暑假作业02 常用三角公式（7种题型，巩固培优）高一数学沪教版

**基本信息** 以三角公式体系为核心，通过“公式-方法-应用”三层架构，系统整合和差、倍角等公式，提炼化简四步法、整体代换等解题策略，培养运算能力与推理意识的暑假专项训练。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |和差/倍角公式|典型题+变式题|公式正向应用与变形|从基础公式推导到二倍角变形，构建公式网络| |辅助角公式|典型题+变式题|“变量一致+降幂”前提条件|结合同角关系实现函数合一，强化转化思维| |给值求值|典型题+变式题|目标角凑配法、范围锁定|以角的关系为核心，培养整体代换的数学思维| |三角化简|典型题+变式题|“四角统一”化简策略|从角、名、幂、结构四维度构建系统化解题路径|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业02 常用三角公式 【知识点1 和差公式】 1.和差公式 两角和 两角差 正弦 余弦 正切 【知识点2 倍角公式】 二倍角 公式 正弦 余弦 正切 变形 ①. ②. ③. 【知识点3 辅助角公式】 1.辅助角公式(合一公式) . 其中，，. ※使用辅助角公式前必须保证“变量一致”且“次数均为一次”. ※如果出现二次项，可利用倍角公式实现降幂效果.，，. ※如果无法实现变量一致，可利用同角关系化简，进而换元转化为其他函数. 【知识点4 积化和差与和差化积公式】 1. 和差化积 1. 积化和差 【知识点5 给值求值、给角求值、给值求角问题】 1.给角求值：用公式拆特殊角，凑 、、； 2.给值求值：凑目标角=已知角±已知角，整体代换； 3.给值求角：先求该角三角函数值，再结合范围锁定唯一角。 【知识点6 三角恒等变换中的化简问题】 1.统一角：异角化为同角； 2.统一名：切化弦； 3.统一幂：高次用降幂公式； 4.统一结构：和差变乘积、乘积变和差，最终化成 最简形式。 【题型1 和差公式及其应用】 1．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式和两角和的正弦公式即可求解. 【详解】由题意得： . 2．若，，且，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，则， 而，， 则，， 所以 . 3．若，，，则_______. 【答案】 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式和两角差的余弦公式，结合角的范围计算即得. 【详解】由，可得，又， 则， 又由，且， 则， 所以 ． 4．计算：________． 【答案】 【详解】因为 ， ， 所以 . 【题型2 倍角公式及其应用】 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先应用两角和正弦公式得出，再结合同角三角函数关系及二倍角正弦公式求解. 【详解】由，得，则， 所以，即得， 由，得． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用余弦差角公式求得，再通过余弦和角公式计算，最后用余弦二倍角公式求出的值. 【详解】由，可得，解得， 由，可得。 所以. 3．已知角为第三象限角，且，则_______. 【答案】 【详解】因为角为第三象限角，且， 可得， 所以. 4．，则__________. 【答案】 【分析】根据题意，利用诱导公式和余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由，则 . 【题型3 辅助角公式及其应用】 1．已知，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助辅助角公式可得，再利用诱导公式整体代换计算即可得. 【详解】，则， 则. 2．，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由辅助角公式及诱导公式计算即可． 【详解】 ． 3．将 化成 的形式为 _____． 【答案】 【详解】， ． 4．______． 【答案】 【详解】 . 【题型4 积化和差与和差化积公式】 1．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用积化和差公式，结合诱导公式化简可得. 【详解】. 故选：B. 2．下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角和与差的正余弦公式，正切公式化简比较逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因，故不能恒成立，即A错误； 对于B，因，故不能恒成立，即B错误； 对于C，因，则有在其有意义的条件下恒成立，故C正确； 对于D，因，，则 故，即不能恒成立，故D错误. 故选：C. 3．求值：______. 【答案】 【分析】方法一应用诱导公式、和差角正弦公式化简求值即可；方法二应用诱导公式、积化和差公式化简求值即可. 【详解】方法一： 原式 . 方法二： 原式= . 故答案为： 4．_____． 【答案】 【分析】解法一：利用诱导公式、两角和的正弦公式及平方关系，将角度往方向转化求解即可； 解法二：利用诱导公式及和差化积与积化和差公式化简求解即可. 【详解】解法一：原式 ． 解法二：原式 . 故答案为：. 【题型5 给值求值、给角求值、给值求角问题】 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换求解. 【详解】因为，， 所以， 所以， 所以. 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，， 两边平方得， 解得. 3．求值：_________． 【答案】 【分析】方法一：根据正弦的二倍角公式可得原式，结合诱导公式求解； 方法二：令原式乘以，再结合正弦二倍角公式求解即可． 【详解】方法一：原式 ； 方法二：令原式乘以得， ， 则原式． 故答案为：. 4．已知，，，，则的值为_____________． 【答案】 【分析】根据角的范围，以及同角三角函数关系，求出和，进而根据两角差的正弦公式，求出结果. 【详解】因为，，所以． 因为，，所以， 又因为，所以， 于是， 即，由于，故． 答案：. 【题型6 三角形中的三角恒等式】 1．在中，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对A：由平方差公式分析判断；对B、C、D：根据三角恒等变换结合三角形中角的关系分析判断. 【详解】对于选项A：由平方差公式可知，故A正确； 对于选项B： ，故B正确； 对于选项C：因为， 即， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，则 所以，故D错误； 故选：D. 2．某同学在研究下学习中，关于三角形与三角函数知识的应用（约定三内角，，的对边分别为，，）得出如下一些结论： （1）若是钝角三角形，则； （2）若是锐角三角形，则； （3）在三角形中，若，则； （4）在中，若，，则， 其中错误命题的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据判断（1）错误，计算得到，（2）错误，当时，不存在，故（3）错误，分情况讨论证明（4）正确，得到答案. 【详解】对选项(1)：， 是钝角三角形，可得，故错误； 对选项(2) ：为锐角三角形，， 故，，，可得，故错误； 对选项(3)：当时，不存在，故错误； 对选项(4)：由得到，且， 故，由可得到或， 在时，，故； 在时，，故，，矛盾，不成立． 所以，由和的取值得到为钝角，所以，故正确； 综上可得，错误命题的个数是3. 故选：D 【题型7 三角恒等变换中的化简问题】 1．化简求值 (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先通过提取公因式，利用二倍角余弦公式与积化和差公式化简分子，再利用诱导公式化简分母，最后代入分子分母计算即得； （2）先利用诱导公式，同角三角函数关系式以及辅助角公式化简分子，再利用二倍角的正余弦公式化简分母，最后代入分子分母计算即得. 【详解】（1）原式分子： 分母： 则原式. （2）原式分子： = 分母： 则原式. 2．（1）若，求的值； （2）化简 【答案】（1）2；（2）1 【分析】（1）利用正切和角公式得到，故； （2）利用同角三角函数关系，辅助角公式，正弦二倍角公式和诱导公式，化简得到答案. 【详解】（1），故， 即，所以， ， 所以； （2） . 3．已知是第三象限角，且，求下列各式的值. (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据弦化切即可求解； （2）根据平方关系化简即可求解. 【详解】（1）； （2）， 而为第三象限角，， ． 4．化简下列各式 (1) (2); (3)； (4). 【答案】(1); (2); (3); (4) 【分析】（1）利用切化弦、辅助角公式、诱导公式来求解即可； （2）利用切化弦，再利用二倍角公式和诱导公式求解即可； （3）利用二角的降次升倍公式，再利用两角和差公式求解即可； （4）利用二倍角公式和半角公式求解即可. 【详解】（1） ; （2） ; （3） ; （4） , 因为，所以，即， 即上式. 1．若，且，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据所给角的范围，同角三角函数的平方关系及各象限三角函数的正负，结合两角和的正弦公式即可求解． 【详解】因为，所以，又， 所以，， 所以， 又因为，所以，又， 所以，则， 所以 ． 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知． 3．已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原式展开化简得， 则， 又是锐角，则，所以，选D. 4．的值为______． 【答案】 【分析】利用降幂升角公式、积化和差、和差化积公式，即可求解. 【详解】因为 . 5．若，且，则______． 【答案】 【分析】用换元法，设，化简方程求出，进而得出的正余弦值，化简即可． 【详解】由题意，，设，即， ， ， 即， ， ， ，得，则有， 由，可知， ， ，， ． 6．关于的方程的解集为______________． 【答案】或 【分析】结合余弦的二倍角公式将方程转化为，进一步转化为解方程即可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以或 显然无解； 方程的解为或 所以，原方程的解为或 7．学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式：，，，．请你结合相关内容回答以下问题： (1)证明：； (2)已知，求的值； (3)若，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）将两角和与差的余弦公式进行相加除以2即可证明； （2）令代入后并利用二倍角公式即可得的值； （3）利用和诱导公式代入计算即可证明. 【详解】（1）利用余弦的和角、差角公式： ， ， 将两式相加： 两边同时除以2，得： . （2）已知， 利用（1）的恒等式，令，则： 结合已知条件，得； . （3）， 由，得， 故． 因为， 令，则： . 化简角，左边 令， . 化简得 再处理，用公式： . 将两部分代入右边： 右边. 左边与右边表达式完全相同，故： . 8．（1）证明：； （2）设，证明：； （3）证明：是无理数． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）利用二倍角的余弦结合两角和的余弦可证该三角恒等式； （2）利用二倍角的余弦公式可证； （3）假设是有理数，设，则方程有有理根，结合整除性可得矛盾，从而可证是无理数． 【详解】（1）证明： . （2）证明：， 因为，所以， 则 （3）证明：假设是有理数，设，则为正有理数. 由（1）知，由（2）知 因为，所以， 若是有理数，设（互质且为正整数）， 代入方程，可得， 所以且 所以为的约数，且为的约数，而互质，故，， 故， 当时，，故不是方程的根； 当时，，故不是方程的根； 当时，，故不是方程的根； 当时，，故不是方程的根； 综上，无正有理根， 所以是无理数. 1．已知锐角满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可得，然后结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意得，则， 令，，则，， 由于是锐角，即，又因为， 由，又由， 所以，，则由基本不等式有： ， 当且仅当时取等号，将其代入，解得， 即，， 此时， 因为，，即存在满足条件的锐角，使得等号成立， 所以的最小值为. 2．给白炽灯加上一个不透光材料做的灯罩，可以降低或消除白炽灯对眼睛造成的眩光，某一灯罩的防止眩光范围，可用遮光角来衡量．遮光角是指灯罩边沿和发光体边沿的连线与水平线所成的夹角，图中灯罩的遮光角满足．若图中，且，则（   ） A．55 B．82.5 C．88 D．110 【答案】B 【分析】根据余弦的二倍角公式，求出，代入公式，求出结果. 【详解】由半角公式得， 由得，解得. 故选：B. 3．记函数，的两个零点为和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，即，列方程解，不妨设，可知，.利用诱导公式结合倍角公式逐项分析判断. 【详解】令，即， 联立方程，解得或， 不妨设，则，， 且，则，. 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 对于选项AB：因为，则， 且， 可得，， 则，故A错误； 且，故B错误； 故选：D. 4．三倍角公式：，，则方程的所有实根的乘积为__________ 【答案】 【分析】根据已知，设且，将方程化为，进而求对应，从而得到方程的根，最后应用三角恒等变换求根的乘积. 【详解】由，则，即， 令且，则， 所以，即， 所以，，可得，， 或，，可得，， 综上，或或，即原方程对应的三个根为， 所以. 5．已知，则______． 【答案】 【详解】由，得， 即，设，则， 所以，解得， 因此， 所以. 6．锐角三角形中，，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①③④ 【分析】对于命题①，根据条件，利用三角函数的性质及正弦的和角公式，即可判断正误；对命题②，根据条件得，，再由诱导公式及正弦函数的性质，即可求解；对于命题③，利用，，可得，同理可得，，即可求解；对于命题④，利用作差法，即可求解. 【详解】对于命题①，因为是锐角三角形，所以，则 则，故命题①正确， 对于命题②，因为是锐角三角形，则，则，， 又在上单调递增，所以，, 则，故命题②错误， 对于命题③，因为，，所以， 则，同理可得，， 则，又，所以，故命题③正确， 对于命题④，因为， 又，则，所以，， 所以，即，所以命题④正确. 7．已知函数，若存在实数m、，使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数的“可平衡”函数，有序数对称为函数的“平衡”数对． (1)若，求函数的“平衡”数对； (2)若，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； (3)若、，且，均为函数的“平衡”数对，求的取值范围． 【答案】(1) (2)是“可平衡”函数，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据“平衡数对”定义建立方程，根据恒成立求解即可； （2） 时，利用两角和与差的余弦公式化简可得是“可平衡”函数； （3）根据“平衡数对”的定义将用关于的三角函数表达，再利用三角函数的取值范围求解即可. 【详解】（1）若，则由题意可得，对于内的任意实数x，均有成立， 即对成立，所以. 所以函数的“平衡”数对为. （2）若，是“可平衡”函数.理由如下： 设为的“平衡”数对，则. 当且仅当，即时，恒成立，即成立. 所以是“可平衡”函数. （3）若、，且，均为函数的“平衡”数对， 则， 所以. 由，得，，， 所以. 所以的取值范围是． 8．某数学学习小组在研究单位圆上三角函数的性质时，通过计算发现以下结论：，，，据此规律提出猜想：，并用两角和与差的正弦公式证明（过程略）.该小组进一步发现，若将圆周进行等分，各等分点对应的正弦值、余弦值之和也具备相似规律，展开如下探究，请根据以上材料，完成下列问题： (1)证明：； (2)解关于的方程：，其中； (3)求证：，其中，且. 【答案】(1)证明见解析 (2)或195° (3)证明见解析 【分析】（1）利用两角和差余弦公式得到，进而结合余弦函数两角和差公式计算求解即可； （2）将原方程与（1）的结论进行对比，通过换元找到两式间的关系，从而得到关于的三角方程，求解即可； （3）对原式合理变形，再利用积化和差公式并结合题意求值即可. 【详解】（1）因为， ， 所以 ， 即. （2）由（1）知， 又， 故 ， 所以， 所以（）， 或（）. 当（）时，解得（）， 又，所以或1，即或195°； 当（）时，无解. 综上，方程的解为或195°. （3）设， ， 由积化和差公式得， ，…， ， 将上面个式子相加得 ， 所以. 又，且，所以， 所以，所以，即原命题得证. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业02 常用三角公式 【知识点1 和差公式】 1.和差公式 两角和 两角差 正弦 余弦 正切 【知识点2 倍角公式】 二倍角 公式 正弦 余弦 正切 变形 ①. ②. ③. 【知识点3 辅助角公式】 1.辅助角公式(合一公式) . 其中，，. ※使用辅助角公式前必须保证“变量一致”且“次数均为一次”. ※如果出现二次项，可利用倍角公式实现降幂效果.，，. ※如果无法实现变量一致，可利用同角关系化简，进而换元转化为其他函数. 【知识点4 积化和差与和差化积公式】 1. 和差化积 1. 积化和差 【知识点5 给值求值、给角求值、给值求角问题】 1.给角求值：用公式拆特殊角，凑 、、； 2.给值求值：凑目标角=已知角±已知角，整体代换； 3.给值求角：先求该角三角函数值，再结合范围锁定唯一角。 【知识点6 三角恒等变换中的化简问题】 1.统一角：异角化为同角； 2.统一名：切化弦； 3.统一幂：高次用降幂公式； 4.统一结构：和差变乘积、乘积变和差，最终化成 最简形式。 【题型1 和差公式及其应用】 1．（   ） A． B． C． D． 2．若，，且，，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．若，，，则_______. 4．计算：________． 【题型2 倍角公式及其应用】 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知角为第三象限角，且，则_______. 4．，则__________. 【题型3 辅助角公式及其应用】 1．已知，那么（   ） A． B． C． D． 2．，则（    ） A． B． C． D． 3．将 化成 的形式为 _____． 4．______． 【题型4 积化和差与和差化积公式】 1．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 2．下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 3．求值：______. 4．_____． 【题型5 给值求值、给角求值、给值求角问题】 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．求值：_________． 4．已知，，，，则的值为_____________． 【题型6 三角形中的三角恒等式】 1．在中，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 2．某同学在研究下学习中，关于三角形与三角函数知识的应用（约定三内角，，的对边分别为，，）得出如下一些结论： （1）若是钝角三角形，则； （2）若是锐角三角形，则； （3）在三角形中，若，则； （4）在中，若，，则， 其中错误命题的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型7 三角恒等变换中的化简问题】 1．化简求值 (1) (2) 2．（1）若，求的值； （2）化简 3．已知是第三象限角，且，求下列各式的值. (1)； (2)． 4．化简下列各式 (1) (2); (3)； (4). 1．若，且，则（    ） A． B．或 C． D． 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 4．的值为______． 5．若，且，则______． 6．关于的方程的解集为______________． 7．学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式：，，，．请你结合相关内容回答以下问题： (1)证明：； (2)已知，求的值； (3)若，证明：． 8．（1）证明：； （2）设，证明：； （3）证明：是无理数． 1．已知锐角满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．给白炽灯加上一个不透光材料做的灯罩，可以降低或消除白炽灯对眼睛造成的眩光，某一灯罩的防止眩光范围，可用遮光角来衡量．遮光角是指灯罩边沿和发光体边沿的连线与水平线所成的夹角，图中灯罩的遮光角满足．若图中，且，则（   ） A．55 B．82.5 C．88 D．110 3．记函数，的两个零点为和，则（   ） A． B． C． D． 4．三倍角公式：，，则方程的所有实根的乘积为__________ 5．已知，则______． 6．锐角三角形中，，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④. 其中所有正确结论的序号是______. 7．已知函数，若存在实数m、，使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数的“可平衡”函数，有序数对称为函数的“平衡”数对． (1)若，求函数的“平衡”数对； (2)若，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； (3)若、，且，均为函数的“平衡”数对，求的取值范围． 8．某数学学习小组在研究单位圆上三角函数的性质时，通过计算发现以下结论：，，，据此规律提出猜想：，并用两角和与差的正弦公式证明（过程略）.该小组进一步发现，若将圆周进行等分，各等分点对应的正弦值、余弦值之和也具备相似规律，展开如下探究，请根据以上材料，完成下列问题： (1)证明：； (2)解关于的方程：，其中； (3)求证：，其中，且. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $