专题04二元一次方程组 期末复习讲义（23大核心题型精讲+重点知识全归纳）-2025-2026学年人教版数学七年级下学期.

专题04二元一次方程组 期末复习讲义 期末复习◆目标 概念过关：能精准辨别二元一次方程(组)，会验证解、利用解代入求简单参数。 计算扎实：熟练运用代入、加减消元解方程，掌握整体代入、换元简便算法；会基础三元一次方程组消元计算。 参数专题突破：熟练解决错解、同解、构造方程、由解的个数定参数四类题型。 应用题落地：读懂行程、工程、利润、几何、方案、数字年龄等常见题型，找准等量关系列方程组解题。 核心题型◆归纳 题型1.二元一次方程概念 题型2.二元一次方程组辨析判定 题型3.检验数值是否为方程（组）的解 题型4.已知方程（组）的解求参数 题型5.代入消元解二元一次方程组 题型6.加减消元法解二元一次方程组 题型7.整体代入、换元解方程组 题型8.看错系数错解复原求参数 题型9.同解方程组求参数 题型10.构造方程组求参数 题型11.根据解的个数求参数 题型12.和差倍分、物资分配应用题 题型13.行程应用题 题型14.工程效率类应用题 题型15.数字、年龄问题应用题 题型16.销售、利润、进价售价应用题 题型17.几何图形等量应用题 题型18.方案选择优化应用题 题型19.表格图表信息应用题 题型20.古代数学古文类应用题 题型21.三元一次方程组概念辨析 题型22.三元一次方程组实际应用题 题型23.新定义下的实数运算 重点知识◆梳理 【知识点一、二元一次方程】 1.定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1．像这样的方程叫做二元一次方程． ★二元一次方程满足的三个条件： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数． （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1． （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式． 【知识点二、二元一次方程的解】 1.定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解． ★（1）二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来如： （2）一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程． 【知识点三、二元一次方程组】 1.定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．        ★组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数．例如 也是二元一次方程组． 【知识点四、二元一次方程组的解】 1.定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 2.二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式． ★一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个． 3.代入消元法解二元一次方程组 （1）通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法． （2）代入消元法的技巧：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； ②若方程组中有未知数的系数为1（或-1）的方程．则选择系数为1（或-1）的方程进行变形比较简便； （3）若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便． 4.加减消元解二元一次方程组 （1）.两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法． （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： （1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等； （2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； （3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； （4）将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 【知识点五、二元一次方程组的实际应用】 和差倍分问题1.分析：找出题目中的和、差、倍、分关系．基本等量关系式为：较大量 － 较小量 ＝ 相差量，总量＝倍数×倍量． 2.解法：设两个未知数，根据题目中的数量关系列出两个方程，组成二元一次方程组求解． 产品配套问题1.分析：重点是明确配套的比例关系，即加工总量成比例． 2.解法：设生产不同部件的数量为未知数，根据配套关系列出方程，求解得到生产各部件的数量． 速度问题1.分析：涉及路程、速度和时间的关系，基本关系式为路程＝速度×时间．包括相遇问题（两者行驶路程之和等于总路程）、追及问题（两者行驶路程之差等于初始距离或特定路程差）等． 2.解法：设两个物体的速度分别为未知数，根据题目中的路程和时间信息列出方程组求解． 航速问题1.分析：要考虑顺流（风）和逆流（风）时的速度变化．顺流（风）时，航速 ＝ 静水（无风）时的速度 ＋ 水（风）速；逆流（风）时，航速＝静水（无风）时的速度－水（风）速． 2.解法：设船在静水中的速度和水流速度（或飞机在无风时的速度和风的速度）为未知数，根据顺流和逆流的路程、时间等条件列出方程组求解． 工程问题1.分析：基本关系式是工作总量＝工作效率×工作时间，有时需把工作总量看作 1． 2.解法：设甲、乙等不同工作主体的工作效率为未知数，根据工作总量、工作时间等信息列出方程组求解． 盈亏问题 1.分析：关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度来把握事物的总量． 2.解法：设物品的数量和分配的对象数量为未知数，根据盈和亏的情况列出方程组求解． 数字问题：1.分析：首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示．对于两位数，可表示为十位数字×10＋个位数字；三位数可表示为百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字等． 2.解法：设数字的各个数位上的数字为未知数，根据数字之间的关系列出方程组求解． 几何问题：1.分析：基本关系是有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式．如长方形的周长＝2×（长＋宽），面积＝长×宽；三角形的面积＝底×高÷2等． 2. 解法：设几何图形的相关边长、角度等为未知数，根据几何图形的性质和已知条件列出方程组求解． 【知识点六、三元一次方程（组）的概念】 1.定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做三元一次方程． 2.定义：由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组． 【知识点七、三元一次方程组的解】 1定义：使三元一次方程组中三个方程左右两边都相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程组的解． 【知识点八、解三元一次方程组的基本思路、步骤】 1.基本思路：通过 “代入” 或 “加减” 进行消元，把 “三元” 化为 “二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程． 2.一般步骤：（1）定元消元：观察三个方程，选择系数最简单、最好消去的未知数（优先系数为±1、系数相同或相反的未知数），确定消去目标。 （2）两两组合：将三个方程两两配对，消去同一个未知数，得到两个二元一次方程，组成二元一次方程组。 （3）解二元组：用代入消元/加减消元法，求解新的二元一次方程组，得出两个未知数的值。 （4）回代求三：将求出的两个未知数的值，代入原方程组中最简单的方程，求出第三个未知数。 （5）组合写解：将三个未知数的值用大括号联立，规范书写方程组的解。 （6）检验验证：将解代入原三个方程，全部成立即为正确解。 题型解析◆精准备考 题型1.二元一次方程概念 1．下列方程属于二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，二元一次方程需满足三个条件：一是为整式方程，二是只含2个未知数，三是含未知数项的最高次数为一次，根据条件逐一判断即可． 【详解】解：A、未知数的次数为2，不满足二元一次方程的条件，∴A不符合题意； B、方程只含有1个未知数，是一元一次方程，∴B不符合题意； C、方程是整式方程，含，两个未知数，且所有含未知数的项的次数都是1，满足二元一次方程的定义，∴C符合题意； D、项的次数为2，不满足二元一次方程的条件，∴D不符合题意． 2．若是关于，的二元一次方程，则________． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义，得到关于的不等式和含绝对值的方程，求解即可得到结果． 【详解】∵是关于，的二元一次方程， ∴，， 由， 解得； 由， 解得或； 综上所述，． 3．某科创公司制造的产品采用内销和出口两种方式，今年第一季度的内销收入比去年第一季度增加，出口收入比去年第一季度增加． (1)设去年第一季度内销收入为万元，出口收入为万元，用含，的代数式表示今年第一季度的总收入为______万元； (2)若今年第一季度的总收入比去年增加，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查了列代数式、二元一次方程的应用等知识点，根据题意、找出找等量关系、列出方程是解题的关键． （1）根据今年第一季度的总收入为出口收入与内销收入的和，据此列代数式即可解答； （2）根据今年第一季度的总收入比去年增加，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：今年第一季度的内销收入为，第一季度的出口收入为，所以今年第一季度的总收入为万元． 故答案为：． （2）解：去年第一季度的总收入为， 由题意可得：， 整理得：， 所以． 题型2.二元一次方程组辨析判定 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的定义逐一判断选项即可，二元一次方程组需要满足：方程组共含两个未知数，每个方程都是整式方程，且未知数的最高次数为1． 【详解】解：选项A中，方程的未知数次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故A错误； 选项B中，方程组共含两个未知数，两个方程都是整式方程，且未知数最高次数为1，符合二元一次方程组的定义，故B正确； 选项C中，方程组含有三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故C错误； 选项D中，两个方程都含有分式，不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义，故D错误． 2．若是关于的二元一次方程组，则___________． 【答案】或1 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 【详解】解：根据题意知，， 解得，， 或． 故答案为：或1． 3．判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【答案】见解析 【分析】根据二元一次方程组的定义可以判断． 【详解】解：（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组； （2）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组； （3）该方程组中一个方程的含有未知数的项的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组； （4）该方程组中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组； （5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义．一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案． 题型3.检验数值是否为方程（组）的解 1．某工厂为一次性运送50件规格相同的产品，需要同时租用甲、乙两种型号的货车若干辆．若甲种货车装满时，每辆可装载6件产品，乙种货车装满时，每辆可装载4件产品，在租用的车辆全部满载（正好装满）的情况下，该工厂的租车方案共有（     ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】设出两种货车的租用数量，根据总产品数列出方程，求解方程的正整数解，即可得到方案数量． 【详解】设租用甲种货车辆，乙种货车辆，根据题意可得： 化简得： 整理得： ∵需要同时租用两种货车， ∴，均为正整数， ∴是正偶数， ∵25是奇数， ∴是奇数， ∴为奇数， 又∵，得 ， 满足条件的正奇数x：1、3、5、7， ∴对应四组租车方案： 1．， 2．， 3．， 4．， ∴租车方案共4种． 2．写出一个解为的二元一次方程组为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，掌握含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程成为解题的关键． 直接根据二元一次方程组的定义写成方程组即可． 【详解】解：依题意，以为解的一个的二元一次方程组为． 故答案为：（答案不唯一）． 3．解答下列各题： (1)已知二元一次方程，当时，求的值； (2)已知二元一次方程，当时，求的值； (3)结合（1）（2）的计算结果，直接写出方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入二元一次方程，求解即可； （2）将代入二元一次方程，求解即可； （3）综合（1）（2），由二元一次方程组解的定义即可判断． 【详解】（1）解：对于二元一次方程，当时，，解得； （2）解：对于二元一次方程，当时，，解得； （3）解：， 由（1）知是方程①的一组解；由（2）知是方程②的一组解； 综上所述，是方程组的解． 题型4.已知方程（组）的解求参数 1．如果是关于x和y的二元一次方程的解，那么a的值是（　　） A． B． C．3 D．1 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的解的定义，将给定的解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值． 【详解】解：∵ 是方程的解， ∴， 解得． 2．若关于x、y的二元一次方程组的解为，则__． 【答案】6 【分析】把代入，可得，的值，即可求解． 【详解】解：把代入得，， 解得， ∴． 3．已知关于，的二元一次方程组的解是，求的值 【答案】 【详解】解：把代入，得， 解得， ∴. 题型5.代入消元解二元一次方程组 1．已知代数式与是同类项，那么、的值分别是（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同类项的概念列出方程组，并求解即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 解得． 2．在方程中，用x的代数式表示y，得______． 【答案】 【分析】要将方程中的项单独放在等式一侧，其他项移到另一侧，对含的项进行系数化为1，可能用到等式的基本性质． 【详解】解： 原方程 移项， 得， 等式两边同时除以，整理， 得． 3．解下列方程（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得； （2）解： 由①得， 将③代入②得， 去括号得， 合并同类项得， 解得， 将代入③得， 故原方程组的解为. 题型6.加减消元法解二元一次方程组 1．二元一次方程组 的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用加减消元法消去未知数，先求出的值，再代入求出的值即可得到结果． 【详解】解：， 由得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 2．若实数、满足，，则的值是_____． 【答案】 【分析】先由第二个方程得出，继而可得方程，再分两种情况讨论x的取值范围，可得方程组，解答方程组，验证即可得解． 【详解】解：由第二个方程，可得 ， ∵， ∴， ∴， 将 代入第一个方程 ，得：， 当，则，原方程组变为： 解得，与假设 矛盾，舍去； 当，则 ，原方程组变为： 解得，符合所有条件， ∴． 3．解方程组： (1)； (2) 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得 把①代入②中，得，解得， 把代入①，得 ∴原方程组的解为． 题型7.整体代入、换元解方程组 1．若方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程组的形式列式求解即可． 【详解】解：方程组的解是， ∴， 解得，， 故选：D ． 2．若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为________． 【答案】 【分析】把的两边都除以4变形为，然后把和看作一个整体，用换元法求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的解为， ∴， ∴． 3．阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组，我们可以使用“整体代入”的思想来简化计算． 解：将方程①变形为，即．将其代入方程②，得，解得．将代入①，得．所以原方程组的解为． 问题： (1)请用“整体代入”法解方程组． (2)若关于x、y的方程组，请问这个方程组有解吗？若有，请直接写出它的解；若无，请说明理由． (3)已知x、y满足，求的值． 【答案】(1) (2)该方程组有无数个解，其解为（t为任意实数） (3)无法确定的值 【分析】（1）使用“整体代入”的思想解方程组即可． （2）根据第二个方程是第一个方程的2倍，两个方程表示的是同一个二元一次方程，有无数个公共点，故该方程组有无数个解． （3）同（2）可知该方程组有无数个解．故无法确定的值． 【详解】（1）解： 由①得：， 将整体代入②，得， 去括号、合并同类项：，即， 解得：， 将代入①，得，解得， ∴ 方程组的解为； （2）解：有无数解， 理由：第二个方程是第一个方程的2倍， 两个方程表示的是同一个二元一次方程，有无数个公共点，故该方程组有无数个解， ∵（x为任意实数）， ∴其解为（t为任意实数）． （3）解：无法确定的值， 理由：方程组中，第二个方程是第一个方程的2倍，实际上只有一个独立方程，x、y的值不唯一，因此的值无法确定． 题型8.看错系数错解复原求参数 1．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，则的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据甲看错了方程①中的a，将代入②中可求得b的值，根据乙看错了②中的b，将代入①中可求得a的值，由此可求得的值． 【详解】解：甲看错了①中的a，但②是正确的，所以满足方程②： ∴，解得； 乙看错了②中的b，但①是正确的，所以满足方程①： ∴，解得． ∴． 2．甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙因抄错解得，则______． 【答案】 【分析】甲的正确解满足原方程组，可先求出的值，乙仅抄错，其解满足方程组中第一个方程，代入第一个方程，得到关于、的二元一次方程组，求解得到、后，计算即可． 【详解】解：把代入，得， 解得； 把代入，得， ∴，解得， ∴． 3．甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为；乙看错了方程组中的，而得解为． (1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？ (2)请求出原方程组的正确解． 【答案】(1)甲把a看成了5，乙把b看成了6． (2) 【分析】（1）把代入得出关于的一元一次方程，解一元一次方程即可得出甲把a看成了什么，把代入得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程即可得出乙把b看成了什么； （2）把代入得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程得出b的值，把代入得出关于a的一元一次方程，解一元一次方程得出a的值，把a，b代入原方程组得出关于x，y的方程组，解方程组即可得出原方程组的正确解． 【详解】（1）解：把代入， 可得：， 解得：， 把代入， 可得：， 解得：， ∴甲把a看成了5，乙把b看成了6； （2）解：把代入， 可得：， 解得：， 把代入， 可得：， 解得：， 把，代入原方程组， 可得：， 由②得：③， 由①+③，可得：， ∴， 把代入①，可得：， 解得：， ∴原方程组的解． 题型9.同解方程组求参数 1．已知方程组与有相同的解，则m，n的值为（    ） A．，B．，C．， D．， 【答案】D 【分析】将两个方程组中不含参数的两个方程联立形成新的方程组，求出的值，进而求出m，n的值即可． 【详解】解：由题意得，两个方程组的解同样满足方程组， 解得：， 把代入和，得： ，， ∴． 2．若关于x，y的方程组与有相同的解，则_____． 【答案】 【分析】根据两个方程组有相同的解，可知公共解满足两个方程组中不含参数的二元一次方程，先联立不含参数的方程，利用加减消元法求出公共解，再代入含参数的方程得到关于的方程组，解出后计算的值即可． 【详解】解：关于，的两个方程组有相同的解， 公共解是的解， 解方程组，解得， 将代入，得，即， ∴． 3．已知关于x，y的方程组和方程组的解相同． (1)求方程组相同的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两个方程组的解相同，得出新的方程组，求出解，然后根据方程组的解求出参数； （2）代入求值即可． 【详解】（1）解：∵两方程组的解相同， ∴x，y满足， 解得， ∴方程组相同的解为， 将代入，得， 解得； （2） 解：由（1）得，代入得，． 题型10.构造方程组求参数 1．在等式中，当时，；当时，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“当时，；当时，”列方程组求解即可． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴， 解得：． 2．，则________． 【答案】1 【分析】根据绝对值的非负性和完全平方的非负性，当几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此列出二元一次方程组求解的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴， 解得， ∴， ∴． 3．已知代数式，当时，它的值是，当时，它的值是．求，的值． 【答案】， 【分析】根据题意可得到关于和的二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：∵代数式，当时，它的值是；当时，它的值是， ， 解得： 题型11.根据解的个数求参数 1．若方程组的解也是方程的解，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用消元法解出给定二元一次方程组的解，再根据方程解的定义，将解代入含的方程，即可求出的值． 【详解】解：， 得：，解得：， 把代入得，，解得：， ∴原方程组的解为， 把代入得，， 解得：． 2．已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为________． 【答案】 【分析】先将已知原方程组的解代入原方程组求出a，b的值，再代入所求二元一次方程组，解关于m，n的二元一次方程组即可得到结果． 【详解】解：将代入原方程组得， 解得：， 代入关于，的方程组得： 化简得：， 解得． 3．关于，的方程组有无数多个解，则___． 【答案】 【详解】解：根据题意可知，方程组中的两个方程相同，据此可得 解方程组，得 所以，． 题型12.和差倍分、物资分配应用题 1．现有甲、乙两个钱袋，甲袋装的银子比乙袋装的银子多6两，从甲袋取7两银子放到乙袋，乙袋的银子两数就是甲袋的2倍．设甲袋原有银子x两，乙袋原有银子y两，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据甲袋原有银子比乙袋多6两，可得第一个等量关系：，从甲袋取7两放入乙袋后，甲袋剩余银子为两，乙袋现有银子为两，根据“此时乙袋银子是甲袋的2倍”，可得第二个等量关系：；联立得到方程组即可 【详解】∵甲袋原有银子比乙袋多6两， ∴ 变形得； ∵从甲袋取7两银子放到乙袋，乙袋的银子两数就是甲袋的2倍， 此时甲袋剩余银子为两，乙袋现有银子为两， ∴； 可得 2．甲、乙两位同学共带元去书店买书，回家后两人所剩的钱数相等．已知甲花去自己钱数的，乙花去自己的钱数的，则乙花去( )元． 【答案】 【分析】设甲原有钱元，乙原有钱元，根据两人总钱数和剩余钱数相等的条件列方程组，先求出乙原有的钱数，再计算乙花去的钱数即可． 【详解】解：设甲带了元，乙带了元， 根据题意列方程组得， 解得， 则乙花去的钱数为． 3．为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购A、B两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个A型垃圾箱与3个B型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个A型垃圾箱的支出，比购买1个B型垃圾箱少20元．求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？ 【答案】 每个型垃圾箱50元，每个型垃圾箱120元 【分析】根据题意找出等量关系，设未知数列出方程组求解即可； 【详解】解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元， 由题意得：， 解得：， 答：每个型垃圾箱50元，每个型垃圾箱120元． 题型13.行程应用题 1．随着新能源汽车技术的飞速发展，越来越多新能源汽车是由后轮驱动的，所以后轮胎的磨损程度比前轮胎严重．设每个新轮胎报废时的总磨损量为，如某轮胎可行驶公里，则每公里的磨损量为，现有某品牌的轮胎安装在前轮时行驶达到万公里时报废，安装在后轮时行驶达到万公里时报废．如果该汽车行驶若干公里后，将前后轮胎进行对换，那么这两对轮胎最多可以行驶（   ） A．万公里 B．万公里 C．万公里 D．万公里 【答案】B 【分析】本题利用总磨损量的关系求解，当两对轮胎同时报废时，行驶总里程最远，根据每个轮胎报废时总磨损量为，列方程相加即可求出总行驶里程． 【详解】解：设换轮胎前行驶万公里，换胎后再行驶万公里刚好全部报废，总行驶里程万公里. ∵每个新轮胎总磨损量为，前轮每公里磨损量为，后轮每公里磨损量为，原前轮胎换胎后在后轮行驶，总磨损为，原后轮胎换胎后在前轮行驶，总磨损为， ∴可得方程组： ， 将两个方程相加得：， 即， 解得， 因此最多可以行驶万公里． 2．某人乘船顺流从地前往地，用时小时；逆流从地返回地，用时小时．已知两地相距千米，假设水流速度恒定不变，船速不变，则船在静水中的航行速度为________． 【答案】 【分析】设水速为、船速为，由题意列方程组求解即可． 【详解】解：设水速为、船速为，则 ， 由①②得 解得． 3．一艘船在某河道上航行，已知顺水航行需要，逆水航行需要．那么，该船在静水中的速度与该河的水流速度分别是多少？ 【答案】船在静水中的速度为，水流速度为 【分析】本题考查了二元一次方程组和流水行船问题中的基本公式运用，解题的关键是根据顺水速度和逆水速度与路程、时间的关系建立方程组，易错点是混淆顺水速度、静水速度和水流速度之间的关系；设船在静水中的速度为，水流速度为​。根据公式：顺水速度​，逆水速度，结合题目中给出的顺水航行和逆水航行的路程与时间列出方程组，求解即可． 【详解】解：设船在静水中的速度为，水流速度为． 由题意可得： 顺水航行： 逆水航行： 化简方程组： 解得 答：船在静水中的速度为，水流速度为． 题型14.工程效率类应用题 1．羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（    ）天． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨，根据题意列出方程组即可求解，根据题意正确列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨， 由题意得，， 解得 ∴两个工程队各工作了天， 故选：． 2．甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，其中甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地．已知甲、乙、丙每小时分别能植树10棵，8棵，12棵．若乙在A地植树12小时后立即转到B地，则两块地同时开始同时结束；若要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，则乙应在A地植树______小时后立即转到B地． 【答案】17 【分析】先设A地需要植树棵，B地需要植树棵，根据题意可建立方程，化简可得，再设乙应在A地植树小时后立即转到B地，要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，可构建方程，求 即可得出答案． 【详解】设A地需要植树棵，B地需要植树棵，由题可得： ， ， 设乙应在A地植树小时后立即转到B地，由题可得： ， 化简得：， 解得：． 故答案为：17． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法及应用，恰当设出未知数，解题关键在于根据题意找出等量关系式进行求解． 3．山西的老旧城区改造，在国家“城市更新行动”的指导下，已从单纯的“旧房翻新”升级为涵盖老旧小区、街区、城中村的综合整治与功能提升．为了提高居民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分老旧城区进行改造，在改造工程中，有一条米的道路需要改扩建，现有甲、乙两个工程队分别施工修路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，两队施工总时间是天，则甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是___________，未知数表示的是_________； (2)小丽同学设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天．请你按照小丽的思路解答上面的问题． 【答案】(1)甲工程队修建道路的长度；乙工程队修建道路的长度 (2)甲工程队修建了天，乙工程队修建了天 【分析】（1）根据题意及小红同学列出的方程组即可得到答案； （2）设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天，由题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是甲工程队修建道路的长度，未知数表示的是乙工程队修建道路的长度； （2）解：设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天， 据题意得， 解得， 答：甲工程队修建了天，乙工程队修建了天． 题型15.数字、年龄问题应用题 1．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方，图2是一个未完成的幻方，则的值是（    ）． A．0 B． C． D．32 【答案】B 【分析】根据题意列方程组，根据整体思想分别求出，进而得到关于b的一元一次方程，解出b，即可得解． 【详解】解：如图所示，设中间的数字为a，第三行第一个数字为b， 由题意得， 由得， 由得， ， 解得， ． 2．甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为____岁， 乙的年龄为______岁． 【答案】 28 21 【分析】设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大岁，然后根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大岁， 由题意得：， 解得：， 即今年甲的年龄为28岁，乙的年龄为21岁， 故答案为：28，21． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系列出方程组是解题的关键． 3．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子 【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可． （2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案． 【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． 题型16.销售、利润、进价售价应用题 1．山西博物院某文创商店热销两款经典文创产品：晋侯鸟尊钥匙扣与雁鱼铜灯书签．已知购买3个晋侯鸟尊钥匙扣和2个雁鱼铜灯书签共需159元；购买1个晋侯鸟尊钥匙扣和5个雁鱼铜灯书签共需144元．设1个晋侯鸟尊钥匙扣的价格为x元，1个雁鱼铜灯书签的价格为y元，根据题意，所列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设1个晋侯鸟尊钥匙扣的价格为x元，1个雁鱼铜灯书签的价格为y元，根据“购买3个晋侯鸟尊钥匙扣和2个雁鱼铜灯书签共需159元；购买1个晋侯鸟尊钥匙扣和5个雁鱼铜灯书签共需144元”，列方程组求解即可； 【详解】解：设1个晋侯鸟尊钥匙扣的价格为x元，1个雁鱼铜灯书签的价格为y元， 根据题意可得：． 2．某体育用品商店销售A，B两款足球，售价和进价如表所示，该商店购进5个A款足球和12个B款足球需1120元，购进10个A款足球和15个B款足球需1700元．某校在该商店一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，该商店可获利______元． 类型 进价（元/个） 售价/（元/个） A款 m 120 B款 n 90 【答案】 【分析】根据“该商店购进5个款足球和12个款足球需1120元；购进10个款足球和15个款足球需1700元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之得出，的值，再根据购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，列出二元一次方程，得到，进而可知该商店可获利． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， ∵购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元， ∴， 即， ∴获利（元） 即该商店可获利元． 3．开学季，某文具店热销两款学生用品——笔记本和中性笔．已知购买2本笔记本和3支中性笔共需28元，购买4本笔记本和1支中性笔共需26元． (1)求每本笔记本和每支中性笔的售价各是多少元？（列二元一次方程组解决问题） (2)已知笔记本每本进价为3元，中性笔每支进价为4元．为迎接新学期，文具店开展促销活动：中性笔按原售价降价1元销售，笔记本售价不变．本次活动中售出了30本笔记本，若干支中性笔，两款商品共获利润130元．求本次促销活动中售出了多少支中性笔？ 【答案】(1)每本笔记本的售价为5元，每支中性笔的售价为6元 (2)本次促销活动中售出了70支中性笔 【分析】（1）设每本笔记本的售价为x，每支中性笔的售价为y，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设本次促销活动中售出了m支中性笔，根据题意列出一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设每本笔记本的售价为x，每支中性笔的售价为y， 根据题意得， 解得 ∴每本笔记本的售价为5元，每支中性笔的售价为6元； （2）解：设本次促销活动中售出了m支中性笔， 根据题意得， 解得 ∴本次促销活动中售出了70支中性笔． 题型17.几何图形等量应用题 1．如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低，设每块墙砖的长为，宽为，则符合右侧图形的方程组是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设每块墙砖的长为，宽为，利用“3块横放比1块竖放高”和“2块横放比2块竖放低”这两个等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设每块墙砖的长为 ，宽为 ∵3块横放的墙砖高度为，1块竖放的墙砖高度为 ∴ 可得方程：，即 ∵2块横放的墙砖高度为，2块竖放的墙砖高度为 ∴可得方程：，即 ∴ 联立可得方程组：． 2．如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，设小长方形的长为，宽为，根据题意得到的二元一次方程组为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形，找到合适的等量关系列出方程组是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，根据各边之间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组． 【详解】解：小长方形的长为，宽为， 根据题意得：． 故答案为：． 3．问题情景：某数学兴趣小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动． (1)综合实践小组利用边长为30厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为______平方厘米； ②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，已知，求该长方体纸盒的体积； (2)小明按照图1的方式用边长为30厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为156厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况） 【答案】(1)①484；②立方厘米； (2)4厘米，或7厘米，或8厘米 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，长方体的底面积，长方形的体积等知识点，运用了分类讨论的思想．解题的关键根据展开图得出长方体长宽高． （1）①根据题意，首先求得长方体纸盒底的长与宽，再根据长方形面积公式计算即可； ②设，，根据长方体展开图的性质，列二元一次方程组并求解，即可得到答案； （2）长方体展开图的性质，分5种情况分析，列一元一次方程并求解即可． 【详解】（1）解：①结合题意，得长方体纸盒底的长宽均为（厘米）， ∴长方体纸盒的底面积（平方厘米）； 故答案为：484； ②如图，设，， ∵能折成一个无盖长方体纸盒，且， ∴， ∴，， 即， ∴， ∴， ∴该长方体纸盒的体积为立方厘米； （2）解：设小明剪去的小正方形的边长为m厘米， 展开方式1如下图： ∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米， ∴， 该方程无解； 展开方式2如下图： ∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米， ∴， ∴； 展开方式3如下图： ∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米， ∴， ∴， 展开方式4如下图： ∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米， ∴， ∴， 展开方式5如下图： ∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米， ∴， ∴， 综上所述，小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长为4厘米，或7厘米，或8厘米． 题型18.方案选择优化应用题 1．某果园为推广葡萄新品种，计划将100千克的葡萄分装成3千克和5千克“葡萄礼盒”赠给水果采购商（每种礼盒不少于6盒）．现要准备两种不同的包装盒，则准备方案共有（     ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】设两种礼盒的盒数为未知数，根据总重量列二元一次方程，结合两种礼盒盒数均为不小于6的正整数的条件，求出所有符合条件的正整数解，即可得到方案数. 【详解】解：设千克装礼盒有盒，千克装礼盒有盒，均为正整数， 根据题意可得，且，， ∴， ∵为正整数， ∴为的倍数， ∴，，， ∴符合条件的方案共有种． 2．某车间生产一款工艺茶壶，每把茶壶由一个壶身和一个壶盖两种组件构成，该车间共有4条生产线生产这两种组件．车间规定：每条生产线一天内只能生产同一种组件，但第二天可以更换生产的组件类型．每条生产线每天的生产数量如下表： 生产线组件 甲 乙 丙 丁 壶身/个 25 35 30 25 壶盖/个 35 30 20 40 （1）如果只开通一条生产线，6天最多能生产__________把茶壶； （2）如果四条流水线都开通，6天最多能生产__________把茶壶． 【答案】 90 415 【分析】本题考查了一元一次方程解决实际问题，正确理解题意是解题关键． （1）根据各流水线生产壶身与壶盖个数，确定6天生产的茶壶个数，即可求解； （2）生产的组件要配套，得出一元一次方程，进而求解分析求得最大值，即可求解． 【详解】解：（1）要生产完整的茶壶，需要1个壶身+1个壶盖，需找到单条生产线6天内壶身和壶盖产量的最优搭配： 设天做壶身，天做壶盖， 甲：， 解得， 取整数，3天壶身、3天壶盖：，，最多75套； 乙：，， 3天壶身、3天壶盖：，，最多90套； 丙：， ， 2天壶身、4天壶盖：，，最多60套； 丁：， ， 3天壶身、3天壶盖：，，最多75套； 对比得单条生产线最多生产90把茶壶； 故答案为：90； （2）要最大化产量，让擅长生产壶身的生产线多做壶身，擅长壶盖的多做壶盖： 壶身效率：乙（35）＞丙（30）＞甲（25）=丁（25）， 壶盖效率：丁（40）＞甲（35）＞乙（30）＞丙（20）， 安排： 乙全程做壶身：， 丁全程做壶盖：， 甲：设天做壶身，产量，天做壶盖，产量， 丙：设天做壶身，产量，天做壶盖，产量， 总壶身：， 总壶盖：， 令壶身=壶盖： 整理得， 取整数解：，， 此时壶身，壶盖，刚好匹配， 最终四条生产线6天最多生产415把茶壶． 故答案为：415． 3．4月30日我校春季运动会火热开赛！为丰富同学们的课余生活，满足运动需求，学校计划采购一批足球和篮球．负责采购的老师在团购群中看到如下信息： (1)根据对话信息，求足球和篮球的单价各是多少元？ (2)若学校一次性采购总金额为700元．两种球都要买且采购资金正好用完，请给出所有购买方案． 【答案】(1)足球的单价为50元，篮球的单价为60元． (2)方案一：购买足球8个，篮球5；方案二：购买足球2个，篮球10个 【分析】（1）设足球的单价为x元，篮球的单价为y元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可． （2）设购买足球m个，篮球n个，根据题意可得，结合m，n都是正整数求解即可． 【详解】（1）解：设足球的单价为x元，篮球的单价为y元， 根据题意， 解得， 答：足球的单价为50元，篮球的单价为60元． （2）解：设购买足球m个，篮球n个， 根据题意可得， ∴， ∵m，n都是正整数， ∴必须是5的倍数，即n是5的倍数， ∴当时，， 当时，， 当时，，不符合条件， ∴购买方案有2种， 方案一：购买足球8个，篮球5个；方案二：购买足球2个，篮球10个． 题型19.表格图表信息应用题 1．如图所示，天平中放有苹果、香蕉、砝码，且两个天平都平衡，则一个苹果的重量是一根香蕉的重量的（    ） A． B． C．2倍 D．3倍 【答案】B 【分析】设1个苹果的重量为，一根香蕉的重量为，一个砝码的重量为，由图可列出方程组，用加减消元法消去，求出与关系，即可得出结果． 【详解】解：设1个苹果的重量为，一根香蕉的重量为，一个砝码的重量为， 由图可得： 由得：， ∴， ∴，即一个苹果的重量是一根香蕉的重量的倍． 2．《探寻神奇的幻方》一课的学习激起了小杨的探索兴趣，他在如表所示的方格内填入了一些数据．若图中各行、各列及对角线上的各数之和都相等，则的值为______． 0 y 4 x 【答案】 【分析】根据题意列二元一次方程组，解出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题意可得，， 解得：， 则． 3．新BA城市争霸赛如火如荼，温州市代表队表现出色，下表是10月11日，温州队所在的组比赛积分表的部分信息： A组积分 排名 队伍 胜负 积分 2 温州队 7胜0负 4 金华队 6胜2负 14分 5 余姚队 5胜3负 13分 6 台州队 4胜4负 12分 (1)求温州队的积分． (2)温州队所在的组共有11支队伍，赛事实行主客场制（每两支队伍之间要进行两场比赛），预计小组赛结束后，积分达到37分，会获得小组冠军，问温州队要获得组第一至少还要胜几场？ 【答案】(1)温州队的积分为14分 (2)温州队要获得小组第一，至少还要胜10场 【分析】本题考查了二元一次方程的应用和一元一次不等式应用，根据表格中的数据求出胜负平的得分，读懂题意正确列出方程和不等式是解题关键． （1）设胜1场加分，负1场加分，根据题意列方程即可解答； （2）设胜场，负场，根据题意列不等式即可解答． 【详解】（1）解：设胜1场加分，负1场加分 由题，得 解得， 所以（分） 答：温州队的积分为14分． （2）解：由题，得温州队一共要进行场比赛 设胜场，负场 由题，得 解得， ， 答：温州队要获得小组第一，至少还要胜10场． 题型20.古代数学古文类应用题 1．《孙子算经》记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每3人乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？若设有x人，y辆车，则可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目中两种乘车情况的等量关系，列出关于人数和车辆数的二元一次方程组，即可得到正确选项． 【详解】解：设有人，辆车， ∵每3人乘一辆车，剩余2辆空车，说明实际使用车辆为 辆，总人数等于每车人数乘实际使用车辆数， ∴ ，整理得 ． ∵每2人乘一辆车，剩余9人无车可乘，说明乘车人数为，总人数等于乘车人数加步行人数， ∴，整理得 ． 因此可得方程组． 2．《九章算术》中有一道“盈不足”问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：几个人一起去购买物品，如果每人出8钱，那么剩余3钱；如果每人出7钱，那么差4钱．问有多少人？物品的价格是多少？若设人数为，物价为，则可列二元一次方程组为：_____． 【答案】 【详解】解：由题意可得方程组为． 3．我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”题意为“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值多少两银子？”根据以上题目，回答以下问题： (1)求买1头牛和1只羊分别需要多少两银子？ (2)若购买了若干头牛和若干只羊，共花费26两银子，且羊的数量比牛的2倍少1，则购买了几只羊？ (3)若一名商人准备用21两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方案？最多买几头牛？ 【答案】(1)1头牛需要3两银子，1只羊需要2两银子 (2)购买了7只羊 (3)商人有3种购买方案，最多买5头牛 【分析】（1）设买1头牛需要x两银子，1只羊需要y两银子，再根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购买了m头牛，n只羊，再根据题意列二元一次方程组求解即可； （3）设购买a头牛，b只羊，可得二元一次方程，则，再列举a的值，确定b的值即可解答． 【详解】（1）解：设买1头牛需要x两银子，1只羊需要y两银子， 由题意可得，解得：， 答：买1头牛需要3两银子，买1只羊需要2两银子． （2）解：设购买了m头牛，n只羊， 由题意可得，解得； 答：购买了7只羊． （3）解：设购买a头牛，b只羊， 依题意有，则， ∵a、b都是正整数， ∴共有三种购买方案： ①当时，，即购买1头牛，9只羊； ②当时，，购买3头牛，6只羊； ③当时，，购买5头牛，3只羊． 当均不符合题意． 答：共有三种购买方案，最多买5头牛． 题型21.三元一次方程组概念辨析 1．在等式中，当时，；当时，；当时，；求a，b，c的值为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：∵等式中，当时，；当时，；当时，； ∴， 解得：． 2．三元一次方程组的解是___________． 【答案】 【详解】解： 将③代入①得：④， 将③代入②得：⑤， 得：，即， 将代入③得：， 将代入④得：， 则方程组的解为． 故答案为：． 3．数学活动：探究不定方程： 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出具体数值，但可以解出，的值． (1)小川的方法：整理可得：________； 整理可得：_______；∴ 小渝的方法：：__________________；∴． (2)已知，试求解的值． 【答案】(1)；； (2)3 【详解】（1）解：依题意，小川的方法：，得：， 整理得：， ，得：， 整理得：， ． 小渝的方法：，得：， ． （2）解：， 由得：， 整理得：， 由得：， 整理得：， 则． 题型22.三元一次方程组实际应用题 1．如图，边长为的两个正方形靠边各放置两个邻边长为，的长方形，然后分别以，为边长构成两个大正方形．根据图中数据可求得的值为（    ） A．65 B．68 C．70 D．75 【答案】C 【分析】根据图示得出，两式相加，消去a，b，即可求出的值． 【详解】解：由图可得， ，得， 即， 解得． 2．“3·28活动”是北京中学大地课程的重要组成部分，学校为每个班级提供2000元活动经费，需要同学们自主规划一次户外活动．初一某班级计划参观奥林匹克森林公园（免门票），在租车和为每名同学购买一份保险的情况下，需要购买一些纪念品作为活动奖励，所需费用如下表： 租车费用（辆） 个人保险（人） 纪念品套装（套） （包含一个冰箱贴和一个徽章） 纪念品徽章（个） 纪念品冰箱贴（个） 1500元 5元 30元 16元 20元 （1）已知这个班级共有学生42人，在所需费用不超过活动经费的基础上，本次活动最多能够买______个纪念品（纪念品套装算两个纪念品）； （2）如果该班级想同时买到纪念品套装、纪念品徽章及纪念品冰箱贴，并且刚好把活动经费用完，则一共有______种购买方案． 【答案】 19 6 【分析】(1)先计算租车和保险的固定费用，得到可购买纪念品的剩余费用，要得到最多纪念品数量，需优先购买平均单价最低的纪念品套装，再计算剩余费用可购买的单个纪念品数量，得到总个数； (2)设出三种纪念品的购买数量，根据总费用列出方程，结合三个数量均为正整数的条件，分类讨论得到所有符合条件的购买方案数量． 【详解】（1）计算固定支出：租车费用为1500元，42名学生的保险费用为元，总固定支出为：元。 可用于购买纪念品的费用为：元． 纪念品套装平均单价为元，低于徽章的16元和冰箱贴的20元，因此要得到最多纪念品个数，应尽可能多买套装． 设购买套套装，则，得的最大整数值为9，此时花费元，剩余费用元，可再购买1个单个纪念品． 总纪念品个数为； （2）设购买套装套，徽章个，冰箱贴个，由题意可知，，均为正整数，总费用满足：． 两边同除以2得：， 由奇偶性可知为奇数，因此为奇数，又，得，因此的可能取值为1，3，5，7，9，分类讨论： 当时，方程化简为，正整数解为，，共3组解； 当时，方程化简为，正整数解为，共2组解； 当时，方程化简为，正整数解为共1组解； 当时，方程化简为，无符合条件的正整数解； 当时，剩余费用不足以同时购买至少1个徽章和1个冰箱贴，无符合条件的解； 总符合条件的方案数为． 3．先阅读下列材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值.本题常规思路是将两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则 ， ； (2)请说明关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变； (3)某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，求购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？ 【答案】(1)， (2)见解析 (3)购买支铅笔、10块橡皮、10本日记本共需110元 【分析】本题考查加减消元法及实际应用，能够理解整体思想是解题的关键． （1）根据题目中的步骤运用整体思想，即可求解； （2）利用加减消元法将消掉即可得证； （3）根据实际信息列式求解即可． 【详解】（1）解： 得，， 则， 得，； （2）解： 得，， 则， 的值始终不变； （3）解：设购买1支铅笔需元，1块橡皮需元，1本日记本需元，由题意得： 得，， ， 答：购买支铅笔、10块橡皮、10本日记本共需110元． 题型23.新定义下的实数运算 1．对于实数x、y定义新运算：，其中a，b为常数．已知，，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据新定义的运算规则，结合已知条件列出关于,的二元一次方程组，解出,后计算的值即可． 【详解】解：∵，且，， ∴， 解得：， ∴． 2．对于实数定义新运算：，其中为常数，已知，，则______． 【答案】5 【分析】本题考查新定义运算以及二元一次方程组的求解，解题的关键在于根据新运算的定义，结合已知条件列出关于、的方程组，求解出、的值，再代入新运算中计算的值． 【详解】已知，且，，将其分别代入新运算中可得： ，即， 移项可得， 移项可得，两边同时除以，得到， 联立方程组，①+②得，解得． 将代入②得，解得， 将 ， 代入 中，可得 ， 再将 ， 代入上式可得：， 去括号得，实数运算得． 3．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，，，已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组解为，则关于m，n的方程组的解为_________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据定义运算，得出关于a，b的二元一次方程组，求解即可得出答案． （2）根据定义运算得出，然后将（1）中得出的a，b的值代入即可得出答案． （3）令，， 则方程组变形成，结合已知条件得出，进而即可得出关于m，n的二元一次方程组，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可知：， 解得∶ ． （2）解：∵，， ∴，即， 把，代入， 得：， ∴． （3）解：令，， 则方程组变形成， ∵关于x，y的方程组解为， ∴的解为， 即， 解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04二元一次方程组 期末复习讲义 期末复习◆目标 概念过关：能精准辨别二元一次方程(组)，会验证解、利用解代入求简单参数。 计算扎实：熟练运用代入、加减消元解方程，掌握整体代入、换元简便算法；会基础三元一次方程组消元计算。 参数专题突破：熟练解决错解、同解、构造方程、由解的个数定参数四类题型。 应用题落地：读懂行程、工程、利润、几何、方案、数字年龄等常见题型，找准等量关系列方程组解题。 核心题型◆归纳 题型1.二元一次方程概念 题型2.二元一次方程组辨析判定 题型3.检验数值是否为方程（组）的解 题型4.已知方程（组）的解求参数 题型5.代入消元解二元一次方程组 题型6.加减消元法解二元一次方程组 题型7.整体代入、换元解方程组 题型8.看错系数错解复原求参数 题型9.同解方程组求参数 题型10.构造方程组求参数 题型11.根据解的个数求参数 题型12.和差倍分、物资分配应用题 题型13.行程应用题 题型14.工程效率类应用题 题型15.数字、年龄问题应用题 题型16.销售、利润、进价售价应用题 题型17.几何图形等量应用题 题型18.方案选择优化应用题 题型19.表格图表信息应用题 题型20.古代数学古文类应用题 题型21.三元一次方程组概念辨析 题型22.三元一次方程组实际应用题 题型23.新定义下的实数运算 重点知识◆梳理 【知识点一、二元一次方程】 1.定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1．像这样的方程叫做二元一次方程． ★二元一次方程满足的三个条件： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数． （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1． （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式． 【知识点二、二元一次方程的解】 1.定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解． ★（1）二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来如： （2）一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程． 【知识点三、二元一次方程组】 1.定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．        ★组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数．例如 也是二元一次方程组． 【知识点四、二元一次方程组的解】 1.定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 2.二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式． ★一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个． 3.代入消元法解二元一次方程组 （1）通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法． （2）代入消元法的技巧：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； ②若方程组中有未知数的系数为1（或-1）的方程．则选择系数为1（或-1）的方程进行变形比较简便； （3）若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便． 4.加减消元解二元一次方程组 （1）.两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法． （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： （1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等； （2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； （3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； （4）将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 【知识点五、二元一次方程组的实际应用】 和差倍分问题1.分析：找出题目中的和、差、倍、分关系．基本等量关系式为：较大量 － 较小量 ＝ 相差量，总量＝倍数×倍量． 2.解法：设两个未知数，根据题目中的数量关系列出两个方程，组成二元一次方程组求解． 产品配套问题1.分析：重点是明确配套的比例关系，即加工总量成比例． 2.解法：设生产不同部件的数量为未知数，根据配套关系列出方程，求解得到生产各部件的数量． 速度问题1.分析：涉及路程、速度和时间的关系，基本关系式为路程＝速度×时间．包括相遇问题（两者行驶路程之和等于总路程）、追及问题（两者行驶路程之差等于初始距离或特定路程差）等． 2.解法：设两个物体的速度分别为未知数，根据题目中的路程和时间信息列出方程组求解． 航速问题1.分析：要考虑顺流（风）和逆流（风）时的速度变化．顺流（风）时，航速 ＝ 静水（无风）时的速度 ＋ 水（风）速；逆流（风）时，航速＝静水（无风）时的速度－水（风）速． 2.解法：设船在静水中的速度和水流速度（或飞机在无风时的速度和风的速度）为未知数，根据顺流和逆流的路程、时间等条件列出方程组求解． 工程问题1.分析：基本关系式是工作总量＝工作效率×工作时间，有时需把工作总量看作 1． 2.解法：设甲、乙等不同工作主体的工作效率为未知数，根据工作总量、工作时间等信息列出方程组求解． 盈亏问题 1.分析：关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度来把握事物的总量． 2.解法：设物品的数量和分配的对象数量为未知数，根据盈和亏的情况列出方程组求解． 数字问题：1.分析：首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示．对于两位数，可表示为十位数字×10＋个位数字；三位数可表示为百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字等． 2.解法：设数字的各个数位上的数字为未知数，根据数字之间的关系列出方程组求解． 几何问题：1.分析：基本关系是有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式．如长方形的周长＝2×（长＋宽），面积＝长×宽；三角形的面积＝底×高÷2等． 2. 解法：设几何图形的相关边长、角度等为未知数，根据几何图形的性质和已知条件列出方程组求解． 【知识点六、三元一次方程（组）的概念】 1.定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做三元一次方程． 2.定义：由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组． 【知识点七、三元一次方程组的解】 1定义：使三元一次方程组中三个方程左右两边都相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程组的解． 【知识点八、解三元一次方程组的基本思路、步骤】 1.基本思路：通过 “代入” 或 “加减” 进行消元，把 “三元” 化为 “二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程． 2.一般步骤：（1）定元消元：观察三个方程，选择系数最简单、最好消去的未知数（优先系数为±1、系数相同或相反的未知数），确定消去目标。 （2）两两组合：将三个方程两两配对，消去同一个未知数，得到两个二元一次方程，组成二元一次方程组。 （3）解二元组：用代入消元/加减消元法，求解新的二元一次方程组，得出两个未知数的值。 （4）回代求三：将求出的两个未知数的值，代入原方程组中最简单的方程，求出第三个未知数。 （5）组合写解：将三个未知数的值用大括号联立，规范书写方程组的解。 （6）检验验证：将解代入原三个方程，全部成立即为正确解。 题型解析◆精准备考 题型1.二元一次方程概念 1．下列方程属于二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若是关于，的二元一次方程，则________． 3．某科创公司制造的产品采用内销和出口两种方式，今年第一季度的内销收入比去年第一季度增加，出口收入比去年第一季度增加． (1)设去年第一季度内销收入为万元，出口收入为万元，用含，的代数式表示今年第一季度的总收入为______万元； (2)若今年第一季度的总收入比去年增加，求的值． 题型2.二元一次方程组辨析判定 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（） A． B． C． D． 2．若是关于的二元一次方程组，则___________． 3．判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 题型3.检验数值是否为方程（组）的解 1．某工厂为一次性运送50件规格相同的产品，需要同时租用甲、乙两种型号的货车若干辆．若甲种货车装满时，每辆可装载6件产品，乙种货车装满时，每辆可装载4件产品，在租用的车辆全部满载（正好装满）的情况下，该工厂的租车方案共有（     ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 2．写出一个解为的二元一次方程组为________． 3．解答下列各题： (1)已知二元一次方程，当时，求的值； (2)已知二元一次方程，当时，求的值； (3)结合（1）（2）的计算结果，直接写出方程组的解． 题型4.已知方程（组）的解求参数 1．如果是关于x和y的二元一次方程的解，那么a的值是（　　） A． B． C．3 D．1 2．若关于x、y的二元一次方程组的解为，则__． 3．已知关于，的二元一次方程组的解是，求的值 题型5.代入消元解二元一次方程组 1．已知代数式与是同类项，那么、的值分别是（　 　） A． B． C． D． 2．在方程中，用x的代数式表示y，得______． 3．解下列方程（组）： (1) (2) 题型6.加减消元法解二元一次方程组 1．二元一次方程组 的解是（     ） A． B． C． D． 2．若实数、满足，，则的值是_____． 3．解方程组： (1)； (2) 题型7.整体代入、换元解方程组 1．若方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为________． 3．阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组，我们可以使用“整体代入”的思想来简化计算． 解：将方程①变形为，即．将其代入方程②，得，解得．将代入①，得．所以原方程组的解为． 问题： (1)请用“整体代入”法解方程组． (2)若关于x、y的方程组，请问这个方程组有解吗？若有，请直接写出它的解；若无，请说明理由． (3)已知x、y满足，求的值． 题型8.看错系数错解复原求参数 1．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，则的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 2．甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙因抄错解得，则______． 3．甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为；乙看错了方程组中的，而得解为． (1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？ (2)请求出原方程组的正确解． 题型9.同解方程组求参数 1．已知方程组与有相同的解，则m，n的值为（    ） A．，B．，C．， D．， 2．若关于x，y的方程组与有相同的解，则_____． 3．已知关于x，y的方程组和方程组的解相同． (1)求方程组相同的解； (2)求的值． 题型10.构造方程组求参数 1．在等式中，当时，；当时，．则（    ） A． B． C． D． 2．，则________． 3．已知代数式，当时，它的值是，当时，它的值是．求，的值． 题型11.根据解的个数求参数 1．若方程组的解也是方程的解，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为________． 3．关于，的方程组有无数多个解，则___． 题型12.和差倍分、物资分配应用题 1．现有甲、乙两个钱袋，甲袋装的银子比乙袋装的银子多6两，从甲袋取7两银子放到乙袋，乙袋的银子两数就是甲袋的2倍．设甲袋原有银子x两，乙袋原有银子y两，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．甲、乙两位同学共带元去书店买书，回家后两人所剩的钱数相等．已知甲花去自己钱数的，乙花去自己的钱数的，则乙花去( )元． 3．为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购A、B两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个A型垃圾箱与3个B型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个A型垃圾箱的支出，比购买1个B型垃圾箱少20元．求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？ 题型13.行程应用题 1．随着新能源汽车技术的飞速发展，越来越多新能源汽车是由后轮驱动的，所以后轮胎的磨损程度比前轮胎严重．设每个新轮胎报废时的总磨损量为，如某轮胎可行驶公里，则每公里的磨损量为，现有某品牌的轮胎安装在前轮时行驶达到万公里时报废，安装在后轮时行驶达到万公里时报废．如果该汽车行驶若干公里后，将前后轮胎进行对换，那么这两对轮胎最多可以行驶（   ） A．万公里 B．万公里 C．万公里 D．万公里 2．某人乘船顺流从地前往地，用时小时；逆流从地返回地，用时小时．已知两地相距千米，假设水流速度恒定不变，船速不变，则船在静水中的航行速度为________． 3．一艘船在某河道上航行，已知顺水航行需要，逆水航行需要．那么，该船在静水中的速度与该河的水流速度分别是多少？ 题型14.工程效率类应用题 1．羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（    ）天． A． B． C． D． 2．甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，其中甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地．已知甲、乙、丙每小时分别能植树10棵，8棵，12棵．若乙在A地植树12小时后立即转到B地，则两块地同时开始同时结束；若要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，则乙应在A地植树______小时后立即转到B地． 3．山西的老旧城区改造，在国家“城市更新行动”的指导下，已从单纯的“旧房翻新”升级为涵盖老旧小区、街区、城中村的综合整治与功能提升．为了提高居民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分老旧城区进行改造，在改造工程中，有一条米的道路需要改扩建，现有甲、乙两个工程队分别施工修路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，两队施工总时间是天，则甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是___________，未知数表示的是_________； (2)小丽同学设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天．请你按照小丽的思路解答上面的问题． 题型15.数字、年龄问题应用题 1．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方，图2是一个未完成的幻方，则的值是（    ）． A．0 B． C． D．32 2．甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为____岁， 乙的年龄为______岁． 3．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 题型16.销售、利润、进价售价应用题 1．山西博物院某文创商店热销两款经典文创产品：晋侯鸟尊钥匙扣与雁鱼铜灯书签．已知购买3个晋侯鸟尊钥匙扣和2个雁鱼铜灯书签共需159元；购买1个晋侯鸟尊钥匙扣和5个雁鱼铜灯书签共需144元．设1个晋侯鸟尊钥匙扣的价格为x元，1个雁鱼铜灯书签的价格为y元，根据题意，所列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 2．某体育用品商店销售A，B两款足球，售价和进价如表所示，该商店购进5个A款足球和12个B款足球需1120元，购进10个A款足球和15个B款足球需1700元．某校在该商店一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，该商店可获利______元． 类型 进价（元/个） 售价/（元/个） A款 m 120 B款 n 90 3．开学季，某文具店热销两款学生用品——笔记本和中性笔．已知购买2本笔记本和3支中性笔共需28元，购买4本笔记本和1支中性笔共需26元． (1)求每本笔记本和每支中性笔的售价各是多少元？（列二元一次方程组解决问题） (2)已知笔记本每本进价为3元，中性笔每支进价为4元．为迎接新学期，文具店开展促销活动：中性笔按原售价降价1元销售，笔记本售价不变．本次活动中售出了30本笔记本，若干支中性笔，两款商品共获利润130元．求本次促销活动中售出了多少支中性笔？ 题型17.几何图形等量应用题 1．如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低，设每块墙砖的长为，宽为，则符合右侧图形的方程组是（   ） A．B．C． D． 2．如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，设小长方形的长为，宽为，根据题意得到的二元一次方程组为_____． 3．问题情景：某数学兴趣小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动． (1)综合实践小组利用边长为30厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为______平方厘米； ②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，已知，求该长方体纸盒的体积； (2)小明按照图1的方式用边长为30厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为156厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况） 题型18.方案选择优化应用题 1．某果园为推广葡萄新品种，计划将100千克的葡萄分装成3千克和5千克“葡萄礼盒”赠给水果采购商（每种礼盒不少于6盒）．现要准备两种不同的包装盒，则准备方案共有（     ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 2．某车间生产一款工艺茶壶，每把茶壶由一个壶身和一个壶盖两种组件构成，该车间共有4条生产线生产这两种组件．车间规定：每条生产线一天内只能生产同一种组件，但第二天可以更换生产的组件类型．每条生产线每天的生产数量如下表： 生产线组件 甲 乙 丙 丁 壶身/个 25 35 30 25 壶盖/个 35 30 20 40 （1）如果只开通一条生产线，6天最多能生产__________把茶壶； （2）如果四条流水线都开通，6天最多能生产__________把茶壶． 3．4月30日我校春季运动会火热开赛！为丰富同学们的课余生活，满足运动需求，学校计划采购一批足球和篮球．负责采购的老师在团购群中看到如下信息： (1)根据对话信息，求足球和篮球的单价各是多少元？ (2)若学校一次性采购总金额为700元．两种球都要买且采购资金正好用完，请给出所有购买方案． 题型19.表格图表信息应用题 1．如图所示，天平中放有苹果、香蕉、砝码，且两个天平都平衡，则一个苹果的重量是一根香蕉的重量的（    ） A． B． C．2倍 D．3倍 2．《探寻神奇的幻方》一课的学习激起了小杨的探索兴趣，他在如表所示的方格内填入了一些数据．若图中各行、各列及对角线上的各数之和都相等，则的值为______． 0 y 4 x 3．新BA城市争霸赛如火如荼，温州市代表队表现出色，下表是10月11日，温州队所在的组比赛积分表的部分信息： A组积分 排名 队伍 胜负 积分 2 温州队 7胜0负 4 金华队 6胜2负 14分 5 余姚队 5胜3负 13分 6 台州队 4胜4负 12分 (1)求温州队的积分． (2)温州队所在的组共有11支队伍，赛事实行主客场制（每两支队伍之间要进行两场比赛），预计小组赛结束后，积分达到37分，会获得小组冠军，问温州队要获得组第一至少还要胜几场？ 题型20.古代数学古文类应用题 1．《孙子算经》记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每3人乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？若设有x人，y辆车，则可列方程组为（ ） A． B． C． D． 2．《九章算术》中有一道“盈不足”问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：几个人一起去购买物品，如果每人出8钱，那么剩余3钱；如果每人出7钱，那么差4钱．问有多少人？物品的价格是多少？若设人数为，物价为，则可列二元一次方程组为：_____． 3．我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”题意为“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值多少两银子？”根据以上题目，回答以下问题： (1)求买1头牛和1只羊分别需要多少两银子？ (2)若购买了若干头牛和若干只羊，共花费26两银子，且羊的数量比牛的2倍少1，则购买了几只羊？ (3)若一名商人准备用21两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方案？最多买几头牛？ 题型21.三元一次方程组概念辨析 1．在等式中，当时，；当时，；当时，；求a，b，c的值为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．三元一次方程组的解是___________． 3．数学活动：探究不定方程： 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出具体数值，但可以解出，的值． (1)小川的方法：整理可得：________； 整理可得：_______；∴ 小渝的方法：：__________________；∴． (2)已知，试求解的值． 题型22.三元一次方程组实际应用题 1．如图，边长为的两个正方形靠边各放置两个邻边长为，的长方形，然后分别以，为边长构成两个大正方形．根据图中数据可求得的值为（    ） A．65 B．68 C．70 D．75 2．“3·28活动”是北京中学大地课程的重要组成部分，学校为每个班级提供2000元活动经费，需要同学们自主规划一次户外活动．初一某班级计划参观奥林匹克森林公园（免门票），在租车和为每名同学购买一份保险的情况下，需要购买一些纪念品作为活动奖励，所需费用如下表： 租车费用（辆） 个人保险（人） 纪念品套装（套） （包含一个冰箱贴和一个徽章） 纪念品徽章（个） 纪念品冰箱贴（个） 1500元 5元 30元 16元 20元 （1）已知这个班级共有学生42人，在所需费用不超过活动经费的基础上，本次活动最多能够买______个纪念品（纪念品套装算两个纪念品）； （2）如果该班级想同时买到纪念品套装、纪念品徽章及纪念品冰箱贴，并且刚好把活动经费用完，则一共有______种购买方案． 3．先阅读下列材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值.本题常规思路是将两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则 ， ； (2)请说明关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变； (3)某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，求购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？ 题型23.新定义下的实数运算 1．对于实数x、y定义新运算：，其中a，b为常数．已知，，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．对于实数定义新运算：，其中为常数，已知，，则______． 3．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，，，已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组解为，则关于m，n的方程组的解为_________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $