为和，则这两个整数的“平方的平均数”与这两个整数的“平均数的平方”的差为定值吗？如果是，请你通过计算推理，求出这个定值：如果不是，请说明理由； （3）通过上述研究，我们猜想：“三个连续整数的‘平方的平均数’与这三个整数的‘平均数的平方’的差是一个定值”．为了探究该结论的一般性，不妨设三个连续整数中最小的整数为，请你通过计算推理，求出这个定值． 【答案】（1） （2）是定值，定值为 （3）定值为 【解析】 【分析】（1）根据题干中的规律即可得到答案； （2）根据题意列式，利用完全平方公式和整式的加减法进行计算即可； （3）根据题意列式，利用完全平方公式和整式的加减法进行计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得， 【小问2详解】 解：是定值，定值为，理由如下： 【小问3详解】 解： 即这个定值为． 19. 在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：；B档：；C档：；D档：．根据调查情况，给出了部分数据信息： ①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5； ②图1和图2是两幅不完整的统计图． 根据以上信息解答问题： （1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整； （2）已知全校共1500名学生，请你估计全校B档的人数； （3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名学生分享读书经验，已知这4名学生2名来自七年级，1名来自八年级，1名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生分别来自七年级和九年级的概率． 【答案】（1）40人，见解析 （2）600人 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知档数据共有（人），即可求得本次调查的学生人数为（人），再求出档人数为（人），补全统计图即可； （2）用档的人数占比乘以1500即可求解； （3）分别用a，b表示七年级的2名学生，用表示八年级1名学生，用表示九年级1名学生，画出树状图，得到共有12种等可能的结果，其中抽到的2名学生分别来自七年级和九年级的结果有4种，即可求解． 【小问1详解】 解：由题知档和档共有12个数据，档数据有4个， 档数据共有（人）， ∴本次调查的学生人数为（人）， 档人数为（人）， 补全图2如图所示； ； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计全校档的人数为600人； 【小问3详解】 解：分别用a，b表示七年级的2名学生，用表示八年级1名学生，用表示九年级1名学生，画树状图如下， 共有12种等可能的结果，其中抽到的2名学生分别来自七年级和九年级的结果有4种， 所以抽到的2名学生分别来自七年级和九年级的概率． 20. 2026年2月20日，中国选手王心迪在冬奥会自由式滑雪男子空中技巧决赛中获得冠军．如图1，图2分别是王心迪在滑雪训练中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，且G，E，D三点共线，若雪杖长为，，，，求此刻运动员头部G到斜坡的高度h．（精确到，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】连接，可知，根据求出，根据30度角的性质求出，即可求出头部到斜坡的高度． 【详解】解：如图，连接， ，，G，E，D三点共线， ， 在中，，， ， 在中，，， ． ， 答：此刻运动员头部G到斜坡的高度约为． 21. 如图，是四边形的外接圆，点在上，过点作的切线交延长线于点，对角线，交于点，是的直径． （1）求证： （2）若，，求直径的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质得出，由题可知是的直径，得出，进而根据等角的余角相等以及同弧所对的圆周角相等，即可得证； （2）先证明得出，求得，设，，根据勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， 为的切线， ， ， 由题可知是的直径 ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 连接 是的直径， ， ， ， ， ． 在中， 设， ，即 解得 ． 22. 小强同学在学习了特殊平行四边形后，对菱形进行了深入探究．如图1，在菱形和等腰三角形中，，，连接，取的中点，连接，． 【初步探究】 （1）小强发现：如图2，当时，将等腰三角形绕点逆时针旋转一周，线段与之间始终存在不变的数量关系和位置关系，请直接写出这个不变的数量关系和位置关系； 【再次探究】 （2）小强又发现：如图3，当时，将等腰三角形绕点逆时针旋转一周，线段与之间仍始终存在不变的数量关系和位置关系，请写出这个不变的数量关系和位置关系，并帮助小强给予证明； 【深入探究】 （3）小强进一步发现：在图1中，将等腰三角形绕点逆时针旋转一周，线段与之间仍始终存在不变的数量关系和位置关系，请直接写出这个不变的数量关系和位置关系．（其中的数量关系用含的式子表示） 【答案】（1）数量关系，位置关系 （2），，证明见解析 （3）数量关系是，位置关系是 【解析】 【分析】（）延长至，使，连接并延长交直线于点，连接、，先证明得到，，由菱形及得到再证，得到，，再证明为等腰直角三角形，即可求证； （）同理（）证得，即可求得，再由即可求出结果； （）延长至，使，连接并延长交直线于点，连接、，同理（）可证，，即可求得，再由即可求出结果． 【小问1详解】 解：数量关系，位置关系； 证明如下：延长至，使，连接并延长交直线于点，连接、， ∵为的中点， ∴ 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴，； 【小问2详解】 解：，， 证明：延长至，使，连接并延长交直线于点，连接、， 同理（）可证， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴，， 即， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，，； 【小问3详解】 解：数量关系是，位置关系是， 证明如下：延长至，使，连接并延长交直线于点，连接、， 同理（）可证， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴是顶角为的等腰三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，特殊角的三角函数，熟练运用相关知识点是解决问题的关键． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过边长为4的等边三角形的三个顶点，已知等边三角形的边在轴的正半轴上，分别是边上的动点，且，连接． （1）求二次函数的表达式； （2）如图2，是轴上方二次函数的图象上的一个动点，连接．问当时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值，若不存在，请说明理由； （3）如图3，在等边三角形的边上取中点，连接．问的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，最大值为 （3）存在，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，根据等边三角形的性质得到，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到，设点，根据点的C的位置，分类讨论：当时；当时；当时；结合图形，表示出的面积，根据二次函数图象的性质即可求解； （3）根据题意得到直线的解析式为，，结合（2）得到，过点P作，使得，连接，得到当点三点共线时，的值最小，最小值为的长，证明，得到，由两点之间的距离公式即可求解． 【小问1详解】 解：是边长为4的等边三角形，二次函数的图象经过点A，B，O， ∴，，，， 如图所示，过点作于点E， ∴，， ∴， ∴， 把点的坐标，代入二次函数解析式得，， 解得，， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：存在，最大值为，理由如下， ，，， ∴，， ∴点是线段的中点，则，即， 设点， 如图所示，过点作轴于点F，过点作轴于点G， ∴，，，，， ∴ ， 当时， ①式 ， ∴当时，的面积最大，最大值为； 当时，如图所示，过点作轴于点F，交于点， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴， ∴，，，， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大，最大值为； 当时，如图所示， ∴，，，，， ∴ ， ∵， ∴该情况不符合题意； ∵， ∴面积的最大值是； 【小问3详解】 解：存在，最小值为，理由如下， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点D是的中点， ∴， 设，则，则， ∴， 如图所示， ∵轴于点， ∴在中，，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点P作，使得，连接， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，最小值为的长， 如图所示，过点P作y轴的平行线，过点作于点，过点作于点T， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴的最小值是． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数图象与几何图形面积的计算方法，二次函数与线段最值得计算方法，相似三角形的判定和性质等知识的综合，数形结合分析是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定远育才学校2026年中考第三次模拟检测 数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在1，0，，四个数中，绝对值最大的数是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2. 据统计，2026年2月1日至20日，港珠澳大桥日均车流量超17800次，数据17800用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 明式家具中用到许多榫卯结构，比如燕尾榫．如图是燕尾榫的带榫头部分，下列图形是其俯视图的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将一元二次方程转化为的形式，则的值为（ ） A. 2027 B. 2026 C. 2025 D. 2024 6. 如图，把一张长方形纸片沿折叠，使点落在点处．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，点为轴上一点，若的面积为2，则的值为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点不与，重合，且，是五边形内满足且的点，连接，的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 6 9. 如图，在中，由尺规作图得射线，与边相交于点，过作， ，垂足分别是点，，其中，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，点是上一点，以为直角边在的右侧作等腰，其中与交于点．连接，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. 周长的最小值 D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 分解因式：x3y+2x2y+xy=___________________． 12. 如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交于点．若的周长为12，则的长为___________． 13. 已知，在中，，，，点是边上一点，，交边于点，沿着直线翻折，点落在边上的点处．如图所示，连接，当是等腰三角形时，则的长为_____． 14. 如图，在正方形中，对角线交于点，将绕点逆时针旋转到，连接． （）若，则点到的距离为______； （）______． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算： 16. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点），仅用无刻度直尺完成下列作图． （1）在图中，将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，画出平移后的图形为； （2）在图中，将绕格点逆时针旋转得； （3）在图中，已知点是格点，线段所在直线是的对称轴，点是边上任意一点，在边上找点使得． 17. 2026年1月1日起，某市持续实施新一轮消费补贴政策，涵盖汽车、家电、数码等领域．王叔叔家有一辆符合条件的旧车报废，根据政策，其购买新车可享受以下以旧换新补贴标准： 购买新车类型 补贴标准 最高补贴 新能源乘用车 新车售价的12% 20000元 2.0L及以下排量燃油乘用车 新车售价的10% 15000元 （1）按照以旧换新补贴标准，购买以下______车价格更低（填序号），并说明理由； ①售价16万元的新能源乘用车 ②售价16万元的2.0L排量燃油乘用车 （2）王叔叔计划在新能源乘用车A和2.0L排量燃油乘用车B之间选择一辆购买，计算后发现，购买其中任意一辆车可享受的补贴均未达到最高补贴，且补贴后的实际花费相等，若A车的售价比B车高3千元，请你求出A车和B车的售价各是多少万元？ 18. “代数推理”是初中数学核心素养关于推理能力的重要体现，其核心是用符号表达规律、基于运算进行论证，强调“从特殊到一般归纳、从一般到特殊演绎”．观察下列等式： ；； ； 你能发现什么? （1）利用以上规律直接写出结果：________； （2）我们观察上述等式，猜想一般结论：对任意两个相邻整数，不妨设为和，则这两个整数的“平方的平均数”与这两个整数的“平均数的平方”的差为定值吗？如果是，请你通过计算推理，求出这个定值：如果不是，请说明理由； （3）通过上述研究，我们猜想：“三个连续整数的‘平方的平均数’与这三个整数的‘平均数的平方’的差是一个定值”．为了探究该结论的一般性，不妨设三个连续整数中最小的整数为，请你通过计算推理，求出这个定值． 19. 在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：；B档：；C档：；D档：．根据调查情况，给出了部分数据信息： ①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5； ②图1和图2是两幅不完整的统计图． 根据以上信息解答问题： （1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整； （2）已知全校共1500名学生，请你估计全校B档的人数； （3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名学生分享读书经验，已知这4名学生2名来自七年级，1名来自八年级，1名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生分别来自七年级和九年级的概率． 20. 2026年2月20日，中国选手王心迪在冬奥会自由式滑雪男子空中技巧决赛中获得冠军．如图1，图2分别是王心迪在滑雪训练中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，且G，E，D三点共线，若雪杖长为，，，，求此刻运动员头部G到斜坡的高度h．（精确到，参考数据：，，） 21. 如图，是四边形的外接圆，点在上，过点作的切线交延长线于点，对角线，交于点，是的直径． （1）求证： （2）若，，求直径的长． 22. 小强同学在学习了特殊平行四边形后，对菱形进行了深入探究．如图1，在菱形和等腰三角形中，，，连接，取的中点，连接，． 【初步探究】 （1）小强发现：如图2，当时，将等腰三角形绕点逆时针旋转一周，线段与之间始终存在不变的数量关系和位置关系，请直接写出这个不变的数量关系和位置关系； 【再次探究】 （2）小强又发现：如图3，当时，将等腰三角形绕点逆时针旋转一周，线段与之间仍始终存在不变的数量关系和位置关系，请写出这个不变的数量关系和位置关系，并帮助小强给予证明； 【深入探究】 （3）小强进一步发现：在图1中，将等腰三角形绕点逆时针旋转一周，线段与之间仍始终存在不变的数量关系和位置关系，请直接写出这个不变的数量关系和位置关系．（其中的数量关系用含的式子表示） 23. 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过边长为4的等边三角形的三个顶点，已知等边三角形的边在轴的正半轴上，分别是边上的动点，且，连接． （1）求二次函数的表达式； （2）如图2，是轴上方二次函数的图象上的一个动点，连接．问当时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值，若不存在，请说明理由； （3）如图3，在等边三角形的边上取中点，连接．问的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $