暑假作业04 余弦函数、正切函数的性质与图像（巩固培优）高一数学人教B版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业04 余弦函数、正切函数的性质与图像 1余弦型函数的性质 余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质可类比余弦函数y＝cosx得到． 函数 y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0) 定义域 R 值域 [－A，A] 周期性 是周期函数，最小正周期T＝ 奇偶性 当φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数为奇函数； 当φ＝kπ(k∈Z)时，函数为偶函数； 当φ≠(k∈Z)时，函数为非奇非偶函数 单调性 单调递增区间由(2k－1)π≤ωx＋φ≤2kπ(k∈Z)求得； 单调递减区间由2kπ≤ωx＋φ≤(2k＋1)π(k∈Z)求得 对称性 对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得，纵坐标为0； 对称轴方程由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得 1．类似于正、余弦函数的“五点法”作图，作正切函数图象采用的是“三点两线法”，即由(kπ，0)，，(k∈Z)这三点及x＝＋kπ(k∈Z)，x＝－＋kπ(k∈Z)这两条直线作出正切函数的图象． 2．正、余弦曲线在整个定义域内是连续的，而正切曲线是由被互相平行的直线x＝＋kπ(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的．因此，需注意以下几点： (1)正切函数在定义域上不具有单调性． (2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在，，…上都是增函数． (3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在∪∪…上是增函数． 2．正切型函数的性质 函数 y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0) 定义域 值域 R 周期性 是周期函数，最小正周期为 奇偶性 当φ＝(k∈Z)时为奇函数， 当φ≠(k∈Z)时为非奇非偶函数 单调性 每一个单调区间可由－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ(k∈Z)求得 对称 中心 可由ωx＋φ＝(k∈Z)求得横坐标，纵坐标为0，故对称中心为 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 一、单选题 1．若函数的最小正周期为，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 2．满足的角的集合为（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．函数在上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数满足，若在至少有两个零点，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．将函数的图象向左平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到的图象，若对于任意的实数，都单调递增，则正数的最大值为 A． B． C． D． 二、多选题 7．下列函数是偶函数的是（      ） A． B． C． D． 8．对于函数，下列说法正确的是（    ） A．最小正周期为 B．对称轴方程为 C．其图象关于点对称 D．单调增区间是 三、填空题 9．函数的定义域为 ． 10．设函数，若，则 ． 四、解答题 11．（1）作出函数的简图； （2）作出函数的简图． 一、单选题 1．要得到函数的图像，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 2．关于函数，有以下结论： ①函数，均为偶函数；②函数，均为周期函数； ③函数，定义域均为；④函数，值域均为． 其中正确命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、多选题 3．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．， D．函数在上无最小值 三、填空题 4．，（其中为常数，），若，则    ． 四、解答题 5．用“五点法”作出函数的简图. 设函数． (1)若对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2)若关于x的方程在有实数解，求实数a的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业04 余弦函数、正切函数的性质与图像 1余弦型函数的性质 余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质可类比余弦函数y＝cosx得到． 函数 y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0) 定义域 R 值域 [－A，A] 周期性 是周期函数，最小正周期T＝ 奇偶性 当φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数为奇函数； 当φ＝kπ(k∈Z)时，函数为偶函数； 当φ≠(k∈Z)时，函数为非奇非偶函数 单调性 单调递增区间由(2k－1)π≤ωx＋φ≤2kπ(k∈Z)求得； 单调递减区间由2kπ≤ωx＋φ≤(2k＋1)π(k∈Z)求得 对称性 对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得，纵坐标为0； 对称轴方程由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得 1．类似于正、余弦函数的“五点法”作图，作正切函数图象采用的是“三点两线法”，即由(kπ，0)，，(k∈Z)这三点及x＝＋kπ(k∈Z)，x＝－＋kπ(k∈Z)这两条直线作出正切函数的图象． 2．正、余弦曲线在整个定义域内是连续的，而正切曲线是由被互相平行的直线x＝＋kπ(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的．因此，需注意以下几点： (1)正切函数在定义域上不具有单调性． (2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在，，…上都是增函数． (3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在∪∪…上是增函数． 2．正切型函数的性质 函数 y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0) 定义域 值域 R 周期性 是周期函数，最小正周期为 奇偶性 当φ＝(k∈Z)时为奇函数， 当φ≠(k∈Z)时为非奇非偶函数 单调性 每一个单调区间可由－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ(k∈Z)求得 对称 中心 可由ωx＋φ＝(k∈Z)求得横坐标，纵坐标为0，故对称中心为 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 一、单选题 1．若函数的最小正周期为，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先根据最小正周期求出,得到函数解析式,再根据定义域为求出函数值域. 【详解】解：因为,所以, 因为,所以, 所以. 故选：B 【点睛】本题考查三角函数的周期与值域,考查运算求解能力. 2．满足的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦函数的性质即可求解 【详解】结合余弦函数的性质可得， 故满足的角的集合为 故选：C 3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的单调性以及奇偶性即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 函数的定义域为，不关于原点对称，故不是偶函数，A错误， 对于B，为周期函数，在不单调，故B错误， 对于C, 为奇函数，故C错误， 对于D，,故为偶函数，且在时，为单调递增函数，故D正确， 故选：D 4．函数在上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用排除法，结合函数的奇偶性及即可确定函数大致图象. 【详解】由知：是奇函数，排除B、C. 由，排除A. 故选：D. 5．已知函数满足，若在至少有两个零点，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据条件求出，然后求出零点，根据零点个数确定. 【详解】因为，所以，解得； 所以； 令，则，； 当时，；当时，； 所以实数的最小值为. 故选：C. 6．将函数的图象向左平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到的图象，若对于任意的实数，都单调递增，则正数的最大值为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数图象变换求得，可得，由得出，由函数单调递增可得出关于的不等式组，即可解得正数的最大值. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数， 再将所得函数图象向下平移个单位长度后，得到函数的图象， 则， 当时，， 由于函数在区间上单调递增，所以，， 所以，，解得， 由，解得，，当时，， 因此，正数的最大值为. 故选：B. 【点睛】本题考查利用余弦型函数的单调性求参数，同时也考查了利用函数图象变换求函数解析式，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 二、多选题 7．下列函数是偶函数的是（      ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】利用偶函数的定义即可判断. 【详解】对于A，，定义域为关于原点对称， 且，即函数为奇函数，故A不选； 对于B，，定义域为，， 即函数为奇函数，故B不选； 对于C，，定义域为，， 即函数为偶函数，故C选； 对于D，，定义域为关于原点对称， ，即函数为偶函数，故D选； 故选：CD 【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性，需熟记奇偶性定义以及判断函数奇偶性的方法，属于基础题. 8．对于函数，下列说法正确的是（    ） A．最小正周期为 B．对称轴方程为 C．其图象关于点对称 D．单调增区间是 【答案】ABCD 【分析】对于A，利用周期公式求解即可，对于B，由可求出对称轴方程，对于C，由代入函数中检验即可，对于D，由可求得其增区间 【详解】对于A，函数的最小正周期为，所以A正确， 对于B，由，得，所以对称轴方程为，所以B正确， 对于C，因为，所以其图象关于点对称，所以C正确， 对于D，由，得，所以单调增区间是，所以D正确， 故选：ABCD 三、填空题 9．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由，即得. 【详解】由题意，要使函数的解析式有意义， 自变量须满足：，解得， 故函数的定义域为， 故答案为：． 10．设函数，若，则 ． 【答案】104 【分析】令，易证为奇函数，根据，可得，再根据，由此即可求出结果. 【详解】函数的定义域为，令， 则，即，所以为奇函数； 因为，所以，则， 所以. 故答案为：104 四、解答题 11．（1）作出函数的简图； （2）作出函数的简图． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【分析】根据列表描点连线作图即可. 【详解】（1）列表： 0 0 1 0 0 0 2 0 0 描点并用光滑的曲线连接起来，可得函数的图象，如图所示：    （2）列表： 0 0 1 0 1 0 1 2 1 0 描点并用光滑的曲线连接起来，可得函数的图象，如图所示：    一、单选题 1．要得到函数的图像，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】由诱导公式可知，然后由函数图象平移变换可得答案. 【详解】注意到， 又，则要得到函数的图像，只需将函数 的图象向左平移个单位长度. 故选：A 2．关于函数，有以下结论： ①函数，均为偶函数；②函数，均为周期函数； ③函数，定义域均为；④函数，值域均为． 其中正确命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】易得两函数的定义域都是，即可判断③；根据偶函数的定义即可判断②；根据正余弦函数的周期性即可判断③；根据正余弦函数的值域及单调性即可判断④. 【详解】函数，的定义域都是，关于原点对称，故③错误； 因为， 所以函数为偶函数， 因为， 所以函数为偶函数，故①正确； 因为， 所以是以为周期的周期函数， 因为， 所以是以为周期的周期函数，故②正确； 因为，所以，即， 因为，所以，即，故④错误， 所以正确的个数有个. 故选：B. 二、多选题 3．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．， D．函数在上无最小值 【答案】BC 【分析】由图可知，，进而结合待定系数得，再依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：由图可知，，， 所以，即，所以， 再将代入得，即， 所以，即， 因为，所以，即，故A选项错误； 令，解得，即函数的对称中心为，所以当时，函数的图象关于点对称，故B正确； 因为，，即函数关于对称，由函数图像易知正确，故C正确； 当时，，所以当，即时函数取得最小值，故D错误. 故选：BC 三、填空题 4．，（其中为常数，），若，则    ． 【答案】 【详解】由于的最小正周期为，若，则，则 ，故答案为. 四、解答题 5．用“五点法”作出函数的简图. 【答案】见解析 【解析】根据五点法可取值描点得到结果. 【详解】①取值列表如下： ②描点连线，可得所求简图： 【点睛】本题考查五点法作图，注意步骤，属于基础题. 设函数． (1)若对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2)若关于x的方程在有实数解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，可得，转化为任意，恒成立，结合二次函数的性质，求得函数的最大值和最小值，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，转化为在上有实数解，结合二次函数的性质，求得函数的最大值与最小值，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 令，可得， 因为对一切实数恒成立，即对任意的，恒成立， 又由函数的图像开口向上，对称轴为， 当时，；当时，， 则，解得，所以实数a的取值范围. （2）解：由，令， 要使得方程关于x的方程在有实数解， 即在上有实数解，即在上有实数解， 令，由， 可当在上单调递减，在单调递增， 当时，，当或时，， 则，解得，即实数的取值范围为. / 学科网（北京）股份有限公司 $$