2026年四川宜宾市初中学业水平考试数学试题模拟仿真卷（三）

**基本信息** 2026年宜宾市中考数学模拟卷，以“垃圾分类”公益活动、甲醛检测仪传感器等真实情境及杨辉数学问题等文化素材，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查抽象能力、几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/48|无理数、图形旋转、概率计算等|第4题以公益宣传队选题考概率，体现应用意识| |填空题|6/24|函数性质、正五边形计算、菱形最值等|18题菱形动点最值问题，培养空间观念| |解答题|7/78|数据分析、圆的切线、抛物线综合等|23题落地灯调节结合三角函数，考查模型意识；20题时事热点调研分析，发展数据观念|

2026年四川省宜宾市初中学业水平考试模拟（三） 数学试卷（三） 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 下列实数中的无理数是（ ） A. B. 3.14 C. D. 2. 如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（）的图象在第一、三、四象限内，点和都在函数上．若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，，，以为半径画弧，交延长线于点，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（ ） A. 空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大 B. 当时，甲醛检测仪会报警 C. 当时，的阻值为 D. 当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于 10. 如图，绕点逆时针旋转得到，且经过点C，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在边长为2的正方形中，按如下步骤作图： ①分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于两侧，过两交点作直线，分别交，于点，；②连接，以为圆心，适当长为半径作弧，分别与，交于两点；再分别以这两点为圆心，适当长为半径作弧，两弧交于内一点，过与该交点作射线，交于点；③过点作于点．根据以上作图，线段的长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 13. 使代数式有意义的取值范围是___________． 14. 若，则______． 15. 如图，以正五边形的边为直径作，连接交于点，的延长线交于点，则的度数为__________． 16. 如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则与的数量关系为________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．四边形，，，，都是正方形，顶点，，，，都在轴上，顶点，，，，，都在直线上，连接，，，，，分别交，，，，，于点，．设，的面积分别为，，则____________． 18. 如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P为线段BD上的一个动点，则的最小值是______． 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19. （1）计算： （2）解不等式： 20. 青少年不仅要学习好，还要关注时事热点，关心国家的现状和未来．某校为了解九年级学生对时事热点的掌握程度，特举办了一场“中国事，我知道”的调研．随机抽取60名九年级学生，将其分为3组，每组20人，把学生掌握情况分为5类：其中“完全不理解”记为0分，“了解”记为1分，“理解”记为2分，“掌握”记为3分，“应用”记为4分，现把3个小组的得分进行统计分析，过程如下： 【数据整理】 【数据分析】 平均数 众数 中位数 第1组 4 3 第2组 1 第3组 2 （1）请补全第1小组得分条形统计图． （2）第2小组得分扇形统计图中，“得分为4分”这一项所对应的圆心角的度数为____． （3）根据上述图表填空：__________，__________，__________． （4）若该校九年级有1200名学生参加此次调研，请估算九年级学生掌握情况是“应用”的人数． （5）结合上述数据，请你分析对于时事热点哪组掌握程度最弱，并说明原因． 21. 如图：平行四边形，对角线、相交于点，将沿着折叠，使点落在平面上的处，与相交于，连接并延长，与相交于． （1）求证：； （2）连接，判断四边形的形状，并说明理由． 22. 如图，在中，平分，交延长线于点E，，以为半径的交于点A，已知，． （1）求证：是的切线． （2）求的半径． （3）连接，求的长． 23. 某种落地灯如图1所示，立杆AB垂直于地面，其高为120cm，BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为30cm，CD为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度，支杆BC与悬杆CD之间的夹角∠BCD为70°． （1）如图2，当A、B、C三点共线且CD＝50cm时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度； （2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转50°，同时调节CD的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为160cm，求CD的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19） 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）利用图像，直接写出不等式的解集为________； （3）在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、C两点，其中，，与y轴交于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连结，过点D作于点E，延长与直线交于点F，求的最大值及此时点D的坐标； (3)若将原抛物线绕原点O旋转得到新的抛物线，P是新抛物线上的一个动点，H是直线上的一个动点，在平面直角坐标系上，是否存在一点K，使得四边形为正方形？请直接写出满足条件的所有K的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年四川省宜宾市初中学业水平考试模拟（三） 数学试卷（三） 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 下列实数中的无理数是（ ） A. B. 3.14 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数，根据无理数的定义：无限不循环小数，叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解：A、是有理数，不符合题意； B、3.14是有理数，不符合题意； C、是无理数，符合题意； D、是有理数，不符合题意； 故选C． 2. 如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何体形成的基本原理解答即可． 本题考查了几何体的生成，熟练掌握原理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是圆锥， 故选：A． 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用关于原点对称的点的坐标性质求解，关于原点对称的点，横纵坐标均为原坐标的相反数，直接得到对称点坐标即可选出答案． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为， 又∵点的坐标为，即， ∴对称点的坐标为． 4. 某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，用列表法求出概率即可． 【详解】根据题意，设三个宣传队分别为列表如下： 小华\小丽 总共由9种等可能情况，她们恰好选择同一个宣传队的情况有3种， 则她们恰好选到同一个宣传队的概率是． 故选C 【点睛】本题考查了用列表法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比． 5. 下列运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、负整数指数幂定义、积的乘方法则和完全平方公式计算各选项，判断正误即可． 【详解】解：A、，选项 A不符合题意； B、，选项 B符合题意； C、， 选项C不符合题意； D、， 选项D不符合题意． 6. 已知函数（）的图象在第一、三、四象限内，点和都在函数上．若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断，，可得，可得函数的图象在二、四象限，在每一象限内，y随x值的增大而增大，再进一步可得答案. 【详解】解：∵函数（）的图象在第一、三、四象限内， ∴，， ∴， ∴函数的图象在二、四象限，在每一象限内，y随x值的增大而增大， ∴当时，， ∴． 7. 如图，中，，，，以为半径画弧，交延长线于点，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解直角三角形求出，，再用扇形的面积减去的面积即可得出答案． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 8. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设宽为x步，则长为步，根据题意列方程即可． 【详解】解：设宽为x步，则长为步， 由题意得：， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是关键． 9. 已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（ ） A. 空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大 B. 当时，甲醛检测仪会报警 C. 当时，的阻值为 D. 当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求反比例函数的解析式，理解题意求出的阻值与空气中甲醛质量浓度的函数关系式是解题的关键． 根据题意求出的阻值与空气中甲醛质量浓度的函数关系式为，再根据反比例函数的性质，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：由图②得，的阻值与空气中甲醛质量浓度成反比例函数关系， 设反比例函数关系式为， 代入，得， ∴反比例函数关系式为， ∵， ∴的阻值随着空气中甲醛质量浓度的增大而减小， ∴空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大， 故A选项说法正确，不符合题意； 当时，则， 解得， ∵， ∴当时，甲醛检测仪不会报警， 故B选项说法错误，符合题意； 当时，则， 故C选项说法正确，不符合题意； 当时，则， ∴当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于， 故D选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 10. 如图，绕点逆时针旋转得到，且经过点C，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据旋转的性质得到，，，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，从而得到的度数． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴． 11. 如图，在边长为2的正方形中，按如下步骤作图： ①分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于两侧，过两交点作直线，分别交，于点，；②连接，以为圆心，适当长为半径作弧，分别与，交于两点；再分别以这两点为圆心，适当长为半径作弧，两弧交于内一点，过与该交点作射线，交于点；③过点作于点．根据以上作图，线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由作图步骤可知是线段的垂直平分线，平分，因此由正方形的性质可得四边形是矩形，利用勾股定理求得，然后在上截取，连接、，根据角平分线的定义，利用可证，推出，，然后设，在和中，利用勾股定理建立方程，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形，边长为， ∴， ， 由步骤①可知，是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴在中，， 由步骤②可知，平分，即， 如图，在上截取，连接、， 在和中，  ， ， ，， ， 设，则，， 在中，， ∴， 在 中，， ∴， ， 解得， ． 12. 如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象，分别得出a、b、c的符号，即可判断①；根据对称轴得出，再根据图象得出当时，，即可判断②；分别计算两点到对称轴的距离，再根据该抛物线开口向下，在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，即可判断③；将方程移项可得，根据该方程无实数根，得出抛物线与直线没有交点，即可判断④． 【详解】解：①∵该抛物线开口向下， ∴， ∵该抛物线的对称轴在y轴左侧， ∴， ∵该抛物线于y轴交于正半轴， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ②∵， ∴该抛物线的对称轴为直线，则， 当时，， 把得：当时，， 由图可知：当时，， ∴， 故②不正确，不符合题意； ③∵该抛物线的对称轴为直线， ∴到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， ∵该抛物线开口向下， ∴在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴， 故③正确，符合题意； ④将方程移项可得， ∵无实数根， ∴抛物线与直线没有交点， ∵， ∴．故④正确 综上：正确的有：①③④，共三个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握根据二次函数图象判断各系数的方法，熟练掌握二次函数的图象和性质． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 13. 使代数式有意义的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数． 【详解】解：要使二次根式有意义，需满足被开方数 ， 解得 ． 14. 若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】先统一分母，将分式方程化为整式方程求解，求解后进行检验得到最终结果． 【详解】解：原方程变形为， 方程两边同乘，得 ， 移项合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时， ， 因此是原分式方程的解． 15. 如图，以正五边形的边为直径作，连接交于点，的延长线交于点，则的度数为__________． 【答案】##54度 【解析】 【分析】根据正五边形的定义得出，，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，最后根据直角三角形的性质求解即可. 【详解】解：∵正五边形， ∴，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴. 16. 如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则与的数量关系为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似图形的性质得到，，，且三点共线，三点共线，证明推出，即可解答． 【详解】解：∵五边形与五边形是位似图形，为位似中心； ∴，，，且三点共线，三点共线， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．四边形，，，，都是正方形，顶点，，，，都在轴上，顶点，，，，，都在直线上，连接，，，，，分别交，，，，，于点，．设，的面积分别为，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、图形的规律与探索，解决本题的关键是分别计算出和的面积，根据这两个三角形的形状与面积之间的关系找出规律，根据规律得出结果．根据一次函数的解析式可得点的坐标是，设点的坐标是，根据正方形的四条边都相等可得，从而求出正方形的边长为，根据正方形的对边相互平行，可知，根据相似三角形的性质求出，从而可得，利用三角形的面积公式可以求出，同理可以求出，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证，且相似比为，根据规律可得． 【详解】解：当时，， 点的坐标是， 点在直线上， 设点的坐标是， 则点的坐标是，点的坐标是， 四边形是正方形， ，， ， 解得：， 的坐标是， 正方形的边长为， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ； 设点的坐标为， 则点的坐标是，点的坐标是， ， 四边形是正方形， ，， ， 解得：， ， 的坐标是， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， 的坐标是，的坐标是， ， 的坐标是，点的坐标是， ， ，， ， 又四边形和均为正方形， 轴，轴， ， ， ，且相似比为， ， 当时，， 同理可证，且相似比为， 则， ， ． 故答案为：． 18. 如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P为线段BD上的一个动点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时MP+12PB的长度最小为MH，再算出MC的长度， 在直角三角形MPC中利用特殊30°直角三角形的性质即可解得MH． 【详解】解：过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时MP+PB的长度最小 ∵菱形ABCD中，AB=AC=8 ∴AB=BC=AC=8，△ABC为等边三角形 ∴∠PBC=30°，∠ACB=60° ∴在直角△PBH中，∠PBH=30° ∴PH=PB ∴此时MP+PB得到最小值，MP+PB=MP+PH=MH ∵AC=8，AM=2， ∴MC=6 又∠ACB=60°且△MHC为直角三角形 ∴HC=MC=3， ∴MH==． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与特殊30°直角三角形的性质，勾股定理，以及垂线段最短等知识，能够找到最小值时的P点是解题关键． 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19. （1）计算： 【答案】（1） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； （2）解不等式： 【答案】（2） 【解析】 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：． 原不等式组解集为． 20. 青少年不仅要学习好，还要关注时事热点，关心国家的现状和未来．某校为了解九年级学生对时事热点的掌握程度，特举办了一场“中国事，我知道”的调研．随机抽取60名九年级学生，将其分为3组，每组20人，把学生掌握情况分为5类：其中“完全不理解”记为0分，“了解”记为1分，“理解”记为2分，“掌握”记为3分，“应用”记为4分，现把3个小组的得分进行统计分析，过程如下： 【数据整理】 【数据分析】 平均数 众数 中位数 第1组 4 3 第2组 1 第3组 2 （1）请补全第1小组得分条形统计图． （2）第2小组得分扇形统计图中，“得分为4分”这一项所对应的圆心角的度数为____． （3）根据上述图表填空：__________，__________，__________． （4）若该校九年级有1200名学生参加此次调研，请估算九年级学生掌握情况是“应用”的人数． （5）结合上述数据，请你分析对于时事热点哪组掌握程度最弱，并说明原因． 【答案】（1）见详解 （2） （3） （4）280人 （5）第2组掌握程度最弱 【解析】 【分析】（1）根据总人数为 20 人，条形图各得分的人数即可解答； （2）根据调查总人数 20 人，再利用扇形统计图得分为“4分”的百分数即可解答． （3）根据条形统计图的数据、扇形统计图的数据、折线图的数据，以及众数、中位数、平均数的定义即可解答． （4）先计算出三组人数中得分“ 4 ”的百分数，再计算出1200 人的掌握情况是“应用”的人数即可解答． （5）根据表格中数据即可解答． 【小问1详解】 解：∵随机调查的总人数为 20 人，“ 0 ”分的人数为 1 人，“1 ”分的人数为 2 人，“ 2”分的人数为 3 人，“ 4”分的人数为 8 人， ∴“ 3 ”分的人数为：（人）， 补全第1小组得分条形统计图如图所示： 【小问2详解】 解：∵第 2 小组得分扇形统计图中“得分为4 分”所占的百分数为， ∴“得分为4分”这一项所对应的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：∵根据扇形统计图可知“得分为 0 分”的人数最多， ∴第2组的众数为0分， ， ∵根据第1 小组得分条形统计图可知，“ 0 ”分的人数为 1 人，“1 ”分的人数为 2 人，“ 2”分的人数为 3 人，“ 3”分的人数为6人，“ 4”分的人数为 8 人， ∴第1组的平均数为， ， ∵第 3 组的折线图可知中位数第 10 和第 11 个分数：2 ， 2， ∴第 3 组的中位数是， ． 【小问4详解】 解：∵ 第 1 组得分为 “4 分”的人数为 8 人，第 2 组得分为“4 分”的人数为 人，第 3 组得分为“4 分”的人数为 2 人， ∴ 三组得 4 分的总人数为 14人， ∵三组总人数为60人， ∴该校九年级有1200名学生参加此次调研，掌握情况是“应用”的人数有（人）． 【小问5详解】 解：第2组掌握程度最弱， 原因：三组平均数分别为，第2组平均数最低，且0分占比最高，中位数最小，整体得分最低，因此掌握程度最弱． 21. 如图：平行四边形，对角线、相交于点，将沿着折叠，使点落在平面上的处，与相交于，连接并延长，与相交于． （1）求证：； （2）连接，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见详解 （2）四边形是菱形，理由见详解 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，由折叠的性质得，，则，，即可证出． （2）由（1）中全等可得：，根据平行四边形的性质得出，，则，，证明，则，结合，即可证明平行四边形是菱形． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠的性质得：，， ∴，， 又∵（对顶角相等）， ∴． 【小问2详解】 解：四边形是菱形，理由如下： 由（1）中全等可得：， ∵四边形是平行四边形，对角线交于， ∴，， ∴，， 在和中： ​， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 22. 如图，在中，平分，交延长线于点E，，以为半径的交于点A，已知，． （1）求证：是的切线． （2）求的半径． （3）连接，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与性质，相似三角形的判定与性质． （1）利用直角三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）过点O作于点F，设的半径为r，则利用角平分线的性质，全等三角形的判定定理和勾股定理解答即可； （3）利用勾股定理和相似三角形的判定与性质解答即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：过点O作于点F，如图， ∵平分，，， ∴的半径， 设的半径为r，则． ∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得：． ∴的半径为3． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 某种落地灯如图1所示，立杆AB垂直于地面，其高为120cm，BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为30cm，CD为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度，支杆BC与悬杆CD之间的夹角∠BCD为70°． （1）如图2，当A、B、C三点共线且CD＝50cm时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度； （2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转50°，同时调节CD的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为160cm，求CD的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19） 【答案】（1）133cm （2）42cm 【解析】 【分析】（1）过D作于E，在中，根据，得出CE，即可得出答案； （2）过D作于E，过C作于F，过B作于G，在中，根据，得出cm，从而求出EF=139.2cm，得出cm，最后在中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出最后结果即可． 【小问1详解】 解：过D作于E，如图所示： ∵在中，，， ， ∴cm， ∴（cm） 答：灯泡悬挂点D距离地面的高度133cm． 【小问2详解】 过D作于E，过C作于F，过B作于G，如图所示： 由题，，， 在中，， 解得：cm， ∴（cm）， ∴（cm）， ∵在中，， ∴（cm）， 答：CD的长约为42cm． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，直角三角形的性质，熟练掌握三角函数的定义，是解题的关键． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）利用图像，直接写出不等式的解集为________； （3）在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 【答案】（1）； （2） （3）当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，两点距离计算公式等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）只需要根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）作点B关于x轴的对称点D，连接，则，由轴对称的性质可得；由两点距离计算公式可得，则可推出的周长，根据，可推出当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为，利用两点距离计算公式可得，则的周长的最小值为；求出直线解析式为，在中，当时，，则． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数的 图象上方时自变量的取值范围为， ∴不等式的解集为； 【小问3详解】 解；如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接，则， 由轴对称的性质可得； ∵，， ∴， ∴的周长， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴的周长的最小值为； 设直线解析式为，则， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； 综上所述，当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、C两点，其中，，与y轴交于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连结，过点D作于点E，延长与直线交于点F，求的最大值及此时点D的坐标； (3)若将原抛物线绕原点O旋转得到新的抛物线，P是新抛物线上的一个动点，H是直线上的一个动点，在平面直角坐标系上，是否存在一点K，使得四边形为正方形？请直接写出满足条件的所有K的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为，此时点D的坐标为 (3)存在，或 【分析】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段长度是解题的关键． （1）根据题意得：，即可求解； （2）证明，得到，即可求解； （3）证明，得到，．则P点的坐标为或，，再分类求解即可． 【详解】（1）根据题意得：， ∴抛物线的解析式为； （2）过点D作直线于M，交直线于G， ∴轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于A、C两点，其中，与y轴交于点B． 令，则，解得，， 令，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 由点B、C的坐标得，直线的解析式为， 设直线DM交x轴于N，，则，， ∴，， ∴， ∴的最大值为，此时点D的坐标为； （3）如图， 根据旋转得抛物线过点，，， ∴， 设， ∵四边形正方形， ∴，， ∴， 过点H作轴于M，过点P作轴于N， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∴， ∴P点的坐标为或，， ①当P点的坐标为时， ∵，，，四边形为正方形， ∴点K的坐标为； ②当P点的坐标为时， ∵，，，四边形为正方形， ∴点K的坐标为； 综上，存在，点K的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $