暑假作业08 向量及其运算（概念、线性运算、坐标表示等，9种题型，巩固培优）高一数学沪教版

**基本信息** 聚焦向量概念-运算-坐标的逻辑链条，通过9类题型实现从基础辨析到几何应用的梯度训练，培养几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |向量概念|4题|判断向量性质、图形形状|从定义出发，辨析零向量、共线向量等核心概念| |加减运算法则|8题|化简、几何意义应用|遵循三角形/平行四边形法则，强化方向与大小关系| |数乘与混合运算|8题|共线判定、线性表示|结合运算律，构建从代数运算到几何意义的桥梁| |坐标表示|12题|平行垂直判定、模长计算|实现向量几何问题代数化，体现数形结合思想| |几何应用|16题|三角形/四边形中向量关系|综合运用线性运算，培养空间观念与推理意识|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业08 向量及其运算 【知识点1 向量的定义及表示】 1. 定义：既有大小、又有方向的量叫作向量。 1. 表示 · 几何：有向线段； · 字母：； 1. 模：向量的长度记作。 【知识点2 向量的有关概念】 · 零向量：长度为，方向任意，记作； · 单位向量：长度等于个单位的向量； · 相等向量：长度相等、方向相同； · 平行（共线）向量：方向相同或相反，规定与任意向量平行。 【知识点3 向量的加法】 1. 三角形法则：首尾相连，首指向尾： 1. 平行四边形法则：同起点，邻边作平行四边形，共起点对角线为和向量 1. 运算律：； 【知识点4 向量的减法】 1. 定义：，是相反向量 1. 几何法则：同起点，连终点，指向被减向量： 【知识点5 向量的数乘运算】 1. 定义：实数与的积 · · 同向；反向；时 1. 共线定理：， 1. 运算律 【知识点6 向量的坐标表示】 1.坐标定义 在平面直角坐标系，； ，则。 若： 2.坐标四则运算 设 （1） （2） （3） 3.平行判定 4.向量的模 【题型1 向量的概念】 1．在四边形中，若，则四边形的形状一定是（   ） A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 2．下列量中：密度、浮力、温度、风速，其中向量有（   ） A．密度、浮力 B．浮力、温度 C．浮力、风速 D．温度、风速 3．给出下列命题： ①若，则； ②两相等向量若其起点相同，则终点也相同； ③若，，则； ④若四边形是平行四边形，则，． 其中正确命题的序号是_____________． 4．下列说法中正确的有________．（填序号） ①温度有零上温度，有零下温度，所以温度是向量； ②作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量； ③向量可以比较大小； ④体积、面积和时间都不是向量． 【题型2 向量加法的法则】 1．（    ） A． B． C． D． 2．设，是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为（　） ①　②　③　④　⑤　⑥ A．①②⑥ B．①③⑥ C．①③⑤ D．②③④⑤ 3．化简______． 4．如图，已知为平行四边形内一点，，则等于______________.（用表示） 【题型3 向量加法法则的几何应用】 1．在中，，则是（   ）三角形. A．等腰 B．等腰直角 C．等腰或直角 D．等边 2．如图所示，已知，，分别是的边，，的中点，则下列等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．中，若，，则点的轨迹一定通过的______心． 4．在矩形中，，，则_____________. 【题型4 向量减法的法则】 1．化简：（    ） A． B． C． D． 2．（   ） A． B． C． D． 3．化简______. 4．若，，则_________. 【题型5 向量减法法则的几何应用】 1．已知是平行四边形边上的一点，则下列正确的是（   ）． A． B． C． D． 2．如图，是平行四边形外一点，则（   ） A． B． C． D． 3．已知菱形的边长为2，则向量__________.    4．如图，在中，若D是边的中点，E 是所在平面内任意一点，则=_____.    【题型6 向量数乘的有关计算】 1．下列各式计算正确的有（　　） ①；②；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在中，若，则（   ） A． B． C． D． 3．设和是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为_____. 4．化简下列向量： （1）____________； （2）____________. 【题型7 平面向量的混合运算】 1．计算： (1)； (2). 2．（1）化简： （2）若，其中是已知向量，则用向量，向量表示向量和向量 3．（1）化简 （2）设向量，，求． 4．已知两个非零向量与不共线，且． (1)用表示； (2)猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的结论． 【题型8 向量的线性运算的几何应用】 1．如图，在中，．设，则（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，在中，点是线段的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 3．如图，在梯形中，，，． (1)用，表示； (2)若与交于点，用，表示． 4．如图，在平行四边形中，．设，．    (1)用表示，； (2)若，证明：，，三点共线． 【题型9 向量的坐标表示】 1．设向量，，. (1)若与平行，求的值； (2)若与垂直，求的值； (3)求的余弦值； (4)求在上的投影数量. 2．已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若，求. 3．已知，，，，，． (1)求的值； (2)求的值． 4．已知向量，，. (1)若与共线，求实数的值； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 1．如图，在中，为CD上一点，且满足，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 3．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，若动点P满足，，则点P的轨迹一定通过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 4．在中，点在线段上，且，则的最小值为__________. 6．已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足，，则P点的轨迹一定通过三角形ABC的________心． 7．记直线与的边交于两点，且． (1)若与交于点， （i）请用向量表示； （ii）若，求的值； (2)若直线恒过的重心，试求的最小值． 8．如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点. (1)若，求实数x，y的值； (2)若，求实数的值； (3)如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E、F，且，，设的面积为，四边形BEFC的面积为，求的取值范围. 1．如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点. (1)若，求和的值； (2)若，求的最小值. 2．如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ仿射坐标系．若在θ仿射坐标系下，，则把有序数对叫作向量的仿射坐标，记为，若满足，则称为θ仿射坐标系下的“完美向量”．已知在θ仿射坐标系下，，． (1)若，求向量的仿射坐标，并直接写出两个“完美向量”的仿射坐标； (2)当，求与的夹角β的余弦值； (3)设，对任意实数t，恒成立，求θ的取值范围，求的最大值． 3．如图，正的边长为1，是边上的中线且点满足，过点的直线与边分别交于点（点可以和端点重合） (1)设，试用表示； (2)当时，求的值； (3)设，请用表示，并求其取值范围. 4．如图，在矩形中，，点在边上运动（含端点），点在边上运动（含端点），与交于点. (1)若是的中点，，，求实数的值； (2)若是的中点，，求实数的取值范围； (3)若，，求的最大值. 5．如图，在中，，，．点D，E分别为边AC上的三等分点，点M满足，设，． (1)用，分别表示向量，； (2)求； (3)求的大小． 6．将所有平面向量组成的集合记作.如果对于向量. ，存在唯一的向量 与之对应，其中坐标、由、确定，则把这种对应关系记为. 或者 简记为.例如就是一种对应关系.若在的条件下有最大值，则称此最大值为对应关系的模，并把的模记作；若存在非零向量及实数使得，则称为的一个特征值， (1)如果，求； (2)如果，计算的特征值，并求相应的；（若符合条件的向量有多个，写出其中一个即可） (3)若，要使有唯一的特征值，实数、、、应满足什么条件?试找出一个对应关系，同时满足以下两个条件：①有唯一的特征值，②，并验证满足这两个条件. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业08 向量及其运算 【知识点1 向量的定义及表示】 1. 定义：既有大小、又有方向的量叫作向量。 1. 表示 · 几何：有向线段； · 字母：； 1. 模：向量的长度记作。 【知识点2 向量的有关概念】 · 零向量：长度为，方向任意，记作； · 单位向量：长度等于个单位的向量； · 相等向量：长度相等、方向相同； · 平行（共线）向量：方向相同或相反，规定与任意向量平行。 【知识点3 向量的加法】 1. 三角形法则：首尾相连，首指向尾： 1. 平行四边形法则：同起点，邻边作平行四边形，共起点对角线为和向量 1. 运算律：； 【知识点4 向量的减法】 1. 定义：，是相反向量 1. 几何法则：同起点，连终点，指向被减向量： 【知识点5 向量的数乘运算】 1. 定义：实数与的积 · · 同向；反向；时 1. 共线定理：， 1. 运算律 【知识点6 向量的坐标表示】 1.坐标定义 在平面直角坐标系，； ，则。 若： 2.坐标四则运算 设 （1） （2） （3） 3.平行判定 4.向量的模 【题型1 向量的概念】 1．在四边形中，若，则四边形的形状一定是（   ） A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【分析】根据向量相等和平行四边形定义判断可得答案. 【详解】四边形中，所以，且， 所以四边形为平行四边形. 而邻边不一定相等、且不一定垂直， 所以四边形不是梯形，也不一定是菱形、矩形. 2．下列量中：密度、浮力、温度、风速，其中向量有（   ） A．密度、浮力 B．浮力、温度 C．浮力、风速 D．温度、风速 【答案】C 【详解】密度：仅存在大小，无方向属性，属于标量； 浮力：既有大小，又有固定方向（竖直向上），属于向量； 温度：仅存在大小，无方向属性，属于标量； 风速：既有大小，又有方向（风的流动方向），属于向量. 综上，属于向量的是浮力、风速，对应选项C 3．给出下列命题： ①若，则； ②两相等向量若其起点相同，则终点也相同； ③若，，则； ④若四边形是平行四边形，则，． 其中正确命题的序号是_____________． 【答案】②③ 【分析】由向量、相等向量的定义逐一判断. 【详解】①错误.向量由模长和方向共同确定，只有模长相等，不能得出向量相等； ②正确.相等向量是指长度和方向都相同的向量，若起点相同，则终点必然相同； ③正确.由相等向量的定义可知； ④错误. 若四边形是平行四边形，则，． 故答案为：②③ 4．下列说法中正确的有________．（填序号） ①温度有零上温度，有零下温度，所以温度是向量； ②作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量； ③向量可以比较大小； ④体积、面积和时间都不是向量． 【答案】②④ 【分析】根据向量的定义结合温度没有方向判断命题①，根据作用力与反作用力的关系判断命题②，根据向量定义可得向量不能比较大小，判断命题③，根据向量的定义判断命题④. 【详解】对于命题①，虽然温度有零上、零下之分，但不表示方向，故温度不是向量，①错误； 对于命题②，作用力与反作用力是大小相等、方向相反的两个力，而力是向量，②正确； 对于命题③，向量既有大小又有方向，而方向没有大小之分，所以向量不能比较大小，③错误； 对于命题④，体积、面积和时间都只有大小，没有方向，④正确．故说法正确的有②④． 故答案为：②④. 【题型2 向量加法的法则】 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 2．设，是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为（　） ①　②　③　④　⑤　⑥ A．①②⑥ B．①③⑥ C．①③⑤ D．②③④⑤ 【答案】C 【分析】利用向量的加法运算法则计算得到，再对各个结论进行分析即可. 【详解】由向量加法的结合律，可得 ， 已知是任一非零向量， 对各个结论进行判断： ①：零向量与任何向量平行，故正确； ②等式左边，右边，但，故错误； ③等式左边，右边，故正确； ④不等式左边，右边，两者相等，故不等式不成立，故错误； ⑤等式左边，右边，相等，故正确； ⑥不等式左边，右边，两者相等，故不等式不成立，故错误. 因此，正确的结论为①③⑤， 故选：C 3．化简______． 【答案】 【分析】利用向量的加法法则化简即得. 【详解】. 故答案为：. 4．如图，已知为平行四边形内一点，，则等于______________.（用表示） 【答案】 【详解】. 【题型3 向量加法法则的几何应用】 1．在中，，则是（   ）三角形. A．等腰 B．等腰直角 C．等腰或直角 D．等边 【答案】D 【详解】因为， 所以该三角形是等边三角形. 2．如图所示，已知，，分别是的边，，的中点，则下列等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法的运算法则逐项判断即可. 【详解】因为，，分别是的边，，的中点，所以∥，，即∥，且. 所以四边形是平行四边形 由向量加法的三角形法则可得，，； 由向量加法的平行四边形法则可得，，. 所以A，B，C正确；D错误. 故选：D． 3．中，若，，则点的轨迹一定通过的______心． 【答案】 内心 【分析】通过判断两个同向单位向量之和的方向与的角平分线方向一致，即可推导点P的轨迹经过的三角形特殊点 【详解】因为是与同向的单位向量， 是与同向的单位向量，所以二者模长相等， 根据向量加法的平行四边形法则，两个模长相等的向量的和的方向， 与两向量夹角的角平分线方向一致， 因此的方向与的角平分线方向一致， 由，，可知： 与共线，即点P在的角平分线上， 又因为三角形的内心是三个内角角平分线的交点， 因此点P的轨迹一定通过的内心。 4．在矩形中，，，则_____________. 【答案】 【详解】在矩形中，，， . 【题型4 向量减法的法则】 1．化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加法和减法运算化简即可. 【详解】. 2．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由向量减法与加法的三角形法则可得. 3．化简______. 【答案】 【分析】根据向量的加法、减法运算可得答案. 【详解】 . 故答案为：. 4．若，，则_________. 【答案】 【分析】根据计算得到答案. 【详解】 故答案为： 【题型5 向量减法法则的几何应用】 1．已知是平行四边形边上的一点，则下列正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用向量加减法规则计算判断各个选项. 【详解】已知是平行四边形ABCD边CD上的一点， ，A选项错误； ，B选项错误； ，C选项正确； ，D选项错误； 2．如图，是平行四边形外一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形结合向量的加、减运算求解即可. 【详解】. 3．已知菱形的边长为2，则向量__________.    【答案】2 【分析】应用向量加减法的几何意义化简得，即可得答案. 【详解】由图知. 故答案为：2 4．如图，在中，若D是边的中点，E 是所在平面内任意一点，则=_____.    【答案】. 【分析】利用向量线性运算即可得到答案. 【详解】. 因为D是边BC的中点，所以. 所以. 故答案为：. 【题型6 向量数乘的有关计算】 1．下列各式计算正确的有（　　） ①；②；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算法则逐一判断即可. 【详解】①③④正确，②错，因. 故选：C 2．在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算即可. 【详解】因，则， 则. 故选：A 3．设和是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为_____. 【答案】 【分析】将三点共线转化为向量共线，再根据共线向量基本定理列方程，求解即可. 【详解】由题意，， 由三点共线，得， 所以存在唯一实数，使得，即， 又和不共线，所以，解得. 故答案为：. 4．化简下列向量： （1）____________； （2）____________. 【答案】 【分析】（1）由向量的加减法运算可得； （2）由向量的加减法运算可得. 【详解】（1）； （2） . 故答案为：；. 【题型7 平面向量的混合运算】 1．计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用向量的数乘运算计算求解； （2）应用向量的数乘及加减法运算求解. 【详解】（1）； （2）. 2．（1）化简： （2）若，其中是已知向量，则用向量，向量表示向量和向量 【答案】（1）；（2），. 【分析】（1）根据向量的运算法则计算； （2）用解方程组的思想求解. 【详解】（1） ； （2）由得，代入得, ，所以， 所以. 3．（1）化简 （2）设向量，，求． 【答案】（1）；（2） 【分析】利用向量的线性运算法则与运算律化简计算即可. 【详解】（1）原式 . （2）原式 ， 因为，， 所以原式 ． 4．已知两个非零向量与不共线，且． (1)用表示； (2)猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1)， (2)三点共线，证明见解析 【分析】（1）对于向量的线性运算，依据向量的数乘和加减运算法则进行；（2）判断三点共线则是通过证明两个向量共线且有公共点来实现. 【详解】（1）由题意得， . （2）A，B，C三点共线． 理由如下：因为， ， 所以，则．又与有一个公共点A，所以A，B，C三点共线. 【题型8 向量的线性运算的几何应用】 1．如图，在中，．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意有. 2．如图所示，在中，点是线段的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知：. 3．如图，在梯形中，，，． (1)用，表示； (2)若与交于点，用，表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图形，运用向量的加法、减法和数乘运算即可； （2）方法一，利用三角形相似，将其用表示出来，再由（1）即可求得； 方法二，利用向量共线，将用两种形式表示出来，列出方程组，求解即得. 【详解】（1）由图，． （2）设，则 ． 设，则，则，解得， 所以． 方法二：            （方法一）延长，交的延长线于. 易证，则，得， 易证，则， 设，则，，得， 得， 所以. 4．如图，在平行四边形中，．设，．    (1)用表示，； (2)若，证明：，，三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由向量的减法及线性运算求解即可； （2）由向量的线性运算可得，即可得证. 【详解】（1）由平行四边形， 得． 又，所以， 所以． （2）由（1）得， 又， 所以． 又，有公共点， 所以，，三点共线． 【题型9 向量的坐标表示】 1．设向量，，. (1)若与平行，求的值； (2)若与垂直，求的值； (3)求的余弦值； (4)求在上的投影数量. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）因为， 所以， 因为与平行，所以，所以 （2）因为，， 所以， 又因为与垂直，故，所以 （3）因为，， 所以， 所以 所以的余弦值为 （4）因为，，所以 所以 则在上的投影数量为. 2．已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若，求. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以 ，解得. （2）因为，所以 ，解得. （3） ，，. 因为，所以，解得， 所以. 3．已知，，，，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的数量积及两角差的余弦公式可得，由及两角差的正弦公式，可得，从而得，由同角的平方关系求解即可； （2）结合（1）可求得，，由两角和的余弦公式求解即可. 【详解】（1）由题知， 由，结合已知， 可得， 所以， 又，所以有． 所以， 则． （2）由（1）知， 所以有， 由（1）可知, 所以， 所以． 又因为， 所以． 所以． 4．已知向量，，. (1)若与共线，求实数的值； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量坐标运算和向量平行的坐标表示求解可得； （2）根据且不同向列方程求解即可. 【详解】（1）因为，，所以， ， 与共线，则，解得. （2）已知，， 若与的夹角为锐角，则且不同向， 由，解得， 由，解得，此时同向，不符合题意， 因此实数的取值范围为. 1．如图，在中，为CD上一点，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可知， 所以， 因为三点共线，所以，解得. 2．如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算与三点共线定理构建出关于的关系式，结合基本不等式求出目标乘积的最值即可. 【详解】因为，所以，所以， 显然，又三点共线，所以， 由基本不等式得，所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最大值为． 3．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，若动点P满足，，则点P的轨迹一定通过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【详解】由已知，得，即，根据平行四边形法则，知（D为的中点），所以点P的轨迹必过的重心． 4．在中，点在线段上，且，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】由题意可得，，， 则, 等号成立时，即， 故的最小值为. 5．已知，，点P满足，求点到直线距离为__________ 【答案】1 【分析】由，得到，将问题转化为求点A到直线距离求解. 【详解】因为点P满足， 所以，即，则， 所以点到直线距离，即为点A到直线距离, 则, 故答案为：1 6．已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足，，则P点的轨迹一定通过三角形ABC的________心． 【答案】重 【分析】利用正弦定理化简已知条件得到，由此判断出点的轨迹经过重心. 【详解】由正弦定理可知：，R为三角形的外接圆的半径， 所以动点P满足． 则， 因为是以AB，AC为邻边的平行四边形的对角线以A为起点的向量，方向与边上的中线方向相同， 所以P点的轨迹一定通过三角形ABC的重心． 故答案为：重 7．记直线与的边交于两点，且． (1)若与交于点， （i）请用向量表示； （ii）若，求的值； (2)若直线恒过的重心，试求的最小值． 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）第一小问结合已知条件运用向量的线性运算规律即可表示出，第二小问先将用表示，再根据三点共线得到； （2）利用为重心得到，再根据三点共线得到，运用基本不等式知识即可得到的最小值． 【详解】（1）（i）因为，所以， 则． （ii）因为，所以，由（i）知， 所以， 因为三点共线，所以，所以． （2）因直线恒过的重心，连接并延长交于点， 则为的中点，所以， 因为，所以， 又因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为3． 8．如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点. (1)若，求实数x，y的值； (2)若，求实数的值； (3)如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E、F，且，，设的面积为，四边形BEFC的面积为，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得； （2）由共线定理及平面向量基本定理得到方程组，解答即可； （3）根据共线定理得到，根据三角形的面积公式可得，再结合，将转化为二次函数，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 又，且不共线，所以 （2）由（1）， 又因为，即， 因为，所以， 所以 因为G、O、C三点共线，， 所以. （3）根据题意设，则， 由（2），所以， 因为O、E、F三点共线，所以，即 所以， 因为，所以， ， 因为，所以令， 则，故在上单调递减， 其中，所以. 1．如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点. (1)若，求和的值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基底法，用表示出，即可求解. (2)先根据已知条件，得到，，再根据，即可得，再根据三点共线，得，再由基本不等式，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 又是线段的中点，所以， 又，且不共线， 所以. （2）因为， ， 由（1）可知，，所以， 因为三点共线，所以，即 又， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 2．如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ仿射坐标系．若在θ仿射坐标系下，，则把有序数对叫作向量的仿射坐标，记为，若满足，则称为θ仿射坐标系下的“完美向量”．已知在θ仿射坐标系下，，． (1)若，求向量的仿射坐标，并直接写出两个“完美向量”的仿射坐标； (2)当，求与的夹角β的余弦值； (3)设，对任意实数t，恒成立，求θ的取值范围，求的最大值． 【答案】(1)仿射坐标，， (2) (3) 【分析】（1）根据向量的三角形法则和坐标表示计算即可. （2）根据向量的数量积定义和向量的模的公式以及向量夹角的余弦公式计算即可. （3）根据向量的模的公式化简不等式，然后根据二次函数的性质和向量夹角的余弦公式计算即可. 【详解】（1），仿射坐标， ， 即或，或， 所以或，或，， 所以，为“完美向量”. （2），， ，， ， ， ． （3）， 由得， ， 得到， 对任意恒成立．因为，所以， ，，所以， ， 令， 因为，所以，， 所以的最大值为，当且仅当时，取等号． 3．如图，正的边长为1，是边上的中线且点满足，过点的直线与边分别交于点（点可以和端点重合） (1)设，试用表示； (2)当时，求的值； (3)设，请用表示，并求其取值范围. 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据向量线性运算计算即可求解； （2）根据，结合向量数量积运算律计算求解； （3）根据正弦定理用表示出，，可得，令，根据三角恒等变换可得，多次利用换元法结合二次函数性质可得的值域，进而计算可解. 【详解】（1）因为是边上的中线且点满足， 故 , 则； （2）因为，， ， 所以； （3）由题意可知 在中，，，， 由正弦定理得：，即， 所以， 在中，， 由正弦定理得：，即， 所以， 则， 令 因为 ， ， 所以， 因为，所以，， 令，则， 令，则， 所以， 令，则， 由二次函数性质可知，在上单调递增， 当时，有最小值，当时，有最大值， 所以的值域为，即的值域为， 所以的取值范围为. 4．如图，在矩形中，，点在边上运动（含端点），点在边上运动（含端点），与交于点. (1)若是的中点，，，求实数的值； (2)若是的中点，，求实数的取值范围； (3)若，，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，确定坐标及、，设点坐标，由用表示，再结合列方程组，求解. （2）确定矩形各顶点与坐标，由用表示，再由联立方程，推出，根据范围求出取值区间. （3）由三点共线得，设，写出各点与相关向量，把用线性表示，利用建立等式，求出关于的解析式，化简后借助函数单调性求得最大值. 【详解】（1）如图，以A为原点建立平面直角坐标系， 则，所以， 设点，则，由，得， 所以，即， 设，则， 所以，解得； （2）易知， 由得：， 设，则， 所以，可得. 由于，所以； （3）因为三点共线，且， 所以， 设. 则. 所以， 所以， 又，，所以， 所以， 所以， 若，则，若，则， 由对勾函数性质可知当时，单调递减， 故当时，取得最大值为. 综上所述：的最大值为. 5．如图，在中，，，．点D，E分别为边AC上的三等分点，点M满足，设，． (1)用，分别表示向量，； (2)求； (3)求的大小． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用向量的线性运算，结合和为三等分点的条件，将用表示，再通过向量加法得到和. （2）先由已知条件计算 和，再利用向量模长公式计算 . （3）利用向量夹角公式，先计算和，再求出 ，进而得到 . 【详解】（1）因为，所以，， 因为点D，E分别为边AC上的三等分点，所以，， 所以，． （2）由可知，的夹角为， 所以， 由（1）知，， 所以. （3）由图形可知，的大小等于与的夹角， 由（1）（2）可得，， ， 所以， 又，则，故． 6．将所有平面向量组成的集合记作.如果对于向量. ，存在唯一的向量 与之对应，其中坐标、由、确定，则把这种对应关系记为. 或者 简记为.例如就是一种对应关系.若在的条件下有最大值，则称此最大值为对应关系的模，并把的模记作；若存在非零向量及实数使得，则称为的一个特征值， (1)如果，求； (2)如果，计算的特征值，并求相应的；（若符合条件的向量有多个，写出其中一个即可） (3)若，要使有唯一的特征值，实数、、、应满足什么条件?试找出一个对应关系，同时满足以下两个条件：①有唯一的特征值，②，并验证满足这两个条件. 【答案】(1) (2)的特征值为，，其中且 (3)，答案见解析 【分析】（1）利用向量的坐标运算可得，可求得，可求得； （2）利用向量相等的条件可得，进而可求得，进而可得其中且； （3）利用，可得，进而可得，进而可证明当时，有唯一的特征值，且． 【详解】（1）由题意，所以，当时，，最大值也为，所以． （2）由，可得：， 上述两个 相加得，解得． 当时，解方程组，此时这两个方程是同一个方程， 所以此时方程有无穷多个解，为（写出一个即可），其中且． （3）由，可得． 因为、都不为，从而向量与平行， 所以存在实数满足，即． 要使存在且唯一，则、、、应满足：． 当时，有唯一的特征值，且．具体证明为： 由的定义可知：，所以为特征值． 此时，，，满足：，所以有唯一的特征值． 在的条件下，从而有． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $