专题01 反比例函数中k的几何意义（举一反三专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 以k的几何意义为核心，通过单反/双反比例函数模型分类，构建“模型应用-面积转化-k值互求”的递进式训练体系，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单反比例函数k的几何意义|5题型（含10+变式）|一点双垂/单垂模型、等积转化技巧|从基础模型（矩形/三角形面积）到复杂图形转化，形成概念-推理-应用链条| |双反比例函数k的几何意义|5题型（含10+变式）|双函数面积差/和模型、动态面积关系分析|在单反基础上拓展，通过对比分析深化模型观念，提升综合解题能力|

专题01 反比例函数中k的几何意义（举一反三专项训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 单反比例函数中由模型求面积】 1 【题型2 单反比例函数中等积变形】 5 【题型3 双反比例函数中由模型求面积】 8 【题型4 双反比例函数中等积变形】 11 【题型5 知三角形面积求k】 15 【题型6 知四边形面积求k】 20 【题型7 知阴影部分面积求k】 24 【题型8 知面积之间的关系求解】 29 【题型9 求阴影部分图形面积】 36 【题型10 确定面积之间的关系】 41 【知识点1 k的几何意义——单反比例函数】 类型 模型1：一点双垂 模型2：一点单垂 模型3：等积转化 图示 结论 ， 【题型1 单反比例函数中由模型求面积】 【例1】（25-26八年级下·北京东城·期中）如图，点P是反比例函数图象上一点，过点分別作轴、轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积是4，则反比例函数的解析式是__________． 【答案】 【分析】 利用点P在第二象限及矩形面积等于 的性质确定 值． 【详解】解：设点的坐标为 ， 点在第二象限， ，， ∴，即 ， 过点 分别作 轴、 轴的垂线段， 矩形的长为 ，宽为 ， 矩形面积 ， ，即， ， ． 【变式1-1】如图，反比例函数的图象过点A，则的面积是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】由反比例函数的几何意义可知，也就是的面积的2倍是6，求出的面积即可． 【详解】解：由反比例函数的几何意义可知， ∴， 故选：A． 【点睛】考查反比例函数的几何意义，反比例函数的图象，反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握k的绝对值，等于的面积的2倍． 【变式1-2】如图，若点A是反比例函数的图象上一点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，点C是y轴上任意一点，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设点A的坐标为，将长和点C到的距离用a表示出来，最后根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵轴， ∴， ∵点C在y轴上， ∴点C到的距离为a， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数k值的几何意义以及反比例函数的图象和性质． 【变式1-3】如图，、是反比例函数 图象上两点，连接、，则的面积为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的坐标特征得到，解得；由反比例函数系数k的几何意义，根据求得即可． 【详解】解：点、是函数 图象上的两点， ∴， 解得， ∴、， 作轴于M，轴于N， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例图象上点的坐标特征，根据图象得到是解题的关键． 【题型2 单反比例函数中等积变形】 【例2】（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，延长到点，使得，连接、，若的面积为3，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据三角形底和高之间的关系，可求，，再根据的几何意义，即可求解． 【详解】解： 轴，，的面积为3， ， 正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点， ， ， ， ，解得， 反比例函数的图象过一、三象限， ． 【变式2-1】（25-26八年级下·山东济南·期中）反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为6，则的值为（　　） A． B．12 C． D．6 【答案】A 【分析】图所示，连接，再根据反比例函数的几何意义即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴， ∴， ∴ ∴ ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴． 【变式2-2】（25-26八年级下·海南·期中）如图，点在反比例函数的图像上，轴于，点在轴上，若面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，则有，根据的几何意义得，根据图像所在的象限即可求出的值． 【详解】解：如图，连接， ∵轴，反比例函数的图像在一、三象限， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数的图像上，且面积为， ∴， ∴． 【变式2-3】（25-26九年级下·山西运城·期末）如图，点A是反比例函数图象上任意一点，过点A作平行于x轴的直线交y轴于点B．以为边作平行四边形，其中C，D在x轴上，则四边形的面积为______． 【答案】2 【分析】本题考查了平行四边形的性质、反比例函数的几何意义，连接、，由平行四边形的性质可得，，再结合反比例函数的的几何意义得出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、， ， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点A是反比例函数图象上任意一点，过点A作平行于x轴的直线交y轴于点B． ∴， ∴， 故答案为：． 【知识点2 k的几何意义——双反比例函数】 类型 模型1：一点双垂 模型2：一点单垂 图示 结论 【题型3 双反比例函数中由模型求面积】 【例3】（25-26九年级上·全国·期末）如图，反比例函数和，点、在轴上，点、在反比例函数图象上，则矩形的面积为__________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了反比例函数的k的几何意义，熟练将k的几何意义与图形的面积有机结合是解题的关键． 如图：设与y轴相交于点E，利用反比例函数k的几何意义可得，再根据面积间的关系即可解答． 【详解】解：如图：设与y轴相交于点E， ∵反比例函数和，点、在轴上，点、在反比例函数图象上， ∴， ∴矩形的面积为：． 故答案为：6． 【变式3-1】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，点P在上，点B在上．轴于点A，则的面积为 _______ ． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，熟练掌握“在反比例函数 y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值是解题的关键． 由反比例函数系数k的几何意义分别求出，，再根据面积的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵点P在上，点B在上．轴于点A， ∴，， ∴， 故答案为：1． 【变式3-2】（25-26九年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，点分别为反比例函数的图象上的点，且轴，已知的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义与三角形面积的计算，关键是通过设的纵坐标为，求出、两点的横坐标，从而得到的长度，再结合三角形面积公式求解． 【详解】解：设点的纵坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的坐标为； ∵轴，点在反比例函数的图象上， ∴点的坐标为； ∴； ∵点在轴上， ∴中边上的高为； ∴的面积为； 故选：B． 【变式3-3】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，点是反比例函数在第一象限内的图象上的一个动点，过点作垂直轴交反比例函数的图象于点，连接并延长，交反比例函数的图象于点，连接，则的面积为______． 【答案】6 【分析】根据反比例函数值的几何意义及关于原点对称的点的坐标特征解答即可． 【详解】解：如图，连接， 点在反比例函数的图象上，轴 ， 点在反比例函数图象上， ， ， 点与点关于原点对称， ， ． 【题型4 双反比例函数中等积变形】 【例4】（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与反比例函数，的图象分别交于点，点在轴上，且横坐标为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的系数的几何意义，连接，，设与轴交于点，由平行线间的距离可得，然后由，，，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，设与轴交于点， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故选：． 【变式4-1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．当点的横坐标逐渐变大时，则四边形的面积（   ） A．先变大再变小 B．先变小再变大 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数中k的几何意义．根据反比例函数的图象和性质，特别是根据反比例函数k的几何意义，求得与的面积相等且都等于1，即可得出正确答案． 【详解】解：由于点C和点D均在同一个反比例函数的图象上， ∴， ∵点在的图象上， ∴矩形的面积是k， ∴四边形的面积，故为定值，不变， 故选：C． 【变式4-2】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象经过点，延长交轴于点，则四边形的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及图形面积的转化．关键是通过全等三角形将四边形的面积转化为规则图形面积的差，利用反比例函数的几何意义简化计算． 【详解】解：如图，过点作轴于点，则． ∵四边形是平行四边形， ∴且，，， ，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 又， ∴， ∴四边形是矩形． ∵，且， ∴． ∵点在上，点在上， ∴，； ∴； 故答案为：． 【变式4-3】（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如图，在反比例函数（为常数，且，）的图象上，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接．若，，则的值为___________． 【答案】4 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，的几何意义，正确掌握的几何意义是解题的关键． 过点作轴于点，根据的几何意义和等腰三角形的性质，易求，，再根据，列出方程，求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 在反比例函数（）的图象上，轴， ， ，轴， ， 点在反比例函数的图象上，轴， ， ， ，即， 解得． 故答案为：． 【题型5 知三角形面积求k】 【例5】（25-26九年级下·福建泉州·期中）如图，过原点的直线与双曲线交于两点，点在轴上，且，若，则的值为_____． 【答案】4 【分析】作于，根据反比例函数系数的几何意义得到，利用正比例函数和反比例函数的性质得到点与点关于原点对称，，即可得到，由得到，根据等腰三角形三线合一，得出，即可得出，从而求得． 【详解】作于， 过原点的直线交双曲线于、两点， 点与点关于原点对称，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式5-1】（25-26九年级下·安徽安庆·月考）如图，反比例函数（）的图象经过A，B两点，连接，，过点B作轴，垂足为C，交于点D，若D为的中点，的面积是6，则k的值为______． 【答案】16 【分析】本题考查了反比例函数图象性质及k值的计算，运用的面积是6，设点坐标建立相关方程是解题的关键．设，由已知条件得到，，再根据建立关于k的方程，解方程即可求得k值． 【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过A点， ∴设， ∵D为的中点，， ∴， ∵轴，垂足为C，交于点D， ∴， ∵反比例函数（）的图象经过B点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：16． 【变式5-2】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，已知点在反比例函数上，点B在轴上，点在上且，连接并延长交轴于点，连接，若的面积为8，的面积为3，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据图形面积求比例系数（解析式），反比例函数与几何综合等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据，的面积为3，求得与，再根据的面积为8， 求得，从而可求得，再利用，求得，从而可得出，根据，求得． 【详解】解：连接、， ∵，的面积为3， ∴，， ∵的面积为8， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴． 故选：C． 【变式5-3】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，A是反比例函数图象上一点，轴，垂足为B，若，一次函数的图象与轴交于点． (1)求的值． (2)过点作x轴的平行线，分别交和0）的图象于点M，N，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，反比例函数的系数的几何意义，求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合问题是关键． （1）根据反比例函数的系数的几何意义求解即可；用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）设，，将两个点的坐标分别代入，中，列出方程求解，得到M与N的坐标，即可求得答案． 【详解】（1）解：， ， 图象位于第一象限， ， ； 一次函数的图象经过点， ， ； （2）解：如图，设，， 将，分别代入，中， 得，， 解得，， ，， ． 【题型6 知四边形面积求k】 【例6】（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，点，在函数的图象上，轴，垂足为，轴，垂足为，延长交的延长线于点． (1)根据图象，直接比较的大小： （填“”，“”或“”）； (2)若四边形的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，根据图形面积求比例系数（解析式），根据矩形的性质与判定求线段长等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）将两点横坐标代入函数，求出，再根据比较大小； （2）先四边形是矩形，再说明，，然后四边形的面积为，求出的值． 【详解】（1）解：∵点，在函数的图象上， ∴，， ， ∴， 即， 故答案为：； （2）∵轴，垂足为，轴，垂足为，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴，， ∵四边形的面积为， ∴，解得：， ∴， 又在函数的图象上， ∴． 【变式6-1】（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，A是反比例函数的图象上的一点，过点A作，使点C在x轴上，点D在y轴上．若的面积为4，则k的值是___． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义，作于点E，得矩形，根据，，即可求解． 【详解】解：如图，作于点E， 四边形为平行四边形， 轴， 四边形为矩形， ， 又 A是反比例函数的图象上的一点， 点A在第二象限， ， ， ， 故答案为：． 【变式6-2】（25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点A，在轴上．若点，，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据图形面积求比例系数（解析式），求反比例函数解析式，利用平行四边形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 延长交y轴于点，先根据平行四边形面积求得，，进而可求出，继而可得点A坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可． 【详解】 解：如图，延长交y轴于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴轴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴． 故选：D． 【变式6-3】（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，矩形的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，双曲线与边交于点D，与边交于点E，轴于点F，轴于点G，交于点H．若矩形和矩形的面积分别是1和4，则k的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会由数形结合的思想解决问题． 设，则，再可证，进而得到，再求出矩形的面积即可解决问题． 【详解】设， 矩形和矩形的面积分别是1和4， 则， ， ∵D、E在反比例函数的图象上， ， ， ，即，解得， ， ， ． 故答案为：． 【题型7 知阴影部分面积求k】 【例7】（25-26九年级上·广东河源·期末）如图所示，反比例函数（常数）图象经过点，分别过这三个点作轴、轴的平行线．若，图中的“十字形”阴影部分的面积为，则的值为_____．    【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的坐标特征、代数式表示线段长度以及阴影面积的计算方法，同时也涉及利用方程思想解决几何与函数结合的问题首先根据的条件设出，进而得到反比例函数上三点的坐标，再分别求出三点的纵坐标，以此确定“十字形”阴影各部分的边长，通过计算各阴影部分的面积并求和得到面积方程，最后解方程求出的值为． 【详解】解：∵， ∴可以假设， 则 ∴， ∵图中所构成的“十字形”阴影部分面积为， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式7-1】（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在轴、轴的正半轴上，顶点B在反比例函数（k为常数，）（）的图象上，点P是矩形内的一点，连接、、、，若图中阴影部分的面积是2，则k的值为______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义、矩形的面积性质，熟练掌握反比例函数的几何意义、阴影部分面积与矩形面积的关系是解题的关键． 先设出点的坐标，利用矩形面积与反比例函数的几何意义建立联系；再根据阴影部分面积与矩形面积的关系，推导出的值． 【详解】解：设点的坐标为， ∵ 点在反比例函数上， ∴ ， 由题意可得矩形的面积为，阴影部分面积为矩形面积的一半， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 【变式7-2】（2026·安徽滁州·一模）如图，点分别在反比例函数和位于第一象限的图象上．分别过点向轴作垂线，若阴影部分的面积为2，则___________． 【答案】7 【分析】阴影部分的面积刚好等于以为斜边的大三角形的面积减去以为斜边的小三角形的面积，即可得． 【详解】解：如图， ∵点分别在反比例函数和位于第一象限的图象上， ∴，， 又阴影部分的面积为2， ∴, 解得：． 【变式7-3】（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，点A在函数图象上，点B、C在反比例函数（）的图象上，轴，轴． （1）若点A的坐标为且，连接，则______； （2）若点A是函数图象上的任意一点，阴影部分的面积为4，则______． 【答案】 6 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． （1）延长交轴于点，求得，，据此即可求解； （2）延长交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，设，可得到四边形、、都是矩形，点是函数图象上的任意一点，可得，根据点、在反比例函数的图象上，从而得到，，然后根据阴影部分的面积为4列方程即可解答． 【详解】解：（1）延长交轴于点，如图， ∵轴， ∴轴， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）延长交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，设， ∵轴，轴， 又∵在平面直角坐标系中，轴和轴互相垂直， ∴轴，轴，， ∴四边形、、都是矩形， ∴，， ∵点是函数图象上的任意一点， ∴， ∴， ∵点、在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 【题型8 知面积之间的关系求解】 【例8】（2025·浙江宁波·二模）如图，在矩形中，O为坐标原点，点B在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，双曲线 分别交，于点D，E，，以为边向下方作， 使与矩形面积相等，连结，，则__，的面积是__． 【答案】 3 /0.75 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合、矩形的性质与判定及平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数与几何的综合、矩形的性质与判定及平行四边形的性质是解题的关键；过点D作于点H，由题意易得四边形都是矩形，由可设，则有，则有，，然后问题可求解；连接，过点O作，并延长，交于点Q，则有，进而问题可求解． 【详解】解：过点D作于点H，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形都是矩形， ∴， 由可设，则有， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 连接，过点O作，并延长，交于点Q，如图所示： 由反比例函数k的几何意义可知：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为3，． 【变式8-1】（24-25九年级下·重庆·月考）如图，已知在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点和点，分别交反比例函数，的图象于点和点，过点作轴于点，连结，，若的面积与的面积相等，则的值是（    ）    A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键．过点作轴于点，先根据一次函数的解析式求出，再根据反比例函数可得的面积为1，利用三角形的面积公式可得，从而可得点的坐标，代入计算即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，    对于一次函数， 当时，，即， ∵点位于反比例函数的图象上，且轴于点， ∴的面积为， ∵的面积与的面积相等， ∴，即， ∴， 将代入一次函数得：， ∴， 将点代入反比例函数得：， 故选：D． 【变式8-2】如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B．与反比例函数的图象在第一象限内交于点C，轴，轴．垂足分别为点D，E．当矩形的面积是的面积2倍时，k的值为______________． 【答案】1 【分析】根据题意由反比例函数的几何意义得：再求解A，B的坐标及建立方程求解即可． 【详解】解：如图 矩形，在上， 把代入： ∴B(0，k) 把代入： ∴A(-k，0) 由题意得：2× 解得：k=1，k=0（舍去） 故答案为：1 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的性质，掌握反比例函数中的几何意义，一次函数与坐标轴围成的三角形面积的计算是解题的关键． 【变式8-3】（2024·山东济宁·一模）如图，点，是反比例函数的图象上的两点，连接、． (1)求的值； (2)求的面积； (3)若点的坐标为，点是反比例函数图象上的点，若的面积等于面积的3倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2)的面积为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）将点，代入，求出，将点代入，即可求解， （2）由反比例函数的几何意义得，由，可得，即可求解， （3）设点坐标为，作轴，用含的代数式表示出的长度，代入，即可求解， 本题考查了求反比函数解析式，反比例函数的几何意义，求特殊图形的面积，解题的关键是：熟练应用数形结合的思想． 【详解】（1）解：∵点，是反比例函数的图象上的两点， ∴，解得：， ∴反比例函数解析式为：， ∴，解得：， 故答案为：， （2）解：过点，，作轴，轴，垂足分别为，， 由（1）可知，点，是反比例函数的图象上的两点， ∴，，,，， ∵， ∴， 故答案为：的面积为， （3）解：设点坐标为，过点，作轴，垂足为， ∴，， ∴， 即：，解得：或， ∴或， 故答案为：点的坐标为或． 【题型9 求阴影部分图形面积】 【例9】如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于第一象限的点，且经过小正方形的顶点B，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据待定系数法求出k即可得到反比例函数的解析式，根据反比例函数系数k的几何意义求出小正方形的面积为4m2＝4n，再求出大正方形在第一象限的顶点坐标，得到大正方形的面积为4n2，根据图中阴影部分的面积＝大正方形的面积−小正方形的面积即可求出结果． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点A（1，n）， ∴k＝1×n＝n， ∴反比例函数的解析式为， ∵小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行， ∴设B点的坐标为（m，m）， ∵反比例函数的图象经过B点， ∴m2＝n， ∴小正方形的面积为4m2＝4n， ∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，且A（1，n）， ∴大正方形在第一象限的顶点坐标为（n，n）， ∴大正方形的面积为4n2， ∴图中阴影部分的面积为：，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义，是解决问题的关键． 【变式9-1】如图，点、分别在反比例函数和的图象上，四边形ABCO为平行四边形．    (1)m＝______；n＝______；点C的坐标为______． (2)求面积． (3)将平行四边形沿y轴向上平移，使点C落在反比例函数的图象上的D点，则图中两平行四边形重叠的阴影部分的面积为______． 【答案】(1)2，5， (2)3 (3) 【分析】（1）把、分别在反比例函数和代入即可； （2）根据平行四边形的面积公式计算即可； （3）求出E点坐标利用三角面积公式计算即可； 【详解】（1）把代入得 ， 把代入得 ∵、 ∴ ∴ ∴ 故答案为：2，5， （2）面积= （3）C往上平移后为D，设 ∵D是的图象上的点 ∴，即 ∴平行四边形沿y轴向上平移了个单位， 设的解析式为，代入 得，即的解析式为 如图：   当时，，则点 A到的距离、 ∴重叠的阴影部分的面积为= 故答案为 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，直线与双曲线的交点的求法. 【变式9-2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点在双曲线上，轴于点轴于点，点在轴上，且，则图中阴影部分的面积之和为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数，掌握反比例函数的性质，解题的关键是运用反比例函数的性质来解题． 过作轴，交轴于点，将阴影部分拆成个三角形面积和，利用、、点都在反比例函数上，可得各个三角形面积，即可求阴影部分面积之和． 【详解】解：过作轴，交轴于点，如图所示： ∵，轴， ∴为的中点，即， ∴， 又∵、、点都在反比例函数上， ∴， ∴ 则， 故选： C． 【变式9-3】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． (1)当时，______； (2)当时，______； (3)当时，______； (4)当时，______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，然后再利用求解即可． 【详解】（1）解：，，，…，的横坐标依次为1，2，3，…，2026， 阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （2）解：同理当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （3）解：当时，把代入，得，即， ，根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （4）解：当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：． 【题型10 确定面积之间的关系】 【例10】如图，过点作直线与双曲线交于，两点，过点作轴于点，作轴于点．在轴、轴上分别取点，，使点，，在同一条直线上，且．设图中矩形的面积为，的面积为，则，的数量关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，根据反比例函数图象系数k的几何意义即可得出S矩形ODBC=-k、S△AOM=-k，再根据中位线的性质即可得出S△EOF=4S△AOM=-2k，由此即可得出S1、S2的数学量关系． 【详解】解：过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示．    ∵AM⊥x轴，BC⊥x轴，BD⊥y轴， ∴S矩形ODBC=-k，S△AOM=-k． ∵AE=AF．OF⊥x轴，AM⊥x轴， ∴AM=OF，ME=OM=OE， ∴S△EOF=OE•OF=4S△AOM=-2k， ∴2S矩形ODBC=S△EOF， 即2S1=S2． 故答案为：2S1=S2． 【点睛】本题考查了反比例函数图象系数k的几何意义以及三角形的中位线，根据反比例函数图象系数k的几何意义找出S矩形ODBC=-k、S△EOF=-2k是解题的关键． 【变式10-1】如图，直线l和双曲线交于A、B两点，P是线段上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接、、，设的面积为、的面积为、的面积为，比较、、的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与双曲线的交点为Q，连接，根据反比例函数系数k的几何意义以及一次函数与反比例函数的交点坐标进行判断即可． 【详解】解：如图，设与双曲线的交点为Q，连接， 由于点A、点Q、点B在反比例函数图象上， 即， 而根据图形可知：， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，一次函数与反比例函数的交点坐标特征，理解反比例函数系数k的几何意义是正确解答的前提． 【变式10-2】（24-25九年级上·安徽合肥·月考）如图，反比例函数的图象与矩形在第一家限相交于题图点，，，连接．记的面积分别为． （1）比较大小：________（填“”、“”、“”）； （2）若，则的面积为________． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． （1）根据反比例系数的几何意义知的面积分别为进行解答即可； （2）根据的面积矩形的面积的面积的面积的面积进行解答即可． 【详解】（1）根据反比例系数的几何意义知的面积分别为， 故答案为： （2） ， 的面积矩形的面积的面积的面积的面积． 故答案为： 【变式10-3】如图，过反比例函数图象上的四点，，，分别作轴的垂线，垂足分别为，，，，再过，，，分别作轴，，，的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为，，，，，则与的数量关系为_____________． 【答案】． 【分析】设=m，则O=2m，O=3m，O=4m，由点，，，都在反比例函数图象上，可求得，，，，根据矩形的面积公式可得，，，，由此即可得． 【详解】设=m，则O=2m，O=3m，O=4m， ∵点，，，都在反比例函数图象上， ∴，，，， ∴，，，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特征，根据反比例函数图象上点的特征求得、、、是解决问题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 反比例函数中k的几何意义（举一反三专项训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 单反比例函数中由模型求面积】 1 【题型2 单反比例函数中等积变形】 2 【题型3 双反比例函数中由模型求面积】 4 【题型4 双反比例函数中等积变形】 5 【题型5 知三角形面积求k】 6 【题型6 知四边形面积求k】 8 【题型7 知阴影部分面积求k】 9 【题型8 知面积之间的关系求解】 10 【题型9 求阴影部分图形面积】 12 【题型10 确定面积之间的关系】 14 【知识点1 k的几何意义——单反比例函数】 类型 模型1：一点双垂 模型2：一点单垂 模型3：等积转化 图示 结论 ， 【题型1 单反比例函数中由模型求面积】 【例1】（25-26八年级下·北京东城·期中）如图，点P是反比例函数图象上一点，过点分別作轴、轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积是4，则反比例函数的解析式是__________． 【变式1-1】如图，反比例函数的图象过点A，则的面积是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式1-2】如图，若点A是反比例函数的图象上一点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，点C是y轴上任意一点，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】如图，、是反比例函数 图象上两点，连接、，则的面积为（    ） A．3 B． C．2 D． 【题型2 单反比例函数中等积变形】 【例2】（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，延长到点，使得，连接、，若的面积为3，则的值为___________． 【变式2-1】（25-26八年级下·山东济南·期中）反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为6，则的值为（　　） A． B．12 C． D．6 【变式2-2】（25-26八年级下·海南·期中）如图，点在反比例函数的图像上，轴于，点在轴上，若面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26九年级下·山西运城·期末）如图，点A是反比例函数图象上任意一点，过点A作平行于x轴的直线交y轴于点B．以为边作平行四边形，其中C，D在x轴上，则四边形的面积为______． 【知识点2 k的几何意义——双反比例函数】 类型 模型1：一点双垂 模型2：一点单垂 图示 结论 【题型3 双反比例函数中由模型求面积】 【例3】（25-26九年级上·全国·期末）如图，反比例函数和，点、在轴上，点、在反比例函数图象上，则矩形的面积为__________． 【变式3-1】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，点P在上，点B在上．轴于点A，则的面积为 _______ ． 【变式3-2】（25-26九年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，点分别为反比例函数的图象上的点，且轴，已知的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-3】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，点是反比例函数在第一象限内的图象上的一个动点，过点作垂直轴交反比例函数的图象于点，连接并延长，交反比例函数的图象于点，连接，则的面积为______． 【题型4 双反比例函数中等积变形】 【例4】（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与反比例函数，的图象分别交于点，点在轴上，且横坐标为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．当点的横坐标逐渐变大时，则四边形的面积（   ） A．先变大再变小 B．先变小再变大 C．不变 D．无法确定 【变式4-2】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象经过点，延长交轴于点，则四边形的面积为___________． 【变式4-3】（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如图，在反比例函数（为常数，且，）的图象上，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接．若，，则的值为___________． 【题型5 知三角形面积求k】 【例5】（25-26九年级下·福建泉州·期中）如图，过原点的直线与双曲线交于两点，点在轴上，且，若，则的值为_____． 【变式5-1】（25-26九年级下·安徽安庆·月考）如图，反比例函数（）的图象经过A，B两点，连接，，过点B作轴，垂足为C，交于点D，若D为的中点，的面积是6，则k的值为______． 【变式5-2】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，已知点在反比例函数上，点B在轴上，点在上且，连接并延长交轴于点，连接，若的面积为8，的面积为3，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，A是反比例函数图象上一点，轴，垂足为B，若，一次函数的图象与轴交于点． (1)求的值． (2)过点作x轴的平行线，分别交和0）的图象于点M，N，求的长． 【题型6 知四边形面积求k】 【例6】（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，点，在函数的图象上，轴，垂足为，轴，垂足为，延长交的延长线于点． (1)根据图象，直接比较的大小： （填“”，“”或“”）； (2)若四边形的面积为，求的值． 【变式6-1】（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，A是反比例函数的图象上的一点，过点A作，使点C在x轴上，点D在y轴上．若的面积为4，则k的值是___． 【变式6-2】（25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点A，在轴上．若点，，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，矩形的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，双曲线与边交于点D，与边交于点E，轴于点F，轴于点G，交于点H．若矩形和矩形的面积分别是1和4，则k的值为_________． 【题型7 知阴影部分面积求k】 【例7】（25-26九年级上·广东河源·期末）如图所示，反比例函数（常数）图象经过点，分别过这三个点作轴、轴的平行线．若，图中的“十字形”阴影部分的面积为，则的值为_____．    【变式7-1】（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在轴、轴的正半轴上，顶点B在反比例函数（k为常数，）（）的图象上，点P是矩形内的一点，连接、、、，若图中阴影部分的面积是2，则k的值为______． 【变式7-2】（2026·安徽滁州·一模）如图，点分别在反比例函数和位于第一象限的图象上．分别过点向轴作垂线，若阴影部分的面积为2，则___________． 【变式7-3】（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，点A在函数图象上，点B、C在反比例函数（）的图象上，轴，轴． （1）若点A的坐标为且，连接，则______； （2）若点A是函数图象上的任意一点，阴影部分的面积为4，则______． 【题型8 知面积之间的关系求解】 【例8】（2025·浙江宁波·二模）如图，在矩形中，O为坐标原点，点B在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，双曲线 分别交，于点D，E，，以为边向下方作， 使与矩形面积相等，连结，，则__，的面积是__． 【变式8-1】（24-25九年级下·重庆·月考）如图，已知在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点和点，分别交反比例函数，的图象于点和点，过点作轴于点，连结，，若的面积与的面积相等，则的值是（    ）    A．2 B． C．1 D．4 【变式8-2】如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B．与反比例函数的图象在第一象限内交于点C，轴，轴．垂足分别为点D，E．当矩形的面积是的面积2倍时，k的值为______________． 【变式8-3】（2024·山东济宁·一模）如图，点，是反比例函数的图象上的两点，连接、． (1)求的值； (2)求的面积； (3)若点的坐标为，点是反比例函数图象上的点，若的面积等于面积的3倍，求点的坐标． 【题型9 求阴影部分图形面积】 【例9】如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于第一象限的点，且经过小正方形的顶点B，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，点、分别在反比例函数和的图象上，四边形ABCO为平行四边形．    (1)m＝______；n＝______；点C的坐标为______． (2)求面积． (3)将平行四边形沿y轴向上平移，使点C落在反比例函数的图象上的D点，则图中两平行四边形重叠的阴影部分的面积为______． 【变式9-2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点在双曲线上，轴于点轴于点，点在轴上，且，则图中阴影部分的面积之和为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【变式9-3】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． (1)当时，______； (2)当时，______； (3)当时，______； (4)当时，______． 【题型10 确定面积之间的关系】 【例10】如图，过点作直线与双曲线交于，两点，过点作轴于点，作轴于点．在轴、轴上分别取点，，使点，，在同一条直线上，且．设图中矩形的面积为，的面积为，则，的数量关系是（    ）    A． B． C． D． 【变式10-1】如图，直线l和双曲线交于A、B两点，P是线段上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接、、，设的面积为、的面积为、的面积为，比较、、的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25九年级上·安徽合肥·月考）如图，反比例函数的图象与矩形在第一家限相交于题图点，，，连接．记的面积分别为． （1）比较大小：________（填“”、“”、“”）； （2）若，则的面积为________． 【变式10-3】如图，过反比例函数图象上的四点，，，分别作轴的垂线，垂足分别为，，，，再过，，，分别作轴，，，的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为，，，，，则与的数量关系为_____________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $