精品解析：辽宁沈阳市东北育才学校2025-2026学年高三下学期临考提升数学试题

2026年东北育才学校高三年级临考提升卷数学试题 答题时间：120分钟满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 2. 已知全集，集合，则的子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵ 解不等式，得， 又∵ ，∴ 全集. ∵ 集合，由补集定义可得，共3个元素. ∵ 含个元素的集合的子集个数为， ∴ 的子集个数为. 3. 已知向量，，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积坐标公式及运算律，即可得答案. 【详解】由题意， 所以，而， 所以． 4. ，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据正弦函数的值域，对数函数的单调性，对数的运算公式求出的范围即可判断. 【详解】由正弦函数的值域可知：， 由对数函数单调性可知， ，故. 5. 已知曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线，点在上，则的实轴长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设双曲线方程为，代入点求解可得方程，然后可得实轴长. 【详解】因为曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线， 所以可设其方程为， 因为点在上，所以，即， 所以曲线的方程为，则， 所以的实轴长为. 6. 已知正项等比数列满足 ，则 （ ） A. 8 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式化简已知条件，由此求得. 【详解】设正项等比数列的公比为，其中，， 依题意得， 两式相除得，解得（负根舍去）， 所以， 解得. 7. 某导航机器人团队，调研5组不同避障阈值（单位：灵敏度）与路径规划耗时（单位：）得到的数据如下表： 避障阈值 9 9.5 10 10.5 11 规划耗时 8 6 5 由表中数据可知，规划耗时与避障阈值之间存在较强的线性相关关系，其经验回归方程是，则规划耗时数据5，6，8，，的第百分位数为（ ） A. 8 B. 9 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，代入回归方程得， ，解得， 规划耗时数据升序排列为：5，6，8，，， 第百分位数位置为：, 当不是整数时，向上取整，为第4个数据，即为． 8. 已知函数，是的反函数．若，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等式变形，再同构一个函数，满足，再由单调性去找到等式关系，最后把二元变量转化为一元变量：，再用函数思想来求最大值即可. 【详解】由题意得，因为， 所以，所以， 令，则， 因为在上单调递增，所以，所以， 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，又， 所以当时，，即； 当时，，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数的共轭复数为，则下列结论正确的有（ ） A. 复平面内与对应的点在第一象限 B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】，在复平面内对应的点为，位于第一象限，故A正确； ，故B正确； ，则，故C正确； 均为虚数，不能比较大小，故D错误． 10. 已知函数，其图象的一个对称中心为，下列说法正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 若函数在区间上单调，则的最大值为 C. 将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位可得到的图象 D. 若函数在区间上有唯一零点，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用辅助角公式结合条件求出的解析式，再根据各选项的要求，结合正弦型函数的性质与诱导公式，图象变换以及函数与方程的关系逐一判断即得. 【详解】因的图象的一个对称中心为, 则，则得. 对于A，的最小正周期为，故A正确； 对于B，由，可得，因函数在区间上单调，则有， 解得，故的最大值为，故B错误； 对于C，将函数的图象向右平移个单位，得到， 再向上平移1个单位可得到， 而，故C正确； 对于D，由可得，依题意，方程在上只有1个实根， 也即直线与函数在上有唯一交点. 因时，，则作出函数在上的图象，要使直线与函数在上有唯一交点， 需使或，解得或，故D错误. 11. 如图，圆台的高为，上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，是圆上一点，是圆的内接正三角形，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 直线与平面所成角的最小值为 C. 圆台的外接球的表面积为 D. 为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设点，利用空间两点间的距离公式可判断AD选项；利用空间向量法可判断B选项；设球心为，根据可求得的值，即可求出其外接球的半径，再利用球体表面积公式可判断C选项. 【详解】以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则点、、、， 设点， 对于A选项， ， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为，A对； 对于B选项，，易知平面的一个法向量为， ， 且， 故，故直线与平面所成角的最小值为，B错； 对于C选项，设球心为， 根据可得，解得， 故该圆台的外接球半径为， 故圆台的外接球的表面积为，C对； 对于D选项， ，D对. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理求出的展开式的通项，即可求解展开式中x的系数. 【详解】设的展开式的通项为， 令，得，， 所以，的展开式中的系数为. 13. 已知圆经过点，，，点是圆上一点，则到抛物线的焦点的最大距离为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】求出圆的方程，可得圆心及半径，易知，作出图象，结合图象求解即可. 【详解】设圆的方程为， 则有， 解得， 所以圆的方程为， 即， 所以圆心，半径； 又因为抛物线的焦点， 要使圆上一点到的距离最大， 则为直线与圆在第四象限的交点， 此时. 14. 若直线为曲线的一条切线，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先设切点为，根据切线方程可得，进而可得，再构造函数，用导数求得函数的最大值可得. 【详解】设切点为，对曲线求导得：. 因为切线斜率为，因此：且， 所以，即，得. 再将代入得：，即， 两边取对数整理得： . 所以， 令，求导： ， 令，得，即， 因为在上单调递减， 所以当时，；当时，. 因此函数在上单调递增，在单调递减， 所以是函数的极大值点也是最大值点， 因此. 故的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c从下列三个条件中选择一个并解答问题： ①；②； ③． （1）求角A的大小； （2）若，且的面积为，求的周长． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）如选择①，由已知可得，根据正弦定理以及两角和的正弦公式的逆用，即可得出，进而求出；如选择②，由已知可得，根据正弦定理以及两角和的正弦公式，即可得出，利用辅助角公式可得，根据角的范围即可求出；如选择③，由余弦定理可得，，化简即有，进而求出，即可求出； （2）根据三角形的面积公式即可求出，根据余弦定理即可求出，进而即可得到的周长． 【小问1详解】 如选择①，有， 即， 由正弦定理可得，， 又，所以， 因为，所以. 如选择②，由可得，， 由正弦定理可得，， 又， 所以，又， 所以，即， 所以. 因为，所以，所以，解得. 如选择③，. 由余弦定理可得，， 整理可得，，所以. 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，又，且的面积为， 所以有，解得， 由余弦定理可得，， 所以， 所以的周长. 16. 已知函数，，. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） 当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得，利用导数求出函数的最大值即可得解. 【小问1详解】 ， 当时，恒成立，从而在上单调递增， 当时，，，，， 从而在上递增，在上单调递减， 综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 由题可知，要使恒成立，只要， ， 由于，，所以恒成立， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得， 所以的取值范围为. 17. 已知点在圆上，作垂直于轴，垂足为，点为中点． （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线与轴交于点，与交于、两个相异点，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把点的坐标用点和点的坐标表示，代入点的轨迹方程即可求解； （2）设点、，利用可得，结合韦达定理可得与的关系，最后代入判别式，利用即可求解. 【小问1详解】 由题意，设点、，则， 因为点为线段的中点，则，即， 因为点在圆上，所以，即， 因此，点的轨迹的方程为． 【小问2详解】 由已知可得，设点、， 联立得， 由已知可得，得， 由韦达定理可得，， 因为，即，则，即， 所以，所以， 即， 当时，不成立， 所以，代入得， 解得，因此，的取值范围是． 18. 如图1，在梯形中，，是线段 上的一点，，，将沿翻折到的位置． （1）如图2，若是的中点，二面角为直二面角，证明：平面． （2）如图2，若二面角为直二面角，，分别是，的中点，若直线与平面所成角为，，求平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围． （3）我们把与两条异面直线都垂直相交的线段叫做两条异面直线的公垂线段，公垂线段的长度是两条异面直线上两点间距离的最小值．如图3所示，点为线段的中点，，分别在线段，上（不包含端点），且为，的公垂线段，记四面体的内切球半径为，比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】（1）连接，由题意知， ，而，是的中点，所以， 又，，所以四边形为平行四边形，故， 所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面 （2） （3），证明如下： 是四面体的表面积，，令与面所成角为， ， ，， 因为是公垂线，上的点和上的点的最短距离是， ，（取不到等号）， ，， 【解析】 【分析】（1）通过面面垂直证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设，根据，求出的范围，将平面与平面所成锐二面角余弦值表示为的函数，再求范围；（3）证明关键，. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内作的垂线作为轴，所以轴， 如图以为坐标原点，分别以，为，轴正半轴建立空间直角坐标系： 因为，，设， 所以，，，，， 则，， 所以，， ，，． 设平面的法向量， 得，取， ，解得． 设平面的法向量， 得，取，得， 设平面与平面所成锐二面角为，则 ， 由于在上单调递增，故， 故， 所以平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围是． 【小问3详解】 略 19. 在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词元，，且生成词元总数不超过.若生成，则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到.每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为，的概率均为0.5，且各次预测相互独立.审核规则如下： ①若预测中第一次出现词元，则审核后生成，的概率均为0.5； ②若预测中第二次出现词元，则审核后必生成； ③若预测中出现词元，则审核后必生成. 设表示过程结束时生成词元的总个数. （1）求，； （2）求的分布列； （3）求. 【答案】（1）， （2） 1 2 3 … … （3）【解析】 【分析】（1）根据规则判断出和的情形，结合概率乘法公式求解即可. （2）结合题干规则推导出，进而求出，即可得到分布列. （3）结合错位相减法及等比数列的前项和公式求出，根据条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 表示第一次就生成并结束过程，即第一次预测为，且审核生成， . 表示第二次生成并结束过程，情况有：第一次预测为，且审核生成，第二次预测为；第一次预测为，审核必生成，第二次预测为，且审核生成. . 【小问2详解】 （，）时，第个词元输出为， 若前面个词元都预测为，其概率为， 若前面个词元有一个预测为，其概率为， 故， 当时， 若前面个词元都没有预测为，其概率为， 若前面个词元有一个预测为，其概率为， 故 所以的分布列为： 1 2 3 … … 【小问3详解】 由（1）得， 由（2）得， ， ， ， ， 所以 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年东北育才学校高三年级临考提升卷数学试题 答题时间：120分钟满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，集合，则的子集个数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4. ，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线，点在上，则的实轴长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6. 已知正项等比数列满足 ，则 （ ） A. 8 B. C. 4 D. 7. 某导航机器人团队，调研5组不同避障阈值（单位：灵敏度）与路径规划耗时（单位：）得到的数据如下表： 避障阈值 9 9.5 10 10.5 11 规划耗时 8 6 5 由表中数据可知，规划耗时与避障阈值之间存在较强的线性相关关系，其经验回归方程是，则规划耗时数据5，6，8，，的第百分位数为（ ） A. 8 B. 9 C. D. 8. 已知函数，是的反函数．若，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数的共轭复数为，则下列结论正确的有（ ） A. 复平面内与对应的点在第一象限 B. C. D. 10. 已知函数，其图象的一个对称中心为，下列说法正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 若函数在区间上单调，则的最大值为 C. 将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位可得到的图象 D. 若函数在区间上有唯一零点，则 11. 如图，圆台的高为，上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，是圆上一点，是圆的内接正三角形，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 直线与平面所成角的最小值为 C. 圆台的外接球的表面积为 D. 为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为______________. 13. 已知圆经过点，，，点是圆上一点，则到抛物线的焦点的最大距离为____________． 14. 若直线为曲线的一条切线，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c从下列三个条件中选择一个并解答问题： ①；②； ③． （1）求角A的大小； （2）若，且的面积为，求的周长． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 16. 已知函数，，. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围. 17. 已知点在圆上，作垂直于轴，垂足为，点为中点． （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线与轴交于点，与交于、两个相异点，且，求的取值范围． 18. 如图1，在梯形中，，是线段 上的一点，，，将沿翻折到的位置． （1）如图2，若是的中点，二面角为直二面角，证明：平面． （2）如图2，若二面角为直二面角，，分别是，的中点，若直线与平面所成角为，，求平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围． （3）我们把与两条异面直线都垂直相交的线段叫做两条异面直线的公垂线段，公垂线段的长度是两条异面直线上两点间距离的最小值．如图3所示，点为线段的中点，，分别在线段，上（不包含端点），且为，的公垂线段，记四面体的内切球半径为，比较与的大小，并证明你的结论． 19. 在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词元，，且生成词元总数不超过.若生成，则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到.每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为，的概率均为0.5，且各次预测相互独立.审核规则如下： ①若预测中第一次出现词元，则审核后生成，的概率均为0.5； ②若预测中第二次出现词元，则审核后必生成； ③若预测中出现词元，则审核后必生成. 设表示过程结束时生成词元的总个数. （1）求，； （2）求的分布列； （3）求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $